Riducibilit`a verticale

Definizione 3.54. Sia Σ una superficie di Heegaard per una 3-variet`a di Seifert

M , e f una fibra eccezionale di M . Diciamo che Σ `e verticalmente riducibile in f se esiste un’isotopia che rende Σ una superficie di Heegaard per M \ η(f ).

I seguenti lemmi forniscono una condizione sufficiente affinch´e uno spezzamento di Heegaard sia verticalmente riducibile in una fibra singolare.

Lemma 3.55. Sia Σ una superficie di Heegaard per una 3-variet`a M , e D ⊂ W₁

un disco essenziale. Sia γ ⊂ Σ una curva chiusa semplice che intersechi D tra- sversalmente ed in un solo punto. Allora dopo che γ `e stata spostata in W◦1 con un’isotopia, Σ `e una superficie di Heegaard anche per M \ η(γ).

D

γ

Figura 3.10: La curva γ e il disco D.

Dimostrazione. Siano N (γ) un collare di γ in W₁ e N (D) un bicollare di D in W₁. Allora T = N (γ) ∪ N (D) `e un toro solido (Figura 3.10). Consideriamo il disco essenziale D0 _{= ∂T \ (∂T ∩ Σ); per l’Osservazione 2.8 esiste un sistema completo}

di dischi ∆ contenente D e D0_{. Poniamo ∆(T ) = {D ∩ T | D ⊂ ∆ `e un disco}.}

In questo modo, ∆ \ ∆(T ) `e un sistema completo di dischi per W1 \ T . Con

◦

N (γ). Allora W1\ η(γ) pu`o essere costruito da ∂−W1× [0, 1] attaccando 2-manici

lungo gli elementi di (∆ \ ∆(T )) ∪ D0.

Lemma 3.56. Sia M una variet`a di Seifert, e Σ una sua superficie di Heegaard;

supponiamo che la fibra eccezionale f sia contenuta in W₁ e sia parallela ad una curva semplice chiusa γ ⊂ Σ che interseca un disco essenziale D ⊂ W1 in un solo punto e trasversalmente. Allora, dopo aver spostato f in W◦1 con un’isotopia, Σ `e una superficie di Heegaard anche per M \ η(f ), cio`e Σ `e verticalmente riducibile in f .

Dimostrazione. Sia A l’anello che definisce l’isotopia fra f e γ; poich´e tali curve

sono semplici e disgiunte, ∂A `e embedded in M . Quindi possiamo supporre che anche A sia embedded. Allora la tesi si ottiene mediante il ragionamento usato per dimostrare il Lemma 3.55, sostituendo N (γ) con un collare N (A) di A. Definizione 3.57. Sia F una superficie compatta, e h : F → [0, 1] una funzione di

Morse. Una sella x della foliazione Φ indotta da h `e detta sella essenziale esterna

sopra F se tutte le separatrici σ uscenti da x hanno un estremo su ∂F e F \ σ

contiene due dischi D₁ e D₂ tali che D_i ⊂ h−1_{([h(x), 1]) per i = 1, 2 ed un disco}

D tale che D ⊂ h−1_{([0, h(x)]).}

Viceversa, diremo che una sella `e una essenziale esterna sotto F se tutte le separatrici σ uscenti da x hanno un estremo su ∂F e F \ σ contiene due di- schi D1 e D2 tali che Di ⊂ h−1([0, h(x)]) per i = 1, 2 ed un disco D tale che

D ⊂ h−1_{([h(x), 1]).}

Fissiamo ora una fibra eccezionale f di una veriet`a di Seifert M con base orientabile S. Indichiamo con α un arco semplice avente un estremo in p(f ) ed uno su ∂F , e con A l’anello (immerso ma non embedded) p−1_{(α). Sia g : bA → M}

tale immersione, con g( bA) = A. Indichiamo con ∂1A la componente connessa dib ∂ bA che viene mandata in ∂M , e poniamo ∂2A = ∂ bb A \ ∂1A. Indichiamo infine conb ∂iA, per i = 1, 2, l’immagine in M di ∂iA.b

