Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione
Tesi di Laurea Magistrale in Ingegneria Matematica
Analisi fluidodinamica dell’influenza del
parabrezza sul flusso attorno ad un casco da
motocicletta
Candidato:
Mattia Tamellini matr. 782253
Relatore:
Dott. Nicola Parolini
Correlatore:
Ing. Matteo Longoni
DON’T PANIC! Douglas Adams, “The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy”
Sommario
In questa tesi si è analizzato l’effetto della presenza del parabrezza sul flusso attorno a un casco da motocicletta. A tal fine sono state effettuate del-le simulazioni numeriche per studiare il comportamento della soluzione al variare di alcuni parametri di interesse, quali l’assetto del motociclista e il tipo di parabrezza utilizzato. Quindi si è formulato un problema di controllo ottimo nell’ottica di tener conto della presenza del parabrezza con un’op-portuna condizione al contorno sul bordo di inflow del dominio. I risultati riportati sono stati ottenuti in un caso semplificato dal punto di vista geo-metrico ma il problema è stato sviluppato in termini del tutto generali ed è quindi estendibile a geometrie più complesse.
Abstract
In this work the effect of the presence of a windshield on the flow around a motorcycle helmet was studied. In order to do so, some numerical simula-tions have been carried out to analyse the behaviour of the solution upon the variation of different design parameters, such as the rider driving posi-tion and the shape of the windshield. We then developed an optimal control problem that aimed at replacing the presence of the windshield with a suit-able boundary condition on the domain inflow. The results were obtained in a simplified case but the problem was developed with great generality so that it can be applied to more complex settings.
Indice ix
Elenco delle figure xi
Elenco delle tabelle xv
Introduzione xvii
1 Descrizione e analisi preliminare 1
1.1 Stato iniziale del lavoro . . . 1
1.2 L’effetto del parabrezza . . . 3
1.3 Formulazione del problema . . . 5
1.4 Alcuni risultati . . . 11
1.4.1 Caso 1: configurazione scooter . . . 11
1.4.2 Caso 2: configurazione touring . . . 13
1.5 Prime conclusioni . . . 23
2 Un problema di controllo ottimo 25 2.1 Nozioni preliminari . . . 25
2.1.1 Elementi di calcolo differenziale in spazi di Banach . . 25
2.1.2 Ottimizzazione in spazi di Banach . . . 26
2.2 Problemi di controllo . . . 27
2.2.1 Struttura dei problemi di controllo . . . 28
2.2.2 Formulazione di problemi di controllo ottimo median-te lagrangiana . . . 29
2.2.3 Risoluzione del problema di controllo . . . 30
2.2.3.1 Algoritmo di minimizzazione: il metodo line search . . . . 31
2.2.4 Due approcci risolutivi: “differenziare-poi-discretizzare” e “discretizzare-poi-differenziare” . . . 33
2.3 Il problema di controllo di interesse . . . 34
2.3.1 Problema di stato . . . 37
2.3.2 Problema aggiunto . . . 37
2.3.3 Gradiente del funzionale costo . . . 40 ix
2.3.3.1 Controllo scalare . . . 40
2.3.3.2 Controllo funzionale . . . 41
2.3.4 Calcolo della direzione di discesa . . . 42
2.4 Approssimazione numerica . . . 43
2.4.1 Problema primale . . . 43
2.4.2 Problema aggiunto . . . 44
3 La libreria DCP 47 3.1 Compilazione e installazione . . . 48
3.2 Descrizione delle classi . . . 50
3.2.1 La classe CompositeDifferentialProblem . . . 50
3.2.2 Le classi LinearSolverFactory e Proxy . . . 54
3.2.3 La classe ObjectiveFunctional . . . 56
3.2.4 La classe BacktrackingOptimizer . . . 59
4 Risultati numerici 63 4.1 Il caso 2D . . . 63
4.1.1 Definizione del problema di controllo . . . 63
4.1.2 Soluzione di riferimento . . . 65
4.1.3 Risultati al variare di σ3 e σ4 . . . 67
4.1.4 Risultati al variare di σ1 e σ2 . . . 70
4.1.5 Confronto con la soluzione obiettivo . . . 74
4.1.6 Risultati al variare della posizione dell’ostacolo . . . . 80
4.1.7 Risultati al variare del numero di Reynolds . . . 82
4.2 Il caso 3D . . . 89
4.2.1 Definizione del problema di controllo . . . 89
4.2.2 Soluzione di riferimento . . . 91
4.2.3 Risultati al variare di σ2 . . . 93
4.2.4 Confronto con la soluzione obiettivo . . . 95
Conclusioni e sviluppi futuri 99
Ringraziamenti 103
1.1 Modello di esempio per lo studio del comportamento fluido-dinamico del casco . . . 2 1.2 Triangolazione sul dominio di calcolo . . . 3 1.3 Linee di flusso attorno al casco di figura 1.1 . . . 4 1.4 Variabili di interesse per la definizione delle configurazioni
studiate . . . 6 1.5 Esempio di dominio di calcolo per le simulazioni su casco e
parabrezza . . . 7 1.6 Sotto-domini per la creazione del dominio di calcolo . . . 9 1.7 Sotto-domini “vuoti” per la creazione del dominio di calcolo . 9 1.8 Sotto-domini per le configurazioni studiate . . . 10 1.9 Simulazioni effettuate, configurazione scooter . . . 13 1.10 Confronto tra le velocità nella sezione di taglio fra i due
sotto-domini, configurazione scooter . . . . 15 1.11 Confronto tra le forze risultanti, configurazione scooter . . . . 16 1.12 Campi di velocità e pressione, configurazione scooter . . . . . 17 1.13 Simulazioni effettuate, configurazione touring . . . . 18 1.14 Confronto tra le velocità nella sezione di taglio fra i due
sotto-domini, configurazione touring . . . 20 1.15 Confronto tra le forze risultanti, configurazione touring . . . . 21 1.16 Campi di velocità e pressione, configurazione touring . . . . . 22 2.1 Dominio di esempio per il problema di controllo in esame . . 35 3.1 Diagramma UML delle relazioni tra le classi che descrivono il
generico problema differenziale . . . 51 3.2 Diagramma UML delle relazioni tra le classi che
implementa-no la factory di solutori lineari . . . 55 3.3 Diagramma UML delle relazioni tra le classi che descrivono il
generico funzionale obiettivo . . . 57 3.4 Diagramma UML delle relazioni tra le classi che
implementa-no l’ottimizzatore con backtracking . . . 60 xi
4.1 Domini di calcolo per il problema di controllo nel caso bidi-mensionale . . . 64 4.2 Confronto tra le condizioni al contorno sul bordo di inflow,
caso 2D . . . 64 4.3 Soluzione nel dominio 2D con ostacolo . . . 66 4.4 Regione di controllo per il caso 2D . . . 67 4.5 Valori del funzionale e delle sue componenti di velocità e
pressione al variare di σ, caso 2D . . . . 68 4.6 Campi di differenza di velocità e pressione su Ω0 per σ1 = 1,
σ2 = 1, σ3= 0.0001, σ4 = 0.0001, caso 2D . . . . 69
4.7 Confronto tra forze calcolate e forze obiettivo al variare di σ3 = σ4 = σ con σ1 = σ2 = 1, caso 2D . . . 69
4.8 Confronto tra forze calcolate e forze obiettivo al variare di σ1
e σ2 con σ3= σ4 = 0.0001, caso 2D . . . . 70
4.9 Campi di differenza di velocità e pressione su Ω0 per σ1 = 1, σ2 = 7.5, σ3 = 0.0001, σ4 = 0.0001, caso 2D . . . . 72
4.10 Confronto tra forze calcolate e forze obiettivo al variare di σ2 ∈ [7.5, 10] con σ1= 1 e σ3 = σ4= 0.0001, caso 2D . . . . . 72
4.11 Differenza tra velocità obiettivo e velocità calcolata per di-versi valori di σ2, con σ1 = 1 e σ3 = σ4 = 0.0001, caso
2D . . . 73 4.12 Valori delle componenti di velocità e di pressione del
funzio-nale durante il processo di ottimizzazione per diversi valori di σ2, con σ1= 1 e σ3 = σ4 = 0.0001, caso 2D . . . . 74
4.13 Valore del controllo ottimo g (y) per σ1 = 1, σ2 = 9.5, σ3 = 0.0001, σ4= 0.0001, caso 2D . . . 75
4.14 Soluzione controllata per σ1 = 1, σ2 = 7.5, σ3 = 0.0001 e σ4 = 0.0001, caso 2D . . . . 76
4.15 Soluzione non controllata sul dominio parziale, caso 2D . . . 77 4.16 Velocità nel caso controllato e non controllato su Ω0per σ1 =
1, σ2 = 7.5, σ3 = 0.0001 e σ4 = 0.0001, caso 2D . . . . 78 4.17 Confronto tra le forze ottenute e le forze obiettivo per σ1 = 1,
