Come gi`a anticipato, vorremmo mettere a confronto i risultati ,per avere cop- ertura dinamica attraverso il calcolo di Malliavin, proposti durante questo lavoro. L’implementazione degli strumenti principali per trovare i valori desiderati per il caso di opzioni Asiatiche con media aritmetica, `e gi`a sta- to trattato nella Sezione 4.4. In quella sezione non si sono per`o guardati
Figura 8: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.2
degli aspetti tecnici come l’implementazione di
G(t) = 1 S(t) K · T − Z t 0 S(u)du .
Per stimarla ad ogni passo temporale useremo il seguente codice:
function G=Git(S,dt,K,T)
G=(1/S(end))*(K*T-sum(S(2:end))*dt);
Dove S `e il vettore dei prezzi del risky asset fino all’istante t.
In questo caso abbiamo l’equazione (105) che `e una rappresentazione quasi-esplicita del valore del portafoglio ad ogni istante t ∈ [0, T ].
V (t) = exp(−r(T − t))S(t) T
Z +∞
G(t)
U (T − t, x)dx.
Il codice per stimarlo lo scriviamo come segue
function P=PriceAriMalli(t,Gt,St,dx,x,tt,U,T,r)
Figura 9: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.2
j=find(x(1,:)>=Gt,1); % contatore spazio
P=exp(-r*(T-t))*St/T* sum(U(j:end,i))*dx;
dove [x,tt,U]=trovaU(sigma,r). L’integrale l’abbiamo approssimato con delle semplici somme, a tempo fissato ed per x ≥ G(t).
A questo punto, abbiamo tutti gli strumenti necessari per scrivere un codice in grado di mostrarci esattamente le due strategie che stiamo anal- izzando. Per le simulazioni, avremmo bisogno di una serie storica. Molto semplicemente, la possiamo simulare prendendo uno dei path generati dal programma per la simulazione antitetica con Nsim = 1.
function [MG,Vgeo,Pgeo,MA,Vari,Pari,S]=RollMain(S)
S0=100; % Valore iniziale sottostante
K=100; % Strike
T=1; % Maturity
r=0.05; % Drift
sigma=0.2; % Volatilit\‘{a}
Figura 10: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.2
dt=T/N;
%%%%%%%%%%%%% Inizializzazione Geometrica %%%%%%%%%%%%%%%%
Gi=1; %
p0=Probability(0,S0,1,S0,K,T,r,sigma,N); %
V0=PriceGeoDisc(S0,K,T,r,sigma,N); % Prezzo iniziale %
P0=V0+exp(-r*T)*K*p0; % Quantit\‘{a} di denaro investito...
% nel titolo rischioso %
Pf=P0/S0; % # azioni % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%% Inizializzazione Aritmetica %%%%%%%%%%%%%%%% dx=0.01; % G0=K*T/S0; % % [x,t,U]=trovaU(sigma,r,dt,dx); % Fraction=fraction_risky(sigma,r,x,t,U); % % P0aritmetica=PriceAriMalli(0,G0,S0,dx,x,t,U,T,r); %
j=find(x(1,:)>=G0,1); %
F0=Fraction(j,h); %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for i=1:N
%%%% Geometrica
St=S(i+1); % Tutti gli S sono S(t+1) perch\‘{e} il caso
Gi=Gi*St/100; % con S(0) l’ho gi inizializzato
p=Probability(dt*i,St,Gi,S0,K,T,r,sigma,N);
V0=Pf*St+(V0-P0)*exp(r*dt); % Valore del portfoglio attuale P0=piMalliavin(p,dt*i,V0,K,T,r); % Quantit\‘{a} di denaro in azioni
Pf=P0/St; % # azioni MG(i)=geomean(S(2:i+1)); VG(i)=V0; PI(i)=P0; %%%% Aritmetica G(i)=Git(S(1:i+1),dt); P(i)=PriceAriMalli(i*dt,G(i),S(i+1),dx,x,t,U,T,r); MA(i)=mean(S(2:i+1));
h=find(t(:,1)>=T-i*dt,1); %contatore del tempo j=find(x(1,:)>=G(i),1); FR(i)=Fraction(j,h); end V0aritmetica=P0aritmetica; V0geometrica=PriceGeoDisc(S0,K,T,r,sigma,N); P0=V0geometrica+exp(-r*T)*K*p0;
MG=[S0,MG]; % Vettore della media geometrica nel tempo
MA=[S0,MA]; % Vettore della media aritmetica nel tempo
FR=[F0,FR]; % Vettore della frazione investita in azioni
Vari=[V0aritmetica,P]; % Vettore dei valori del portafoglio aritmetico
Figura 11: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.2
Vgeo=[V0geometrica,VG]; % Vettore dei valori del portafoglio geometrico
Pgeo=[P0,PI]; % Quantit\‘{a} investite in titolo rischioso
Dove, come gi`a detto, S `e un vettore di lunghezza N + 1, frutto del valore iniziale pi`u N steps temporali.