Sia h la funzione di Morse che definisce lo spezzamento di Heegaard di M indotto da Σ. A meno di aggiungere a M un collare di ∂M , possiamo supporre che h sia di Morse modulo ∂M . La funzione h|A `e di Morse su A \ f modulo

∂1A; essa fornisce una funzione una funzione ˆh su bA di Morse su bA \ ∂2A modulob ∂1A. Non `e per`o una funzione di Morse su bb A, in quanto un punto critico di h|f

d`a luogo a pi`u punti critici allo stesso livello su ∂2A. Se indichiamo con S lab

controimmagine dell’insieme dei punti critici di h|_f, la funzione ˆh|_A\Sb `e di Morse modulo ∂1A. Indicheremo con Φb Abla foliazione di bA definita da ˆh.

Lemma 3.58. Si pu`o fare un’isotopia di A modulo ∂1A in modo da eliminare le mezze selle da Φ_Ab.

Dimostrazione. Sia C una componente connessa di ∂M , e bC un suo collare para-

foglie di Φ|_Cb sono parallele a C, una mezza sella non pu`o essere contenuta in C, pertanto eventuali mezze selle devono appartenere a ∂₁A.

Sia quindi x ∈ f una mezza sella, consideriamo un intorno ¯η(f ) di f , e sia S

un intorno regolare di x in M formato da dischi meridiani di ¯η(f ) (Figura 3.11).

A1 A 2 A₃ S N(f) f x

Figura 3.11: L’intorno di x formato da dischi meridiani.

Senza perdita di generalit`a possiamo supporre che h|f abbia un massimo in

x, e che alcune componenti connesse di A ∩ S siano pi`u in alto di x vicino ad x. Chiamiamo A1, ..., Ak i rettangoli che compongono A ∩ S, aventi tre lati su ∂S ed

uno su f . Usando i dischi meridiani che formano S possiamo spingere gli Ai fino

a farli stare pi`u in basso di x; questa isotopia elimina una mezza sella e crea una sella ed un mezzo centro.

Lemma 3.59. Sia P una superficie planare il cui bordo abbia almeno 2 compo-

nenti connesse. Sia h una funzione di Morse modulo ∂P costante su ∂P . Sia Φ_P la foliazione data dai livelli di h. Allora ΦP contiene una sella essenziale.

Dimostrazione. Senza perdita di generalit`a possiamo supporre h : P → [0, 1] e h(∂P ) = 0. Sia D(P ) il doppio di P ; su D(P ) consideriamo la funzione di Morse f data da h su P e da −h sulla copia speculare di P . Poich´e il genere di D(P ) `e

positivo, per il Lemma 3.27 la foliazione Φ_{D(P )} definita da f ha almeno due selle essenziali. Ma poich´e un bicollare dell’immagine di ∂P in D(P ) `e foliato in cir- conferenze, tali selle essenziali non possono intersecare ∂P . Quindi per simmetria una di esse `e contenuta in P .

Lemma 3.60. Se Φ_Ab non contiene mezze selle, contiene una sella tale che tutte le separatrici uscenti da essa terminano su ∂2A.b

Dimostrazione. Sia S l’insieme dei punti critici di h|f: vale |S| ≥ 2. Indichiamo

con bS il corrispondente sottoinsieme di bA; poich´e f `e eccezionale, | bS| ≥ 4 e bS

contiene solo mezzi centri. Scegliamo un intorno chiuso ¯η( bS) di bS in bA tale che bh

sia costante sulle componenti connesse di ∂ ¯η( bS). Definiamo B = bA \ ¯η( bS).

Sia B0 _{una copia di B, e bh|}0

B0 una copia di bh|B0. Poniamo ∂₂B = ∂₂A ∩ ∂B,b

e costruiamo il doppio D_∂2B(B). Consideriamo la funzione F : D(B) → [0, 1] definita incollando bh|_B0 e bh|0_B0: essa `e una funzione di Morse su D_∂2B(B) modulo ∂D_∂2B(B). Per il Lemma 3.59, la foliazione Φ_D

∂2B(B) data dai livelli di F contiene

una sella essenziale σ

Poich´e Φ_Ab non contiene mezze selle, il numero |σ ∩ [∂2B]| `e pari, ed il punto

di sella x appartiene o a B o a B0_{: senza perdita di generalit`a possiamo supporre}

che appartenga a B.