σ2 = 7.5, σ3 = 0.0001 e σ4 = 0.0001, caso 2D . . . 79
4.18 Valore del controllo ottimo g (y) per σ1 = 1, σ2 = 7.5, σ3 = 0.0001, σ4= 0.0001, caso 2D . . . 80
4.19 Confronto tra forze calcolate e forze obiettivo al variare della posizione dell’ostacolo, caso 2D . . . 81 4.20 Valori del controllo ottimo al variare della posizione
dell’osta-colo, caso 2D . . . 82 4.21 Differenza in velocità e pressione tra soluzione calcolata e
soluzione obiettivo per diversi valori di displacement, caso 2D . . . 83 4.22 Confronto tra soluzione obiettivo e soluzione ricostruita per
4.23 Confronto tra soluzione obiettivo e soluzione ricostruita per ν = 0.001, caso 2D . . . . 87 4.24 Confronto tra soluzione obiettivo e soluzione ricostruita per
ν = 0.0001, caso 2D . . . 88 4.25 Confronto tra i valori della resistenza al variare di ν, caso 2D 90 4.26 Valori del controllo ottimo al variare del numero di Reynolds,
caso 2D . . . 90 4.27 Domini di calcolo per il problema di controllo nel caso
tridi-mensionale . . . 91 4.28 Soluzione nel dominio 3D con ostacolo . . . 92 4.29 Regione di controllo per il caso 3D . . . 93 4.30 Confronto tra forze calcolate e forze obiettivo al variare di σ2,
con σ1 = 1 e σ3 = σ4 = 0.0001, caso 3D . . . 94
4.31 Valore delle componenti di velocità e pressione del funzionale a convergenza al variare di σ2, con σ1= 1 e σ3 = σ4 = 0.0001, caso 3D . . . 94 4.32 Soluzione controllata sul dominio con ostacolo parziale per
σ1 = 1, σ2 = 30 e σ3= σ4 = 0.0001, caso 3D . . . . 96
4.33 Soluzione non controllata sul dominio con ostacolo parziale, caso 3D . . . 97 4.34 Valore del controllo ottimo g (y, z) per σ1 = 1, σ2 = 30 e
σ3 = σ4= 0.0001, caso 3D . . . . 98
1.1 Valori delle variabili caratteristiche nelle due configurazioni studiate . . . 5 1.2 Confronto tra le forze risultanti, configurazione scooter . . . . 14 1.3 Confronto tra le forze risultanti sul motociclista nella
simula-zione sul solo sotto-dominio posteriore, configurasimula-zione scooter 14 1.4 Confronto tra le forze risultanti, configurazione touring . . . . 19 1.5 Confronto tra le forze risultanti sul motociclista nella
simula-zione sul solo sotto-dominio posteriore, configurasimula-zione touring 19 4.1 Confronto tra le forze ottenute e le forze obiettivo per σ1 = 1,
σ2 = 7.5 e σ3= σ4 = 0.0001, caso 2D . . . . 79
4.2 Confronto tra le forze ottenute e le forze obiettivo al variare di ν, caso 2D . . . . 89 4.3 Confronto tra le forze ottenute e le forze obiettivo per σ1 = 1,
σ2 = 30 e σ3 = σ4 = 0.0001, caso 3D . . . . 95
Questa tesi si innesta sul lavoro portato avanti da MOXOFF (in colla-borazione con il MOX) per conto di Nolangroup atto ad analizzare diverse caratteristiche di caschi da motocicletta, quali acustica, smaltimento termi-co e resistenza agli urti. La simulazione numerica infatti, affiancata ai test di laboratorio, dà la possibilità di migliorare il processo di progettazione, ottenendo risultati più accurati e riducendo al contempo i costi. Partendo dai risultati ottenuti in ambito fluidodinamico da MOXOFF si è studiato il caso in cui il casco sia posto a valle di un parabrezza, in modo da analizzare le principali differenze che l’introduzione di tale ostacolo crea dal punto di vista del flusso attorno al casco stesso.
La principale difficoltà che si presenta a causa dell’inserimento del para-brezza all’interno del dominio di calcolo è un aumento consistente dei tempi di calcolo. Una simulazione realistica utilizza infatti un flusso che nel suo stato indisturbato ha velocità che vanno dagli 80 ai 160 km/h e richiede quindi una mesh di calcolo molto fitta (in particolare a parete) per trattare la turbolenza dal punto di vista numerico. In questo caso però l’aumen-to della complessità computazionale sembrava uno “spreco” di risorse. In primo luogo perché, a differenza del casco (che può variare sia nella forma che nell’inclinazione, dando così origine a molte possibili configurazioni di interesse), i parabrezza che si volevano studiare sono limitati in tipologia e conformazione. Ma soprattutto perché l’interesse di Nolangroup rimane focalizzato sull’analisi del flusso e delle forze sul casco.
Per questo motivo, dopo aver inizialmente analizzato le conseguenze della presenza del parabrezza nel dominio sulla soluzione numerica, si è provato a formulare in modo matematicamente rigoroso un problema di controllo ottimo che potesse sostituire la presenza del parabrezza con un’opportuna condizione al contorno da imporre sul bordo di inflow del dominio di calcolo, in modo da poter ottenere un’approssimazione soddisfacente della soluzione cercata con un ridotto costo computazionale.
I problemi di controllo in ambito fluidodinamico sono un argomento am-piamente studiato negli ultimi anni, grazie all’aumento della potenza di cal-colo dei computer e al raffinamento delle tecniche numeriche che hanno con-sentito di poter risolvere problemi sempre più complessi. Una delle principali applicazioni fluidodinamiche è la minimizzazione della resistenza su un
getto investito da un fluido. Tale obiettivo può essere raggiunto attraverso la cosiddetta shape optimization ([MP04], [GMZ08]) o tramite controllo at-tivo del flusso attorno all’oggetto attraverso aspirazione dello strato limite ([Ded07], [HGM+00], [FGH98]). Il problema di controllo che è stato tratta-to in questa tesi rientra nella famiglia dei problemi con controllo al bordo e osservazione distribuita e si differenzia dai problemi di ottimizzazione di forma (e di minimizzazione della resistenza in generale) in quanto l’obiettivo non è la determinazione di un punto di ottimo che migliori in qualche senso le performance del sistema studiato ma la ricostruzione della soluzione fisica su un dominio semplificato.
L’utilizzo delle equazioni di Navier-Stokes per descrivere lo stato del si-stema genera varie difficoltà che sono state abbondantemente trattate in letteratura. Prima di tutto si ha che la presenza della non-linearità all’inter-no dell’equazione primale fa sì che i tempi di calcolo crescaall’inter-no molto, poiché il problema di stato va risolto una o più volte ad ogni iterazione del pro-cesso di minimizzazione; tale problematica è stato affrontata ad esempio in [PR07]. In secondo luogo il calcolo dell’aggiunto richiede particolare at-tenzione, per due motivi principali. Il primo è che la presenza di eventuali stabilizzazioni o termini di modellazione di turbolenza, necessari ad esempio quando si studiano flussi ad alto numero di Reynolds per non essere obbliga-ti a usare griglie eccessivamente raffinate, richiedono di calcolare l’operatore aggiunto di equazioni piuttosto complesse, operazione che, nonostante non presenti particolari difficoltà teoriche, può essere molto laboriosa. Un se-condo problema è che la richiesta di risorse di calcolo può risultare molto elevata. Possibili soluzioni a tali problemi sono state proposte ad esempio in [Gun00] e [DB06]. In quest’ultimo, in particolare, vengono analizzati gli effetti sulla soluzione ottima di varie approssimazioni che possono essere in-trodotte sull’aggiunto per facilitare lo sviluppo del problema di controllo e diminuire la memoria necessaria durante la soluzione al calcolatore. Le pro-blematiche citate sono ancor più accentuate nel caso in cui si voglia studiare un problema tempo-dipendente, poiché in generale l’aggiunto risulta esse-re un problema tempo-dipendente backward-in-time. Le possibili strategie che possono essere adottate in questo caso sono state studiate ad esempio in [Gun03], [Gun00] e [LNHL00].