Siamo riusciti a mostrare due possibili applicazioni del calcolo di Malliavin, e di come questo ci abbia portato a determinare una strategia dinamica di cop- ertura, sia per media aritmetica che per media geometrica. Va sottolineato come, per quanto riguarda la media geometrica, abbiamo deciso di applicare un metodo-monte carlo. In realt`a conosciamo la funzione densit`a della media geometrica (vedere Capitolo 1.1 l’equazione (12)), quindi siamo in grado di ricavare la funzione di ripartizione del payoff, ma abbiamo preferito provare un altro metodo numerico seppur, probabilmente, meno preciso.
Questa `e solo una minima applicazione di ci`o che il calcolo di Malliavin `e potenzialmente in grado di offrire. Infatti noi ci siamo limitati a lavorare su opzioni Asiatiche di tipo average rate, ma ovviamente si potrebbe provare a svolgere lo stesso esercizio con opzioni average strike. Inoltre potremmo non limitarci alle opzioni Asiatiche, ma provare a valutare altri tipi di opzioni path-dependent, come le opzioni barriera.
Volendo proseguire con lo sviluppo, potremmo andare oltre il semplice moto Browniano. Per l’esattezza, si potrebbe estendere il calcolo di Malliavin ai processi di Levy, che sono diventati molto diffusi nel pricing degli strumenti finanziari, poich`e simulano meglio l’andamento del mercato, specialmente in fase di incertezza dei mercati come quella attraversata negli ultimi anni. Per cui, per poter affrontare alcune dei pi`u importanti e recenti sviluppi della finanza, non si pu`o non considerare l’utilizzo d processi di Levy al posto del classico moto Browniano.
In Appendice C, troviamo invece un passo un ulteriore sviluppo. Dupire ha sviluppato una nuova tecnica di calcolo funzionale con cui `e in grado di prezzare qualunque tipo di payoff, e ricavarne non solo le greche, ma anche la superficie di voletilit`a, che in ambito finanziario `e importantissimo, visto anche il diffondersi di opzioni il cui sottostante non `e altro che la volatilit`a di un qualche strumento finanziario. Dupire ricava la formula di itˆo per funzion- ali, cos`ı pu`o riscrivere l’equazione di Black-Scholes per na qualunque forma
di payoff. Ovviamente questo `e un nuovo possibile sviluppo, che comunque nasce seguendo lo spirito del calcolo di Malliavin.
A
Definizioni
Riportiamo di seguito alcune definizioni che possono risultare utili per capire alcuni passaggi che abbiamo affrontato nel corso di questa tesi.
Equazione ipergeometrica confluente
In matematica per equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kum- mer si intende un’equazione differenziale ordinaria lineare della forma
z d
2
dz2w(z) + (b − z)
d
dzw(z) − aw(z) = 0
dove a, b, z sono variabili complesse o variabili formali; in genere a e b sono considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni e di fun- zioni di z loro soluzioni. Ciascuna delle sue soluzioni `e chiamata funzione ipergeometrica confluente; si individuano in particolare due soluzioni indipen- denti, M (a, b, z) e U (a, b, z), fornite da serie ipergeometriche; la prima la chi- amiamo funzione ipergeometrica di Kummer, la seconda funzione di Whittak- er. (Ricordiamo che per funzione di Kummer si intende una funzione speciale non collegata alle precedenti.)