Abbiamo tre possibilit`a: 1. |σ ∩ [∂2B]| = 0;

2. |σ ∩ [∂₂B]| = 2;

3. |σ ∩ [∂₂B]| = 4.

Se dimostriamo che i primi due casi non possono verificarsi, avremo ottenuto la tesi.

Caso 1. Se |σ ∩ [∂2B]| = 0, allora σ ∩ ∂2A = ∅, e le separatrici formanob

due circonferenze parallele a ∂2A. Sia c quella pi`b u vicina a ∂2B, cio`e quella tale

che tagliando B lungo di essa si ottengono due componenti connesse, una delle quali contiene ∂₂B e l’altra contiene l’altra circonferenza contenuta in σ. Sia eB la

componente connessa di B \ c che contiene ∂2B. A meno di scegliere un’altra sella σ, possiamo supporre che Φ_D

∂2B(B)|B∩Be non contenga altre selle essenziali. Ma

e

B si ottiene da B rimuovendo una unione di fibre che forma un collare di ∂1A, eb

e

A ∩ eB non contiene mezze selle, pertanto per il Lemma 3.59 bB contiene una sella

essenziale, contro la scelta di σ.

Caso 2. Consideriamo ora il caso |σ ∩ [∂2B]| = 2. Poich´e ΦAb per ipotesi non

contiene mezze selle, le intersezioni appartengono alla parte interna di due delle separatrici. Le altre due separatrici formano una circonferenza parallela a ∂₂A.b

Allora tagliando lungo σ si ottengono un anello e due dischi D1, D2 tali che ∂Di

(per i = 1, 2) `e formato da sottoarchi di σ e di ∂ ¯η( bS), insieme con un insieme Bi

di sottoarchi di ∂₂B tali che ∂₂B = B₁∪ B₂.

Allora uno fra B1 e B2 contiene almeno quattro componenti connesse. Infatti,

consideriamo la sella essenziale σ0 _{in bA corrispondente a σ. Essa taglia bA in}

un anello e due dischi bD1 e bD2 corrispondenti a D1 e D2 (Figura 3.12). Di

conseguenza, ∂ bDi (per i = 1, 2) `e formato da sottoarchi di σ e da un insieme

bi di sottoarchi di ∂2A con bb 1 ∪ b2 = ∂2A. Inoltre, il numero di componentib

connesse di Bi `e uguale al numero di punti critici su bi pi`u uno. Poich´e f ha

almeno molteplicit`a due, bh ha almeno due massimi e due minimi su ∂2A. Ma bb i

b1 b2 σ b D1 b D2 ∂ bA Figura 3.12: I dischi bD1 e bD2.

contiene almeno tre. Quindi uno fra B1 e B2 contiene almeno quattro componenti

connesse.

Senza perdita di generalit`a, sia B1ad avere almeno quettro componenti connes-

se. Sia l il livello di h|_Aecontenente σ; tagliamo D1 lungo σ, e sia eD1 la risultante

componente connessa di D1\ σ il cui bordo contiene σ ∩ ∂D1.

Consideriamo il doppio D_{∂ eD1∩∂2B}( eD1). Esso `e una superficie planare con al-

meno due componenti di bordo (grazie alla scelta di B1), e la funzione indotta su

di esso da ˆh `e di Morse modulo ∂D_{∂ eD}

1∩∂2B( eD1). Allora per il Lemma 3.59 ΦDe1

contiene una sella essenziale, contro la scelta di σ.

Proposizione 3.61. Esiste un’isotopia di A rispetto a ∂1A in modo che Φ_Ab contenga una sella essenziale esterna sopra o sotto bA.

Dimostrazione. Grazie ai Lemmi 3.58 e 3.60, esiste un’isotopia di A rispetto a ∂A dopo la quale Φ_Ab contiene una sella σ tale che tutte le separatrici uscenti da

σ hanno un estremo su ∂₂A. Scegliamo σ in modo che nessuno dei dischi cheb

compongono bA \ σ contenga selle.

Se uno dei dischi che compongono bA \ σ non `e n´e alto n´e basso, troviamo una

foglia τ ⊂ Φ_Ab allo stesso livello di σ; essa `e quindi una foglia regolare.