A causa delle criticità appena esposte, nel problema di controllo ottimo formulato in questa tesi si è deciso di trattare un caso semplificato dal punto di vista sia della geometria utilizzata che della modellizzazione matematica. Si sono infatti utilizzate forme dalla complessità geometrica ridotta per la descrizione del casco e del parabrezza e ci si è limitati a casi in cui il numero di Reynolds fosse sufficientemente basso da poter risolvere le equazioni di Navier-Stokes su griglie di calcolo non estremamente raffinate senza bisogno di modelli di turbolenza. Si è inoltre supposto che il problema sia stazionario, almeno in media temporale, in modo da ridurre drasticamente le risorse di calcolo necessarie. Quanto fatto rappresenta comunque il primo passo verso
l’applicazione di tale problema di controllo al caso di interesse industriale da cui questa tesi ha preso il via.
Per la risoluzione del problema di controllo ottimo è stata inoltre svi-luppata una libreria C++basata su DOLFIN/FEniCS. Nonostante sia stata creata per la soluzione del problema di controllo studiato in questa tesi, ta-le libreria è stata orientata alla massima generalità possibita-le, e può quindi essere usata per risolvere una grande varietà di problemi di controllo ottimo differenti.
La struttura di questa tesi è la seguente:
• nel capitolo 1 si mostreranno alcuni risultati preliminari da cui questo lavoro ha preso il via e si analizzerà il comportamento della soluzione in seguito all’introduzione del parabrezza nel dominio di calcolo; • nel capitolo 2 si introdurranno gli strumenti teorici necessari e si
for-mulerà il problema di controllo ottimo per la determinazione della condizione al bordo desiderata;
• nel capitolo 3 si presenterà la libreria C++sviluppata, mostrandone le caratteristiche e le classi principali;
• infine nel capitolo 4 si mostreranno alcuni risultati numerici ottenuti applicando tale libreria C++al problema esposto nel capitolo 2.
Descrizione e analisi
preliminare
In questo primo capitolo ci occuperemo di introdurre i risultati ottenuti da MOXOFF utilizzati come base di partenza per questo lavoro e di descri-vere il problema di interesse. Mostreremo poi alcuni risultati ottenuti in seguito all’introduzione del parabrezza nel dominio di calcolo.
1.1
Stato iniziale del lavoro
Il lavoro commissionato da Nolangroup a MOXOFF ha come scopo il miglioramento delle prestazioni di un casco da motocicletta in diverse con-dizioni operative attraverso un’analisi della resistenza agli urti (tramite ri-produzione al calcolatore della prova di omologazione europea) e del comfort acustico e termico, legati al flusso aerodinamico attorno al casco stesso. In particolare, lo studio della dispersione termica dipende dalla simulazione fluidodinamica in quanto quest’ultima fornisce le condizioni al contorno per la simulazione multifisica accoppiata termo-fluidodinamica nel sistema di ventilazione del casco. Tale aspetto è di fondamentale importanza perché la sensazione percepita di calore, sudorazione e flussi di aria ha ripercussioni sul livello di affaticamento e di concentrazione del guidatore. La disper-sione termica deve pertanto essere ottimale in ogni condizione. Avvalendosi dunque della simulazione numerica e affiancandola alla tipica procedura trial and error dei test in laboratorio, è possibile superare i limiti di un approccio esclusivamente sperimentale, con conseguente riduzioni di costi e potenziale aumento del livello di competitività del prodotto rispetto alla concorrenza.
In figura 1.1 è riportato un esempio di modello CAD tridimensionale utilizzato per l’analisi del flusso attorno al casco. Si nota subito che la geometria è particolarmente complessa, cosa che richiede un grande sforzo per la creazione del dominio e la generazione della griglia di calcolo. Nel modello CAD sono infatti state definite anche le bocchette e i canali di
(a) Modello completo (b) Casco, vista laterale
(c) Interno del casco (d) Casco, vista in sezione
Figura 1.1: Modello di esempio per lo studio del comportamento fluido-dinamico del casco, per gentile concessione di Nolangroup e MOXOFF S.r.l.
(a) Mesh attorno al modello CAD (b) Zoom sulla bocchetta di ventilazione superiore
Figura 1.2: Triangolazione sul dominio di calcolo, per gentile concessione di MOXOFF S.r.l.
ventilazione del casco, necessari per lo studio dello smaltimento termico. Le mesh utilizzate risultano essere quindi molto voluminose, raggiungendo anche un numero di nodi pari a un milione, con mezzo milione di triangoli di bordo e 6 milioni di tetraedri. Un esempio è mostrato in figura 1.2, in cui è possibile apprezzare il dettaglio raggiunto nella creazione del modello CAD e la dimensione che devono avere le celle nei canali di ventilazione (figura 1.2b). A causa dell’alto numero di particolari descritti nella geometria utilizzata, i tempi di calcolo sono ovviamente piuttosto alti (anche 24 ore su sei processori per una simulazione stazionaria).
Il flusso risulta avere un comportamento piuttosto complesso, come si può vedere in figura 1.3. Si noti in particolare il flusso all’interno dei ca-nali di ventilazione (mostrato nelle figure 1.3b - 1.3e), che mette ben in evidenza il livello di dettaglio raggiunto nell’analisi effettuata. Per maggiori informazioni sul problema qui esposto si veda [Lon11].
Partendo dai risultati ottenuti da MOXOFF per quanto riguarda l’ana-lisi fluidodinamica mostrati (in piccola parte) in questa sezione, si è quindi cercato di espandere il lavoro effettuato introducendo nel dominio di calcolo anche un parabrezza. Si noti che il modello di casco utilizzato è stato molto semplificato per ridurre i tempi di calcolo, e pertanto i risultati ottenuti, sep-pur validi dal punto di vista qualitativo, non sono da considerarsi indicativi dal punto di vista quantitativo.
1.2
L’effetto del parabrezza
A partire da quanto esposto in sezione 1.1, l’attenzione si è dunque spo-stata sullo studio di una configurazione che comprendesse non solo il casco ma anche il parabrezza. La presenza del parabrezza provoca alcune impor-tanti conseguenze. Prima fra tutte, l’aggiunta di un ostacolo quale il para-brezza davanti al casco modifica ovviamente il campo di velocità e pressione attorno al casco stesso, portando quindi a risultati diversi per quanto
riguar-(a) Flusso nell’intero dominio
(b) Flusso nel canale di ventilazione con presa d’aria sopra la visiera, vista laterale
(c) Flusso nel canale di ventilazione con presa d’aria sopra la visiera, vista frontale
(d) Flusso nel canale di ventilazione con presa d’aria posta nella parte superiore del casco
(e) Flusso nel canale di ventilazione con presa d’aria posta nella parte superiore del casco (zoom)
Figura 1.3: Linee di flusso attorno al casco di figura 1.1, per gentile concessione dr Nolangroup e MOXOFF S.r.l.
scooter touring α 0◦ 13◦ β 13◦ 16◦ d 0.9 m 0.6 m BE 0.4 m 0.43 m _ DF 0.51 m 0.45 m DF 0.46 m 0.40 m _ AC 0.37 m 0.25 m AC 0.34 m 0.20 m spessore 0.005 m 0.005 m
Tabella 1.1: Valori delle variabili caratteristiche nelle due configurazioni studiate. Dati forniti da Nolangroup.
da tutte le grandezze che dipendono dalle caratteristiche del flusso d’aria. Una seconda conseguenza è il fatto che la griglia di calcolo va modificata, introducendo inoltre un raffinamento a parete nella zona del parabrezza che implica un aumento non trascurabile del tempo di calcolo. Questo è ancor più problematico considerando il fatto che, nonostante l’aggiunta del para-brezza, l’oggetto di studio rimane il casco: si è interessati cioè solo al flusso attorno al casco e non a quello attorno al parabrezza, se non per il fatto che il secondo influenza il primo. È quindi necessario trovare un modo per simulare la presenza del parabrezza sul casco in modo efficiente.
Le configurazioni studiate in questa sezione sono due: una rappresenta il caso di una moto da touring, mentre l’altra uno scooter. Tali configurazioni si differenziano l’una dall’altra grazie al valore di alcune variabili di interesse, esplicitate in figura 1.4, dove si riporta una rappresentazione modello della coppia parabrezza-motociclista attorno a cui si vuole studiare il flusso. In particolare, evidenziamo che i punti B e E indicano la parte centrale dell’arco di circonferenza che definisce rispettivamente la parte superiore e inferiore del parabrezza. I valori delle variabili di interesse per i due casi studiati sono riportati in tabella 1.1.