La funzione ipergeometrica di Kummer `e data dalla serie
M (a, b, z) = ∞ X n=0 (a)nzn (b)nn!
dove (a)n= a(a + 1)(a + 2) . . . (a + n − 1) `e il fattoriale crescente
La funzione di Whittaker `e data da U (a, b, z) = π sin(πb) M (a, b, z) Γ[1 + a − b]Γ[b] − z 1−bM (1 + a − b, 2 − b, z) Γ[a]Γ[2 − b]
Funzione Gamma Incompleta
Le funzioni gamma incomplete sono funzioni speciali definite da integrali. Con le notazione di Abramowitz e Stegun:
Γ(a, x) = Z ∞ x e−tta−1dt, γ(a, x) = Z x 0 e−tta−1dt, P (a, x) = 1 Γ(a) Z x 0 e−tta−1dt, dove Γ(a) `e la funzione Gamma di Eulero.
Polinomi di Laguerre
In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834 − 1886). Essi si possono definire come:
Ln(x) := ex n! dn dxn e −x xn per n = 0, 1, 2, . . . La successione dei polinomi di Laguerre `e una sequenza di Sheffer.
B
Equazione di Kolmogorov
all’indietro
Sia {X(t), t ≥ 0} un processo diffusivo omogeneo regolare sull’intervallo aper- to I = (l, r). Definiamo come P (t, x, y) = P r{X(t) ≤ y|X(0) = x} la funzione di ripartizione di X(t) soggetta alla distribuzione iniziale
P (0, x, y) (
1 se x ≤ y, 0 se x > y,
per esempio andrebbe bene una delta di dirac in x. Ipotiziamo che P (t, x, y) deriva da una densit`a continua su (l, r), formalmente
dP (t, x, y)
dy = p(t, x, y) per t > 0 (121) Il nostro obiettivo `e quello di ricavare un equazione alle derivate parziali per la funzione
u(t, x) = E[g(X(t))|X(0) = x], (122) dove g(x) `e limitata e continua a tratti su I.
Sotto condizioni blande, possiamo garantire che u(t, x) soddisfi l’equazione alle derivate parziali
∂u ∂t = 1 2σ 2 (x)∂ 2u ∂x2 + µ(x) ∂u ∂x (123)
La specificazione di g(η) = 1 per η ≤ y e 0 per η > y, produce la funzione di ripartizione
u(t, x) = P (t, x, y).
L’equazione (123) in questo caso `e conosciuta come l’equazione di Kolmogorov all’indietro, che `e ∂P (t, x, y) ∂t = 1 2σ 2(x)∂2P (t, x, y) ∂x2 + µ(x) ∂P (t, x, y) ∂x (124)
valida per t > 0 e l < x, y < r. La condizione iniziale associata a (124) `e
P (0+, x, y)
(
1 se x ≤ y, 0 se x > y,
La densit`a di transizione p(t, x, y) soddisfa anch’essa l’equazione di Kol- mogorov all’indietro: ∂p ∂t = 1 2σ 2 (x)∂ 2p ∂x2 + µ(x) ∂p ∂x (125) per t > 0 e x, y ∈ (l, r).
C
Calcolo di Itˆo funzionale
Questo lavoro `e molto recente ed `e verso dove sembra stia andando la ricerca. Infatti, grazie alla struttura teorica che stiamo per presentare, si dovrebbe essere in grado non solo di prezzare ed ottenere una copertura dinamica di opzioni, ma anche di costruire superfici di volatilit`a che stanno diventando sempre pi`u importanti nel mondo della finanza, soprattutto nel risk manage- ment. Come vedremo, il modo d’operare `e molto simile a quello che abbiamo usato per i nostri scopi durante questa tesi.
C.1
Notazioni e definizioni
Per iniziare abbiamo bisogno di definire lo spazio delle traiettorie, dei fun- zionali, una distanza ed il concetto di continuit`a e derivabilit`a. Questo perch`e lavoreremo con funzionali definiti su traiettorie di diversa lunghezza, quindi necessiteremo di differenti definizioni.
Spazio
Le traiettorie che considereremo sono C`adl`ag (continue a destra, limitata a sinistra) e non continue e ci applicheremo degli shock discontinui per calco- lare alcune derivate. Questa `e una restrizione sulla classe dei funzionali, non un ampliamento della classe dei processi che consideriamo.