Se τ `e una curva chiusa semplice, sia eA la componente connessa di D \ τ con-

tenente dei sottoarchi di σ. Costruiamo il doppio D_{∂ eA\(σ∪τ )}( eA); ad esso possiamo

applicare il Lemma 3.59 e trovare una sella essenziale σ0 _{⊂ Φ}

e

Se τ `e un arco con estremi su ∂2A, sia eb D la componente connessa di D \ τ che

contiene dei sottoarchi di σ. Allora il Lemma 3.59 applicato al doppio D_{∂ eD\(σ∪τ )}( eD)

mostra anche in questo caso l’esistenza di una sella essenziale σ0_{, contro la scelta}

di σ.

Proposizione 3.62. Sia f una fibra eccezionale di una variet`a di Seifert M

con bordo, e sia Σ una superficie di Heegaard per M . Allora Σ `e verticalmente riducibile in f .

Dimostrazione. Innanzitutto, con un’isotopia possiamo far s`ı che f non intersechi

i cuori dei 2-manici che compongono i compression body definiti da Σ, e sia h la funzione di Morse che definisce Σ. Allora ogni superficie di livello di h che intersechi f `e isotopa a Σ. Inoltre, mettiamo f in posizione magra rispetto a h.

Scegliamo un arco β contenuto nella base S di M avente un estremo coincidente con p(f ) e l’altro su ∂S; poniamo A = p−1_{(β), e sia bA l’anello che si immerge in}

M avente A come immagine. Grazie alla Proposizione 3.61, a meno di isotopia

troviamo una sella σ su A, che senza perdita di generalit`a possiamo supporre essere una sella essenziale esterna sotto A, e sia L = f−1_{(f (σ)). Chiamiamo D}−

1 e D−2 i

due dischi bassi e D+ il disco alto che si ottengono tagliando bA lungo σ.

s + D p₄ α4 p 3 p 2 p 1 α1 f1 f₂ f3 − D − D1 3 α α2

Figura 3.13: La sella essenziale σ.

Sia s il punto critico di σ. Poniamo (come in Figura 3.13) α2 = ∂D−1 ∩ ∂D+

e α3 = ∂D−2 ∩ ∂D+; chiamiamo α1 il sottoarco di ∂D−1 non contenuto in ∂D+

che collega s a ∂A e α4 il sottoarco di ∂D₂− non contenuto in ∂D+che collega s a ∂A. Indichiamo con pi l’estremo di αi su f , e siano f1 il sottoarco di f contenuto

in ∂D−₁ e f3 il sottoarco di f contenuto in ∂D−2; infine, sia f2 il sottoarco di f

contenuto in ∂D+_.

Poniamo γ1 = α1∪ α3 e γ2 = α2 ∪ α4, parametrizzati come archi. In A il

Dimostriamo che γ1 e γ2 sono curve chiuse in M , in particolare che p1 = p3 e p₂= p₄, e che f₁ = f₃.

Poich´e f (L) `e un livello contemporaneamente alto e basso per h, se ad esempio

p16= p3 possiamo diminuire l’ampiezza di f con un’isotopia come nel Lemma 1.25.

Analogamente non pu`o essere p2 6= p4. Inoltre, f1 e f3 contengono il minimo di h|f, mentre f2 ne contiene il massimo, per cui f1= f3.

Pertanto l’unione D−₁ ∪ D+ _{`e un disco che fornisce un’isotopia fra γ} 1 e f .

Poniamo ora eA = A\η(f ), e analogamante eD−₁ = D₁−∩ eA e eD₂−= D−₂ ∩ eA; inol-

tre sia ˜αi = αi∩ eA, per i = 1, ..., 4. Indichiamo con qi l’estremo di ˜αi appartenente

a ∂ eA, e con βi il sottoarco di ∂ eA che collega qi a qi+1.

Pur di aver scelto h in modo che abbia valori critici distinti da h|A, la superficie

L `e orientabile, pertanto esiste un intorno tubolare η(γ1) di γ1 omeomorfo ad un

anello. Quindi troviamo una nuova curva ˜γ₁ isotopa a γ tale che ˜γ₁ ∩ γ = ∅ e I(˜γ1, γ2) = ±1.

