Lemma 3.18. Sia M una 3-variet`a compatta orientabile avente H1(M ) infinito. Allora M contiene una superficie propriamente embedded bilatera incompressibile che non sconnette M .
Dimostrazione. Per ipotesi esiste un epimorfismo ϕ di π1(M ) su Z, e pertanto
([A]), utilizzando una decomposizione cellulare di M contenente una sola 0-cella si trova una mappa f : M → S1tale che f
∗ = ϕ. Poniamo X = S1e Y = {y0} ∈ S1.
Allora possiamo applicare la Proposizione 1.3 e troviamo una mappa g : M → S1
omotopa a f tale che ogni componente connessa di g−1(y
0) `e una superficie pro-
priamente embedded bilatera e incompressibile in M ; poich´e g `e omotopa a f , vale
g∗ = ϕ, pertanto g−1(y0) 6= ∅.
Grazie alla condizione 2 della tesi della Proposizione 1.3, esiste un generatore
z di π1(S1) tale che ϕ([α]) = zn per [α] ∈ π
1(M ), dove n `e il numero algebrico
di intersezione fra α e g−1(y
0). Allora basta scegliere α tale che ϕ([α]) = z (`e
possibile perch´e ϕ `e suriettiva) affinch´e α intersechi g−1(y
0) un numero dispari di
volte Allora esiste una componente connessa di g−1(y
0) che interseca α un numero
dispari di volte, pertanto M \ g−1(y
0) `e connessa.
Sia M∗ una variet`a di Seifert con bordo connesso. Con le notazioni del Teore-
ma 3.14, l’elemento [d1] ha ordine infinito in π1(M∗) [π1(M∗),π1(M∗)]
∼
= H1(M∗), pertanto |H1(M∗)| = ∞. Grazie al Lemma 3.18, troviamo una superficie F propriamente
embedded 2-sided incompressibile tale che M∗\ F `e connessa.
Lemma 3.19. La variet`a M∗ `e un fibrato su S1 con fibra F .
Dimostrazione. Tagliamo M∗ lungo F , e chiamiamo R0 la variet`a cos`ı ottenuta.
Se dimostriamo che R0 `e omeomorfo a F × I avremo dimostrato che M∗ `e un
fibrato su S1 con fibra F .
In ∂R0 ci sono due copie F00 e F000 di F ; sia g0 : R0 → M∗ che mandi omeo-
morficamente R0\ (F00∪ F000) su M∗\ F , e F00, F000 omeomorficamente su F . Per
ogni n ∈ Z sia Rn una copia omeomorfa di R0, Fn0, Fn00 le corrispondenti copie di
F00, F000e gn la mappa corrispondente a g0. Per ogni n identifichiamo Fn−100 con Fn0
mediante gn|−1F0
n◦ gn−1; chiamiamo fM la variet`a cos`ı ottenuta, e Fnl’immagine co-
mune in fM di F0
ne Fn−100 . Chiamiamo p : fM → M∗ la mappa ottenuta incollando
le gn: Rn→ M∗; questa mappa `e un rivestimento. Il gruppo degli automorfismi
di questo rivestimento `e infinito ciclico, ed agisce transitivamente sulle fibre di f
M . Esso `e generato da un’applicazione τ : fM → fM tale che τ (Rn) = Rn+1 e
τ (Fn) = Fn+1; quindi π1(M
∗)
p∗π1( fM ) ∼
= hσi, e σ `e rappresentato da un cammino, che indichiamo ancora con σ, che interseca F trasversalmente ed in un solo punto x0.
Ogni sollevamento di σ `e un cammino in Rnche congiunge un punto exn−1∈ Fn−1
ad un punto exn∈ Fn.
Per dimostrare che R0 ∼= F × I, dimostreremo che π1(F0) → π1(R0) `e un
Poniamo fM−= S n<0Rn e fM+= S n≥0Rn; allora π1( fM ) = π1( fM−) ∗ π1(F0) π1( fM+).
Indichiamo con t la classe di omotopia di una fibra regolare di M∗, e con [t] la
classe di equivalenza di t in π1(M∗)
p∗π1( fM ).
Poich´e π1(M∗)
p∗π1( fM ) ∼
= hσi, troviamo un intero r ≥ tale che [t] = [σr] ∈ π1(M∗)
p∗π1( fM ). Sia y = tσ−r ∈ p
∗π1( fM ). Allora, grazie alla presentazione fornita dal Teorema 3.14, N = hti = hyσri `e centrale in π
1(M∗), pertanto per ogni z ∈ p∗π1( fM ) e per ogni m ∈ Z deve valere:
σm(yσr)σ−m= yσr = t. Poniamo ym = σ−myσm ∈ p
∗π1( fM ). Scegliamo un rappresentante ρ di y, e
scegliamo m in modo che il sollevamento di ρ con punto iniziale ex0 sia contenuto
in fM−∪ R0∪ ... ∪ Rm. Allora esiste una curva chiusa semplice α in fM−con punto
iniziale ex0 che rialza ym.
Fissiamo ora un’arbitraria curva semplice chiusa β in R0 con punto base ex0.
Sia γ un cammino in R0∪ ... ∪ Rr−1 con punto iniziale ex0 e punto finale exr tale
che [p ◦ γ] = σr. Consideriamo la curva
θ = β−1∗ (α ∗ γ) ∗ (τr◦ β) ∗ (α ∗ γ)−1.
