Vogliamo prima di tutto analizzare il comportamento della soluzione ot- tima al variare di σ2, per confrontarlo con quanto discusso in sezione 4.1.4. Poniamo quindi σ1 = 1 e σ3 = σ4 = 0.0001, così che il paragone con il caso bidimensionale sia significativo. I valori delle forze al variare di σ2 sono ri-
portati in figura 4.30. A differenza di quanto visto nel caso bidimensionale in sezione 4.1.4, non sembra esserci una soglia oltre la quale si ha un crollo della capacità della soluzione ottima di ricostruire la soluzione obiettivo. Questo è dovuto al fatto che nel caso tridimensionale il flusso non è più vincolato a restare su di un singolo piano, cosa che dà maggiore “libertà” alla soluzione ottima. Grazie a questo fatto è allora possibile imporre una penalizzazione più forte sulla differenza in pressione ottenendo quindi una soluzione molto più vicina all’obiettivo, dal punto di vista delle forze, di quanto fosse pos- sibile nel caso bidimensionale, senza per questo rinunciare alla precisione nel calcolo del campo di velocità. Si può infatti notare dal grafico riportato in figura 4.31 che le due componenti di matching del funzionale obiettivo rimangono circa costanti al variare di σ2.
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 5 7.5 8 9 10 15 20 30 40 50 100 sigma_2 F_x ricostruita F_x obiettivo F_y ricostruita F_y obiettivo F_z ricostruita F_z obiettivo
Figura 4.30: Confronto tra forze calcolate e forze obiettivo al variare di σ2,
con σ1 = 1 e σ3= σ4= 0.0001, caso 3D 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 5 7.5 8 9 10 15 20 30 40 50 sigma_2
componente di velocità del funzionale componente di pressione del funzionale
Figura 4.31: Valore delle componenti di velocità e pressione del funzionale a convergenza al variare di σ2, con σ1 = 1 e σ3= σ4= 0.0001, caso 3D
valori obiettivo caso controllato caso non controllato Fx 0.449274 0.445618 0.86113 Fy 0.0725258 0.0697413 0.188845 Fz -0.00144147 -0.00130229 -0.000929081
Tabella 4.3: Confronto tra le forze ottenute e le forze obiettivo per σ1 = 1,
σ2 = 30 e σ3 = σ4 = 0.0001, caso 3D
4.2.4 Confronto con la soluzione obiettivo
Mostriamo infine i risultati ottenuti nel caso con σ2 = 30 il migliore fra
quelli riportati, confrontandoli con quanto ottenuto nel caso non controllato (cioè quello in cui si è posto condizione di inflow uniforme g = 1 m/s).
Il valore del controllo ottimo in tale caso è riportato in figura 4.34 Notia- mo che, analogamente a quanto visto nel caso bidimensionale, la condizione al bordo ottima rispecchia quello che l’oggetto di interesse “vede”: la ve- locità di ingresso ha massimo in corrispondenza dei bordi dell’ostacolo e si abbatte nel mezzo.
Nelle figure 4.32 e 4.33 riportiamo le soluzioni ottenute rispettivamente nel caso controllato e nel caso a inflow uniforme. I valori delle forze sulla semisfera sono riportati invece in tabella 4.3 e rappresentati in figura 4.35. Si noti che, nonostante gli ottimi risultati ottenuti per quanto riguarda le forze e le differenze tra soluzione calcolata e soluzione obiettivo, nella soluzione trovata a partire dalla condizione di inflow ottima non vengono individuate le strutture vorticose a monte della semisfera. La soluzione è comunque significativamente migliore rispetto al caso non controllato.
Figura 4.32: Soluzione controllata sul dominio con ostacolo parziale per σ1 = 1, σ2 = 30 e σ3 = σ4 = 0.0001, caso 3D
Figura 4.33: Soluzione non controllata sul dominio con ostacolo parziale, caso 3D
Figura 4.34: Valore del controllo ottimo g (y, z) per σ1 = 1, σ2 = 30 e σ3 = σ4 = 0.0001, caso 3D 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fx Fy obiettivo caso controllato caso non controllato
In questa tesi si è analizzato il ruolo del parabrezza nel calcolo del flusso attorno a un casco da motocicletta. A partire dai risultati ottenuti nelle simulazioni fluidodinamiche dirette si è formulato un problema di controllo che consentisse di ricostruire l’effetto del parabrezza attraverso un’opportuna condizione al bordo.
