Risultati al variare del numero di Reynolds

Concludiamo la trattazione del caso bidimensionale ritornando alla con- formazione originale (cioè quella con displacement nullo) ed esaminando i risultati del problema di controllo ottimo al variare del numero di Reynolds. Ricordiamo che il numero di Reynolds (indicato con Re) è un gruppo adi- mensionale proporzionale al rapporto tra forze d’inerzia e forze viscose che permette di valutare se un flusso si trova in regime laminare o turbolento. Esso si calcola come:

Re = U L ν ,

dove U e L sono rispettivamente velocità e dimensione caratteristica del flusso. Nel caso in esame possiamo porre U = g = 1 m/s e L = 1 m, dato che sia l’altezza del rettangolo che il diametro del cerchio sono pari a 1 m.

(a) Differenza tra velocità calcolata e velocità obiettivo per displacement=0.5

(b) Differenza tra pressione calcolata e pressione obiettivo per displacement=0.5

(c) Differenza tra velocità calcolata e velocità obiettivo per displacement=1

(d) Differenza tra pressione calcolata e pressione obiettivo per displacement=1

(e) Differenza tra velocità calcolata e velocità obiettivo per displacement=1.5

(f) Differenza tra pressione calcolata e pressione obiettivo per displacement=1.5

Figura 4.21: Differenza in velocità e pressione tra soluzione calcolata e soluzione obiettivo per diversi valori di displacement, caso 2D

Nelle sezioni precedenti, avendo posto ν = 0.1 m2/s, abbiamo trattato casi con Re = 10. In questa sezione vogliamo aumentare tale valore dimi- nuendo la viscosità cinematica ν, limitandoci però per semplicità a casi in cui il flusso sia ancora laminare e non sia necessario introdurre modelli di turbolenza. Si noti che la soluzione fisica in questi casi non sarà stazionaria, in quanto il numero di Reynolds critico è pari a circa 40 per un cilindro. Si avrà invece una soluzione con distacco periodico di vortici (scia di von Kármán). Ciò nonostante, l’analisi qui presentata utilizza il solutore stazio- nario introdotto nel capitolo 2 per limitare la complessità computazionale. È infatti interessante valutare le performance del problema di controllo in esame all’aumentare del numero di Reynolds, dato che nelle configurazioni studiate nel capitolo 1 si arriva a valori dell’ordine di 106.

Per fare ciò è necessario modificare i problemi discreti (2.21) e (2.23). Al diminuire della viscosità cinematica infatti il termine di trasporto di tali equazioni diventa dominante, dando origine a instabilità numeriche. Per far fronte a questo problema vi sono due possibili soluzioni. La prima consiste nel ridurre la massima dimensione delle celle che compongono la griglia di calcolo. Tale soluzione non è praticabile, in quanto i tempi di calcolo diventerebbero troppo alti. La seconda è invece l’utilizzo di un metodo di stabilizzazione numerica del problema discreto.

Si pone però a questo punto un problema di natura teorica. Da una par- te sembrerebbe infatti naturale stabilizzare il problema primale dopo aver calcolato l’aggiunto (approccio “ottimizzare-poi-stabilizzare”): dopo tutto la stabilizzazione non è altro che un artificio numerico utilizzato per eliminare le oscillazioni nella soluzione discreta dovute ad un campo di trasporto do- minante rispetto al coefficiente di diffusione. D’altra parte l’utilizzo di una qualunque stabilizzazione, anche nel caso in cui si usino metodi fortemente consistenti come GaLS o SUPG (si veda [Qua08]), introduce una discre- panza fra la soluzione stabilizzata e quella non stabilizzata che si annulla solo al limite per h → 0, dove con h si è indicata la dimensione caratte- ristica della griglia di calcolo. Questo provoca un’incongruenza nel calcolo del gradiente del funzionale costo, su cui si basa il calcolo della direzione di ricerca nell’algoritmo di minimizzazione: si potrebbe verificare allora che tale gradiente non sia una direzione di discesa per il funzionale o che la la- grangiana non abbia gradiente nullo nel punto in cui il suo valore è minimo ([Gun03]). Chiaramente l’entità di questo problema si riduce diminuendo la dimensione caratteristica h della triangolazione, ma questo è esattamente ciò che stiamo cercando di evitare. Per risolvere questa inconsistenza bisogna dunque inserire il termine di stabilizzazione nell’equazione primale prima di calcolarne le derivate per determinare il problema aggiunto e il principio di minimo (approccio “stabilizzare-poi-ottimizzare”), cosa che rende tali calcoli piuttosto laboriosi nel caso dei metodi di stabilizzazione citati.