Poich´e f ∩ L = {p1, p2}, l’intersezione L ∩ η(f ) consiste di due dischi P1 e P2

(pur di aver scelto η(f ) abbastanza piccolo); gli archi β₁ e β₃ sono paralleli a f₁ in ∂ ¯η(f ), ed entrambi sono archi bassi rispetto a L. Invece β2 `e parallelo a f2 in ∂ ¯η(f ), ed `e un arco alto rispetto a L.

Consideriamo allora l’anello B = ¯η(f ) ∩ h−1_{([0, h(L)]): le curve β}

1∩ B e β3∩ B

separano B in due rettangoli, aventi i punti q1, per i = 1, ..., 4 come estremi.

Chiamiamo R il rettangolo cos`ı individuato e avente un lato, che chiamiamo κ1,

contenuto nella componente connessa di η(γ₁)\γ₁ non contenente ˜γ₁(Figura 3.14).

κ1 β κ2

1

2

β R

Figura 3.14: Gli archi κ1 e κ2.

Dimostriamo che possiamo alterare eD₁− fuori da un intorno di ˜γ1 in modo da

renderlo disgiunto da eD−₂.

Sia η(s) una palla che sia un intorno di s in M che non intersechi ˜γ₁; l’inter- sezione ∂ ¯η(s) ∩ ˜D−₁ contiene un arco τ1 che borda un disco D0 ⊂ ¯η(s) insieme con

un arco τ2⊂ L ∩ ∂ ¯η(s). Poniamo bD1 = ( eD−1 \ η(s)) ∪ D0.

Sia D− _{= bD}−

1 ∪ eD2−∪ R: poich´e ∂D−∩ ˜γ1 = (γ1∪ γ2) ∩ ˜γ1 = γ2∩ ˜γ1, vale

ancora I(∂D−_{, ˜γ}

1) = ±1. Quindi ∂D− `e una curva essenziale, e il disco D−`e un

disco basso per L essenziale tale che ∂D− _{interseca ˜γ}

1 trasversalmente ed in un

solo punto. Poich´e L `e isotopa a Σ e f `e isotopa a ˜γ1, applicando il Lemma 3.56

L D´ τ2 η(s) ∩ A e D1 τ1

Adesso possiamo dimostrare il seguente teorema, che caratterizza gli spezza- menti di Heegaard irriducibili delle variet`a di Seifert con bordo.

Teorema 3.63. Ogni spezzamento di Heegaard irriducibile di una 3-variet`a di

Seifert M con base F orientabile con ∂M 6= ∅ `e verticale.

Dimostrazione. Ragioniamo per induzione sul numero n di fibre eccezionali di M .

Se n = 0 per il Teorema 3.8 vale M = F × S1_{, e la tesi segue subito dal}

Teorema 3.49.

Se n > 0, sia f una fibra eccezionale. Per il Lemma 3.62 Σ `e verticalmen- te riducibile in f , cio`e troviamo un’isotopia dopo la quale Σ `e una superficie di Heegaard anche per la variet`a di Seifert con n − 1 fibre eccezionali M \ η(f ); lo spezzamento indotto su M \ η(f ) `e ancora irriducibile, in quanto una sfera in

M \ η(f ) che intersecasse Σ in una sola curva chiusa semplice essenziale sarebbe

anche una sfera in M con la stessa propriet`a. Per ipotesi induttiva, tale spezza- mento `e verticale. Per definizione Σ d`a uno spezzamento di Heegaard verticale di

Capitolo 4

Spezzamenti di Heegaard di

variet`a di Seifert chiuse

In questo capitolo vengono prima di tutto caratterizzati gli spezzamenti di Hee- gaard degli spazi lenticolari (Teorema 4.12). Prima di tutto una fibra eccezionale viene portata sulla superficie di Heegaard Σ (Lemma 4.5); dopodich´e si semplifica l’intersezione di Σ con una particolare superficie contenuta nella variet`a, al fine di ottenere uno spezzamento di Heegaard di un opportuno toro solido. Utilizzando la caratterizzazione delgi spezzamenti di Heegaard degli handlebody, si conclude che l’unico spezzamento irriducibile di uno spazio lenticolare ha genere 1, e questo `e verticale (Teorema 4.12).