Le simulazioni fluidodinamiche presentate nel capitolo 1 hanno eviden- ziato che, come ci si può aspettare, il parabrezza ha un ruolo fondamentale nel determinare la soluzione attorno al casco. Esso è infatti sostanzialmente un ostacolo piano posto in direzione ortogonale al flusso, che provoca un distaccamento importante della scia a valle. Il flusso che investe il casco è allora determinato in larga parte dalla presenza di questo ostacolo, come mostrato dalle simulazioni effettuate sul solo sotto-dominio posteriore conte- nente il motociclista. I risultati ottenuti in questa configurazione sono infatti molto vicini a quelli ottenuti nelle simulazioni sul dominio completo com- posto da sotto-dominio anteriore contenente il parabrezza e sotto-dominio posteriore contenente il motociclista, sia che si imponga come condizione al contorno sul bordo di inflow del sotto-dominio posteriore il campo di ve- locità derivante dalla simulazione sul dominio completo sia che si utilizzi invece la soluzione ottenuta sul dominio composto da sotto-dominio anterio- re contenente il parabrezza e sotto-dominio posteriore vuoto. Ciò dimostra che, al contrario, la presenza del casco a valle del parabrezza ha influenza minima sulla soluzione attorno al parabrezza stesso, in particolare nella con- figurazione scooter, in cui casco e parabrezza sono più lontani rispetto alla configurazione touring. Bisogna però far notare che il modello di casco uti- lizzato per le simulazioni in questo lavoro è stato notevolmente semplificato per ridurre i tempi di calcolo e i risultati sono da considerarsi affidabili solo dal punto di vista qualitativo. Un primo possibile sviluppo futuro potrebbe essere quindi ripetere le simulazioni effettuate in questa tesi utilizzando una geometria più complessa per avere un riscontro anche quantitativo di ciò che si è fin qui affermato.
L’introduzione del parabrezza ha due importanti conseguenze sulla pro- cedura di simulazione: la prima è la necessità di ricreare le griglie usate per la soluzione numerica; la seconda è un aumento non trascurabile dei tempi di calcolo necessari dovuto all’aumento delle dimensioni della mesh. La griglia
deve infatti essere molto raffinata in prossimità della parete a causa dell’alto numero di Reynolds che caratterizza il problema in esame. Per far fronte a queste problematiche, nel capitolo 2 si è formulato un problema di controllo ottimo che mira a sostituire la presenza del parabrezza con un’opportuna condizione al contorno sul bordo di inflow che permetta di ricostruire in modo sufficientemente accurato il flusso attorno al casco senza introdurre fisicamente il parabrezza nel dominio di calcolo. Anche per tale problema di controllo si è scelto di ridurre il costo computazionale necessario per le si- mulazioni semplificando la geometria considerata e rinunciando alla validità quantitativa in favore di una maggior agilità nello studio dei punti critici di tale problema. A partire dal caso semplificato studiato si sono potute trar- re comunque molte indicazioni che possono guidare lo sviluppo successivo. L’approccio presentato mostra infatti buone potenzialità: a patto di sceglie- re i parametri del problema in modo opportuno, la soluzione sul dominio senza ostacolo ricostruisce con buona approssimazione la soluzione obiettivo qualitativamente e quantitativamente, sia per quanto riguarda i valori pun- tuali di velocità e pressione che dal punto di vista dei valori integrali, quali le forze esercitate dal fluido sull’oggetto di interesse. Sarà allora interessante provare a estendere quanto fatto al caso reale da cui questa tesi ha avuto origine.
