Calcolo di Malliavin e copertura di opzioni asiatiche

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Facolt`

a di Ingegneria dei Sistemi

Corso di Studi in

INGEGNERIA MATEMATICA

Tesi di Laurea Specialistica

Calcolo di Malliavin e Copertura di

Opzioni Asiatiche

Relatore: Prof. Carlo Sgarra

Candidato:

Marco Papagno

734682

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Sommario

Lo scopo di questo lavoro è quello di proporre un metodo per coprire e prezzare opzioni Asiatiche, sfruttando il calcolo di Malliavin. Prima di fare ciò, mostreremo vari metodi sviluppati nel corso degli anni per coprire opzioni Asiatiche. In questo excursus, capitolo uno, preferiremo porre l’attenzione sui pregi e difetti, limiti ed even-tuali sviluppi, dei metodi elencati, piuttosto di un rigoroso formalismo nel dimostrare i risultati ottenuti. La prima classe dei metodi che an-dremo ad analizzare sarà di tipo Monte-Carlo, dei quali vedremo meto-di meto-di derivazione meto-differenziale, metometo-di basati sulla traiettoria, e che usano stimatori di massima verosimiglianza. Un’altra classe di meto-di che vedremo, è quella analitica, che divideremo in approssimazione comonotonica, rappresentazione integrale ed approssimazione di Tay-lor. L’ultima classe di metodi che troviamo in questo capitolo, sono quelli basati sulle differenze finite. Per l’esattezza approfondiremo il metodo semi-analitico di Zhang.

Nel capitolo due entreremo invece in una trattazione dettagliata del calcolo di Malliavin, in particolare mostreremo il concetto di derivata di Malliavin, e dimostreremo alcune sue proprietà che ci serviranno nel prosieguo del nostro lavoro. Il risultato più importante che incon-triamo nel capitolo sarà la formula di Clark-Ocone. Svolgeremo, come esempio d’applicazione, il calcolo delle greche di un’opzione Asiatica di tipo aritmetico.

Nel terzo capitolo entreremo nel vivo del lavoro. Applicheremo i risultati precedentementi ottenuti per riuscire ad arrivare ad una formulazione quasi-esplicita del prezzo e della strategia di copertura di un’opzione Asiatica a media aritmetica. Troveremo per l’esattezza due strade percorribili: una formula risolvibile tramite l’utilizzo di un integrale triplo, ed un’altra tramite la risoluzione di una equazione alle derivate parziali.

Nel quarto capitolo implementeremo dei programmi con i quali discuteremo quale metodo ci sembra il migliore. Per risolvere l’EDP useremo un metodo alle differenze finite, per l’esattezza applichere-mo alla nostra equazione le tecniche di calcolo UPWIND e THETA-METODO.

Nel quinto capitolo ripercorreremo gli stessi passi svolti nel capi-tolo tre, cercando questa volta di arrivare ad un metodo per prezzare e coprire opzioni Asiatiche di tipo geometrico. In questo caso incontr-eremo però più ostacoli, che ci costringeranno ad abbandonare la via analitica e sfruttare i metodi Monte-Carlo. Questo perchè non sare-mo in grado di esprimere una probabilità in forma esplicita o quasi-esplicita. Useremo il metodo della variabile antitetica per ridurre la varianza del problema.

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In definitiva saremo in grado di stabilire, e confrontare fra loro, strategie di hedging dinamico per opzioni Asiatiche di tipo average rate.

Abstract

The aim of this paper is to propose a method to cover and pricing Asian options, using the Malliavin calculus.

Before doing so, we will show various methods developed over the years to cover Asian Options. In this overview, chapter one, we would prefer to focus on its strengths and weaknesses, limitations and possi-ble developments of the methods listed, rather than a rigorous formal-ism to demonstrate results. The first class of methods that we analyze will be Monte-Carlo methods for derivation of which see differential methods, methods based on the path, and using maximum likelihood estimators. Another class of methods that we shall see, the analytic, which divide into comonotonic approximation, integral representation and approximation of Taylor. The last class of methods that we find in this chapter are those based on finite differences. More precisely, we will discuss semi-analytical method of Zhang.

In chapter two we will enter instead into a detailed discussion of the Malliavin calculus, in particular, show the concept of Malliavin derivative, and demonstrate some of its properties that will serve us later in our work. The most important result, that we will meet in the chapter, will be the Clark-Ocone formula. We will play as an example of application, the calculation of the Greeks of an Asian options with arithmetic average.

In the third chapter we will enter into the heart of the work. Apply the results previously obtained to be able to reach a quasi-explicit formulation of price and hedging strategy in arithmetic average Asian options. We will find two possible ways: a formula solved by using a triple integral, and another by solving a partial differential equation.

In the fourth chapter we will implement some programs with which we will discuss which method seems best. To solve the EDP we will use a finite difference method: the techniques we will apply to our equation for calculating are UPWIND and THETA-METHOD.

In the fifth chapter retrace the same steps carried out in chapter three, this time trying to arrive at a method for pricing and hedging Asian option with geometric average. In this case, however, we will encounter more obstacles that force us to abandon the way of analyt-ical methods and exploit the Monte-Carlo. This is because we are not able to express a probability explicitly or quasi-explicitly. We will use the antithetic variable method to reduce the variance of the problem. In the end we will be able to assess and compare between them, dynamic hedging strategies for Asian options with average rate.

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In seguito al celebre lavoro di Black e Scholes sulla valutazione e la copertura delle opzioni, negli ultimi anni, c’`e stato un sempre crescente interesse nello studio di modelli finanziari attraverso concetti matematici, quali martingale ed integrazione stocastica.

Le opzioni sono contratti derivati che danno al compratore (holder), di-etro il pagamento di un premio, il diritto, e non l’obbligo, di comprare o vendere una certa quantit`a di beni finanziari, ad una certa data e ad un prezzo di esercizio prestabilito. Il venditore (writer) deve attenersi alla deci-sione dell’holder. Il problema `e quello di valutare un’opzione ad ogni istante, e di conseguenza trovare il premio, che renda equa l’operazione.

A partire dagli anni ’60, a causa dell’aumentata incertezza sull’andamento dei tassi d’interesse, dell’inflazione, dei prezzi dei titoli azionari e dei tassi di cambio, della maggiore specializzazione professionale tra gli operatori del mercato e della maggiore competizione tra le diverse attivit`a finanziarie, si `

e assistito alla nascita di nuovi e pi`u efficienti prodotti che garantiscono la ripartizione del rischio: parliamo dei cosiddetti prodotti finanziari derivati.

In realtà è difficile dare un’esatta datazione sulla nascita del fenomeno derivati, poichè le testimonianze e le teorie in merito sono numerosissime, ma quello che c’interessa è l’analisi degli elementi che hanno condotto allo sviluppo di questi strumenti. La crescita della volatilità dei prezzi dei tassi rappresenta la prima grande fonte di sviluppo dei derivati: negli anni ’50 e gran parte degli anni ’60 infatti, i sistemi economici dei paesi industrial-izzati, presentavano condizioni di relativa stabilità, sia per quanto riguarda il prezzo delle merci, sia per i tassi d’interesse. Tale stabilità si esprimeva positivamente sui flussi finanziari delle imprese e sulle condizioni di raccolta del capitale di debito. Verso la fine degli anni ’60 però, tali equilibri eco-nomici e finanziari tra i paesi industrializzati iniziarono a venire meno: i tassi d’inflazione di Stati Uniti e Gran Bretagna iniziarono a salire, mentre fra le varie nazioni iniziarono a registrarsi divergenze sempre maggiori, sia in termini di politica fiscale e monetaria, sia per le dinamiche inflazionistiche. Questi elementi hanno inevitabilmente condotto all’abbandono, nel 1973, del sistema dei cambi fissi sancito dagli accordi di Bretton Woods. Dai primi anni ’70, quindi, ciò che ha inciso sullo scenario economico internazionale, sono stati i livelli eccezionalmente alti di volatilità raggiunti dai prezzi e dai tassi d’interesse e di cambio, introducendo un clima d’incertezza destinato a permanere. Ciò ha fatto nascere il bisogno di strumenti e strategie per la

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gestione dei rischi finanziari a cui i principali soggetti economici si trovavano esposti: la nascita dei mercati organizzati di futures, opzioni e swap su tassi d’interesse, su tassi di cambio e sui prezzi delle materie prime, rappresenta quindi la risposta del sistema finanziario al risk management.

Tra tutti i prodotti finanziari derivati, le opzioni sono sicuramente gli stru-menti più utilizzati dagli investitori e quelli maggiormente studiati ed anal-izzati dagli esperti. Esse hanno una funzione finanziaria molto importante per le operazioni svolte da banche ed imprese: rappresentano lo strumento per eccellenza su cui basare le strategie di gestione del rischio. La prima importante suddivisione a cui possiamo sottoporre le opzioni, è senza ombra di dubbio quella tra opzioni call e put ed opzioni europee ed americane. Nel caso siano di tipo europeo il diritto di opzione può essere esercitato solo alla scadenza, se sono di tipo americano il compratore può esercitare il suo dirit-to in qualsiasi momendirit-to e non soltandirit-to alla scadenza. L’altra importante classificazione è quella opzioni ordinaria (normalmente chiamate vanilla) da quelle esotiche: le prime si caratterizzano per avere sempre dei payoff stan-dard e sono quelle normalmente trattate nei mercati regolamentati, mentre le seconde si caratterizzano per payoff più particolari, non standard, e vengono solitamente trattate nei mercati OTC come risposta alle particolari esigenze finanziarie di alcune fasce di investitori. In riferimento a tale differenza, è sovente associato ad esse, la suddivisione tra opzioni di prima e di seconda generazione. Un’ulteriore suddivisione, ortogonale alla precedente, è quella tra opzioni che non dipendono dalla storia del titolo sottostante e opzioni che dipendono dalla storia del titolo sottostante, chiamate più frequente-mente path-dependent. Per queste ultime, il valore dell’opzione (o equivalen-temente, il payoff a scadenza) dipende non solo dal prezzo del sottostante alla scadenza, ma anche dalla sua storia passata. Sarà esattamente su queste opzioni che si concentrerà il nostro lavoro.