Per semplicità si è quindi deciso di stabilizzare il problema utilizzando una stabilizzazione di tipo diffusione artificiale ([Qua08]): per ogni cella K

nella triangolazione Th definita sul dominio Ω si aggiunge al valore fisico di ν una diffusività artificiale ˜νK definita come

˜ νK= δ

h2_K ν ,

dove con hK si è indicata la dimensione caratteristica della K-esima cella di griglia. Questa stabilizzazione è del tutto trasparente per quanto riguarda il calcolo del problema aggiunto e del principio di minimo, in quanto essa richiede solo di modificare la diffusività aggiungendovi un termine indipen- dente dalla soluzione del problema primale. Basterà dunque modificare i problemi (2.21) e (2.23) cambiando il valore di ν. Tali problemi diventano quindi rispettivamente:

Determinare u_h ∈ V_h, p_h∈ Q_h tali che u_h|_Γ

d= ud, h e                    Z Ω ν ∇uh : ∇vhdΩ + X K∈Th Z K ˜ νK∇uh : ∇vhdΩ + Z Ω (uh· ∇) uhvhdΩ − Z Ω ph∇ · vhdΩ = 0 , ∀ vh∈ V0, h, Z Ω qh∇ · uhdΩ = 0 , ∀ qh∈ Qh, e

Determinare ξ_h ∈ H_h, θ_h ∈ Φ_h tali che

                             Z Ω ν ∇ξ_h: ∇η_hdΩ + X K∈Th Z K ˜ νK∇ξh: ∇ηhdΩ + Z Ω  ∇T_u h  · ξ_hη_hdΩ − Z Ω (u_h· ∇) ξ_hη_hdΩ − Z Ω θh∇ · ηhdΩ = Z Ω Fu, h· ηhdΩ , ∀ ηh ∈ Hh, Z Ω ϕh∇ · ξhdΩ = Z Ω Fp, hϕhdΩ , ∀ ϕh ∈ Φh.

Nelle figure 4.22, 4.23 e 4.24 sono riportati i confronti tra le soluzioni obiettivo e quelle ricostruite rispettivamente per viscosità cinematica ν pari a 0.01, 0.001 e 0.0001 (cioè per valori di Re pari a 100, 1000 e 10000). Notiamo che al di fuori di Ω0 (che è ancora definito come in figura 2.1) i

valori ricostruiti sono molto diversi da quelli obiettivo, mentre all’interno della regione di controllo si ha anche in questi casi un buon matching: le strutture vorticose a monte del cerchio sono infatti ben ricostruite, così come la scia a valle del cerchio stesso.

Ciò è evidenziato anche dalla tabella 4.2 (rappresentata graficamente in figura 4.25), in cui mostriamo i valori della resistenza sul cerchio al variare

Figura 4.22: Confronto tra soluzione obiettivo e soluzione ricostruita per ν = 0.01, caso 2D. Prima riga: soluzione obiettivo. Seconda riga: soluzione ricostruita

Figura 4.23: Confronto tra soluzione obiettivo e soluzione ricostruita per ν = 0.001, caso 2D. Prima riga: soluzione obiettivo. Seconda riga: soluzione ricostruita

Figura 4.24: Confronto tra soluzione obiettivo e soluzione ricostruita per ν = 0.0001, caso 2D. Prima riga: soluzione obiettivo. Seconda riga: soluzione ricostruita

valori obiettivo caso controllato caso non controllato Re = 10 resistenza 0.515657 0.557673 1.91243 portanza 0.00419049 0.00957716 0.0127759 Re = 100 resistenza -0.308211 -0.203613 0.725071 portanza -0.000967559 -0.000503508 0.00085036 Re = 1000 resistenza -0.37428 -0.268748 0.528314 portanza -0.00643643 -0.00660284 -0.004525 Re = 10000 resistenza -0.403416 -0.278911 0.490592 portanza -0.00688689 -0.00598224 -0.00595729 Tabella 4.2: Confronto tra le forze ottenute e le forze obiettivo al variare di ν, caso 2D

di ν. Si noti che, mentre la portanza rimane ancora nulla, i valori obiettivo per quanto riguarda la resistenza diventano negativi per Re > 10. Ciò è dovuto al fatto che al diminuire della viscosità cinematica la scia dovuta alla presenza dell’ostacolo (il rettangolo) si allunga e il cerchio cade allora al suo interno, come succedeva nel capitolo 1. È allora interessante osservare che i campi di velocità e pressione ricostruiti dal problema di controllo riescono a cogliere questo fatto, dando a loro volta risultati negativi per la resistenza, a differenza di quanto risulterebbe dal problema non controllato.

Infine, in figura 4.26, riportiamo i valori del controllo ottimo al variare del numero di Reynolds. Notiamo che il controllo ottimo diventa più oscillante all’aumentare di Re. Ciò è dovuto al fatto che per Re > 10 è necessario ricostruire non solo i vortici a monte del cerchio ma anche quelli a valle.