!Uso un sistema di coordinate cilindriche! CSYS,12
!Prendo il numero di nodi! *GET,nmax,NODE,,NUM,MAX
!Creo un masking vector lungo quanto tutti i nodi nel modello! *DIM,mask1,ARRAY,nmax
!Seleziono la named selection dei nodi dell’estensimetro! CMSEL,S,StrainGauge_1_NODES
NSEL,R,LOC,X,(Rint-Tolerance),(Rout+Tolerance) !Conto i nodi che ne fanno parte!
*GET,ncount1,NODE,,COUNT
*GET,nmax2,NODE,,NUM,MAX
!Metto nel masking vector i nomi dei nodi che fanno parte dell’estensimetro! *VGET,mask1,NODE,1,NSEL
!uso il masking vector per ridurre la mia selezione ai nodi! *VMASK,mask1(1)
!Archivio sui nodi in questione la deformazione circonferenziale! *VGET,NodesEPEL,NODE,,EPEL,Y
!Faccio la somma sui nodi! *VSCFUN,Sum,SUM,NodesEPEL !Faccio la media!
A.2
Algoritmo di selezione delle equazioni
Lo scopo di questa appendice `e mostrare l’algoritmo adottato per ridurre il cattivo condizionamento del sistema di Eq. 3.18. L’algoritmo parte dal sistema sovrade- terminato descritto di Eq. 3.18. Il primo passo consiste nel costruire e risolvere il corrispondente sistema ai minimi quadrati (Eq. A.2), ricavando la soluzione c.
ATAc = ATe (A.2)
Di seguito `e necessario calcolare gli autovalori λj e i corrispondenti autovetto-
ri λj della matrice ATA dei minimi quadrati. Gli autovalori e gli autovettori
possono essere calcolati visto che la matrice `e simmetrica. Inoltre gli autovalori sono tutti maggiori o uguali a zero visto che la matrice `e semi-definita positiva. Gli autovalori si intendono ordinati secondo j (j = 1...J ) dal pi`u grande al pi`u piccolo.
Dato che la matrice ATA `e simmetrica, gli autovettori costituiscono una base dello spazio RJ a cui appartiene c. Il vettore c pu`o essere ottenuto come combi- nazione lineare degli autovettori con coefficienti ψj (Eq. A.3).
c =
J
X
j=1
ψjλj (A.3)
A titolo di esempio, in Fig. A.3 vengono mostrati i primi dodici autovalori della matrice dei minimi quadrati usata per trovare la ISD sulla piastra B (fare riferimento a Cap. 4.4). Il cattivo condizionamento del sistema `e evidenziato dal fatto che gli autovalori sono molto diversi tra loro. Il significato fisico da attribuire a questo fatto `e che vi sono alcune distribuzioni di ISD (associate agli autovetto- ri) che, se presenti, avrebbero poca influenza sulla risposta degli estensimetri, di conseguenza la misura estensimetrica non sarebbe adatta a rilevarle. I coefficienti ψj attribuiti a questi autovettori nel processo di soluzione non sono determinati
dalla presenza di ISD, bens`ı da errori di misura e numerici.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
j
λ
j/λ
1Figura A.3: Primi dodici autovalori della matrice dei minimi quadrati relativa al calcolo della ISD per la piastra B.
includendo solo gli autovettori associati ad autovalori al di sopra di una definita soglia. Tale soglia `e stata fissata, in questo lavoro, a un centesimo dell’autovalore pi`u intenso λ1/100. Identificando con J∗ l’indice dell’ultimo autovalore che rispetta
questo requisito, la soluzione filtrata `e mostrata in Eq. A.4. Per il caso della piastra B (Cap. 4.4) J∗ = 7. c∗ = J∗ X j=1 ψjλj (A.4)
A.3
La stima della zona plastica indotta dal ta-
glio
Lo scopo di questa appendice `e ottenere una stima dell’entit`a della zona plastica provocata dal secondo taglio durante l’applicazione del metodo dell’ISD. I risultati sono riferiti alla piastra B, ma sono simili a quelli della piastra A. Si analizza il secondo taglio (con riferimento al Par. 4.2.2), perch´e, essendo vicino agli esten- simetri (Fig. 4.6), `e quello per cui la presenza di una significativa zona plastica potrebbe, eventualmente, alterare la risposta prevista da un’analisi lineare.