Infatti le opzioni Asiatiche sono un tipo d’opzione che appartengono alla famiglia path-dependent, in quanto il loro profitto dipende da un valore medio calcolato sulla base di prezzi che si riferiscono ad un predeterminato insieme di osservazioni. Tali tipi d’opzione sono state proposte e studiate per la prima volta da Boyle ed Emanuel, negoziate per la prima volta a Tokyo alla fine degli anni ’80 (da qui l’appellativo Asiatiche), e da allora si sono imposte nei mercati finanziari sia come attività finanziaria a sè stante, sia come clausola inglobata nel regolamento di alcuni titoli obbligazionari. Risultano molto più convenienti rispetto alle classiche opzioni ordinarie, ma proprio per le loro caratteristiche strutturali, il pricing di questi prodotti, presenta ancora oggi dei quesiti irrisolti.

La prima problematica che vogliamo sottolineare, `e che per questo tipo di opzioni, non `e possibile applicare direttamente la formula di Black e Scholes

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per la loro valutazione: in tale equazione il prezzo dell’opzione non dipende in nessun modo dalla variabile essenziale che caratterizza le opzioni Asiatiche, cioè, la media dei prezzi del titolo sottostante. Introducendo nell’equazione un elemento che sia strettamente legato a questa media, abbiamo ricavato l’e-quazione differenziale per le opzioni Asiatiche. La seconda problematica che vogliamo evidenziare è la valutazione delle opzioni Asiatiche in forma chiusa. Nel caso in cui il parametro di riferimento sia la media aritmetica, non è stato ancora trovata una formula di valutazione. Qualora la media di riferimento sia di tipo geometrico, si può dimostrare che, sia nel caso discreto che con-tinuo, la media geometrica segue una distribuzione log-normale con media e varianza che possono essere calcolate esplicitamente. Pur essendoci notevoli difficoltà nel ricavare una formula chiusa per opzioni Asiatiche che prevedono medie aritmetiche, nella prassi operativa la maggior parte delle opzioni Asi-atiche negoziate, presentano come parametro di riferimento proprio medie di tale tipologia.

Le opzioni Asiatiche sono quindi difficili da prezzare sia analiticamente che numericamente. Anche se sono state al centro di molte attenzioni negli anni recenti, non c’è una tecnica che sia completamente accettata per prezzare le opzioni Asiatiche per tutte le scelte dei parametri di mercato. Dunque, stimare la sensitivities del prezzo è spesso importante tanto quanto la stima del prezzo stesso, questo perchè le sensitivities sono una misura del rischio. Però queste sensitivities devono essere stimate poichè non è possibile vederle quotate sul mercato.

Le applicazioni del calcolo di Malliavin in finanza sono relativamente re-centi: inizialmente i risultati di Paul Malliavin (10 Settembre 1925 - 3 Giugno 2010) riscossero notevole interesse in relazione alla prova ed estensione del teorema di ipoellitticit`a di H¨ormander.

Dal punto di vista teorico, una notevole applicazione finanziaria del calcolo di Malliavin `e data dalla for-mula di Clark-Ocone che proveremo nel seguito del lavoro: essa raffina il teorema di rappresentazione delle martingale e permette di esprimere la strategia di copertura di un’opzione in termini di derivata stocastica del prezzo.

Il calcolo di Malliavin si `e

svilup-pato principalmente alla fine degli anni ’70 con l’obiettivo iniziale di dare una dimostrazione probabilistica del teorema di H¨ormander, ma in seguito `e di-ventato di centrale importanza anche in campo applicativo, segnatamente

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finanziario, grazie all’articolo di Fournié et al. [4], che ne ha proposto un’ap-plicazione al calcolo delle cosiddette greche. Nel gergo finanziario le greche, calcolate come derivate del prezzo di un prodotto finanziario rispetto ad un qualche parametro, sono quantità importanti poichè rappresentano la sensi-bilità dei prezzi alle variazioni del parametro stesso. Ricordiamo anche che la teoria di Malliavin è stata recentemente utilizzata per il calcolo numerico del prezzo di opzioni Americane con metodi Monte Carlo.

In questa tesi, si vuole trattare l’applicazione del calcolo di Malliavin alla copertura di opzioni Asiatiche di tipo average rate, ovvero dove lo strike è fissato. Prima di fare ciò, discuteremo come la ricerca in campo finanziario si sia concentrata, negli ultimi anni, su tecniche per prezzare ed elaborare strategie di coperture proprio su questo tipo d’opzioni. Infatti, opzioni path dependent sono estremamente diffuse in mercati che trattano, ad esempio, tassi di cambio. Questo accade perchè spesso non è il prezzo spot quello più importante (anche perchè soggetto a fluttuazioni non sempre naturali), ma bens`ı un prezzo medio sul periodo valutato. Inoltre si sono diffusi tipi di contratto complessi, il cui payoff dipende da tutta la storia del sottostante, e che quindi non è semplice valutarne prezzo e sensitivities. Vedremo strategie di copertura statiche, pricing basato sul metodo Monte-Carlo, calcolo delle greche in modo analitico o tramite l’aiuto di metodi alle differenze finite.

Il calcolo di Malliavin ci permette di gestire al meglio proprio questo tipo di problemi, ovvero quando una funzione dipende da una traiettoria stocastica. Quindi, dopo aver introdotto proprietà fondamentali ed essere arrivati fino alla formula di Clark-Ocone, che è un’estensione del teorema di rappresentazione delle martingale, saremo pronti ad applicare queste tec-niche di calcolo al nostro problema iniziale. Vedremo come la diversa natu-ra del payoff ci porterà a dover utilizzare due approcci molto diversi. In-fatti, utilizzando media aritmetica o media geometrica, arriviamo a poter disporre di una soluzione quasi-esplicita o all’avere bisogno di utilizzare il metodo Monte-Carlo per stimare la probabilità condizionata di essere in-the-money. Discuteremo l’implementazione dei metodi visti e proporremo un loro confronto.

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Sommario I Abstract II Introduzione III 1 Opzioni Asiatiche 1 1.1 Introduzione . . . 2 1.2 Simulazione Monte-Carlo . . . 5

1.2.1 Metodo della Traiettoria . . . 9

1.2.2 Stimatori di Massima Verosimiglianza . . . 13

1.3 Metodo Analitico . . . 15

1.3.1 Approssimazione Comonotonica . . . 17

1.3.2 Rappresentazione Integrale . . . 19

1.3.3 Approssimazione di Taylor . . . 28

1.4 Metodi alle Differenze Finite . . . 30

1.4.1 Il metodo semi-analitico di Zhang . . . 31

2 Introduzione al calcolo di Malliavin 35 2.1 Derivata stocastica . . . 35

2.1.1 Chain rule . . . 39

2.2 Dualit`a . . . 43

2.2.1 Formula di Clark-Ocone . . . 47

2.2.2 Integrazione per parti e calcolo delle greche . . . 49

3 Pricing and Hedging di Opzioni Asiatiche Tramite il Calcolo di Malliavin 55 3.1 Model setup . . . 55

3.2 Un breve riassunto del calcolo di Malliavin . . . 58

3.3 Densit`a dell’Asiatica con media aritmetica . . . 64

3.4 Strategia di replica e pricing quasi-esplicito dell’opzione Asiatica 68 4 Analisi Numerica 73 4.1 Risoluzione numerica dell’EDP . . . 75

4.2 Formulazione algebrica e θ-metodo . . . 78

4.3 Calcolo . . . 82

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5.2 Codice . . . 93

5.3 Simulazione . . . 94

Conclusioni 100 A Definizioni 102 B Equazione di Kolmogorov all’indietro 104 C Calcolo di Itˆo funzionale 106 C.1 Notazioni e definizioni . . . 106

C.2 Calcolo di Itˆo funzionale . . . 112

Riferimenti Bibliografici 120

Elenco delle figure

1 Oscillazioni . . . 21 2 f (t, x, y, v, a, b) . . . 74 3 U (T − t, x) . . . 81 4 U (T − t, x) . . . 82 5 R∞ G(t)U (T − t, x) . . . 83

6 Frazione del portafoglio (fino a 1) . . . 84

7 Frazione del portafoglio (fino a 0) . . . 85

8 Strategia per opzioni a media geometriche. . . 95

9 Strategia per opzioni a media aritmetica. . . 96

10 Medie a confronto. . . 97

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Opzioni Asiatiche

Un’opzione Asiatica è uno strumento derivato, il cui Payoff è basato sulla me-dia del prezzo del sottostante durante l’arco di un dato periodo precedente alla Maturity. Questo tipo di derivato è molto usato nei mercati finanziari in cui questa media produce un effetto di smoothing. Per esempio, le opzioni Asiatiche vengono spesso utilizzate per coprirsi dal rischio sul tasso di cam-bio, dove il tasso di cambio medio su un periodo è spesso più importante ai fini della copertura, rispetto al tasso ad una data fissata. Inoltre, la struttura del Payoff delle opzioni Asiatiche le rende meno vulnerabili a manipolazioni, e questo può essere una caratteristica importante in alcuni mercati. Abbon-dano anche in alcune assicurazioni legate agli equity dove il payoff è basato sulla media del periodo di alcuni indici di borsa.

