Sincronizzazione in dinamiche periodiche

Attraverso un elevato numero di acquisizioni è stato possibile analizzare l'andamento dell'indice di sincronizzazione al variare della resistenza e della capacità presenti sui sei link della rete. Come già anticipato, il regime di funzionamento dei circuiti di Chua scelto per questo lavoro di tesi è quello denominato Ciclo limite, si riportano dunque i grafici relativi alla regione di funzionamento dei circuiti realizzati per il set-up sperimentale in esame:

È importante sottolineare che tale regione di funzionamento, fissata dal parametro di biforcazione RCHUA =1984Ω quando i circuiti sono isolati, può variare quando i

circuiti sono inseriti in una rete, facendo di conseguenza variare anche le traiettorie delle forme d'onda delle relative variabili di stato. Nel caso specifico di questo lavoro sperimentale si è osservato che quando il sistema risulta fortemente sincronizzato i circuiti fissano il punto di funzionamento su di un punto di equilibrio stabile, a cui corrispondono traiettorie costanti. Passando dallo stato sincrono a quello non sincrono la regione di funzionamento ritorna ad essere quella stabilita dal parametro di biforcazione, si osservano dunque traiettorie sinusoidali non sincronizzate (fig 4.5):

Un ulteriore aspetto che è stato preso in considerazione riguarda l'interpretazione da dare alla stima quantitativa dello stato sincrono fatta mediante l'indice di sincronizzazione. A tal riguardo infatti i modelli teorici prevedono che il passaggio dallo stato sincrono a quello non sincrono (o viceversa) avvenga in maniera netta, non è previsto dunque un passaggio graduale tra le due condizioni. Le evidenze sperimentali indicano invece che tale transizione avviene in maniera più o meno graduale, a seconda dei parametri caratteristici quali capacità e resistenza di link. Si riportano, a scopo illustrativo, i grafici inerenti all'andamento dell'indice di sincronizzazione al variare della resistenza di link per alcuni valori fissati di capacità:

fig. 4.7: Indici di sincronizzazione valutati per Clink=370pF

Si osserva quindi, in alcuni casi, una zona di transizione per la quale il sistema complessivamente non può essere definito sincrono, essendo le traiettorie dissimili tra loro, ma non può essere definito totalmente desincronizzato in quanto raggiunge un valore più elevato al crescere dei valori di resistenza.

La scelta di voler caratterizzare lo stato sincrono di una rete all-to-all di circuiti di Chua in dinamica periodica, con link dinamici, è stata effettuata anche per avere un termine di paragone con il modello numerico sviluppato dai ricercatori del Politecnico di Torino [10], grazie al quale è stato possibile ottenere le curve relative allo stato sincrono per diversi valori del parametro di biforcazione Rchua. Tali curve,

per le quali l'area ad esse sottesa corrisponde allo stato asincrono, sono state riportate in funzione della conduttanza e della capacità, adimensionalizzate secondo tali formule:

v ̂z=4Clink

C1

w ̂z=4Glink

G

dove Clink e Glink sono rispettivamente la capacità e l'inverso della resistenza

presenti sui link di interconnessione della rete, mentre C1 [F] e G [S] sono i valori

fig. 4.9: Andamento dello stato sincrono di una rete all-to-all di 4 Chua con parametro di biforcazione R=1955Ohm

fig. 4.10: Andamento dello stato sincrono di una rete all-to-all di 4 Chua con parametro di biforcazione R=1975Ohm

fig. 4.11: Andamento dello stato sincrono di una rete all-to-all di 4 Chua con parametro di biforcazione R=1985Ohm

Riportiamo dunque il grafico in figura 4.12, ottenuto tramite un opportuno script Matlab, contenente il risultato delle 16000 acquisizioni per le quali si è valutato l'indice di sincronizzazione al variare delle capacità e delle resistenze di interconnessione:

fig. 4.12: Indice di sincronizzazione valutato al variare di capacità e conduttanza adimesionalizzati

È stata effettuata la scelta di far corrispondere ad una scala colorata il valore dell'indice di sincronizzazione, proprio per tener conto anche del diverso comportamento rispetto a quello previsto dal modello teorico.

Sempre in quest'ottica, si riporta in figura 4.13 anche la sovrapposizione tra i risultati sperimentali e quelli numerici, valutati nel caso del parametro di biforcazione maggiormente prossimo a quello utilizzato nel set-up sperimentale:

Dai risultati ottenuti risulta un'evidente differenza tra l'andamento dello stato sincrono nel modello teorico e in quello sperimentale. Si può osservare infatti come per bassi valori di capacità e resistenza, che corrispondono alla zona in basso a destra nel grafico, il modello numerico preveda il passaggio verso la desincronizzazione per valori di resistenza più piccoli rispetto a quelli misurati. Inoltre vi è un'evidente differenza anche sul picco (parte sinistra del grafico), poiché anche in tal caso il passaggio dallo stato desincronizzato a quello sincrono avviene per valori più bassi. Entrambe le differenze possono essere spiegate dalla diversa interpretazione che viene data nei due casi allo stato di sincronia stabile della rete: il modello teorico infatti prevede segnali perfettamente coincidenti nel caso di stato sincrono, e individua lo stato desincrono al nascere della minima differenza tra le forme d'onda.

Risulta evidente che tali risultati non sono raggiungibili per via sperimentale, sia a causa degli elementi parassiti presenti sulle diverse parti del set-up sperimentale, sia a causa delle ineliminabili incertezze di misura del sistema di acquisizione, ed è per tali motivi che la curva sperimentale risulta contenuta in quella teorica.