Dopodich´e si tratta il caso pi`u generale di una variet`a di Seifert con base orientabile. Verr`a mostrato (Lemmi 4.13 e 4.14 e Proposizione 4.15) che se uno spezzamento di Heegaard `e fortemente irriducibile, si trova un’isotopia che porta una qualche fibra di M sulla superficie Σ. Rimuovendo da M un intorno di tale fibra, si analizzano le propriet`a della superficie Σ∗ cos`ı ottenuta, e, utilizzando le caratterizzazioni gi`a trovate per gli spazi lenticolari, per le variet`a F × S1 _e

per le variet`a di Seifert con bordo, si mostra che lo spezzamento definito da Σ `e orizzontale o verticale.

4.1

Spezzamenti di spazi lenticolari

Definizione 4.1. Fissati due interi coprimi p ≥ 3 e q > 0, siano V1 e V2 due copie di D2_{× S}1_{; scegliamo due interi r e s tali che qr − ps = −1, e definiamo} l’applicazione θ_p,q : ∂V₁ → ∂V₂ tale che θ_p,q(u, v) = (up_vr_{, u}q_vs_{). La variet`a}

ottenuta incollando V1 e V2 mediante θp,q si indica con L(p, q) e si chiama spazio

lenticolare.

Si dimostra che la variet`a ottenuta non dipende dalla scelta di r e s, nel senso che differenti scelte di r e s producono variet`a omeomorfe fra loro.

Teorema 4.2. Gli spazi lenticolari L(p, q) e L(p0_{, q}0_{) sono omeomorfi se e solo se}

p0_{= p e q}0 _{= ±q}±1_.

Dimostrazione. [FM], Teorema 4.4.

Osservazione 4.3. Nel seguito considereremo spazi lenticolari anche la variet`a

S3 _{e le variet`a S}2_{× S}1 _{e RP}3_{, ponendo L(1, 0) = S}3 _{ed anche L(0, 1) = S}2_{× S}1

e L(2, 1) = RP3.

In questa sezione saranno trattati gli spezzamenti di Heegaard degli spazi len- ticolari. Poich´e i casi L(1, 0) = S3 e L(0, 1) = S2× S1 sono trattati in [W], nel seguito supporremo p ≥ 2.

Fissiamo una presentazione dello spazio L(p, q) come incollamento di due tori solidi V1 e V2. Sia D1 = D2 × {1} ⊂ V1, e consideriamo il complesso

∆ ⊂ L(p, q) formato dall’unione di D1 con il sottoinsieme di V2 parametrizza-

to da S1_{× I 3 (z, ρ) 7→ (z}p_{, ρz}q_{) ∈ V}

2. Esso `e omeomorfo al quoziente di D2 per

la relazione di equivalenza:

z₁∼ z₂ ⇐⇒ z_i ∈ ∂D2 per i = 1, 2 e zp₁ = z₂p.

Definizione 4.4. Il complesso ∆ si chiama piano proiettivo generalizzato. La

curva Ω = S1_{× {0} ⊂ V}

2 si chiama curva singolare di ∆.

Dato uno spezzamento di Heegaard di L(p, q), sia h una funzione di Morse definita da tale spezzamento.

Lemma 4.5. Esiste un’isotopia di ∆ che porta Ω su Σ.

Dimostrazione. Grazie al risultato dimostrato in [Bon], riusciamo a mettere Σ in

una superficie di livello per h. Senza perdita di generalit`a supponiamo che tale livello sia pi`u alto del livello al quale si trova Σ. Allora possiamo fare una piccola isotopia che elimini eventuali intersezioni delle linee di flusso del gradiente di h uscenti dai punti di Ω con l’insieme dei punti critici di indice 2 di h. Allora facendo seguire a Ω tali linee di flusso otteniamo un’isotopia che la porta su Σ.

Osservazione 4.6. A meno di isotopia, possiamo far s`ı che esista un intorno tu-

bolare V di Ω omeomorfo a D2_×S1 _{tale che l’intersezione ∆∩Ω sia parametrizzata} dall’applicazione S1_{× [0, 1] 3 (z, ρ) 7→ (z}α_{, ρz}β_{) ∈ V per dei numeri interi α e β}

opportuni.