In pratica, il più comune tipo di contratto è basato sulla media aritmeti-ca del prezzo del sottostante. In questo aritmeti-caso il prezzo dell’opzione risultante non ha una soluzione in forma chiusa semplice sotto le normali assunzioni di Black-Scholes. Questo è in netta contrapposizione con le opzioni Europee basate sul prezzo finale del sottostante, dove la formula di Black-Scholes dà una soluzione in forma chiusa per il prezzo dell’opzione. La stima delle opzioni Asiatiche a media aritmetica è diventata un campo a sè della finan-za computazionale. Innanzitutto, perchè il problema è computazionalmente complesso. Inoltre perchè i trader sono interessati ad ottenere metodi di cal-colo numerici efficienti per calcolare il prezzo dell’opzione e stimare le sue sensitivities. Queste sensitivities possono essere calcolate come la derivata

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matematica del prezzo dell’opzione rispetto ad un determinato parametro, e sono note anche come Greche. Infine, nella formulazione a tempo continuo, il problema porta direttamente ad interessanti e affascinanti sviluppi matem-atici, relativi ai funzionali esponenziali del moto Browniano.

In questa prima parte del lavoro, il nostro scopo sar`a quello di presentare una rassegna dei principali metodo per calcolare le sensitivities e prezzare le opzioni Asiatiche.

1.1 Introduzione

Le opzioni Asiatiche sono difficili da prezzare sia analiticamente che numeri-camente. Anche se sono state al centro di molte attenzioni negli anni recenti, non c’è una tecnica che sia completamente accettata per prezzare le opzioni Asiatiche per tutte le scelte dei parametri di mercato. Dunque, stimare la sensitivities del prezzo è spesso importante tanto quanto la stima del prezzo stesso, questo perchè le sensitivities sono una misura del rischio. Però queste sensitivities devono essere stimate poichè non è possibile vederle quotate sul mercato.

Consideriamo il modello di Black-Scholes classico, con un singolo fattore di rischio, che segue un moto Browniano standard

dSt= rStdt + σStDWt, t ≥ 0, (1)

dove (Wt, t ≥ 0) è un moto Browniano standard, σ > 0 è la volatilità costante,

r ≥ 0 `e il tasso d’interesse free-risk (anch’esso lo prendiamo costante), ed S0

`

e il prezzo iniziale. L’equazione (1) pu`o essere riscritta nella forma

St = S0eµt+σWt, t ≥ 0, (2)

dove µ = r − σ₂2. Per ogni T > 0

AT = 1 T Z T 0 Stdt (3)

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`

e il prezzo medio del sottostante lungo il periodo [0, T ]. Allora il valore dell’opzione Asiatica di tipo call con strike price K > 0 e maturity pari a T `

e data da

(PA)c= e−rTE[max(AT − K, 0)]. (4)

La versione discreta di questo tipo d’opzione, campiona i prezzi da mediare in date prefissate t1, . . . , tN AN = 1 N N X i=1 Sti. (5)

Per semplicit`a ipotizzeremo che ti = ih, dove h = T /N , cos`ı da avere gli

intervalli equispaziati. Il valore di questa opzione sar`a

(PA)d= e−rTE[max(AN − K, 0)]. (6)

Un altro tipo d’opzione con la media sul prezzo, `e l’opzione Asiatica di tipo geometrico. Ovvero, nel caso discreto, il payoff dipende dalla media geometrica del prezzo del sottostante

GN = N Y i=1 Si !_N1 . (7)

La (7) pu`o essere riscritta nel caso di campionatura continua come

GT = exp 1 T Z T 0 ln(St)dt . (8)

Cos`ı il valore della opzione Asiatica a media geometrica con strike price K e maturity pari a T `e data da

(PG)d= e−rTE[max(GN − K, 0)] (9)

nel caso di campionatura discreta. Mentre nel caso continuo avremo

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Prezzare l’opzione Asiatica di tipo aritmetico è difficile perchè non c’è un’espressione in forma chiusa della distribuzione della somma di variabili casuali log-normali dipendenti tra loro. A differenza delle aritmetiche, le opzioni Asiatiche a media geometrica possono essere prezzate in forma chiusa. Consideriamo, ad esempio, il caso discreto. Non è difficile dimostrare che log(GN) è normalmente distribuito con media log(S0) + µaNT e deviazione

standard σbN √ T , dove aN = (N + 1) 2N e bN = r (N + 1)(2N + 1) 6N2 . (11) Quindi la densit`a di GN `e g(x) = 1 xσbN √ Tφ ln(x/S0) − µaNT σbN √ T , (12)

dove φ(z) = e−z2/2_/√_{2π `}_{e la densit`}_{a di una gaussiana standard. Quindi}

un calcolo abbastanza semplice mostra che il prezzo dell’opzione Asiatica a media geometrica con campionamento discreto `e dato da

(PG)d= e−rT S0exp(cN)Φ dN + σbN √ T− KΦ(dN) , (13) dove cN = µaNT + (σbN √ T )2 2 , dN = − log(K/S0) + µaNT σbN √ T ,

e Φ `e la funzione di densit`a cumulata di una normale.

In modo simile, otteniamo la seguente espressione in forma chiusa per il prezzo dell’opzione Asiatica di tipo geometrico con campionamento continuo

(PG)c= e−rT S0exp(c∗)Φ d∗+ 1 √ 3σ √ T − KΦ(d∗) , (14) dove c∗ = 1 2µT + 1 6(σ √ T )2, d∗ = √ 3− log(K/S0) + µT /2 σ√T ,

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Anche se in pratica le opzioni Asiatiche geometriche non sono comunemente usate, posso essere sfruttate per migliorare le performance dei vari metodi di calcolo per prezzare le opzioni Asiatiche aritmetiche.

1.2 Simulazione Monte-Carlo

L’approccio Monte-Carlo è molto diffuso grazie alla sua flessibilità ed alla sua facile implementazione. Generalmente, si articola nei seguenti tre passi: 1. simula delle traiettorie casuali sotto la misura di probabilità neutrale

rispetto al rischio,

2. stima il payoff scontato su ogni traiettoria,

3. fa la media sui payoff scontati.

Il metodo Monte-Carlo pu`o essere usato per prezzare una vasta gam-ma di opzioni e pu`o essere facilmente modificato per incorporare le varie caratteristiche dei contratti reali.

Per i nostri scopi di simulazione possiamo usare la seguente versione a tempo discreto dell’equazione (2)

Si = Si−1eµh+σ √

hU_, _{i = 1, . . . , N,} ₍₁₅₎

dove Si indica il prezzo del sottostante alla data ti e la variabile casuale U `e

presa dalla distribuzione di una normale standard.

Chiaramente questo metodo pu`o essere utilizzato per prezzare opzioni Asiatiche con campionamento discreto. Il prezzo della versione a campiona-mento continuo pu`o essere stimato prendendo N sufficientemente grande.

Il metodo standard per stimare le derivate matematiche dei contratti, quali le opzioni, usano la re-simulazione. Se scriviamo come P (α) l’opzione con α il parametro d’interesse, allora la derivata di P rispetto ad α pu`o essere

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stimata attraverso un’approssimazione alle differenze finite come P (α + ) − P (α)

dove sia sufficientemente piccolo. Se la stima dei due stimatori è fatta con pescate di variabili casuali indipendenti, allora si può provare che la miglior convergenza possibile è dell’ordine di n−1/4. Stimando la precedente approssimazione alle differenze finite con lo schema centrato

P (α + ) − P (α − ) 2

incrementa l’ordine di convergenza a n−1/3.

Si scopre inoltre che più i prezzi P (α) e P (α + ) sono correlati positiva-mente, maggiore è l’efficienza della stima della derivata. Si può dimostrare che in alcuni casi l’ordine di convergenza di questi metodi raggiunge n−1/2, che è il massimo che ci si può attendere dai metodi Monte-Carlo.

Comunque, nonostante l’aumento di efficienza che si può ottenere at-traverso l’utilizzo di precisi numeri casuali (metodi Quasi Monte-Carlo), la stima basata sull’approssimazione alle differenze finite nell’ambito Monte-Carlo, pecca principalmente per due difetti: sono distorti e richiedono più re-simulazioni. Durante l’ultimo decennio si sono scoperti una serie di meto-di meto-diretti per la stime delle Greche attraverso la simulazione. Questi metometo-di diretti calcolano una stima della Greca richiesta da una singola simulazione, e quindi non richiedono la re-simulazione con un parametro perturbato. In-oltre, un altro vantaggio è che questi metodi restituiscono uno stimatore non distorto.

Uno dei più efficienti metodi diretti è quello della traiettoria che è basato su una tecnica generalmente chiamata analisi delle perturbazioni infinites-imali . L’idea principale di questo metodo è che, per payoff semplici, una rappresentazione attesa della Greca d’interesse può essere ottenuta semplice-mente derivando dentro l’operatore di previsione (dentro la media); il valore atteso è quindi stimato attraverso classici metodi Monte-Carlo.

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Mentre il metodo della traiettoria è basato sulla relazione tra il payoff del contratto ed il parametro d’interesse, il metodo della verosimiglianza è basato sulla relazione fra la funzione densità di probabilità del prezzo del sottostante ed il parametro d’interesse. Questo metodo può essere utilizzato quando la densità congiunta delle variabili casuali coinvolte nel problema è esplicita-mente nota o può essere approssimata. È dimostrato che, se applicabile, il metodo è molto efficiente.

Una struttura molto flessibile per la stima delle Greche su proposta da Fournié et al. Loro mostrarono che sotto alcune condizioni abbastanza gen-erali, una Greca può essere rappresentata come una valore atteso del payoff moltiplicato per una certa funzione peso. Cos`ı la Greca desiderata può essere stimata numericamente tramite simulazione Monte-Carlo e lo stimatore real-izza l’usuale ordine di convergenza pari a n−1/2. Gli strumenti per calcolare la funzione peso sono dati dalla teoria del calcolo di Malliavin (che vedremo nei dettagli nei prossimi capitoli).

