In un mercato senza costi di transazione, il prezzo che rispetta il principio di non arbitraggio della maggior parte dei derivati (Europee, Asiatiche, ecc. ...) pu`o essere espresso come valore atteso del payoff associato che `e di solito definito come un funzionale del processo del sottostante.
Cercheremo ora di porre delle basi per poter utilizzare il calcolo di Malli- avin per i nostri scopi. Di seguito, riportiamo delle propriet`a gi`a dimostrate nella Sezione 2, ma che, per comodit`a e per compattezza delle nozioni, `e meglio avere sott’occhio.
Il processo del sottostante `e dato da {X(t); 0 ≤ t ≤ T } che `e un proces- so di Markov con valori in Rn e la cui dinamica `e descritta dall’equazione
differenziale stocastica
dX(t) = b(X(t))dt + σ(X(t))dW (t), (84) dove {W (t), 0 ≤ t ≤ T } `e un moto Browniano con valori in Rn. I coefficienti b e σ sono scelti tali da soddisfare le usuali condizioni per poter garantire l’esistenza e l’unicit`a di una soluzione continua ed adattata dell’equazione (84).
Dato 0 < t1 ≤ . . . ≤ tm = T, consideriamo la funzione
u(x) = E[φ(X(t1), . . . , x(tm))|X(0) = x], (85)
dove φ soddisfa alcune condizioni tecniche che verranno descritte dopo. Nelle applicazioni finanziarie, u(x) descrive il prezzo di un’opzione definita dalla funzione di payoff φ che tiene conto dei tempi (t1, . . . , tm). Esempi di queste
opzioni includono sia quelle usuali sia quelle path dependent o persino oggetti pi`u complicati.
Concentriamoci adesso su alcune propriet`a che ci torneranno utili del calcolo di Malliavin. Infatti grazie a questo tipo di calcolo, possiamo calcolare la derivata di un gran numero di variabili casuali e processi (adattati o meno
alla filtrazione) definiti sullo spazio di Wiener. Presentiamo alcune notazioni che verranno utilizzate per il resto della trattazione.
Sia {W (t), 0 ≤ t ≤ T } un n-dimensionale moto Browniano definito su uno spazio di probabilit`a completo (Ω, F , P ) e scriveremo Ft la filtrazione
naturale di W rispetto a P . Sia C l’insieme delle variabili casuali F della forma F = f Z ∞ 0 h1(t)dW (t) . . . Z ∞ 0 hn(t)dW (t) , f ∈ C(Rn)
dove C(Rn) indica l’insieme delle funzioni infinitamente differenziabili e che
decrescono rapidamente su Rn e h1, . . . , hn ∈ L2(Ω × R+). Per F ∈ C,
la derivata di Malliavin DF di F `e definita come il processo DtF, t ≥ 0 di
L2(Ω × R+) con valori in L2(R+): DtF = n X i=1 ∂f ∂xi Z ∞ 0 h1(t)dW (t), . . . , Z ∞ 0 hn(t)dW (t) hi(t), t ≥ 0 quasi ovunque.
Definiamo inoltre la norma su C
kF k1,2 = (E(F2)) 1 2 + E( Z ∞ 0 (DtF )2dt) 12 ,
Quindi D1,2 indica lo spazio di Banach che `e la chiusura di C rispetto alla
norma kk1,2. L’operatore di derivazione D (chiamato anche l’operatore gra-
diente) `e un operatore lineare chiuso definito in D1,2 ed i suoi valori sono in L2(Ω × R+).
Propriet`a 3.1. Sia X(t), t ≥ 0 un processo di Itˆo n-dimensionale la cui dinamica sia data dall’equazione differenziale stocastica:
dX(t) = b(X(t))dt + σ(X(t))dW (t),
dove b e σ si suppone siano funzioni continue e differenziabili con derivate limitate. Sia Y (t), t ≥ 0 il processo di prima variazione associato, definito
dall’equazione differenziale stocastica: dY (t) = b0(X(t))Y (t)dt + n X i=1 σ0(X(t))Y (t)dWi(t), Y (0) = In,
dove In `e la matrice identit`a di Rn, l’apice indica la derivata e σi `e l’i-esimo
vettore colonna di σ. Quindi il processo X(t), t ≥ 0 appartiene a D1,2 e la
sua derivata di Malliavin `e data da:
DsX(t) = Y (t)Y (s)−1σ(X(s)) · 1s≤t, s ≥ 0 quasi ovunque.
Inoltre, se ψ ∈ Cb
1(Rn) allora abbiamo che
Dsψ(XT) = ∇ψ(XT)Y (T )y(s)−1σ(X(s)) · 1s≤T, s ≥ 0 quasi ovunque
ed anche Ds Z T 0 ψ(Xt)dt = Z T s
∇ψ(Xt)Y (t)Y (s)−1σ(X(s))dt quasi ovunque.
Adesso che abbiamo ricordato alcune propriet`a fondamentali del calcolo di Malliavin, possiamo concentrarci sulla formulazione delle equazioni neces- sarie alla risoluzione del nostro problema di hedging.