Oltre all’aumento delle risorse di calcolo richieste dovuto alla maggior complessità della geometria, sarà necessario affrontare il problema aggiunti- vo della modellazione della turbolenza (in particolare nella derivazione del problema aggiunto) quando il numero di Reynolds diventa troppo grande per consentire il calcolo della soluzione attraverso un metodo DNS. Utiliz- zando un modello di turbolenza, quale ad esempio il k − ε, sarebbe infatti necessario modificare il problema aggiunto per tenere conto dei termini ag- giuntivi inseriti nell’equazione di stato. Ciò rende però molto complicato il calcolo dell’aggiunto. L’approccio frozen turbulence cerca di ovviare a que- sto problema trascurando le variazioni della viscosità turbolenta quando si deriva il problema aggiunto, nonostante questa ipotesi sia ovviamente ve- rificata solo per flussi in regime laminare. Anche se di facile utilizzo, tale approccio rimane quindi poco rigoroso dal punto di vista teorico e sarebbe interessante analizzarne le performance e il comportamento una volta ap- plicato al problema di controllo presentato in questa tesi, confrontando i risultati con quanto ottenuto attraverso un approccio in cui l’aggiunto viene calcolato considerando anche le variazioni della viscosità turbolenta. Per maggiori dettagli sull’approccio frozen turbulence e considerazioni sulla sua validità si veda ad esempio [PKZK+], [Oth08] e [DB06].
Per fare tutto ciò sarà necessario modificare la libreria sviluppata in mo- do da consentire la soluzione parallela dei sistemi algebrici derivanti dalla discretizzazione delle equazioni alle derivate parziali presenti nel problema continuo che devono essere risolti ad ogni passo della procedura di minimiz- zazione. Solo sfruttando appieno le performance dei moderni cluster di calco-
lo (che presentano architetture multi-macchina oltre che multi-processore) sarà infatti possibile ridurre i tempi di calcolo, altrimenti estremamente lunghi.
Un altro aspetto che sarà interessante investigare è l’utilizzo di metodi di discesa diversi da quello qui esposto e usato. Il metodo del gradiente non garantisce infatti un’elevata velocità di convergenza, cosa che provoca l’aumento del tempo di calcolo necessario, dato che i problemi primale e aggiunto vanno risolti una o più volte ad ogni iterazione del ciclo di mini- mizzazione. Utilizzando invece algoritmi con ordine di convergenza più alto, quali il metodo di Newton o uno dei metodi quasi-Newton, si potrebbe ri- durre di molto il numero delle iterazioni necessarie per determinare il punto di minimo e quindi anche i tempi di calcolo.
Vorrei prima di tutto ringraziare il mio relatore, Nicola Parolini, per essere stato sempre presente con incredibile disponibilità e pazienza, per i consigli, le correzioni, i chiarimenti, l’aiuto e il sostegno che mi ha dato durante tutta questa tesi. Un altro grandissimo grazie va a Matteo Longoni, per tutto il tempo speso fra mesh, modelli CAD e simulazioni. Ringrazio inoltre Nolangroup che mi ha dato la possibilità di lavorare e approfondire le mie conoscenze in un ambito che mi ha sempre affascinato.
Ringrazio poi, in ordine più o meno casuale:
Alessandro, perché ci conosciamo praticamente dal primo giorno di questa mirabolante avventura, per la nostra routine pre-esame e anche (o soprattut- to?) perché coglie tutte le citazioni che non riesco a fare a meno di mettere in ogni mia frase (“. . . vieni a casa mia!. . . ”); Irene, per avermi supportato, sopportato, incoraggiato e rincuorato durante questi cinque anni, e perché senza di lei non sarei la persona che sono oggi; Stefano, perché di compagni di banco/partner di simulazioni così ormai non ne fanno più e sono stato davvero fortunato a trovare uno degli ultimi in circolazione; Nicholas, perché come si fa a non amare una persona il cui primo pensiero davanti a un giar- dino pieno di neve da spalare è “se solo potessi fare sudo shovel -R *”?; Rachele, per le serate trash al cinema che mi hanno salvato nei momenti in cui pensavo che non ce l’avrei mai fatta; i miei coinquilini, ormai due fratelli acquisiti: Alberto, il mio pusher di serie TV preferito, per le discussioni filo- sofiche a cena e Nicolò per essere stato un fantastico compagno di stanza (e per le gelmo-categories); Giacomo, Matteo e Marco, amici di sempre, per le serate alcoliche, le risate, i tornei a PES ma soprattutto per avermi sempre capito quando davo buca per studiare (ed è successo fin troppo spesso!) e per esserci sempre stati quando riemergevo dopo la sessione d’esami, senza mai farmelo pesare.