`

E importante notare come gli stimatori ottenuti attraverso gli ultimi due metodi sono indipendenti dalla funzione del payoff, infatti si applicano a tutte le funzioni di payoff che dipendono solamente dalla media del prezzo del sot-tostante. Si noti inoltre come gli stimatori ottenuti attraverso il metodo dei pesi di Malliavin non siano unici. Si pu`o ottenere qualunque numero di sti-matori differenti per la stessa sensitivity che pu`o avere differenze significative nella varianza.

Ci sono comunque delle pecche dovute al metodo Monte-Carlo, ma negli ultimi anni si sono fatti dei passi avanti per colmare queste lacune. Una delle principali debolezze è l’ordine di convergenza. È disponibile un’ampia gamma di tecniche per incrementare l’efficienza del metodo Monte-Carlo, la maggior parte delle quali è indirizzata verso la riduzione della varianza degli stimatori.

Una delle più efficaci tecniche di riduzione della varianza è il metodo della variabile di controllo, dove l’opzione Asiatica con media geometrica a campionamento discreto è usata come variabile di controllo. Sia bPG

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(rispettivamente aritmetica). Allora

PG= E[ bPG] e PA= E[ bPA].

Quindi per ogni β ∈ R abbiamo che

PA = E[ bPA+ β(PG− bPG)].

Uno stimatore non distorto di PA `e cos`ı fornito da

b

P_Acv = bPA+ β(PG− bPG). (16)

In pratica, β ∈ R `e scelto per minimizzare la varianza dello stimatore bPcv A.

Un semplice strumento computazionale per risolvere questo problema `e la regressione lineare. Nel caso di opzioni Asiatiche, β `e solitamente vicino ad 1.

Fu et al. studiarono l’uso di altre variabili di controllo per opzioni Asi-atiche, basate su valori della trasformata di Laplace, ma queste sembrano essere correlate pi`u debolmente col prezzo dell’opzione. Studiarono inoltre gli effetti della distorsione dovuta alla discretizzazione nella simulazione e dimostrarono come questa distorsione pu`o essere corretta attraverso l’uso di variabili di controllo appositamente costruite.

In qualche articolo vi è il tentativo di fondere più tecniche di riduzione della varianza (citiamo ancora il metodo delle variabili antitetiche, del impor-tance sampling e del moment matching) ma l’aumento dell’efficienza costa un notevole incremento nella complessità implementazionale.

Tecniche di riduzione della varianza che si applicano allo stimatore del prezzo dell’opzione, possono essere spesso applicata agli stimatori della sua derivata. Sia bDA (rispettivamente bDG) uno stimatore non distorto di una

Greca dell’opzione Asiatica con media aritmetica (rispettivamente geometri-ca). Allora

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dove DA(rispettivamente DG) `e il valore reale della Greca da stimare. Quindi

DA= E[ bDA+ β(DG− bDG)]

per ogni β ∈ R. Si noti che DG pu`o essere calcolato esplicitamente usando la

(13). Uno stimatore non distorto di DA`e quindi dato da

b

D_Acv = bDA+ β(DG− bDG).

Il parametro β `e scelto per minimizzare la varianza dello stimatore bDcv A. Il β

che minimizza la varianza `e

β∗ = Cov[ bDA, bDG] Var[ bDG]

In linea di principio, il prezzo dell’opzione geometrica stessa potrebbe essere usata coma variabile di controllo. Tuttavia, scopriamo che in molti casi l’uso del prezzo dell’opzione come variabile di controllo non produce una diminuzione della varianza dello stimatore della Greca.

In questa sezione considereremo in dettaglio due metodi per calcolare le greche dell’opzione Asiatica con media aritmetica usando simulazioni Monte-Carlo.

1.2.1 Metodo della Traiettoria

Per illustrare l’applicazione di questo metodo, considereremo il problema di stimare la Delta di un’opzione Asiatica con media geometrica. La stima, con il metodo della traiettoria, della vera Delta `e la derivata del prezzo campionato bPG rispetto ad S0 ∆ = dPG dS0 = d dS0E[ b PG]. (17)

(19)

Come dimostrato da Broadie e Glasserman, possiamo intercambiare il dif-ferenziale e l’operatore di media nella (17) ottenendo

∆ = d dS0E[ b PG] = E[ d bPG dS0 ].

Si pu`o facilmente verificare usando la (7) che d bPG dS0 = d bPG dGN ·dGN dS0 = e−rT1{GN>K} GN S0 , (18)

dove 1{.} indica la funzione indicatrice dell’evento nella parentesi. Cos`ı

otteniamo ∆ = e−rT_E 1{GN>K} GN S0 . (19)

In modo analogo otteniamo le seguenti rappresentazioni per la Vega e per il Rho V = e−rT_E 1{GN>K} 1 σ ln GN S0 − aNT r + σ 2 2 , e P = e−rT_E1{GN>K}T (K − (1 − aN)GN) .

Il caso della Gamma `e leggermente pi`u complicato. Usando la (18) e notando che GN/S0 non dipende da S0 otteniamo che

d2 b P dS2 0 = e−rTGN S0 d dS0 (1{GN>K}) = e −rT GN S0 2 δ(K), (20)

dove δ indica la delta di Dirac. Ancora, possiamo scambiare la derivata e la media. Γ = E " d2Pb dS2 0 # = e−rT_E " G_N S0 2 δ(K) # = e−rT K S0 2 g(K), (21)

(20)

dove g `e data dalla (12). Cos`ı otteniamo la seguente rappresentazione della Gamma Γ = e−rT K S0 2 1 KσbN √ Tφ ln(K/S₀) − aNT (r − σ2/2) σbN √ T , (22)

dove a e b sono dati in (11). Si noti che la (22) non prevede l’utilizzo di variabili casuali. Otteniamo cos`ı il seguente teorema.

Teorema 1.1. I seguenti sono stimatori non distorti, ottenuti con il meto-do della traiettoria, della derivata indicata del prezzo di un’opzione Asiatica geometrica con campionamento discreto

∆ : e−rT1{GN>K} GN S0 , Γ : e−rT K S0 2 1 KσbN √ Tφ ln(K/S₀) − aNT (r − σ2/2) σbN √ T , V : e−rT1{GN>K} 1 σ ln GN S0 − aNT r +σ 2 2 , P : e−rT1{GN>K}T (K − (1 − aN)GN).

Il caso dell’opzione Asiatica aritmetica è molto simile. L’unica significati-va differenza è che per ottenere la (22) dalla (21) abbiamo bisogno di sapere la densità di GN in K. Non c’è una forma chiusa per la densità di AN, ma

pu`_{o essere stimata attraverso simulazione. Per ogni x ∈ R abbiamo che} P (AN ≤ x) = P (SN ≤ CN(x)), dove CN(x) = N x − N −1 X i=1 Si. (23)

Condizionando rispetto a S1, . . . , SN −1 otteniamo

(21)

`

E facile verificare che

P (SN ≤ CN(x)|S1, . . . , SN −1) = 1CN(x)>0Φ(RN(x)), (25) dove RN(x) = 1 σ√h ln CN(x) SN −1 − µh (26) e Φ `e la funzione di ripartizione di una normale. Differenziando la (24) rispetto ad x ed usando la (25) e la (26) otteniamo la seguente espressione per la densit`a di AN a(x) = E 1 σ√h N CN(x) φ(RN(x)|S1, . . . , SN −1) , (27)

dove φ è la funzione densità di probabilità della distribuzione di una normale standard.

Teorema 1.2. I seguenti sono stimatori non distorti, ottenuti con il meto-do della traiettoria, della derivata indicata del prezzo di un’opzione Asiatica aritmetica con campionamento discreto

∆ : e−rT1{GN>K} AN S0 , Γ : e−rT1{AN>K}1{CN>K} AN S0 2 1 σ√h N CN(K) φ(RN(K)), V : e−rT1{AN>K} 1 σΦN, P : e−rT1{AN>K} A 1 N − T (AN − K) . dove A1_N = 1 N N X i=1 tiAi, ΦN = 1 N N X i=1 Si ln Si S0 − µti , e CN e RN sono dati, rispettivamente, dalla (23) e dalla (26).

(22)

1.2.2 Stimatori di Massima Verosimiglianza

Come già accennato, il metodo di massima verosimiglianza è basato sulla relazione fra la funzione densità di probabilità del prezzo del sottostante del-l’opzione ed il parametro d’interesse. Procediamo con l’esempio deldel-l’opzione Asiatica di tipo geometrico. Possiamo riscrivere la (9) nella forma

PG =

Z ∞

0

e−rT max(x − K, 0)g(x)dx, (28)

dove g(x) `e la densit`a di GN data in (12). Assumendo di poter scambiare

derivata ed integrale nella (28), otteniamo dPG dS0 = Z ∞ 0 e−rT max(x − K, 0)∂g(x) ∂S0 dx. (29)

Moltiplicando e dividendo l’integrando in (29) per g(x), possiamo distinguere nell’integrale il valore atteso ed i rendimenti.

dPG dS0 = Z ∞ 0 e−rT max(x − K, 0)∂ ln(g(x)) ∂S0 g(x)dx. `

E facile verificare che

∂ ln(g(x)) ∂S0 = 1 S0σbNT DN, dove DN = ln(GN/S0) − aNT (r − σ2/2) σbN √ T (30)

Otteniamo cos`ı la seguente rappresentazione per la Delta

∆ = dPG dS0 = E e−rT max(GN − K, 0) 1 S0σbN √ TDN .

Rappresentazioni per la Vega e la Rho sono ottenuti nello stesso modo. Per ottenere una rappresentazione della Gamma, dobbiamo differenziare la (28)

(23)

due volte. d2_P G dS2 0 = Z ∞ 0 e−rT max(x − K, 0)∂ 2_g(x) ∂S2 0 dx.