1.3
Formulazione del problema
Per effettuare una simulazione su casco e parabrezza, si consideri un do-minio rettangolare che racchiuda gli oggetti attorno a cui vogliamo esaminare il flusso, come quello rappresentato in figura 1.5. Il dominio raffigurato è solamente metà del dominio intero, che è stato tagliato per permettere di
d
β
α
A
B
C
D
E
F
Figura 1.4: Variabili di interesse per la definizione delle configurazioni studiate
Figura 1.5: Esempio di dominio di calcolo per le simulazioni su casco e parabrezza
vedere le sagome del parabrezza e del motociclista al suo interno. In realtà, supponendo che la soluzione sia stazionaria in media temporale, il proble-ma risulta essere simmetrico ed è quindi possibile effettuare le simulazioni utilizzando solamente la metà del dominio rappresentata (avendo cura di imporre condizioni di simmetria sulla faccia che di mezzeria), riducendo così i tempi di calcolo.
Il problema che viene risolto su tale dominio è dato quindi dalle equazioni di Navier-Stokes stazionarie: −ν∆u + (u · ∇) u + ∇p = 0 , ∀ x ∈ Ω , ∇ · u = 0 , ∀ x ∈ Ω , u = 0 , ∀ x ∈ Γbody, u = G , ∀ x ∈ Γin, −p n + ν∇u · n = 0 , ∀ x ∈ Γout, u · n = 0 ; (−p n + ν∇u · n) · t = 0 , ∀ x ∈ Γsym, (1.1)
dove u e p sono rispettivamente la velocità e la pressione del fluido e: • Γbody corrisponde alla parte di bordo che definisce i corpi posti
all’in-terno del dominio (cioè il motociclista e il parabrezza, se presente); • Γinè il bordo di inflow, che coincide con la faccia di sinistra del dominio
di figura 1.5;
• Γout è il bordo di outflow, ossia la faccia di destra; • Γsym è data infine del resto del bordo di Ω.
In tutti i risultati presentati in questa sezione, è stata imposta velocità di ingresso orizzontale e pari a 27.78 m/s. Posto cioè g = 27.78 m/s, si ha
G = g 0 0 .
Dato che il numero di Reynolds per tale problema è ben oltre la soglia della turbolenza, per risolvere le equazioni (1.1) si è utilizzato un approccio RANS con modello k−ε (si veda ad esempio [MP93]). L’accoppiamento tra velocità e pressione e la non linearità insita nelle equazioni sono stati invece risolti con un metodo di splitting operatoriale. In particolare, si è utilizzato il metodo detto SIMPLE. Si veda [FP96] per ulteriori dettagli su tale metodo e sulle possibili alternative per lo splitting delle equazioni di Navier-Stokes. Per la risoluzione numerica di tali equazioni si sono infine usati due soft-ware open source: SALOME (http://www.salome-platform.org/, ver-sione 7.3.0) per la creazione della griglia di calcolo e OpenFOAM (http: //www.openfoam.com/, versione 2.1.1) come solutore fluidodinamico. Tale software utilizza una discretizzazione ai volumi finiti per la soluzione nume-rica delle equazioni (1.1). Per maggiori dettagli sul metodo dei volumi finiti si consulti [FP96].
Il problema è per sua natura intrinsecamente modulare. Si consideri infatti il dominio rappresentato in figura 1.5. Tale dominio si può pensare composto da due parti, la prima contenente il parabrezza e la seconda il motociclista, che sono rappresentate in figura 1.6. Il dominio contenente il solo parabrezza sarà indicato come “sotto-dominio anteriore”, mentre quel-lo che contiene il motociclista si indicherà con la dicitura “sotto-dominio posteriore”. Le mesh sui due sotto-domini possono allora essere generate se-paratamente e poi unite per creare la griglia globale. Il vantaggio di questo approccio sta nel fatto che è sufficiente cambiare l’una o l’altra mesh, quando si crea la griglia di calcolo globale, per effettuare simulazioni diverse: si può ad esempio variare il tipo di casco mantenendo lo stesso parabrezza, variare il parabrezza mantenendo lo stesso tipo di casco, ma anche fare simulazioni con il solo parabrezza o il solo motociclista, utilizzando i sotto-domini in fi-gura 1.7. Tali domini saranno indicati come “sotto-dominio anteriore vuoto” e “sotto-dominio posteriore vuoto”. Occorre però assicurarsi che, una volta calcolate le due singole mesh, la griglia globale derivante dall’accostamento di tali mesh risulti conforme: i nodi di bordo delle griglie sul sotto-dominio anteriore e sul sotto-dominio posteriore devono cioè essere coincidenti sul-la faccia in comune ai due domini (indicata in arancione nelle figure 1.6 e 1.7). Tenuto presente questo vincolo, le mesh globali utilizzate nelle simu-lazioni effettuate saranno ottenute affiancando due tra i domini riportati in figura 1.8
Lo script Python creato per definire la mesh in SALOME è stato svi-luppato con questo approccio modulare in mente. Fissata la distanza tra il
Figura 1.6: Sotto-domini per la creazione del dominio di calcolo completo: dominio contenente il solo parabrezza (a sinistra) e dominio contenente il solo motociclista (a destra)
Figura 1.7: Sotto-domini “vuoti” per la creazione del dominio di calcolo completo: sotto-dominio anteriore (a sinistra) e sotto-dominio posteriore (a destra)
(a) Sotto-dominio anteriore, con-figurazione scooter
(b) Sotto-dominio posteriore, configurazione scooter
(c) Sotto-dominio anteriore, con-figurazione touring
(d) Sotto-dominio posteriore, configurazione touring
(e) Sotto-dominio anteriore vuoto (f) Sotto-dominio posteriore vuoto
piano di taglio del domino globale e il motociclista (si noti a tal proposito che la posizione del busto è fissata a x = 0 ed è il parabrezza che viene spostato in direzione orizzontale per far sì che la distanza tra il motocicli-sta e il parabrezza sia pari a d), le griglie di calcolo sui due sotto-domini così ottenuti vengono costruite separatamente e indipendentemente. Per ga-rantire la conformità della mesh globale, prima di creare le due sotto-mesh viene costruita una griglia bidimensionale sulla faccia che separa i due sotto-domini. Questa griglia verrà imposta come griglia di bordo sulle sotto-mesh. A questo punto, lanciando lo script di creazione delle sotto-mesh è possibile ottenere varie griglie sui due sotto-domini tutte aventi la stessa mesh sulla faccia che divide il dominio globale.
Per ottenere una mesh globale su tale dominio è ora possibile sfruttare i tools messi a disposizione da OpenFOAM. Avendo infatti creato due cartelle contenenti il set-up dei casi relativi ai due sotto-domini, è possibile chiamare l’utility mergeMeshes per ottenere una terza directory che conterrà il caso OpenFOAM dato dall’accostamento delle due sotto-mesh. Esso mantiene tutte le impostazioni dei due casi usati per costruirlo, compreso il fatto che la faccia interna al dominio globale viene ancora vista come una faccia di bordo, su cui sono imposte le condizioni al contorno presenti nei casi di partenza. Ciò si risolve chiamando l’utility stitchMesh: essa unisce le due facce passate come argomenti da linea di comando in modo tale da creare un’unica faccia interna al dominio (sulla quale cioè non è imposta alcuna condizione), lasciando inalterati gli altri settaggi. L’algoritmo 1 riporta schematicamente i passi da seguire per la creazione della mesh sul dominio completo.
Si può a questo punto lanciare uno dei solutori forniti da OpenFOAM. Nel caso in esame, si è usato simpleFoam che, come indicato anche dal nome, è un solutore per flussi turbolenti incomprimibili stazionari che usa il metodo SIMPLE per lo splitting dell’operatore.
1.4
Alcuni risultati
Mostriamo in questa sezione alcuni risultati ottenuti risolvendo il proble-ma esposto in sezione 1.3 nelle due configurazioni studiate. Lo scopo delle simulazioni effettuate è mettere alla prova il modello sul dominio ridotto per il calcolo delle forze sul motociclista e sul parabrezza.
