4. Stima della wavelet e delle proprietà elastiche
4.2. Stima wavelet e proprietà elastiche
4.2.3. Stima delle sole proprietà elastiche con wavelet errata
Come altro termine di paragone per l’inversione in contemporanea di mmme βββ, si decide
di stimare le proprietà elastiche mmm dando per nota una wavelet errata,. Si fa ciò per
capire l’importanza di una corretta stima della wavelet a priori o di un’inversione in contemporanea. Si sceglie arbitrariamente di modificare la Ricker con fp = 80Hz
(w(t; ¯β¯β¯β)) con una wavelet w(t;βββ000) i cui parametri sono βββ000 = [2.1, 0.1, 0.0035, 1].
In Figura 4.19 è mostrato un confronto tra w(t; ¯β¯β¯β) e w(t;βββ000). La w(t;βββ000) verrà
usata anche nellasottosezione 4.2.5quando si effettuerà un’inversione alternata delle proprietà elastiche e dei parametri della wavelet.
Figura 4.19.: Ricker con frequenza di picco fp = 80Hz equivalente alla wavelet
w(t; ¯β¯β¯β) rappresentata con la curva nera continua e wavelet errata w(t;βββ000) con
β0
ββ00 = [2.1, 0.1, 0.0035, 1] rappresentata con la curva blu continua.
I risultati dell’inversione globale di mmm, con w(t;βββ000) nota, sono riportati inFigura 4.20.
Dai risultati si evince un accordo pessimo per tutte le variabili quasi ovunque. In- fatti, per tutte e tre le proprietà elastiche si notano delle forti variazioni anche se il minimo misfit raggiunto è di min(misfit) = 0.19. Esso è certamente molto più elevato di quello ottenuto nella sottosezione precedente, ma inferiore al valore otte- nuto con il sismogramma rumoroso. Ulteriori informazioni si possono ottenere dai residui nell’ultimo pannello in Figura 4.20.
A differenza dei residui in Figura 4.18, che presentano più o meno l’andamento del rumore bianco, in Figura 4.20 si evince come la maggior parte dell’errore sia concentrato nei primi millisecondi. Ciò dimostra che la natura di questo errore è diversa a quello precedente. Quindi dai residui si intuisce che i primi valori di mmm
probabilmente sono errati ma non si evince nulla sulla distribuzione dei valori nel resto della traccia. Infatti, per buona parte del sismogramma i residui sono quasi nulli, segno del buon accordo fra il sismogramma reale e quello stimato, anche se sono presenti forti variazioni in mmm. Sono state fatte varie inversioni per verificare
che non fosse un risultato spurio ma tutte hanno confermato il fatto che una wavelet errata comporta delle variazioni molto grandi sulle proprietà elastiche.
4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche
Figura 4.20.: Risultati dell’inversione di mmm con w(t;βββ000) nota. Il primo pannello
a sinistra riporta l’andamento della velocità ¯VP reale (in nero) e della velocità
stimata VP (in blu). Il secondo pannello mostra l’andamento della velocità ¯VS
reale (in nero) e VS stimata (in rosso). Il terzo della densità ¯ρ reale (in nero) e ρ
stimata (in verde). Infine, l’ultimo pannello riporta la differenza (moltiplicata per un fattore 10) tra il sismogramma di partenza e il sismogramma generato dalla convoluzione della Ricker nota e della serie di riflettività generata dell’inversione delle proprietà elastiche stimate. Minimo misfit min(misfit) = 0.19
4.2.4. Stima in contemporanea wavelet e proprietà elastiche
Mantenendo come sismogramma per l’inversione quello presentato in Figura 4.11, si invertiranno contemporaneamente le proprietà elastiche mmm e i quattro parametri
della wavelet βββ per un totale di NDOF = 124. Inizialmente non si usa nessuna informazioni a priori e la matrice dei parametri iniziali è generata random all’interno dei range presentati in Tabella 4.4, vale a dire i limiti minimi e massimi all’interno di cui possono variare i parametri. Rispetto all’inversione della sola wavelet si sono ridotti ancora i range relativi all’ampiezza e alla skewness. Questo perché anche dei valori piccoli influenzano molto la wavelet e si decide di non voler disperdere troppi individui generati nello spazio dei parametri poco realistici, sempre nell’ottica per risparmiare tempo computazionale.
min max VP[m/s] 1700 2800 VS[m/s] 800 1300 ρ[kg/m3] 1600 2400 a 1 3 s -1 1 ν[ms] 0.1 36 n 1 5
Tabella 4.4.: Range entro cui i parametri mmm e βββ possono variare. Nella seconda
colonna i valori minimi e nella terza i valori massimi, gli estremi sono compresi.