Moltiplicando e dividendo l’integrando per g(x) come in precedenza otteni-amo d2_P G dS2 0 = Z ∞ 0 e−rT max(x − K, 0) 1 g(x) ∂2_g(x) ∂S2 0 g(x)dx. Quindi possiamo scrivere la seguente rappresentazione per la Gamma

Γ = d 2_P G dS2 0 = E e−rT max(x − K, 0) 1 g(x) ∂2g(x) ∂S2 0 . `

E abbastanza facile verificare che 1 g(x) ∂2_g(x) ∂S2 0 = D 2 N − σbN √ T DN − 1 S2 0σ2b2NT

Teorema 1.3. I seguenti sono stimatori non distorti, ottenuti con il metodo della massima verosimiglianza, della relativa derivata del prezzo di un’opzione Asiatica geometrica ∆ : e−rT max(GN − K, 0) 1 S0σbN √ TDN, Γ : e−rT max(GN − K, 0) D2 N − σbN √ T DN − 1 S2 0σ2b2NT , V : e−rT max(GN − K, 0) bN √ T D2_N − σaNT DN − bN √ T σbN √ T ! , P : e−rT max(GN − K, 0) −T + aN √ T σbN DN ! , dove DN `e dato in (30)

Per ottenere degli stimatori di massima verosimiglianza per le opzioni Asiatiche a media aritmetica, dobbiamo considerare ancora una volta che la funzione densit`a per AN non `e disponibile in forma chiusa, quindi bisogna

(24)

Teorema 1.4. I seguenti sono stimatori non distorti, ottenuti con il metodo della massima verosimiglianza, della relativa derivata del prezzo di un’opzione Asiatica aritmetica ∆ : e−rT max(AT − K, 0) 1 S0σ √ hD1, Γ : e−rT max(AT − K, 0) D2 1− D1σ √ h − 1 S2 0σ2h , V : e−rT max(AT − K, 0) 1 σ N X i=1 D2_i − σ√hDi − 1 , P : e−rT max(AT − K, 0) −T + √ h σ N X i=1 Di ! ,

dove per ogni i = 1 . . . N

Di = 1 σ√h ln Si Si−1 − r − 1 2σ 2 h .

1.3 Metodo Analitico

Prezzare opzioni Asiatiche di tipo aritmetico è difficile poichè non vi è una espressione in forma chiusa per la distribuzione della media aritmetica del processo log-normale. Tuttavia, si può approssimare questa distribuzione tramite un fitting di diverse distribuzioni, usando cos`ı delle approssimazioni. Turnbull, Wakeman e Levy usano un’espansione della serie di Edgeworth per approssimare la funzione densità della media aritmetica della densità di una log-normale. Turnbull e Wakeman forniscono inoltre un algoritmo per cal-colare i momenti della media aritmetica. Il metodo della serie di Edgeworth lavora bene per scadenze brevi, mentre la qualità dell’approssimazione de-teriora per scadenze più lunghe. Effettivamente il fattore che determina la bontà del metodo è il valore di σ2_{T . Milevsky e Posner usano il metodo del}

moment-matching per approssimare la funzione densità della media aritmet-ica con il reciproco della densità di una Gamma e una densità della famiglia Johnson. Una mancanza grave di tutti questti metodi è che non forniscono

(25)

un reale metodo per stimare o controllare l’errore d’approssimazione che si commette.

Recentemente Ju ha fornito una formula accurata per l’approssimazione della funzione caratteristica della media. Ha usato lo sviluppo di Taylor rispetto alla volatilità attorno allo zero per approssimare il rapporto del-la funzione caratteristica deldel-la media e dell’approssimazione deldel-la variabile. Questa è una modifica al metodo della perturbazione, dove un problema senza soluzione è risolto approssimando la soluzione attorno a determinati parametri. Questo metodo è stato sviluppato in un contesto più generale, quello dei basket option, ed applicato sia ai casi di campionamento continuo che ai casi di campionamento discreto di opzioni Asiatiche con media ar-itmetica. La sua formula approssimata è abbastanza semplice ed accurata. Inoltre la precisione può essere aumentata semplicemente includendo ulteriori termini dello sviluppo di Taylor.

Numerosi autori hanno tentato di stimare dei limiti superiori ed inferiori per il prezzo di un’opzione Asiatica attraverso il condizionamento di alcune variabili. Curran ottenne un limite inferiore condizionando sul prezzo medio geometrico. Roger e Shi hanno ottenuto un limite inferiore ed uno superiore condizionando rispetto al logaritmo della media geometrica. Thompson ha ricavato un limite superiore più preciso ed uno inferiore più semplice da sti-mare ma di pari accuratezza rispetto a quelli di Roger e Shi. La differenza fra limite superiore ed inferiore può essere utilizzato per stimare un errore del metodo, ma un modo sistematico per aumentare la precisione del meto-do è difficile da trovare. Questo rende abbastanza difficile utilizzare questo metodo per stimare le sensitivities del prezzo. Nielsen e Sandmann hanno considerevolmente raffinato i limiti di Roger e Shi e fornito un certo numero di limiti analitici superiori ed inferiori, che dipendono dallo strike. Questi limiti possono anche essere utilizzati per ricavare approssimazioni delle Greche.

Kaas, Dhaene e Goovaerts hanno sviluppato un modello generale per cal-colare il comonotonic bounds di una somma di variabili casuali data la loro distribuzione marginale. Loro si sono concentrati su le opzioni Asiatiche aritmetiche con campionamento discreto, ma il loro metodo pu`o essere uti-lizzato per ottenere vincoli ragionevolmente precisi anche per le opzioni a

(26)

campionamento continuo.

Infine un gran numero di risultati sono basati sul ricavare una espressione esplicita per il prezzo dell’opzione Asiatica aritmetica o alcuni suoi funzionali. A met`a degli anni novanta, la ricerca in quest’area ha avuto una notevole spinta grazie al risultato fondamentale di Yor che us`o la teoria di Hartman-Watson per esprimere il prezzo di un’opzione Asiatica con media aritmetica come un integrale triplo.

Nonostante ciò il prezzo di un’opzione Asiatica di tipo aritmetico non è disponibile in forma chiusa, Geman e Yor furono capaci però di calcolare la sua trasformata di Laplace. Questa trasformata può essere invertita nu-mericamente usando dei metodi standard. Geman e Eydeland usarono una approssimazione della tecnica Fast Fouries inversion, Shaw usò l’integrale sul contorno di Bromwich. Fu et al. confrontarono diversi metodi di inver-sione. Osservarono che tutti i metodi basati sull’inversione della trasformata di Laplace andavano incontro a numerose instabilità numeriche per basse volatilità e brevi scadenze. Più tardi Shaw affrontò alcuni di questi problemi proponendo dei metodi asintotici per i casi a bassa volatilità.

Dufresne usò lo sviluppo di Laguerre per determinare la distribuzione dell’integrale di un moto Browniano geometrico ed usare questi risultati per ottenere ancora un’altra rappresentazione per il prezzo dell’opzione Asiatica aritmetica. Linetsky usò un approccio in qualche modo simile per ricavare due differenti rappresentazioni del prezzo dell’opzione. La prima rappresen-tazione è una serie infinita di termini che coinvolgono funzioni Whittaker. La seconda rappresentazione è un singolo integrale reale di un’espressione che coinvolge funzioni Whittaker più un numero finito di termini che compren-dono funzioni Gamma incomplete e polinomi di Laguerre1_{. Vediamo adesso}

alcuni di questi metodi nel dettaglio

1.3.1 Approssimazione Comonotonica

Assumiamo che X1, . . . , Xn siano variabili casuali (non necessariamente

in-dipendenti) con distribuzioni marginali note e siano S = X1+· · ·+Xn. Sia U

(27)

una variabile casuale uniformemente distribuita su [0, 1] e sia Λ una variabile casuale arbitraria, indipendente da U e tale che le distribuzioni condizionate FXi|Λ siano note. Sia

Sl = E[Xi|Λ] + · · · + E[Xn|Λ], Sc = FX−11(U ) + · · · + F −1 Xn(U ), Su = F_X−1₁|Λ(U ) + · · · + F −1 Xn|Λ(U ).

Si pu`o dimostrare che

E[S] = E[Sl] = E[Su] = E[Sc]

e per ogni K ∈ R

E[(Sl− K)+] ≤ E[(S − K)+] ≤ E[(Su− K)+] ≤ E[(Sc− K)+].

Le disequazioni riportate sopra possono essere utilizzate per ottenere vari limiti superiori ed inferiori per il prezzo di un’opzione Asiatica a campi-onamento discreto. Per esempio non `e difficile mostrare che il prezzo di un’opzione Asiatica discreta pu`o essere limitata da sopra da qualche media pesata del prezzo di opzioni Europee. Questo avviene per ogni K e per ogni Ki, i = 1, . . . , n tali che K = K1+ . . . + Kn, ed otteniamo

E[(S − K)+] ≤

n

X

i=1

[(Xi− Ki)+].

Si pu`o utilizzare la relazione fra S ed Sc data sopra per trovare i valori

K₁∗, . . . , K_n∗ che ottimizzano questo vincolo, ovvero

n X i=1 [(Xi− Ki∗) +_{] ≤ min} n X i=1 [(Xi− Ki)+],

dove il minimo `e preso fra tutte le possibili n-uple (K1, . . . , Kn) tali che K =

K1+. . .+Kn. Questo rendimento `e chiamato vincolo superiore comonotonico

(28)

Si può usare la più fine relazione che coinvolge Su per ottenere un più

preciso limite superiore. Vanmaele et al. hanno usato la comonotonicit`a assieme alle idee di Roger e Shi, Curran, Nielsen e Sandmann per sviluppare un’unica struttura per calcolare limiti superiori ed inferiori per un’opzione Asiatica aritmetica di tipo discreto. Hanno fornito una serie di limiti superiori ed inferiori per il prezzo e hanno sfruttato questi limiti per calcolare la Delta, Gamma e Vega di queste opzioni. Questo modello `e abbastanza generale da adattarsi alle opzioni Asiatiche sia con fixed strike che con floating strike, sia ad un’ampia gamma di modelli per il processo dei prezzi del sottostante.