1.4.1 Caso 1: configurazione scooter
Come visto in tabella 1.1, il caso dello scooter è caratterizzato dai valori α = 0◦, β = 13◦ e d = 90 cm. Con riferimento alla partizione del dominio definita in sezione 1.3 e ai sotto-domini rappresentati in figura 1.8, sulla configurazione in esame si sono effettuate simulazioni di quattro diversi tipi:
Algoritmo 1 Creazione della mesh di calcolo sul dominio globale
Data una distanza d tra motociclista e piano di taglio del dominio • Creare due sotto-domini a partire dal dominio globale
• Calcolare la mesh sulla faccia in comune tra i due domini
• Calcolare le mesh sui sotto-domini anteriore e posteriore (eventual-mente vuoti) imponendo la mesh appena calcolata come griglia di superficie sulla faccia in comune
• Creare due casi OpenFOAM che descrivano il problema sul sotto-dominio anteriore e su quello posteriore
• Chiamare mergeMeshes per ottenere un unico caso OpenFOAM a partire dai due appena definiti
• Chiamare stitchMesh per unire le due mesh ed eliminare la faccia di bordo interna
• una simulazione sul dominio composto dal casco e da un sotto-dominio anteriore vuoto (figura 1.9a), in modo da poter avere dei valori di ri-ferimento per il caso in cui il motociclista sia esposto al flusso diretta-mente;
• una simulazione completa, ossia in cui il dominio contiene sia il para-brezza che il motociclista (figura 1.9b);
• una simulazione sul dominio composto dal parabrezza e da un sotto-dominio posteriore vuoto (figura 1.9c); tale simulazione serve a studia-re l’influenza della pstudia-resenza del casco sul flusso attorno al parabstudia-rezza; • una simulazione sul sotto-dominio posteriore contenente il solo mo-tociclista (figura 1.9d), usando come condizione al contorno sul bor-do di inflow i valori del campo di velocità calcolato nella simulazione completa.
Il risultato di tali simulazioni è riportato in figura 1.12. In tabella 1.2 sono invece riportate le forze ottenute, rappresentate graficamente in figura 1.11. Si noti che le forze nelle direzioni ortogonali al flusso (cioè y e z) non sono fisicamente significative, in quanto l’oggetto su cui tali forze sono calcolate è tagliato nelle due direzioni considerate. Ciò nonostante, esse sono un buon indicatore di quanto due soluzioni siano simili tra loro. Sia le forze sul parabrezza che quelle sul motociclista sono in buon accordo con quanto ottenuto nella simulazione completa. Ciò indica che la presenza o meno del casco non ha grande influenza sul flusso attorno al parabrezza, come si può notare anche da quanto riportato in figura 1.10, dove mostriamo il valore della velocità nella sezione di taglio fra i due sotto-domini nel caso di simulazione completa e di simulazione con il solo parabrezza: le due
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1.9: Simulazioni effettuate, configurazione scooter
soluzioni risultano infatti essere piuttosto simili tra loro. A riprova di ciò, si è effettuata una simulazione sul sotto-dominio posteriore contenente il motociclista imponendo come condizione di inflow i valori di velocità ottenuti nella simulazione con il solo parabrezza. I risultati ottenuti sono piuttosto vicini ai valori calcolati nella simulazione completa, come mostra il confronto riportato in tabella 1.3.
Le forze in tabella 1.2 mostrano anche quanto la differenza sia più mar-cata se il confronto tra le forze ottenute sul motociclista viene effettuato tra le simulazioni sul dominio completo con e senza parabrezza invece che tra la simulazione completa e quella sul dominio parziale. Questo evidenzia quanto il flusso attorno al casco dipenda dalla presenza del parabrezza.
Il confronto tra le linee di flusso riportate nella seconda e quarta imma-gine in figura 1.12 mostra come la soluzione ottenuta sul dominio completo e quella ottenuta sul dominio ridotto utilizzando come inflow il campo di velocità ottenuto nella simulazione completa siano simili. Nella simulazione su dominio ridotto si può notare infatti la presenza del vortice a monte del motociclista presente anche nella simulazione completa. La zona di ricircolo a valle del motociclista inoltre è di dimensione confrontabile nei due casi.
1.4.2 Caso 2: configurazione touring
In questo caso, i valori caratteristici sono α = 13◦, β = 16◦ e d = 60 cm. Su tale configurazione si sono effettuate le stesse simulazioni descritte nella
simulazione completa solo parabrezza solo motociclista (dominio parziale) solo motociclista (dominio completo) parabrezza Fx [N] 26.7145 25.896 — — Fy [N] -7.05395 -6.88952 — — Fz [N] -5.83027 -5.67573 — — motociclista Fx [N] -6.57793 — -6.06565 13.4838 Fy [N] 15.7924 — 15.2676 42.4985 Fz [N] 4.90288 — 4.72115 8.71973 Tabella 1.2: Confronto tra le forze risultanti, configurazione scooter
inflow da simulazione completa
inflow da simulazione con il solo parabrezza Fx [N] -6.06565 -6.33085
Fy [N] 15.2676 18.6041
Fz [N] 4.72115 5.36534
Tabella 1.3: Confronto tra le forze risultanti sul motociclista nella simulazione sul solo sotto-dominio posteriore, configurazione scooter
Figura 1.10: Confronto tra le velocità nella sezione di taglio fra i due sotto-domini nel caso di simulazione completa (a sinistra) e simulazione con il solo parabrezza (a destra), configurazione scooter
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 Fx Fy Fz simulazione completa solo parabrezza
(a) Forze sul parabrezza
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Fx Fy Fz simulazione completa solo motociclista, dominio parziale solo motociclista, dominio completo
(b) Forze sul motociclista
Figura 1.12: Campi di velocità e pressione, configurazione scooter. Dall’alto verso il basso: soluzione per il caso con il solo motociclista sul dominio completo, soluzione per il caso con motociclista e parabrezza, soluzione per il caso con solo il parabrezza e soluzione per il caso con il solo motociclista sul dominio ridotto
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1.13: Simulazioni effettuate, configurazione touring
sezione 1.4.1. I domini utilizzati per tali simulazioni sono rappresentati in figura 1.13.
Il confronto tra i campi di velocità nella sezione di taglio del dominio cal-colati nella simulazione completa e nel caso con il solo parabrezza è mostra-to in figura 1.14, mentre il risultamostra-to ottenumostra-to nelle simulazioni sulle diverse configurazioni è riportato in figura 1.16. Le forze ottenute sono riportate in tabella 1.4 e rappresentate in figura 1.15. Come nel caso della sezione 1.4.1, le forze Fy e Fz non sono fisicamente significative ma sono un buon indicato-re della somiglianza tra due soluzioni. Rispetto alla configurazione scooter, i risultati tra simulazione completa e simulazioni parziali sono leggermen-te più distanti tra loro, a causa del fatto che nella configurazione touring il motociclista è molto più vicino al parabrezza, ma le differenza non sono sostanziali e le conclusioni che se ne possono trarre sono invariate.
È interessante notare però i risultati riportati in tabella 1.5, in cui mo-striamo il confronto tra le forze sul motociclista ottenute usando come con-dizione di inflow il campo di velocità calcolato nella simulazione completa e quello risultante dalla simulazione con il solo parabrezza. A differenza di quanto visto in sezione 1.4.1, le differenze tra i risultati sono più marcate in questo caso. Ciò è ancora imputabile alla maggior vicinanza del casco al parabrezza nella configurazione touring, cosa che comporta una maggior discrepanza tra le due condizioni di inflow, come si può notare confrontando tra loro le figure 1.10 e 1.14.
simulazione completa solo parabrezza solo motociclista (dominio parziale) solo motociclista (dominio completo) parabrezza Fx [N] 20.6235 16.2478 — — Fy [N] -6.57626 -4.62631 — — Fz [N] -5.81538 -4.47439 — — motociclista Fx [N] -10.8247 — -9.1107 10.177 Fy [N] 16.3716 — 15.4188 32.7347 Fz [N] 2.65666 — 1.86189 13.8512 Tabella 1.4: Confronto tra le forze risultanti, configurazione touring
inflow da simulazione completa
inflow da simulazione con il solo parabrezza
Fx [N] -9.1107 -5.39445
Fy [N] 15.4188 18.1322
Fz [N] 1.86189 5.9893
Tabella 1.5: Confronto tra le forze risultanti sul motociclista nella simulazione sul solo sotto-dominio posteriore, configurazione touring
Figura 1.14: Confronto tra le velocità nella sezione di taglio fra i due sotto-domini nel caso di simulazione completa (a sinistra) e simulazione con il solo parabrezza (a destra), configurazione touring
-10 -5 0 5 10 15 20 25 Fx Fy Fz simulazione completa solo parabrezza
(a) Forze sul parabrezza
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 Fx Fy Fz simulazione completa solo motociclista, dominio parziale solo motociclista, dominio completo
(b) Forze sul motociclista
Figura 1.16: Campi di velocità e pressione, configurazione touring. Dall’alto verso il basso: soluzione per il caso con il solo motociclista sul dominio completo, soluzione per il caso con motociclista e parabrezza, soluzione per il caso con solo il parabrezza e soluzione per il caso con il solo motociclista sul dominio ridotto
1.5
Prime conclusioni
I risultati riportati in sezione 1.4 ci permettono di trarre alcune conclu-sioni che guideranno il lavoro nei capitoli successivi.