Poich´e ymσr= t sta nel centro di π1( fM ), vale p∗([θ]) = 1, e quindi anche [θ] = 1.
Allora, poich´e le Fn sono incompressibili e θ ∩ Rr = τr ◦ β, grazie al fatto che
[θ] = 1 vale τr◦ β = 0 ∈ π
1(Rr; Fr). Quindi l’omomorfismo π1(Fr) → π1(Rr) `e
surgettivo, pertanto anche l’omomorfismo π1(F0) → π1(R0) `e surgettivo; esso `e
iniettivo in quanto F0 `e incompressibile in R0 (perch´e F `e incompressibile), e per
il Teorema 1.19 R0 `e omeomorfa al prodotto F0× I.
Osservazione 3.20. Abbiamo dimostrato che se M `e una variet`a di Seifert tale che |H1(M )| = ∞, essa ammette una struttura di fibrato con base S1.
Sia allora F una fibra della fibrazione di M∗ su S1; allora H1∗ = ¯η(F ) ⊂ M∗
e H∗
2 = M∗ \ η(F ) sono handlebody, in quanto sono omeomorfi a F × I. Essi
sono attaccati l’uno all’altro lungo i rispettivi bordi, ad eccezione di due anelli
Ai ⊂ ∂Hi∗ che formano il toro di bordo. Praticando un riempimento di questo
toro mediante un toro solido opportunamente fibrato V si ottiene una variet`a di Seifert; chiamiamo h : ∂V → ∂M l’omeomorfismo che realizza questo riempimen- to, e poniamo H1 = H1∗ e H2 = H2∗ ∪ V . Affinch´e anche H2 sia un handlebody
`e necessario e sufficiente che, detto σ un generatore di π1(h−1(A1)), l’elemento hh∗(σ)i sia un generatore di π1(∂M ). Fissato su ∂M∗ il framing determinato da c = ∂F (e f una fibra di ∂M∗), e su ∂V il framing determinato da ∂A1 (V `e un
toro solido, quindi il meridiano di V `e univocamente determinato), occorre e basta che la matrice di h∗ sia
µ 1 0
n 1
¶
Definizione 3.21. Sia M una variet`a di Seifert, e fi una sua fibra. Sia F una
fibra della fibrazione M∗ = M \ η(f
i) → S1; se M si ottiene da M∗ mediante
un riempimento di tipo (1, n), lo spezzamento di Heegaard costruito sopra si dice
orizzontale.
Generalizzando il ragionamento utilizzato per dimostrare il Lemma 3.19 si possono dimostrare i seguenti teoremi.
Teorema 3.22. Sia M una variet`a di Seifert. Essa ammette una struttura di
fibrato F ×φS1, con φ : F → F omeomorfismo periodico, se e solo se t ∈ π1(M ) ha ordine infinito in π1(M )
[π1(M ),π1(M )] ∼
= H1(M ) oppure M `e un fibrato con fibra S1 e base un toro, o una bottiglia di Klein, o un nastro di M¨obius.
Dimostrazione. [J], Teorema VI.32.
Teorema 3.23. Sia M una variet`a di Seifert. Se F ⊂ M `e una superficie
incompressibile a due facce, vale una delle seguenti alternative:
1. F `e un disco o un anello, ed `e parallela ad un disco o un anello contenuto in ∂M ;
2. F non separa M ed `e una fibra di una fibrazione di M con base S1;
3. F separa M , vale M = M1∪ M2 con M1∩ M2 = ∂M1 = ∂M2 = F e Mi `e un I-fibrato twisted con base una superficie compatta, e le fibre di M come variet`a di Seifert si ottengono incollando le fibre di M1 e M2 come I-fibrati; 4. F `e un anello o un toro ed `e satura in una opportuna fibrazione di Seifert
di M .
Dimostrazione. [J], Teorema VI.34.
Mentre risulta chiaro dalla definizione che ogni variet`a di Seifert con base orien- tabile ammette uno spezzamento verticale, non `e cos`ı chiaro se una data variet`a di Seifert ammetta o meno uno spezzamento orizzontale. Il teorema seguente fornisce una condizione necessaria e sufficiente all’esistenza di uno spezzamento orizzontale.
Teorema 3.24. Sia M una variet`a di Seifert chiusa con base orientabile S. `E possibile costruire uno spezzamento orizzontale a partire da una fibra f se e solo se f rappresenta una classe di omologia banale in H1(M ).
Dimostrazione. Se a partire dalla fibra f si costruisce uno spezzamento orizzontale, f e ∂F cobordano un anello, pertanto f `e omologa a ∂F in M , che `e ovviamente
omologa a 0.
Viceversa, Se [f ] = 0 ∈ H1(M ), sia S0 una superficie bordata da f ; a meno di
comprimere S0, possiamo supporre S0 incompressibile. Se rimuoviamo un intorno di f da M otteniamo una variet`a di Seifert M∗. Applichiamo il Teorema 3.23 alla
superficie S = S0∩M∗; la possibilit`a 3 non pu`o verificarsi, altrimenti S sarebbe un
rivestimento doppio connesso della base B degli I-fibrati che compongono M∗\ S:
in tal caso B sarebbe non orientabile, ma intersecherebbe trasversalmente le fibra di M∗, contro l’ipotesi che la base di M∗ sia orientabile. Allora S `e una fibra
di una fibrazione di M∗ sopra S1, e costruiamo uno spezzamento di Heegaard
orizzontale.