Consideriamo l’intersezione Σ ∩ (∆ \ Ω); le componenti connesse di tale in- tersezione sono archi e curve semplici chiuse. Il ragionamento che ora esponiamo fornir`a un’isotopia di Σ che ridurr`a l’intersezione ai soli archi.

Sia ∆1 l’unione delle componenti connesse di ∆ ∩ W1 che sono dischi non

intersecanti Ω, e U un intorno tubolare di ∆1 in W1. Per il Lemma 2.7, ogni

W₂

W₁

Ω ∆

Σ

Figura 4.1: I dischi componenti ∆1.

del complementare in L(p, q) della componente connessa di W1\ U contenente Ω

(Figure 4.1 e 4.2).

Consideriamo una copia parallela Σ0 _{⊂ W}

2 di Σ: essa d`a uno spezzamento di

Heegaard di M : infatti M \ Σ0 _{= W}0

1∪ W20, dove W20 si ottiene da W2 rimuovendo

un collare di Σ, e pertanto `e un handlebody, mentre W<sub>2</sub>0 si pu`o incollando a Σ × I i compression body M ∩ (W1\ U ). Σ´ W´₂ W´₁ M ∂ E Ω

Figura 4.2: I dischi componenti E e la superficie F0.

Sia E l’unione di tutte le componenti connesse di ∆∩ M omeomorfe ad un◦

disco.

Vale la seguente proposizione, che non dimostriamo essendo la dimostrazione, basata su un ragionamento di superfici planari, simile a quella del Teorema 2.26. Proposizione 4.7. Sia N una variet`a irriducibile con superficie di Heegaard G, e

S una superficie propriamente embedded le cui componenti connesse sono dischi. Allora con un’isotopia si pu`o far s`ı che ogni componente connessa di S intersechi G in al pi`u una curva chiusa semplice.

collare aperto di ∂M , e ponendo S = E ∩ N e G = Σ0_{, troviamo una superficie Σ}00

isotopa a Σ0 _{che interseca E in al pi`u una curva chiusa semplice.}

Siano allora W₁00 e W₂00 i compression body isotopi a W₁0 e W₂0 in cui Σ00 divide

M . Poich´e M `e irriducibile, possiamo supporre che E ∩ W00

1 sia incompressibile in W00

1

Osservazione 4.8. Dopo questa isotopia, la condizione Ω ⊂ Σ00 non `e garantita. Vogliamo quindi cercare di recuperarla.

Chiamiamo K ⊂ W00

1 l’unione delle linee del gradiente di f discendenti dai

punti critici di f ; con una piccola isotopia possiamo far s`ı che K ∩ Ω = ∅ e che l’intersezione K ∩ (∆ \ Ω) sia trasversale.

Lemma 4.9. Esiste una funzione di Morse f : W00

1 → [0, 1] avente punti critici di indice 1 solamente tale che le linee del flusso del gradiente di f discendenti da tali punti critici non intersechino E.

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che la superficie E∩ W◦₁00 `e formata da dischi ed anelli aperti incompressibili; la chiusura di E∩ W◦00

1 in W100 in generale

non sar`a formata da dischi ed anelli chiusi, a causa dei possibili incollamenti lungo Ω.

Sia V un collare di ∂M in W00

1, e sia W0 il compression body W100\ V . Allora E ∩W0consiste di dischi ed anelli quasi verticali essenziali propriamente embedded

in W0. Poniamo W = W0 e sia S l’unione delle componenti connesse di E ∩ W0

omeomorfe ad anelli, e applichiamo il Lemma 2.11: otteniamo una funzione di Morse f : W0→ [1/2, 1], e il flusso del gradiente di f uscente da K non interseca S.

Osserviamo che ∂₋W₀ `e incompressibile in W₀: pertanto il bordo di ogni disco

E0 che sia una componente connessa di E ∩ W0 borda un disco D0 in ∂−W0;

inoltre W `e irriducibile, pertanto E0∪ D0 borda una palla in W . Allora possiamo

modificare f con un’isotopia che fissi un intorno degli anelli che compongono

E ∩ W0 in modo che K non intersechi tali palle. In questo modo, K non interseca E ∩ W0.