Per approssimare opzioni Asiatiche di tipo continuo si pu`o, molto sem-plicemente, incrementare sufficientemente i tempi di campionamento. Tut-tavia, esperimenti numerici suggeriscono che il vero prezzo di un’opzione Asiatica a campionamento continuo cade fuori dai vincoli imposti dal limite superiore ed inferiore della corrispondente opzione a campionamento discre-to. Il limite inferiore dell’opzione a campionamento discreto converge mono-tonicamente al prezzo reale dell’opzione di tipo continuo all’aumentare degli istanti di campionamento.

1.3.2 Rappresentazione Integrale

Usando la scaling rule del moto Browniano si pu`o ridurre il problema di calcolare il prezzo di PA a quello di calcolare il prezzo normalizzato di

CA(ν, τ, κ) = Emax(A(ν)τ − κ, 0) , (31)

Dove A(ν) _`_{e il processo di Yor}

A(ν)_t = Z t

0

e2(Ws+νs)_ds. ₍₃₂₎

Pi`u precisamente, siano

ν = 2r σ2 − 1, τ = σ2_T 4 , κ = K S0 τ (33)

(29)

il tasso d’interesse normalizzato ed aggiustato, il time to maturity normaliz-zato e lo strike price normaliznormaliz-zato rispettivamente. Allora

PA = e−rT

S0

τ CA(ν, τ, κ), (34)

dove CA(ν, τ, κ) `e definito dalla (31).

Yor ha scritto la densit`a condizionale di A(ν)τ , e di conseguenza il prezzo

normalizzato di CA(ν, τ, κ), in funzione della densit`a di Hartman-Watson

fr(t), r > 0, che `e definita tramite la trasformata di Laplace

Z ∞ 0 exp −λ 2 2 fr(s)ds = I|λ| I0(r) . (35)

Yor ha mostrato che

P A(ν)_τ ∈ du|Wτ+ ντ = x = √ 2πτ u exp x2 2τ − 1 2u(1 + e 2x₎ · ·I0 ex u fex_/u(τ )du (36)

La densità di A(ν)τ può essere ottenuta integrando (36) rispetto alla densità

normale con media ντ e varianza τ . Questo a sua volta porta alla seguente rappresentazione integrale per il prezzo dell’opzione normalizzato CA(ν, τ, κ)

CA(ν, τ, κ) = exp −τ ν 2 2 Z ∞ 0 Z ∞ 0 (u − κ)+exνexp −1 − e 2x 2u · ·I0 ex u fex_/u(τ )dudx (37)

Yor ha inoltre fornito la seguente rappresentazione esplicita per fr(t)

fr(τ ) = cr

Z ∞

0

(30)

dove cr(τ ) = 1 I0(r) r √ 2π2_τ exp π2 2τ , ψr(τ, y) = exp −y2 2τ

exp(−r cosh(y)) sinh(y) sinπy τ

Si noti che, nonostante la densit`a fu(τ ) sia data da (38), l’integrale (37) `e

difficile da calcolare numericamente per piccoli valori di τ . Questo fenomeno `

e discusso da numerosi autori. In particolare, Barrieu et al. hanno osservato quello che hanno poi chiamato come puzzling phenomenon, ovvero che la frequenza d’oscillazione e la dimensione della densit`a simulata fr(τ ) cresce

al tendere di τ a 0.

Per spiegare questo comportamento, notiamo che cr(t) cresce

esponen-zialmente all’avvicinarsi di t a 0. Dall’altra parte invece R₀∞ψr(t, y)dy

de-cresce in valore assoluto ancora pi`u rapidamente. Quindi, per ottenere un accurato valore per fr(t) per piccoli valori di t, ci sarebbe bisogno di

calco-lareR₀∞ψr(t, y)dy con una sufficientemente alta precisione. Sfortunatamente,

questo integrale `e difficile da stimare numericamente per piccoli valori di t dovuti alla natura oscillante dell’integrando (vedere Figura 1).

Figura 1: L’integrando ψ0.5(t, y) per t = 1.0 e t = 0.1.

(31)

Questo pu`o essere fatto sia direttamente che integrando la (37) e poi usare la definizione (35) U (s) = Z ∞ 0 CA(ν, t, κ)(t)e−stdt = 1 s(s − 2ν − 2)Γ(µ−ν₂ − 1) Z 1/2κ 0 xµ−ν2 −2(1 − 2κx) µ−ν 2 +1e−xdx Se definiamo a = µ − ν 2 + 2, b = µ + 1 c = ν + 1, z = 1 2κ allora possiamo scrivere in forma pi`u compatta che

U (s) = 1 (s − 2c)Γ(b − a) Z z 0 xb−a−1(1 −x z) a−1_e−x dx (39)

Facendo il cambio di variabile x = zt e sfruttando il fatto che Z 1

0

tb−a−1(1 − t)a−1ez(1−t)dt = Γ(b − a)Γ(a)

Γ(b) M (a, b, z), (40) otteniamo che

U (s) = z

b−a_e−z_Γ(a)

s(s − 2c)Γ(b)M (a, b, z). (41) Qui M (a, b, z) indica la funzione confluente ipergeometrica di Kummer Sar`a in qualche modo pi`u conveniente usare la seguente espressione per PA

PA= 2e−rTK bF (τ ), (42)

dove bF `e l’inverso della trasformata di Laplace di

F (s) = zU (s) = C(a, b, c, z) · M (a, b, z) (43) e

C(a, b, c, z) = z

b−a+1_e−z_Γ(a)

(32)

Questa rappresentazione può anche essere utilizzata per calcolare le sensitiv-ities del prezzo dell’opzione. Questo può essere fatto in più modi. Ovvia-mente, possiamo sempre calcolare il prezzo dell’opzione con sufficiente pre-cisione e poi usare un’approssimazione alle differenze finite per stimare le sensitivities. Tuttavia, possiamo anche differenziare la funzione trasformata F (s) e calcolare quindi la trasformazione di Laplace inversa della derivata (ammesso che si possa invertire l’ordine di integrazione e derivazione). Per esempio otteniamo la seguente formula per la Delta

∆ = ∂ ∂S0 PA= ∂ ∂S0 2e−rTK bF (τ ) = 2e−rTKcF1(τ ), (45) dove F1(s) = ∂ ∂S0 F (s). Notando che ∂a ∂S0 = ∂b ∂S0 = ∂c ∂S0 = 0 e ∂z ∂S0 = z S0

possiamo ricavare la seguente espressione per F1

F1(s) =

z S0

∂

∂zC(a, b, c, z)M (a, b, z) + C(a, b, c, z) ∂ ∂zM (a, b, z) = z S0 C(a, b, c, z) z · [M (a, b, z) + (b − a)M (a − 1, b, z)]. (46) Sottolineamo il fatto che questa rappresentazione fornisce un significativo in-cremento dell’efficienza rispetto allo schema tradizionale alle differenze finite. In generale il solo modo per calcolare la funzione confluente ipergeometrica `

e quello di utilizzare lo sviluppo di Taylor. In alcuni casi possiamo utiliz-zare risultati asintotici, ma questi non sono in grado di fornire una adeguata accuratezza per tutti i valori dei parametri. D’altra parte, la serie iperge-ometrica potrebbe convergere molto lentamente alla precisione desiderata, quindi ridurre il numero di stime per la funzione confluente ipergeometrica pu`o avere un significativo impatto sulla performance dell’algoritmo. Notiamo che F1(s) pu`o essere rappresentata come una singola serie con

(33)

approssimati-vamente le stesse propriet`a di convergenza dell’originale. Quindi, calcolare la Delta direttamente permette almeno di raddoppiare la velocit`a dell’ordinario schema alle differenze finite. In modo simile

Γ = ∂ ∂S0 ∆ = ∂ ∂S0 2e−rTKcF1(τ ) = 2e−rTKcF2(τ ), (47) dove F2(τ ) = ∂ ∂S0 F1(τ ) = z S0 2 ∂ ∂z C(a, b, c, z) z · [M (a, b, z) + (b − a)M (a − 1, b, z)] = z S0 2 C(a, b, c, z)b − a

z2 [(a − 1)M (a, b, z) + (b + 2 − z − 2a)M (a − 1, b, z)].

In generale, per differenziare F (s) rispetto ad un parametro α, usiamo la seguente formula

d

dα(C(a, b, c, z)M (a, b, z)) = d

dαC(a, b, c, z)·M (a, b, z)+C(a, b, c, z) d

dαM (a, b, z) Non `e difficile da vedere che

∂

∂aC(a, b, c, z) = C(a, b, c, z)(ψ(a) − ln(z)), ∂ ∂bC(a, b, c, z) = C(a, b, c, z)(ln(z) − ψ(b)), ∂ ∂cC(a, b, c, z) = 2 s − 2cC(a, b, c, z), ∂ ∂zC(a, b, c, z) = b − a + 1 − z z C(a, b, c, z). Quindi, per ogni parametro α abbiamo che

∂ ∂αC(a, b, c, z) = C(a, b, c, z) (ψ(a) − ln(z)) · da dα + (ln(z) − ψ(b)) · db dα+ + 2 s − 2c · dc dα + b − a + 1 − z z · dz dα , (48)

(34)

dove a, b, c, z sono considerate funzioni di α. Allo stesso modo ∂ ∂αM (a, b, z) = ∂ ∂aM (a, b, z) da dα + ∂ ∂bM (a, b, z) db dα + ∂ ∂zM (a, b, z) dz dα. (49) Per esempio, per ottenere un’espressione per la Vega, possiamo usare la (48)e la (49) con α pari a σ. In questo caso

da dσ = −2 νr µσ3 − ν + 1 σ , db dσ = −4 νr µσ3 dc dσ = −2 ν + 1 σ , dz dσ = −2 z µσ.