Consideriamo il set S di funzionali cilindrici F : Ω → R, dati da F = f (WT1, . . . , WTl) dove f ∈ C
∞ b (R
l) `e un funzionale con derivate limitate di
ogni ordine e (W (t)) `e un moto browniano su Ω. Definiamo l’operatore di derivata Malliaviana su S come:
DsF := l X i=1 ∂f ∂xi (WT1(ω), . . . , WTl(ω)) · 1[0,ti](s)
Questo operatore e le sue iterate Dn sono chiusi ed illimitati da Lp(Ω) a Lp(Ω × [0, T ]n), per ogni n ≥ 1. I loro rispettivi domini li chiamere- mo Dn,p ed ottenuti come la chiusura di S rispetto alla norma definita da kF kp n,p = kF k p Lp(Ω) + Pn k=1kDkF k p
treremo sullo spazio di Hilbert D1,2. Per proseguire abbiamo bisogno della
chain rule associata alla derivata del calcolo di Malliavin, ma prima dobbiamo riportare un risultato tecnico che useremo nella dimostrazione:
Lemma 3.2. Sia {Fn, n ≥ 1} una successione di variabili casuali in D1,2 che
converge ad F in L2(Ω) e tale che
sup
n
E(kDFnk2H) < ∞.
Quindi F appartiene a D1,2, e la successione della derivata {DF
n, n ≥ 1}
converge a DF nella topologia debole di L2(Ω; H).
Dimostrazione. Esiste una sottosuccessione {Fn(k), k ≥ 1} tale che la suc-
cessione di derivate DFn(k) converge nella topologia debole di L2(Ω; H) ad
alcuni elementi α ∈ L2(Ω; H). Si pu`o dimostrare che le proiezioni di DF n(k)
su ogni spazio di Wiener convergono in una topologia debole di L2(Ω), per
k che tende ad infinito, a quelli di α. Dunque F ∈ D1,2 e α = DF . Inoltre, per ogni sottosequenza debolmente convergente, il limite deve essere pari ad α per l’argomentazione precedente, e questo implica la convergenza debole dell’intera sequenza.
Proposizione 3.3. Sia ϕ ∈ C1(R) una funzione continua e differenziabile e sia F ∈ D1,2. Quindi ϕ(F ) ∈ D1,2 sse ϕ(F ) ∈ L2(Ω) e ϕ0(F )DF ∈
L2(Ω × [O, T ]). Inoltre, sotto queste ipotesi:
D[ϕ(F )] = ϕ0(F )DF. (86)
Se ϕ non `e C1 ma globalmente Lipschitz con costante K, allora ϕ(F ) `e ancora
in D1,2 ed esiste una variabile casuale G, che `e limitata da K, tale che:
D[ϕ(F )] = GDF.
Dimostrazione. L’equazione (86) `e semplicemente una versione della chain rule gi`a enunciata e dimostrata nella Proposizione 2.9. Sia αn(x) una suc-
una funzione non negativa appartenente a C0∞(Rm) il cui supporto `e la palla
unitaria e tale cheR
Rmα(x)dx = 1. Definiamo ϕn= ϕ · αn. `E facile verificare
che limnϕn(x) = ϕ(x) uniformemente rispetto a x, e che le funzioni ϕn sono
C∞ con |∇ϕn| ≤ K. Per ogni n abbiamo
D(ϕn(F )) =
X
i=1m
∂iϕn(F )DFi. (87)
La successione ϕn(F ) converge a ϕ(F ) in L2(Ω) per n che tende all’infini-
to. D’altra parte, la successione {D(ϕn(F )), n ≥ 1} `e limitata in L2(Ω; H).
Quindi, per il Lemma 3.2 ϕ(F ) ∈ D1,2 e {D(ϕn(F )), n ≥ 1} converge
nella topologia debole di L2(Ω; H) a {D(ϕ(F ))}. Inoltre, la successione {∇ϕn(F ), n ≥ 1} `e limitata da K. Quindi esiste una sottosuccessione
{∇ϕn(k)(F ), k ≥ 1} che converge a qualche vettore di variabili aleatorie
G = (G1, ..., Gm) nella topologia debole σ(L2(Ω; Rm)). Per di pi`u, G `e
limitato da K. Quindi, facendo il limite in (87), otteniamo che
D(ϕ(F )) =
m
X
i=1
GiDFi.
La proposizione che segue contiene la formula di Clark-Ocone, che `e il collegamento principale fra hedging e calcolo di Malliavin
Proposizione 3.4. Sia F ∈ D1,2, allora
F = E[F ] + Z T
0
E[DtF |Ft]
Dimostrazione. Questa `e la formula di Clak-Ocone che possiamo vedere nel Teorema 2.22.
Per i nostri scopi abbiamo bisogno di calcolare la derivata di Malliavin del payoff di un’opzione Asiatica con media aritmetica.
Proposizione 3.5. Definiamo gT = T1
RT
0 S(u)du − K con S(·) dato da (80)
e K ∈ R. Quindi gT ∈ D1,2 e Dt(gT) = σgT + σK − σ T Z t 0 S(u)du.
Dimostrazione. Segue direttamente dalla Propriet`a 3.1. Infatti abbiamo che b(S(t)) = r · S(t) σ(S(t)) = σ · S(t)
quindi di conseguenza, il processo di prima variazione associato `e dY (t) = rY (t)dt + σY (t)dW (t) Y (0) = 1,
che, a meno di una costante dovuto al punto iniziale, `e uguale a S(t). Attraverso semplici operazioni di algebra lineare otteniamo
Ds Z t 0 S(u)du = Z t s 1 · Y (u)Y (s)−1σS(s)du · 1[s≤t] = = |{z} Y (·)=S(·) Z t s σS(u)du · 1[s≤t]
Siccome la derivata di Malliavin `e additiva e nulla per le costanti, otteniamo che DtgT = Dt 1 T Z T 0 S(u)du − K = = 1 T Z T t σS(u)du = = σgT + σK − σ T Z t 0 S(u)du.