Infine, last but definitely not least, mia madre, quasi sovrumana nel suo riuscire ad avere sempre tempo e un sorriso per tutti; mio padre, perché non c’è niente che non farebbe pur di vedermi felice, anche se spesso do per scon- tati i suoi piccoli gesti quotidiani; Lorenzo, tenerone barricato dietro a una scorza da finto duro, perché è semplicemente il miglior fratello del mondo; Rossana, che accorre sempre in mio soccorso nei momenti più dispa(e)rati.
[DB06] Richard Dwight and Joel Brezillon. Effect of Various Approxi- mations of the Discrete Adjoint on Gradient-Based Optimiza- tion. 44th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, pages 9–12, January 2006.
[Ded07] L Dede. Optimal flow control for Navier–Stokes equations: drag minimization. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 55(4):347–366, 2007.
[FGH98] a. V. Fursikov, M. D. Gunzburger, and L. S. Hou. Boundary Value Problems and Optimal Boundary Control for the Navier– Stokes System: the Two-Dimensional Case. SIAM Journal on Control and Optimization, 36(3):852–894, May 1998.
[FP96] JH Ferziger and M Perić. Computational methods for fluid dynamics. 3 edition, 1996.
[GMZ08] Z M Gao, Y C Ma, and H W Zhuang. Shape optimiza- tion for Navier–Stokes flow. Inverse Problems in Science and Engineering, 16(5):583–616, 2008.
[Gun00] M Gunzburger. Adjoint equation-based methods for control pro- blems in incompressible, viscous flows. Flow, Turbulence and Combustion, pages 249–272, 2000.
[Gun03] MD Gunzburger. Perspectives in flow control and optimization. SIAM, 2003.
[HGM+00] J.-W. He, R. Glowinski, R. Metcalfe, a. Nordlander, and J. Pe- riaux. Active Control and Drag Optimization for Flow Pa- st a Circular Cylinder. Journal of Computational Physics, 163(1):83–117, September 2000.
[HKL+11] Johan Hake, Robert C Kirby, Hans Petter Langtangen, Anders Logg, and Garth N Wells. The FEniCS Manual. 2011.
[HP05] A Henrot and M Pierre. Variation et optimisation de forme. Springer-v edition, 2005.
[Lio71] J L Lions. Optimal control of systems governed by par- tial differential equations. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, 1971.
[LNHL00] Zhijin Li, IM Navon, YM Hussaini, and FX LeDimet. Optimal control of the unsteady Navier–Stokes equations. Computers & Fluids, pages 1–33, 2000.
[Lon11] Matteo Longoni. Modellazione e simulazione numerica di un casco da moto. Technical report, MOXOFF, 2011.
[MHC+10] Ken Martin, Bill Hoffman, Andy Cedilnik, Brad King, and Alex Nuendorf. Mastering CMake: A cross-platform build system. Kitware Incorporated, 2010.
[MP93] Bijan Mohammadi and Olivier Pironneau. Analysis of the k- epsilon turbulence model. Wiley New York, 1993.
[MP04] Bijan Mohammadi and Olivier Pironneau. Shape Optimiza- tion in Fluid Mechanics. Annual Review of Fluid Mechanics, 36(1):255–279, January 2004.
[NW99] Jorge Nocedal and Stephen J Wright. Numerical Optimiza- tion. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer-Verlag, New York, 1999.
[Oth08] C Othmer. A continuous adjoint formulation for the com- putation of topological and surface sensitivities of ducted flo- ws. International Journal for Numerical Methods in Fluids, (March):861–877, 2008.
[PKZK+] E M Papoutsis-Kiachagias, A S Zymaris, I S Kavvadias, D I Papadimitriou, and K C Giannakoglou. The continuous ad- joint approach to the k– turbulence model for shape optimiza- tion and optimal active control of turbulent flows. Engineering Optimization, 0(0):1–20.
[PR07] M Pošta and T Roubíček. Optimal control of Navier–Stokes equations by Oseen approximation. Computers & Mathematics With Applications, 2007.
[Qua08] A Quarteroni. Modellistica numerica per problemi differenziali. Springer, Milan, 4 edition, 2008.
[Sal10] Sandro Salsa. Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni. Springer, 2010.