Per ottenere un’espressione per la Rho, usiamo la (48)e la (49) con α pari a r, ed otteniamo che da dr = ν µσ2 + 1 σ2, db dr = 2 ν µσ2 dc dr = 2 σ2, dz dr = 0.

Ci sono oltre cento algoritmi disponibili per l’inversione numerica di una trasformata di Laplace. Si possono dividere principalmente in quattro cate-gorie: sviluppo in serie di Fourier, sviluppo in serie di Laguerre, funzionali di Gaver, e deformazione del bordo di Bromwich. L’inversione della trasformata di Laplace è noto che sia instabile a fissate precisioni della macchina, perciò il grosso dello sforzo nei metodi tradizionali è diretto a controllare gli errori di arrotondamento. In un recente articolo Abate e Valko hanno suggerito di usare il multi-precision computing per controllare l’accuratezza dei calcoli intermedi. Hanno presentato un metodo di Talbot modificato ed un metodo basato sui funzionali di Gaver. Questi due metodi sembrano essere i più ef-ficienti per l’inversione della trasformata (42).

Il punto di partenza per il metodo di Talbot `e la formula di inversione standard b f (t) = 1 2πi Z B etsf (s)ds, (50)

(35)

dove B è una linea verticale definita da s = γ +it e γ è un fissato valore scelto affinchè B è a destra di tutte le singolarità di f (s). Se f (s) ha singolarità nel semipiano positivo e il valore massimo della loro parte reale è p, allora

b

f (t) = eptf (s + p),b (51) dove f (s + p) non ha più singolarità nel semipiano positivo. Nel nostro caso p = 2c = 2(ν + 1). Una integrazione numerica diretta lungo B è improponibile per le oscillazioni di est _{visto che la parte immaginaria di s}

tende ad infinito. Non è difficile vedere che la convergenza dell’integrale (50) sarebbe notevolmente migliorata se s potesse assumere valori con una parte reale fortemente negativa. Questo può essere ottenuto deformando il contorno B in un percorso aperto L che parta e finisca nel semipiano negativo, cos`ı che s tenda a −∞ ad ogni estremità. Questa sostituzione è possibile se nessuna singolarità di f (s) viene incrociata con la deformazione di B. Il contorno di Talbot è quindi della forma

s(θ) = α + λsβ(θ), −π < θ < π, (52)

dove

sβ(θ) = θ cot(θ) + iβθ.

Se sostituiamo il contorno B con (52), l’integrale (50) avr`a la forma

b f (t) = λ 2πi Z π −π eλtsβ(θ)_{f (α + λs} β(θ))s0β(θ)dθ, (53) con s0_β(θ) = i β +θ − cos(θ) sin(θ) sin2(θ)

Possiamo approssimare il valore dell’integrale in (53) usando la regola del trapezio con ampiezza del passo pari a π/N . Non `e difficile verificare che i parametri ottimali per la trasformata (43) sono

α = 0, β = 1, e λ = 2M 5t ,

(36)

dove M `e il numero delle cifre decimali di precisione fornite dalle normali operazioni con i floating. Abbiamo cos`ı la seguente approssimazione per l’integrale (53) b f (t) = λ N 1 2f (eb λt_{) +} N −1 X k=1 [ets(θk) b f (s(θk))(1 + iu(θk))] ! , (54) dove θk = kπ

N e u(θ) = θ + (θ cot(θ) − 1) cot(θ).

Come descritto da Abate e Valko, bf (t) pu`o essere calcolato come limite di una successione di funzionali di Galvor:

Gn₀ = nα t f nα t , 1 ≤ n ≤ 2N, Gn_k = 1 + n k Gn_k−1−n kG n+1 k−1, k ≥ 1, n ≥ k, b fk(t) = Gkk.

Si pu`o dimostrare che

lim

k→∞

b

fk(t) = bf (t).

Tuttavia, la convergenza `e molto lenta poich`e bf (t) − bfk(t) ' c/k per k → ∞.

Per raggiungere una buona approssimazione, bisogna utilizzare un algoritmo di accelerazione della convergenza per la successione bfk(t).

Valko ed Abate hanno studiato diversi algoritmi per l’accelerazione per i funzionali di Gaver. Hanno trovate che il miglior schema d’accelerazione `e l’algoritmo rho di Wynn, che `e dato dalla formula ricorsiva

ρn₋₁ = 0, ρn₀ = bfn(t), n ≥ 0,

ρn_k = ρn+1_k−1 + k ρn+1_k−1 − ρn

k−1

, k ≥ 1. L’approssimazione di f `e ottenuta come ρ0

N. Osserviamo che i calcoli

(37)

crescere di N la precisione aumenterà solo fino ad un certo punto, dopodichè la precisione crollerà rapidamente. Come soluzione a questo problema, si può pensare ad aumentare la precisione-macchina al crescere di N . Valko ed Abate suggeriscono 2.1 ∗ N come numero ottimale delle cifre decimali.

1.3.3 Approssimazione di Taylor

L’idea principale dietro questo metodo è quella di usare la distribuzione log-normale per approssimare la media di variabili casuali log-normali corre-late. Per essere più precisi, immaginiamo un mercato fittizio in cui tutte le volatilità sono scalate dello stesso parametro z. Scegliamo una variabile casuale normale Y (z) con media m(z) e varianza ν(z) tale che i primi due momenti di eY (z) e AT(z) coincidano. Entrambi i momenti possono essere

facilmente ricavati in forma chiusa. Sia X(z) = ln(AT(z)). Per ottenere la

funzione densit`a di X(z) possiamo considerare la sua funzione caratteristica

EeiφX(z) = E eiφY (z) f (z), dove f (z) = Ee iφX(z) E [eiφY (z)] `

e il rapporto della funzione caratteristica di X(z) e Y (z). Ju ha fornito lo sviluppo di Taylor di f (z) attorno a z = 0 fino al sesto ordine. Si può usare questo sviluppo per approssimare la funzione densità di X(z) che a sua volta può essere usata per ottenere una formula approssimata per il prezzo dell’opzione.

Teorema 1.5. Il prezzo di un’opzione call Asiatica pu`o essere approssimato da V = e−rT[U1Φ(y1) − KΦ(y2)] + e−rTK · z1p(y) + z2 d dyp(y) + z3 d2 dy2p(y) , (55) dove y = log(K), y1 = m1− y √ ν1 +√ν1, y2 = y1− √ ν1,

(38)

m1 = 2 ln U1 − 1 2ln U2, ν1 = ln U2− 2 ln U1, U1 = S0 erT − 1 r , U2 = 2S₀2 T2_{(r + σ}2₎ e(2r+σ2)T − 1 2r + σ2 − erT − 1 r ! ,

Φ è la funzione di distribuzione di una normale standard, p è la densità normale con media m1 e deviazione standard ν1, e le costanti z1, z2, z3 sono

le seguenti z1 = − 1 113 400σ 4_T6₋ 59 5 987 520σ 6_T7 r4 + − 23 453 600σ 6_T6₊ 1 2 520σ 4_T5 r3 + 17 226 800σ 6_T5₊ 11 15 120σ 4_T4 r2 + 13 30 240σ 6_T4₋ 1 180σ 4_T3 r − 1 45σ 4_T2₋ 1 11 340σ 6_T3_, z2 = − 1 226 800σ 4_T6 ₊ 953 59 875 200σ 6_T7 r4 + − 19 302 400σ 6_T6₊ 1 5 040σ 4_T5 r3 + − 37 151 200σ 6_T5₊ 11 30 240σ 4_T4 r2 + 11 60 480σ 6 T4− 1 360σ 4 T3 r − 1 90σ 4 T2+ 31 22 680σ 6 T3, z3 = 13 1 247 400σ 6 T7r4− 17 907 200σ 6 T6r3 − 2 14 175σ 6 T5r2− 1 60 480σ 6 T4r − 2 2 835σ 6 T3.

Il caso dell’opzione Asiatica a media aritmetica e campionamento discreto `

(39)

1.4 Metodi alle Differenze Finite

I metodi alle differenze finite costituiscono un mezzo molto flessibile ed ef-ficiente per prezzare opzioni Asiatiche. In particolare, questi sono gli unici metodi che sono percorribile in caso si consenta l’esercizio anticipato delle opzioni.

In generale, il prezzo di un’opzione Asiatica può essere calcolato risol-vendo una equazione alle derivate parziali in due dimensioni. Un modello del tipo Black-Scholes è stato introdotto da Kemma e Vorst assieme a con-dizioni al bordo ben definite. Roger e Shi hanno formulato una equazione alle derivate parziali in una sola dimensione che può modellare opzioni Asiatiche, sia con floating strike che con fixed strike. Tuttavia quest’equazione è di diffi-cile risoluzione numerica. Hoogland e Neumann hanno invece sviluppato una struttura alternativa per prezzare vari tipi di opzioni usando metodi di scale invariance e ricavato soluzioni semi-analitiche per prezzi di opzioni Asiatiche a campionamento continuo.

Recentemente D’Halluin et al. hanno proposto un metodo semi-Lagrangiano per prezzare opzioni Asiatiche con fixed strike. Ad ogni istante di tempo, un serie di equazioni integro-differenziali parziali ad una dimensione è risolta, e la soluzione è aggiornata usando passi temporali semi-Lagrangiani. Gli au-tori ne hanno tratto risultati monotonici e stabili. Hanno inoltre indagato sulla natura dei problemi che sorgono quando la volatilità è bassa. Questo lavoro è importante poichè permette di maneggiare sia modelli con salti che l’esercizio anticipato.