La prima cosa che si nota è l’importanza del parabrezza sulla soluzione flui-dodinamica. La presenza di un ostacolo praticamente ortogonale al flusso provoca infatti un distaccamento importante della scia, al cui interno si tro-va in entrambi i casi il motociclista. Questo fa sì che il flusso attorno al casco sia influenzato in grande misura dalla presenza del parabrezza.
D’altra parte, come già fatto notare, l’interesse di questo lavoro è per il flusso attorno al casco, in modo da valutare le forze che si sviluppano su di esso e le sue proprietà acustiche e termiche. A partire dalle indica-zioni raccolte in questa sezione, si è dunque cercato un modo per ottenere le grandezze di interesse riducendo al minimo la necessità di introdurre il parabrezza all’interno del dominio di calcolo, per le ragioni già citate in precedenza.
Per fare ciò, nei prossimi capitoli si formulerà un problema di controllo ottimo che consenta di sostituire la presenza del parabrezza con una con-dizione al contorno sul bordo di inflow appropriata. Lo scopo finale sarà riuscire a ricostruire, in modo approssimato ma sufficientemente accurato, il flusso attorno al casco grazie al valore della velocità del flusso in ingresso al dominio. Si noti che, in questo caso, il dominio considerato sarà composto da un sotto-dominio anteriore vuoto oltre che dal sotto-dominio posteriore contenente il casco, in modo che l’unica differenza tra una simulazione con solo il motociclista e una con anche il parabrezza sia la condizione al bordo imposta come inflow, lasciando il dominio (e quindi la griglia di calcolo!) inalterato. Questo è cruciale, in quanto la creazione di una mesh su un do-minio complesso come quello contenente il casco non è un compito banale e rappresenta il collo di bottiglia del ciclo di analisi, richiedendo diversi giorni di lavoro di personale specializzato per la creazione di una singola griglia.
Un problema di controllo
ottimo
In questo capitolo, introdurremo prima i problemi di controllo ottimo dal punto di vista teorico, fornendo le definizioni necessarie e i risultati princi-pali in ambito generale, per poi specializzare quanto esposto al problema di controllo ottimo di interesse in questo lavoro.
2.1
Nozioni preliminari
In questa sezione introdurremo le nozioni preliminari necessarie allo svi-luppo della teoria dei problemi di controllo ottimo che verrà affrontata nelle sezioni seguenti.
2.1.1 Elementi di calcolo differenziale in spazi di Banach Siano X e Y due spazi di Banach (ossia due spazi vettoriali normati completi). Sia inoltre F : U ⊆ X → Y con U insieme aperto.
Definizione 2.1 (Differenziale di Gâteaux). Si dice che F è derivabile
se-condo Gâteaux nel punto x0 ∈ U se ∃ A ∈ L (X, Y ) (cioè lo spazio
vetto-riale dei funzionali lineari e continui da X in Y ) detto differenziale secondo Gâteaux di F in x0, tale che, per ogni h ∈ X tale che x0+ h ∈ U , si ha che
lim t→0 F (x0+ th) − F (x0) t = Ah , ovvero F (x0+ th − F (x0)) t − Ah Y → 0 se t → 0 .
Una funzione che gode di tale proprietà si dirà, in breve,G -differenziabile. 25
Se esiste, il differenziale di Gâteaux è unico e lo indicheremo con FG0. Inoltre se F èG -differenziabile in ogni punto di U, allora l’applicazione
FG0 : U → L (X, Y ) x 7→ FG0 (x) è detta derivata secondo Gâteaux di F .
Vogliamo ora vedere quali condizioni è necessario imporre sulla derivata di Gâteaux di un funzionale reale G -differenziabile per avere la convessità di tale funzionale.
Sia dunque F : U ⊆ X →R un funzionale G -differenziabile in U . Questo implica che FG0 (x) ∈ X∗, ∀ x ∈ U e FG0 : U → X∗, dove con X∗si è indicato lo spazio duale di X (cioè lo spazio dei funzionali lineari e continui da X in R).
Definizione 2.2 (Convessità di un funzionale). Sia U un insieme convesso e sia F : U ⊆ X →R. Si dirà che F è convesso in U se
F (x + t (y − x)) ≤ F (x) + t (F (x) − F (y)) , ∀ x, y ∈ U, ∀ t ∈ [0, 1] . Se tale equazione vale con il segno di minore stretto per t ∈ (0, 1), allora F si dice strettamente convesso.
2.1.2 Ottimizzazione in spazi di Banach
Consideriamo il problema di minimizzare un funzionale definito su uno spazio di Banach. Il seguente risultato tratta l’esistenza e unicità del punto di minimo.
Teorema 2.1. Sia U uno spazio di Banach riflessivo, U ⊆ X convesso e chiuso e J : U →R. Se:
• U è limitato oppure J (x) → ∞ per kxkX → ∞
• J è sequenzialmente semicontinuo inferiormente rispetto alla conver-genza debole, ossia:
xj * x ⇒ J (x) ≤ lim j→∞J (xj) allora esiste x∗ ∈ X tale che:
J (x∗) = min x∈UJ (x) .
Se inoltre J è strettamente convesso, allora x∗ è unico.
Per quanto riguarda le condizioni di ottimalità, vale la seguente esten-sione del teorema di Fermat.
Teorema 2.2. Siano X uno spazio di Banach riflessivo e J un funzionale
G -differenziabile in U ⊆ X, con U convesso e chiuso. Valgono allora i seguenti:
(i) Se J (x∗) = min
x∈UJ (x), allora
JG0 (x∗) (x − x∗) ≥ 0 , ∀ x ∈ U . (2.1) (ii) Se J è convesso e vale l’equazione (2.1), allora J (x∗) = min
x∈UJ (x).
Un caso particolare è quello dei funzionali quadratici in spazi di Hilbert.
Teorema 2.3. Sia H spazio di Hilbert con norma k · k e prodotto scalare
( · , · ). Sia poi π = π (u, v) una forma bilineare in H simmetrica e continua, cioè tale per cui:
∃ M ∈ R+ tale che |π (u, v)| ≤ M kukHkvkH , ∀ u, v ∈ H . Sia inoltre L ∈ H∗. Consideriamo un funzionale della forma:
J (u) = 1
2π (u, u) − Lu .
Sia infine U ⊆ H un insieme convesso e chiuso. Assumiamo che valga una delle seguenti proprietà:
(i) π è coerciva, cioè
∃ α ∈ R+ tale che π (u, u) ≥ α kuk2H , ∀ u ∈ H (ii) π è positiva, cioè
π (u, u) > 0 , ∀ u ∈ H, u 6= 0 . Allora esiste un unico u∗∈ U tale che:
J (u∗) = min u∈UJ (u) e vale la disequazione variazionale:
π (u∗, u − u∗) ≥ L (u − u∗) , ∀ u ∈ U .
2.2
Problemi di controllo
In questa sezione introdurremo le nozioni necessarie alla formulazione e risoluzione di un generico problema di controllo ottimo. Tale impian-to teorico sarà poi specializzaimpian-to al caso in esame in quesimpian-to lavoro nella sezione 2.3.
2.2.1 Struttura dei problemi di controllo
Consideriamo un generico sistema fisico che può essere controllato at-traverso una variabile di input. Obiettivo di un problema di controllo è determinare il valore dell’ingresso affinché una certa variabile di output as-suma il valore desiderato. Ottenere in uscita esattamente il valore desiderato non è però sempre possibile e quindi spesso si preferisce sostituire il proble-ma della determinazione esatta del valore di ingresso con un probleproble-ma di ottimizzazione: non si pretende che l’output sia esattamente uguale al valo-re richiesto ma si cerca il valovalo-re in ingvalo-resso che valo-rende minima la diffevalo-renza, in un opportuno senso, tra uscita ottenuta e uscita desiderata.
Questo problema può essere descritto in maniera accurata introducendo opportuni oggetti matematici. Consideriamo dunque:
• Una funzione di controllo g, appartenente a uno spazio funzionaleGad, detto spazio dei controlli ammissibili. Si noti che in generaleGad ⊆G , dove G è lo spazio funzionale più adeguato a contenere g, sulla base del ruolo che la funzione di controllo ha nelle equazioni in cui compare. Gli eventuali vincoli aggiuntivi imposti su g determinano poi lo spazio Gad in cui cercare tale funzione.