4.2.4.1. Senza informazioni a priori
Dato che ogni inversione può dare risultati leggermente diversi, si propongono qui di seguito i risultati di tre inversioni con valore di misfit simile. InFigura 4.21con il minor misfit min(misfit) = 2.15∗10−2, inFigura 4.22con min(misfit) = 2.21∗10−2
e in Figura 4.23 con min(misfit) = 2.55 ∗ 10−2.
Figura 4.21.: Risultati dell’inversione in contemporanea di mmme βββ. Il primo pannel-
lo a sinistra riporta l’andamento della velocità ¯VP reale (in nero) e della velocità
VP stimata (in blu). Il secondo pannello la velocità ¯VS reale (in nero) e VSstimata
(in rosso). Il terzo mostra la densità ¯ρ reale (in nero) e ρ stimata (in verde). Infi- ne, l’ultimo pannello riporta in nero la Ricker con frequenza di picco fp = 80Hz
4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche
Figura 4.22.: Risultati dell’inversione in contemporanea di mmm e βββ. I primi tre
pannelli mostrano le proprietà elastiche reali ¯mmm¯¯ a confronto con quelle stimate mmm.
L’ultimo pannello riporta in nero la Ricker con frequenza di picco fp = 80Hz e in
rosso la wavelet stimata. Minimo misfit min(misfit) = 2.21 ∗ 10−2.
Figura 4.23.: Risultati dell’inversione in contemporanea di mmm e βββ. I primi tre
pannelli mostrano le proprietà elastiche reali ¯mmm¯¯ a confronto con quelle stimate mmm.
L’ultimo pannello riporta in nero la Ricker con frequenza di picco fp = 80Hz e in
Anche se con un misfit circa quattro volte peggiore di quello ottenuto stimando sol- tanto le proprietà elastiche (vediFigura 4.12), il risultato ottenuto sia per la wavelet che per le proprietà elastiche è molto simile a quelli ricavati invertendo singolarmen- te i due gruppi di parametri. In realtà per le VP si riscontra un andamento ancora
migliore rispetto alla stima delle sole proprietà elastiche.
In riferimento alla Figura 4.21 si nota come per le proprietà elastiche le veloci- tà compressionali portino degli ottimi risultati e risultati meno accettabili per le velocità trasversali e per le densità, come già visto per l’inversione delle sole pro- prietà elastiche (confronto Figura 4.12). Per quanto riguarda invece la parametriz- zazione della wavelet si riportano anche i valori dei singoli parametri βββ = [a = 1.94, s = −0.02, ν = 2.78 ms, n = 1]. Essi, come mostra anche l’ultimo pannello dellaFigura 4.21, sembrano essere in buon accordo con i valori attesi ¯β¯β¯β (Tabella 4.2). A titolo esemplificativo si riporta l’evoluzione del misfit (Figura 4.24) dei risultati ottenuti in Figura 4.23 con il minor misfit pari a min(misfit) = 2.55 ∗ 10−2, il
numero di modelli generati Nindividui ≈ 1.5 ∗ 107, il numero di iterazioni 4203.
Figura 4.24.: Evoluzione del misfit in funzione delle iterazioni in scala semi- logaritmica. Il grafico riporta i valori del miglior misfit di ogni iterazione e la media di tutti i misfit calcolati in ogni iterazione. Minimo misfit min(misfit) = 2.55 ∗ 10−2.
Si stabilisce di associare un errore alla stima di mmm e βββ con il metodo Monte Carlo,
per decidere il valore di σnoise, ipotizzando sempre un rapporto segnale rumore di
SN R = 8 db e fermandosi, come numero di modelli generati, a Q = 10 limitato
dal tempo computazionale. In Figura 4.25 si riportano i parametri mmm con le linee
continue di vario colore, i valori ¯mmm¯¯ con le curve continue nere e il range ± sigma
4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche
Figura 4.26si riporta la distribuzione dei residui normalizzati. Anche qui la maggior parte dei valori dista meno di una sigma dal valore vero e ha un andamento casuale (anche se più distanti dai valori ottenuti nell’inversione delle sole proprietà elastiche). Soltanto per i valori della densità si riscontra un andamento non casuale intorno allo zero, ciò a riprova di una sottostima dei valori. Per quanto riguarda i valori di βββ si ottiene:
• a = 1.94 ± 0.06 • s = (−2 ± 2) ∗ 10−2
• ν = 2.78 ± 0.05 ms • n = 1 ± 0
Tali risultati si attestano tutti a meno di un sigma dai valori veri ¯β¯β¯β. I risultati ottenuti per mmm, eccezion fatta per qualche valore più distante dal valore vero, sono
paragonabili con l’inversione delle sole proprietà elastiche, a conferma dl fatto che anche senza informazioni a priori l’inversione globale in contemporanea di mmm e βββ
porta a dei buoni risultati.