La seconda classe di metodi alle differenze finite sono i metodi ad albero modificati. Il difficile, quando si valuta opzioni Asiatiche di tipo aritmetico in un approccio ad albero, `e che il numero di possibili valori della media, cresce esponenzialmente col numero di passi temporali dell’albero; non `e possibile nessuna ricombinazione a differenza di quanto avviene per le geometriche. Hull e White hanno suggerito di tenere conto solo di una piccola parte dei possibili valori per la media ad ogni nodo, usando l’interpolazione quando si vuole usare valori intermedi. Klassen ha trattato varie questioni tecniche legate all’efficienza ed all’implementazione dil metodo di Hull e White.

(40)

Un preciso metodo semi-analitico per prezzare e fare copertura di opzioni Asiatiche a campionamento continuo è stato proposto da Zhang. Usando tec-niche di rimozione delle singolarità, ha ottenuto una formula approssimata per il prezzo delle opzioni Asiatiche ed ha mostrato che questa risolve un’altra equazione alle derivate parziali, che è facilmente risolvibile numericamente e con alta precisione. Zhang oltre ad aver sviluppato questo metodo, ha di-mostrato che l’equazione a derivate parziali che governa il termine d’errore può essere risolta a sua volta, fornendo cos`ı un secondo ordine di approssi-mazione. Il termine d’errore del secondo ordine è governata anch’essa da un’altra equazione differenziale parziale, e di nuovo è possibile risolvere an-ch’essa. Zhang ha presentato risultati analitici fino al quarto ordine ed ha dimostrato che il processo converge rapidamente e dà un risultato accurato. 1.4.1 Il metodo semi-analitico di Zhang

Il punto di partenza per il metodo di Zhang `e l’equazione differenziale di Black-Scholes ∂P ∂t + S ∂P ∂I + 1 2σ 2_S2∂2P ∂S2 + rS ∂P ∂S − rP = 0, (56)

dove P = P (S, I, t), soggetto alle condizioni iniziali

P (S, I, T ) = max I

T − K, 0

.

Il prezzo dell’opzione Asiatica `e data da P (S0, 0, 0);

Ripercorrendo Roger e Shi, si pu`o applicare la trasformazione ξ = T K − 1 S e −rτ ₋1 r(1 − e −rτ ), τ = T − t, P (S, I, t) = S Tf (ξ, τ ).

(41)

Quindi, sostituendo nella (56) otteniamo la seguente equazione di diffusione lineare ∂f ∂τ − 1 2σ 2 ξ + 1 r(1 − e −rτ ) 2 ∂2f ∂ξ2 = 0, (57) con f (ξ, 0) = max(−ξ, 0).

Osserviamo che l’effetto di diffusione, inizialmente, esiste solo per ξ = 0 e sarà significativo per valori di ξ bassi. Quindi possiamo togliere ξ dai coeffi-cienti dell’equazione (57). La soluzione dell’equazione modificata può essere utilizzata come approssimazione analitica di f (ξ, τ ). La nuova equazione sarà

∂f0 ∂τ − σ2 2r2(1 − e −rτ )2∂ 2_f 0 ∂ξ2 = 0, con f0(ξ, 0) = max(−ξ, 0)

che pu`o essere risolta in forma chiusa. Cos`ı il valore esatto di f (ξ, τ ) pu`o essere rappresentato nella forma

f (ξ, τ ) = f0(ξ, τ ) + f1(ξ, τ ), (58)

dove f0(ξ, τ ) `e la soluzione dell’equazione modificata e f1(ξ, τ ) `e il termine

di correzione. Possiamo ottenere un equazione per f1(ξ, τ ) sostituendo (58)

nell’equazione (57). I risultati di Zhang sono dati nel seguente teorema. Teorema 1.6. Il prezzo e le Greche di un’opzione Asiatica di tipo call con media aritmetica e con payoff pari al max(I/T − K) sono date dalle seguenti

(42)

formule: C0 = S T −ξN −√ξ 2η +r η πe −ξ2_/4η , ∆0 = 1 2ST√πηN −√ξ 2η + 1 T r η πe −ξ2_/4η , Γ0 = 1 2ST√πη ξ + 1 r(1 − e −rτ ) 2 e−ξ2/4η, V0 = S 4T σ r η πe −ξ2_/4η , ρ0 = S r2_T(r 2_{τ ξ + rτ − 1 + e}−rτ )N −√ξ 2η + + Sσ 2 8r4_T√_πη[9 − 4rτ − (12 + 4rτ )e −rτ + (3 + 2rτ )e−2rτ]e−ξ2/4η,

dove N (·) `e la funzione di distribuzione cumulata di una normale standard,

ξ = T K − 1 S e −rτ ₋ 1 r(1 − e −rτ ), η = σ 2 4r3(−3 + 2rτ + 4e −rτ _{− e}−2rτ ), τ = T − t,

I termini di correzione delle formule d’approssimazione analitica sono i seguen-ti: C1 = S Tf1, ∆1 = 1 Tf1− 1 T ξ +1 r(1 − e −rτ ) ∂f1 ∂ξ , Γ1 = 1 ST ξ + 1 r(1 − e −rτ ) 2 ∂2f1 ∂ξ2 , V1 = S T ∂f1 ∂σ , ρ1 = − S r2_T(r 2_{τ ξ + rτ − 1 − e}−rτ )∂f1 ∂ξ + S T ∂f1 ∂r ,

(43)

risolvendo numericamente la seguente equazione differenziale parziale con un metodo alle differenze finite

∂f1 ∂τ − 1 2σ 2 ξ + 1 r(1 − e −rτ ) 2 ∂2_f 1 ∂ξ2 = σ2_ξ 4√πηe −ξ2_/4η ξ + 2 r(1 − e −rτ ) , (59) con f1(ξ, τ ; r, σ) = 0.

L’equazione (59) `e un’equazione diffusiva lineare non omogenea a coef-ficienti variabili. Zhang propone la risoluzione di questa equazione medi-ante lo schema di Crank-Nicholson. Inoltre, per entrare nel dettaglio tecnico dell’implementazione, suggerisce dove troncare il dominio spaziale. Infat-ti propone di lavorare in [−ξm, ξm], dove ξm = 5σT3/2. Un secondo

as-petto tecnico affrontato da Zhang, `e quello delle condizioni al bordo. Ha osservato che lo schema numerico `e abbastanza insensibile alla scelta delle condizioni al bordo, dato che la soluzione f1 svanisce rapidamente

all’au-mentare di |ξ| ed i limiti spaziali sono abbastanza grandi da assicurarci che f1, f1ξ, f1ξξ spariscano. Poi ha scoperto che scegliendo come ampiezza delle

griglia ∆ξ = 2ξm/4000 e ∆τ = 1/800 fornisce un buon compromesso fra

(44)

2

Introduzione al calcolo di

Malliavin

Dopo aver visto vari metodi utilizzati per lavorare con opzioni Asiatiche, possiamo concentrarci sull’implementare la nostra idea iniziale. Per fare ciò abbiamo bisogno di una base teorica molto solida e rigorosa. Ed è esatta-mente questo che ci prefiggiamo di fare in questa sezione, seguendo il capitolo relativo al calcolo di Malliavin che si può trovare in [6].

2.1 Derivata stocastica

In questo paragrafo introduciamo il concetto di derivata stocastica o di Malli-avin: l’idea è di definire una nozione di derivabilità nella famiglia di variabili aleatorie che siano uguali a (o approssimabili con) funzioni di incrementi indipendenti del moto Browniano. Sotto opportune ipotesi, vedremo che tale famiglia è sufficientemente ampia da contenere le soluzioni di equazioni differenziali stocastiche.

Purtroppo l’insieme delle notazioni necessarie ad introdurre il calcolo di Malliavin `e un po’ pesante: all’inizio non bisogna scoraggiarsi e munirsi di un po’ di pazienza per acquisire le nozioni che utilizzeremo sistematicamente nel seguito. Ad una prima lettura `e consigliabile non fermarsi troppo sui dettagli.

Consideriamo un moto Browniano reale W sullo spazio di probilit`a (Ω, F , P) munito della filtrazione Browniana FW _{= (F}W

(45)

essendo restrittivo, supponiamo T = 1 e, per n ∈ N, indichiamo con tk_n := k

2n, k = 0, . . . , 2 n

l’elemento k + 1−esimo della partizione diadica di ordine n dell’intervallo [0,T]. Indichiamo con

I_nk :=]tk−1_n , tk_n], ∆k_n:= W_tk

n− Wtk−1n ,

rispettivamente l’intervallo k−esimo della partizione e l’incremento k−esimo del moto Browniano, per k = 1, . . . , 2n. Inoltre

∆n:= (∆1n, . . . , ∆ 2n

n )

`

e il vettore in R2n degli increment Browniani (di ordine n) e C_pol∞ indica la famiglia delle funzioni di classe C∞ che, insieme con le loro derivate di ogni ordine, hanno crescita al pi`u polinomiale.

Definizione 2.1. La famiglia dei funzionali semplici di ordine n ∈ N `e definita da Sn:= ϕ(∆n)|ϕ ∈ Cpol∞(R 2n ; R). Indichiamo con xn= (x1n, . . . , x 2n n ) (60)

il punto di R2n. E chiaro che W` T = ϕ(∆n) ∈ Sn per ogni n ∈ N con

ϕ(x1

n, . . . , x2

n

n ) = x1n+ . . . + x2

n

n . Osserviamo che vale

Sn⊆ Sn+1, n ∈ N,

e definiamo

S := [

n∈N

Sn,

La famiglia dei funzionali semplici. Per ipotesi di crescita su ϕ, S `e un sottospazio di Lp(Ω, F_TW) per ogni p ≥ 1. Inoltre, poich`e stiamo considerando