• Lo stato del sistema u (g) che appartiene a un opportuno spazio fun-zionale U e dipende da g attraverso l’equazione di stato. Essa è una relazione del tipo:
Au (g) = f + Bg , (2.2)
con A :U → U∗operatore differenziale (lineare o meno) e B :G → U∗. Tale problema definisce il sistema fisico soggetto al controllo.
• La funzione di osservazione, indicata con z (g), che dipende dallo stato u attraverso un opportuno operatore C:
C : U → Z
u 7→ z (u) = Cu
Si noti che z dipende anche da g, attraverso la dipendenza di u da g. Tale funzione di osservazione va confrontata con l’uscita desiderata, che indicheremo con zd.
• Un funzionale costo (o funzionale obiettivo): J : Gad→ R
g 7→ J (g)
con J (g) ≥ 0. In generale, J dipenderà da g anche attraverso z. Lo scopo del problema di controllo può essere sintetizzato in questo modo:
Determinare g∗ ∈Gad : J (g∗) = min g∈G J (g) .
2.2.2 Formulazione di problemi di controllo ottimo mediante lagrangiana
In generale, esistono due possibili approcci per formulare un problema di controllo: l’approccio alla Lions e l’approccio mediante lagrangiana. In questo lavoro seguiremo il secondo, che, come vedremo, mette in risalto il ruolo della variabile aggiunta all’interno del problema di controllo. Per approfondimenti sull’approccio alla Lions, si veda [Lio71] e [Qua08].
L’approccio mediante lagrangiana estende il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per ottimizzazione non lineare vincolata in Rn (si veda a tal proposito [NW99]) al caso infinito-dimensionale. Il problema di controllo ottimo esposto in sezione 2.2.1 può infatti essere visto come un problema di ottimizzazione vincolata: stiamo cercando il punto di minimo g∗ di una funzione J (g) sotto il vincolo dato dall’equazione (2.2). La soluzione del problema di controllo ottimo può quindi essere ricondotta alla ricerca dei punti critici liberi del funzionale lagrangiano definito da:
L (u, p, g) = J (g) + h p , f + Bg − Au i , (2.3) dove p ∈P è il moltiplicatore di Lagrange (detto anche variabile aggiunta) e si è denotato con h · , · i la dualità tra U e U∗. Si noti che, in questo ambito, le tre variabili da cui dipende il funzionale lagrangiano devono essere considerate come indipendenti tra loro. Il problema diventa dunque:
Determinare (u, p, g) :
∇L (u, p, g) [(δu, δp, δg)] = 0 , ∀ (δu, δp, δg) ∈U × P × G , ovvero Determinare (u, p, g) : ∂L
∂u (u, p, g) [δu] = 0 , ∀ δu ∈U , ∂L
∂p (u, p, g) [δp] = 0 , ∀ δp ∈P , ∂L
∂g (u, p, g) [δg] = 0 , ∀ δg ∈G ,
(2.4)
dove le derivate parziali sono da intendersi come derivate secondo Gâteaux (si veda la sezione 2.1.1). Si sono inoltre indicati con le parentesi quadre gli oggetti su cui le derivate parziali agiscono.
Si noti che la seconda equazione del sistema (2.4) coincide con l’equazione di stato (2.2). Ricordando che le variabili u, p e g sono da considerarsi indi-pendenti tra loro, si ha infatti che la derivata di (2.3) rispetto alla variabile
aggiunta p si può esprimere come: ∂L ∂p (u, p, g) [δp] = limt→0 L (u, p + t δp, g) − L (u, p, g) t = = lim t→0 J (g) + h p + t δp , f + Bg − Au i − J (g) + h p , f + Bg − Au i t = = h δp , f + Bg − Au i .
La seconda equazione di (2.4) si può quindi riscrivere come h δp , f + Bg − Au i = 0 , ∀ δp ∈P , che è chiaramente equivalente a (2.2).
Calcolando invece la derivata di (2.3) rispetto alla variabile primale u abbiamo:
∂L
∂u (u, p, g) [δu] = limt→0
L (u + t δu, p, g) − L (u, p, g) t = = lim t→0 J (g) + h p , f + Bg − A (u + t δu) i − J (g) + h p , f + Bg − Au i t = = h p , −∂A ∂u [δu] i .
Definendo allora ˜A come l’operatore tale che, fissato p, si abbia: h p , −∂A
∂u [δu] i = h ˜A p , δu i , ∀ δu ∈U ,
possiamo concludere che la prima equazione di (2.4) è equivalente a: ˜
A p = 0 , che sarà detta equazione aggiunta.
Consideriamo infine la terza equazione del sistema (2.4). Come visto in sezione 2.1.1, abbiamo che ∂L
∂g ∈G
∗
, cioè lo spazio duale diG . Se allora G è uno spazio di Hilbert, grazie al teorema di Riesz possiamo riscrivere tale prodotto di dualità come prodotto scalare:
(∇J, δg) = 0 , ∀ δg ∈G . (2.5) Si ottiene in questo modo l’espressione di ∇J come elemento diG .
2.2.3 Risoluzione del problema di controllo
La risoluzione diretta del sistema (2.4) è spesso proibitiva in termini di costo computazionale. È pertanto necessario introdurre un metodo iterativo che consenta la determinazione del controllo ottimo in tempo ragionevole.
Algoritmo 2 Ricerca del controllo ottimo
Data una guess iniziale g0 k ← 0
while not converged do
Calcola uk = u (gk) attraverso l’equazione di stato Calcola il gradiente del funzionale ∇J (uk, gk)
Calcola il passo di avanzamento δgk a partire da ∇J (uk, gk) gk+1← gk+ δgk
k ← k + 1 end while
L’algoritmo 2 riporta i passi da seguire per la risoluzione iterativa di un generico problema di controllo. Come criterio per il test di convergenza, una possibile scelta è il controllo sulla norma del gradiente del funzionale:
k∇J (gk)kG < εJ,
con εJ ∈ R+ costante fissata. In un punto di minimo infatti il gradiente del funzionale è (teoricamente) nullo. Questo può portare però a problemi nel caso in cui il funzionale sia molto piatto in un intorno del punto di minimo. Un test più robusto è ad esempio quello che prende in considerazione anche l’incremento relativo della funzione di controllo:
k∇J (gk)kG < εJ ∨
kgk− gk−1kG kgk−1kG
< εg, con εg∈ R+ costante data.
2.2.3.1 Algoritmo di minimizzazione: il metodo line search
In questa sezione si tratterà uno dei possibili algoritmi iterativi di mini-mizzazione per funzionali non lineari. Per approfondimenti su tale algoritmo e sulle possibili alternative si veda [NW99].
Uno dei possibili algoritmi di minimizzazione non vincolata è il metodo noto come line search. In tale metodo la complessità della ricerca del mi-nimo viene ridotta considerando ad ogni iterazione una singola direzione di variabilità, che può essere diversa da iterazione a iterazione.
Sia dunque gkil valore della variabile di controllo alla k-esima iterazione. Definita la funzione
ψ (α) = J (gk+ α dk) ,
il metodo line search determina il valore della nuova iterata gk+1 come: gk+1 = gk+ αkdk,
Algoritmo 3 Simple backtracking
Per ogni k, siano dati • gk • c1 > 0 • ρ ∈ (0, 1) • J (gk) • ∇J (gk) • dk
Sia inoltre dato un valore iniziale α(0)k m ← 0 while Jgk+ α (m) k dk > J (gk) + c1α(m)k (∇J (gk) , dk) do α(m+1)k = ρ α(m)k m ← m + 1 end while
dove dk è la k-esima direzione di ricerca e αk = argmin α∈R+
ψ (α).
La scelta di dk
La direzione di ricerca dk deve ovviamente essere una direzione di discesa. Deve cioè esistere δ > 0 tale che
J (gk+ αdk) < J (gk) , ∀ α ∈ (0, δ) . La scelta più ovvia è porre:
dk= −∇J (gk) . Si noti che in realtà ogni direzione dk tale che:
(dk, ∇J (gk)) < 0 (2.6)
(dove con ( · , · ) indichiamo il prodotto scalare) è una direzione di discesa.
La scelta di αk
La lunghezza del passo αk è definita come: αk= argmin
α∈R+
ψ (α) .