Il taglio `e stato schematizzato come una fessura di lunghezza s crescente. Dal punto di vista degli effetti plastici locali, questa ipotesi `e cautelativa dato che l’intensificazione delle sollecitazioni prodotta dal taglio `e meno intensa. Tuttavia la modellazione `e stata ritenuta idonea visto che l’obiettivo `e stimare per eccesso l’ordine di grandezza dell’entit`a della zona plastica. Il campo di tensione residua presente nella zona degli estensimetri prima del secondo taglio `e stato ricavato dal modello FE della piastra B utilizzato in Par. 4.4. Visto che il taglio `e in direzione radiale, si `e fatto riferimento unicamente alla tensione residua circonferenziale σθθ,
mostrata in Fig. A.4.
Lo Stress Intensity Factor (SIF) delle tensioni KI`e stato calcolato con il metodo
delle funzioni peso secondo la formulazione mostrata in [62]. Sono state utilizzate le funzioni adimensionali χu (u = 1..5) per il caso della lastra piana rettangolare
di spessore b − a e di lunghezza assiale infinita. L’effetto sul SIF della curvatura e della finita estensione dell’anello `e di pochi punti percentuale per fessure di lun- ghezza inferiore a 40 mm.
La funzione peso WI `e espressa dall’Eq. A.5.
WI(s, r) = √1 2πa 5 X u=1 χu( s − a b − a) 1 −r a u−1.5 (A.5)
Il SIF KI, calcolato mediante l’Eq. A.6, ha l’andamento mostrato in Fig. A.5. Il grafico non comprende tutto lo spessore radiale (si ferma infatti a 0.8(b − a)),
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-100
-50
0
50
r - a
b - a
σ
θθ(MPa
)
Figura A.4: Andamento della tensione residua circonferenziale σθθ nella zona degli
estensimetri della piastra B a successivamente al primo taglio.
poich´e le funzioni χu sono definite fino al 90 % dello spessore della piastra; si
ricorda comunque che il taglio progressivo nell’esperimento si ferma circa al 72 % dello spessore.
KI(s) = Z s
a
WI(s, r)σθθ(r)dr (A.6)
Il raggio della zona plastica all’apice della fessura rp `e stato stimato mediante
la seguente formula, che rappresenta il raggio della zona plastica secondo Irwin per componenti in stato piano di tensione:
rp(s) = 1 2π( KI(s) σy(L) )2 (A.7)
Per il materiale della piastra la tensione di snervamento `e stata assunta σy(L) =
1000 MPa. In Fig. A.6 viene mostrato l’andamento del raggio della zona plastica in funzione della profondit`a di taglio s. Si nota che il valore massimo non raggiun- ge 0.05 mm.
Nonostante sia basata su ipotesi semplificate, questa analisi ha confermato che il raggio della zona plastica indotta dal campo di tensione residua durante
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
100
200
300
400
500
s - a
b - a
|K
I|(MPa
mm
)
Figura A.5: Andamento del coefficiente di intensificazione delle tensioni per la piastra B, dopo il secondo taglio, in funzione della profondit`a del secondo taglio s.
il secondo taglio `e molto piccolo. Si conclude che, nei casi in esame in questa tesi, l’ipotesi di rilassamento elastico delle tensioni indotto dal taglio progressivo `e accettabile.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
s - a
b - a
r
p(mm
)
Figura A.6: Andamento del raggio plastico all’apice del secondo taglio per piastra B in funzione della profondit`a del secondo taglio s.
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Desidero ringraziare:
Marco Beghini: per essere stato per me, fin dai tempi della tesi di laurea magi- strale, un vero maestro e una persona fondamentale nel mio percorso di formazione. Bernardo Disma Monelli: per avermi sempre supportato e per avermi insegna- to il valore della diplomazia.
Andrea Bagattini: per essermi stato amico e aver gettato le basi della collabo- razione tra l’Universit`a di Pisa e Baker Hughes a GE company che ha permesso l’esecuzione di questo dottorato.
Alberto Babbini e Federico Sorgon`a: per aver creato una situazione favore- vole allo svolgimento del dottorato all’interno dell’ambiente lavorativo.
Ciro Santus: per aver fornito i dati relativi alle misure eseguite con il metodo del foro cieco riportate in questa tesi.
Michele Bandini (Peen Service): per aver fornito i dati relativi alle misure eseguite con il metodo dei raggi X riportate in questa tesi.
Fattakh Arifulov e Marco Fiaschi (SINT Technology ): per aver supporta- to l’esecuzione delle misure di ISD presso Baker Hughes a GE company.
Francesco Aiello e Dario Mondini: per aver supportato l’esecuzione delle mi- sure di ISD presso l’Universit`a di Pisa.
Davide Fugazza (ANSYS ): per avermi dato preziosi e indispensabili consigli sull’uso delle User Programmable Features.