Vogliamo ora estendere f a tutto W00

1. Sia D un disco di E; poich´e ∆ * Wi00

per i = 1, 2, vale ∂D * Ω, pertanto ∂D ∩ (Σ ∩ (∆ \ Ω)) 6= ∅ e consiste di punti che ammettono un intorno in E omeomorfo a {y ≥ 0} ⊂ R2_.

Allora, pur di scegliere V sufficientemente piccolo, troviamo in ogni compo- nente connessa di ∂−W0 un punto p tale che la fibra {p} × I ⊂ V non interseca E ∩ V . Muoviamo quindi f con un’isotopia in modo che ∂K ∩ ∂−W0 sia contenuto

nell’insieme di tali punti. Dopodich´e possiamo estendere f alla funzione di Morse cercata.

Utilizzando le linee del gradiente di f `e possibile spostare K con un’isotopia fino ad ottenere una superficie K0 ⊂ Σ00; quindi il bordo Σ1 del compression

a Σ00_{, e quindi a Σ. Inoltre, Σ}

1 coincide con Σ in un intorno Ω, pertanto la

condizione per la quale in un intorno V di Ω l’intersezione V ∩ ∆ `e parametrizzato da S1× [0, 1] 3 (z, ρ) 7→ (zα, ρzβ) ∈ V continua a valere. Infine, Σ1∩ E = ∅.

Consideriamo la decomposizione cellulare di ∆ \ Ω data dalle intersezioni di ∆ \ Ω con Σ1, e sia Γ il suo grafo duale. Coloriamo di nero i vertici di Γ corrispon-

denti a dischi contenuti in ∆ \ Ω che intersecano Ω, e di bianco gli altri. Inoltre diamo peso i ai vertici corrispondenti a dischi di ∆ \ Ω contenuti in W◦i.

Allo stesso modo associamo alla superficie Σ1 un grafo Γ1. Per costruzione, il

grafo Γ₁ si ottiene da Γ nel seguente modo:

1. Cancelliamo i lati di Γ corrispondenti alle intersezioni di F \ ∂M con ∆ \ Ω, e cancelliamo anche tutti i vertici che dopo questa operazione rimangono isolati. In questo modo, otteniamo il grafo Γ0 associato alla decomposizione di ∆ \ Ω data dalle intersezionoi con ∂M .

2. Ad ogni vertice di peso 2 di Γ0 _{corrispondente ad una componente di di}

(∆ \ Ω)∩ M attacchiamo un lato con un estremo colorato di nero per ogni◦

punto di K ∩ ∆.

Nel passaggio 1 abbiamo cancellato tutti i vertici neri di peso 1 di Γ; nel passaggio 2 i vertici neri sono stati aggiunti in modo da essere adiacenti soltanto a vertici bianchi gi`a adiacenti a vertici neri. Pertanto, se indichiamo con ρ(Γ) il massimo della distanza di un generico punto di Γ da un vertice bianco (rispetto alla usuale metrica su un grafo), e con ρ(Γ0_{) e ρ(Γ}

1) i corrispondenti valori per Γ0 e

Γ₁, vale ρ(Γ₁) ≤ ρ(Γ0_{) ≤ ρ(Γ). Inoltre, Γ}

1 non ha vertici di peso 1 a distanza ρ(Γ)

dall’insieme dei vertici bianchi, e alla stessa distanza ci sono al pi`u tanti vertici di peso 2 di quanti ne aveva Γ.

Allora ripetiamo il procedimento descritto scambiando i ruoli di W₁ e W₂: otteniamo una superficie Σ2 isotopa a Σ il cui grafo associato `e tale che valga ρ(Γ2) ≤ ρ(Γ1) ≤ ρ(Γ); inoltre Γ2 non ha vertici distanti pi`u di ρ(Γ) dall’insieme

dei vertici bianchi, pertanto ρ(Γ₂) < ρ(Γ). Allora ripetendo il procedimento un numero sufficiente di volte otteniamo una superficie Σn isotopa a Σ il cui grafo

Nel documento Spezzamenti di Heegaard di varietà di Seifert (pagine 72-95)