Definiamo con Λt l’insieme di funzioni C`adl`ag limitate [0, t] → R e Λ ≡
visto che non `e definita la nozione di addizione.
Le traiettorie le scriveremo con lettere maiuscole ed i processi da lettere minuscole. Per esempio, se x `e un processo, il suo valore al tempo t sar`a xte
la sua traiettoria fino al tempo t sar`a Xt ∈ Λt⊂ Λ e per u ∈ [0, t], Xt(u) = xu.
Funzionale
Definizione: un funzionale `e una funzione f: Λ → R. Questo associa un numero reale ad ogni funzione C`adl`ag su [0,t] per ogni t ∈ [0, T ].
2 esempi finanziariamente molto importanti sono:
• Prezzo di opzioni path dependent come funzione della traiettoria fino a quel momento
• Limite superiore/inferiore di un’opzione path dependent come funzione della traiettoria fino a quel momento
Topologia e continuit`a
Introduciamo ora una distanza su Λ insieme ad una nozione di continuit`a indotta di un funzionale.
Lo spazio Λ contiene traiettorie di diversa lunghezza. Per poter definire una distanza fra traiettorie di diversa lunghezza, estenderemo quella pi`u corta, congelandone l’ultimo valore, fino alla lunghezza della traiettoria pi`u lunga (La definizione formale la daremo fra poco). Quindi definiamo una distanza su Λ come:
Per ogni Xt, Ys ∈ Λ, (ipotizziamo t ≤ s )
dΛ(Xt, Y, s) ≡ kXt,s−t− Ysk + s − t
dove Xt,s−t `e l’etensione di Xt come descritto sopra.
La presenza di s-t assicura che dΛ sia una distanza, e non solo una semi-
distanza.
Questa distanza induce alla seguente nozione di continuit`a:
Un funzionale f : Λ → R `e Λ-continuo per ogni Xt∈ Λ se:
∀Yt ∈ Λ, dΛ(Xt, Ys) < α ⇒ |f (Ys) − f (Xt)| <
f : Λ → R `e Λ-continuo se `e Λ-continuo per ogni Xt∈ Λt
Questa nozione di continuit`a `e pi`u debole della nozione di L∞-uniforme continuit`a.
Derivate in spazio ed in tempo
Adesso introduciamo la derivata spaziale e temporale di un funzionale. Per una traiettoria data Xt∈ Λt, la derivata corrisponde a cambiamenti del val-
ore e dell’istante corrente. Per Xt∈ Λ, definiamo gli incrementi:
• Xh
t come Xt con il valore finale shiftato di h ∈ R:
Xth(s) = Xt(s) per s < t Xth(t) = Xt(t) + h else
• Xt,δt, dove δt ≥ 0, `e un’estensione di Xt ottenuta congelando il punto
finale su [t, t + δt]:
Xt,δt(s) = Xt(s) per s ≤ t Xt,δt(s) = Xt(t) per s ∈ [t, t + δt]
∆xf (Xt) ≡ lim h→0 f (Xth) − f (Xt) h ∆xxf (Xt) ≡ lim h→0 ∆xf (Xth) − ∆xf (Xt) h ∆tf (Xt) ≡ lim δt→0+ f (Xt,δt) − f (Xt) δt
L’incremento spaziale nella definizione di derivata pu`o essere sia negativo che positivo, mentre l’incremento in tempo `e solo positivo. Quindi `e una derivata destra.
Queste derivate soddisfano le propriet`a classiche: linearit`a, prodotto, chain rule.
Introduciamo un’ultima definizione: f : Λ → R `e un funzionale smooth se `e Λ-continuo, C2 in spazio e C1 in tempo, con le sue derivate a loro volta
Λ-continui.
Fin’ora non `e stato introdotto nessun concetto di probabilit`a. La base stocas- tica `e uno spazio di probabilit`a (Ω, F, P ) fornito di una filtrazione (Ft)t∈[0,T ]
che soddisfi le condizioni usuali. Integrale stocastico Per g funzionale da Λ → R Z g(Xt)dxt= lim ti−ti−1→0 X i g(Xti−1)(xti− xti−1)
se il limite della serie esiste.