Tuttavia, nelle applicazioni reali, tale problema di minimo è difficilmente risolvibile in modo esatto. Pertanto il valore di αk è determinato attraverso minimizzazione approssimata. Per fare ciò, una possibilità è usare un algo-ritmo di backtracking (algoalgo-ritmo 3). Valori tipici per i parametri presenti
nell’algoritmo sono α(0)k = 1, c1 = 10−3 e ρ = 1/2. La condizione di
per-manenza nel ciclo è la negazione della condizione di Armijo (detta anche condizione di sufficient decrease), che richiede che αk sia tale che
ψ (αk) ≤ ψ (0) + c1αkψ0(0) .
Tale condizione può essere riscritta in termini del funzionale J come: J (gk+ αkdk) ≤ J (gk) + c1αk(∇J (gk) , dk) .
Si noti che ψ0(0) = αk(∇J (gk) , dk) è in realtà una quantità negativa. La condizione di Armijo richiede dunque che il valore della funzione ψ (α) cal-colata in α = αk sia al di sotto della retta y (α) = ψ (0) + c1α ψ0(0), che ha
pendenza negativa. Per maggiori dettagli si veda [NW99].
L’algoritmo completo
Possiamo quindi ora riformulare l’algoritmo 2 includendo il calcolo della di-rezione di discesa e della lunghezza del passo appena descritti. L’algoritmo 4 riporta l’intera procedura da seguire per trovare il valore ottimo della varia-bile di controllo. Si noti che la condizione di permanenza nel ciclo while più esterno controlla sia la norma dell’incremento della variabile di controllo sia la norma del gradiente del funzionale, ma si può anche usare una sola delle due condizioni per testare la convergenza, come discusso in sezione 2.2.3. 2.2.4 Due approcci risolutivi: “differenziare-poi-discretizzare”
e “discretizzare-poi-differenziare”
Fino ad ora non abbiamo discusso la discretizzazione delle equazioni a derivate parziali che sono state introdotte, ma è ovvio che tali equazioni non possono essere risolte in modo esatto. Si possono quindi identificare due diversi metodi per la risoluzione di un problema di controllo:
• nel metodo “differenziare-poi-discretizzare” si ottengono le equazioni che compongono il sistema (2.4) utilizzando la forma forte delle equa-zioni che descrivono il problema di controllo, quindi si discretizzano le equazioni così ottenute.
• nel metodo “discretizzare-poi-differenziare” si discretizzano prima le equazioni che compongono il problema di controllo e quindi si calcolano le derivate di tali equazioni; si ottiene così una versione discreta del sistema (2.4) che sarà risolto in questa forma.
In questo lavoro, si è deciso di utilizzare il primo metodo. È importante notare che i due metodi possono portare a risultati differenti, poiché il passo di discretizzazione e quello di differenziazione non commutano. Entrambi i
Algoritmo 4 Ricerca del controllo ottimo, metodo line search con
backtracking
Siano dati un valore iniziale g0 e due costanti positive εg e εJ k ← 0
while kgk− gk−1kG
kgk−1kG > εg ∧ k∇J (gk+1)kG > εJ do
Calcola direzione di discesa dk (ad esempio: dk= −∇J (gk)) Calcola passo αk:
begin
Siano dati un valore iniziale α(m)k e due costanti ρ ∈ (0, 1) e c1 > 0 m ← 0 while Jgk+ α (m) k dk > J (gk) + c1α (m) k (∇J (gk) , dk) do α(m+1)k = ρ α(m)k m ← m + 1 end while end δgk← α(m)k dk gk+1 ← gk+ δgk k ← k + 1 end while
metodi hanno vantaggi e svantaggi (si veda ad esempio [Gun03] e [Gun00] per una trattazione più estesa), ma a tutt’oggi decidere quale dei due dia risultati migliori rimane un problema aperto.
2.3
Il problema di controllo di interesse
Il problema di controllo che vogliamo trattare è il seguente. Conside-riamo un dominio Ω nel quale siano presenti un corpo attorno a cui siamo interessati a studiare il flusso e un ostacolo posto davanti a tale corpo. Lo scopo del problema di controllo è determinare la condizione al contorno da imporre sul bordo di inflow in una simulazione fluidodinamica eseguita su un dominio senza l’ostacolo per avere che il flusso attorno al corpo sia il più possibile vicino a quello che si otterrebbe nel caso in cui la simulazione fosse eseguita su un dominio che comprende anche l’ostacolo. Si noti che questa è una generalizzazione del problema esposto in sezione 1.5.
Sia dunque Ω ⊆ Rd, con in generale d = 2, 3, e sia Γ il suo bordo. Dividiamo Γ in:
• Γbody, la porzione di bordo del dominio che rappresenta il corpo e l’ostacolo (se presente);
Ω
Γin Γout Γsym Γsym Γbody ΓbodyFigura 2.1: Dominio di esempio per il problema di controllo in esame. In grigio è stata indicata la regione di controllo Ω0.
• Γout, il bordo di outflow; • Γsym, il resto del bordo.
Un dominio di esempio è mostrato in figura 2.1.
Siano quindi u = u (x) e p = p (x), con x ∈ Ω, rispettivamente velocità e pressione del fluido. L’equazione di stato è:
−ν∆u + (u · ∇) u + ∇p = 0 , ∀ x ∈ Ω , ∇ · u = 0 , ∀ x ∈ Ω , u = 0 , ∀ x ∈ Γbody, u = G , ∀ x ∈ Γin, −p n + ν∇u · n = 0 , ∀ x ∈ Γout, u · n = 0 ; (−p n + ν∇u · n) · t = 0 , ∀ x ∈ Γsym, (2.7) dove G = G (x) = g (x) 0 0
è una funzione sufficientemente regolare. SianoU , P e G gli spazi vettoriali cui appartengono rispettivamente le funzioni u, p e g.
Definiamo inoltre, per brevità di notazione: Γd= Γbody∪ Γin, ud= ( 0 , x ∈ Γbody, G , x ∈ Γin.
Si noti che l’equazione (2.7) descrive un flusso stazionario. Come nel caso del capitolo 1, supporremo infatti per semplicità che il problema sia stazionario. Tale approssimazione ci consente di ridurre il costo computazionale e la me-moria necessaria per effettuare le simulazioni al calcolatore. Se considerassi-mo un problema di controllo tempo-dipendente dovremconsiderassi-mo infatti salvare la soluzione in ognuno dei passi utilizzati nella discretizzazione in tempo, poi-ché il problema aggiunto risulterebbe essere un problema tempo-dipendente backward: il solutore dell’aggiunto dovrebbe quindi avere a disposizione le variabili di stato necessarie a calcolare i coefficienti e la forzante di tale problema ad ogni passo, partendo dall’istante temporale finale e andando verso quello iniziale. Si veda [Gun03] per maggiori dettagli sui problemi di controllo tempo-dipendenti in ambito fluidodinamico.
Come funzionale costo consideriamo: J (u, p, g) = σ1 2 Z Ω0 (u − U)2 dΩ +σ2 2 Z Ω0 (p − P )2 dΩ +σ3 2 Z Γin |g|2 dΩ + σ4 2 Z Γin |∇g|2 dΩ , (2.8)
dove U e P sono rispettivamente il campo di velocità e di pressione calcolati nel dominio contenente anche l’ostacolo, σi∈ R+∀ i = 1, . . . , 4 e Ω0⊂ Ω (si
veda ancora la figura 2.1). I primi due termini del funzionale (2.8) richiedono la vicinanza (in norma L2(Ω0)) della soluzione ricostruita applicando G come condizione al bordo sul dominio senza ostacolo e di quella calcolata sul dominio con ostacolo con condizione al bordo uniforme, mentre il terzo e il quarto sono termini di regolarizzazione.
Introducendo le variabili aggiunte ξ (x), θ (x), λ (x), α (x), β (x) e γ (x) e utilizzando il prodotto scalare di L2(Ω) come prodotto di dualità (cosa che possiamo fare poiché lo spazio duale di L2(Ω) è L2(Ω) stesso) possiamo scrivere la funzione lagrangiana (2.3) come:
L (u, p, g, ξ, θ, λ, α, β, γ) = J (u, p, g) − Z Ω (−ν∆u + (u · ∇) u + ∇p) · ξ dΩ − Z Ω (−∇ · u) θ dΩ − Z Γd (u − ud) · λ dΓ − Z Γout (−p n + ν∇u · n) · α dΓ − Z Γsym (u · n) β dΓ − Z Γsym ((−p n + ν∇u · n) · t) γ dΓ . (2.9)
Si noti che ξ ∈U e θ ∈ P, mentre λ, α, β e γ appartengono in generale a L2 sul loro dominio.