Figura 4.25.: Risultati dell’inversione di mmm e βββ con min(misfit) = 2.15 ∗ 10−2 e
l’errore associato. Il primo pannello a sinistra riporta l’andamento della velocità ¯VP reale (in nero), della velocità stimata VP (in blu) e di VP± σVP tratteggiata. Il
secondo pannello mostra l’andamento della velocità ¯VS reale (in nero), VS stimata
(in rosso) e di VS ± σVS tratteggiata. Il terzo della densità ¯ρ reale (in nero), ρ
Figura 4.26.: Residui normalizzati di mmm. In tutti e tre i pannelli si riporta con la
linea in nero continua i valori veri ¯mmm¯¯, con gli asterischi la distanza dei vari valori
stimati mmm pesata sull’errore associato.
Anche nel caso di questa inversione, prima di passare avanti, si contamina il sismo- gramma con un rumore bianco così da effettuare un’altra inversione, e si userà il sismogramma nel pannello destro in Figura 4.17. In Figura 4.27 si propongono i risultati dell’inversione del sismogramma contaminato dal rumore. Anche se con un accordo minore, le proprietà elastiche vengono stimate come nell’inversione del sismogramma senza rumore.
Per completezza si riporta anche il minimo misfit min(misfit) = 1.1 significativa- mente più alto per via del rumore e la norma due della differenza del sismogramma stimato con il sismogramma non affetto da rumore min(misfit) = 9 ∗ 10−2. Que-
st’ultimo valore è più elevato rispetto a quelli ottenuti in precedenza, essendo di circa 4.5 volte peggiore: ciò è imputabile proprio alla stima meno corretta dovuta all’introduzione del rumore. In particolare si noti come la densità, che nell’intervallo dovrebbe essere abbastanza smooth, invece presenta vari spike sicuramente dovuti al fatto che l’algoritmo cerca di stimare il rumore bianco introducendo queste ano- malie, stesso risultato ottenuto inFigura 4.18. Nel complesso, l’aggiunta del rumore non comporta grandi variazioni nella stima dei parametri rispetto all’inversione delle sole proprietà elastiche. Per quanto riguarda i parametri βββ, l’accordo continua ad essere buono se paragonato ai risultati fino ad ora ottenuti.
4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche
Figura 4.27.: Risultati dell’inversione di mmm e βββ partendo dal sismogramma con-
taminato con il rumore. Il primo pannello a sinistra riporta l’andamento della velocità ¯VP reale (in nero) e della velocità stimata VP (in blu). Il secondo pannel-
lo mostra l’andamento della velocità ¯VS reale (in nero) e VS stimata (in rosso). Il
terzo propone la densità ¯ρ reale (in nero) e ρ stimata (in verde). Infine, l’ultimo pannello riporta in nero la Ricker con frequenza di picco fp = 80Hz e in rosso la
wavelet stimata. Minimo misfit min(misfit) = 1.1.
4.2.4.2. Con informazioni a priori
Si decide di introdurre delle informazioni a priori sia per provare a risolvere il pro- blema della sottostima della densità sia per vedere come varia la stima dei parametri
m
mm e βββ cambiando la funzione di misfit. Come informazioni a priori per le proprie-
tà elastiche si usa una versione smooth degli stessi. In Figura 4.28 si riportano le proprietà elastiche reali ¯mmm¯¯ e smooth ( mmmpriorpriorprior = [ ˆVP, ˆVS,ˆρ]) rappresentate dalle curve
nere continue. Inoltre, si decide di restringere il range entro il quale i parametri possono variare. Il nuovo range è rappresentato dalle curve tratteggiate, è centrato sulla curva smooth dei dati e da essa si discosta di una costante, sia in un verso che nel altro.
Si definisce la matrice di covarianza per il dato CCCddd e per il modello delle proprietà
elastiche CCCmmm. Esse serviranno per scrivere la nuova funzione di misfit. La matrice
Cd
CCdd è una matrice diagonale, i cui elementi sono tutti uguali e pari alla varianza dei
dati del sismogramma di partenza. La matrice CCCmmm, invece, è una matrice diagonale
a blocchi (9 blocchi): i blocchi CCCm,1,1m,1,1m,1,1, CCCm,2,2m,2,2m,2,2, CCCm,3,3m,3,3m,3,3 sulla diagonale riportano la
invece la covarianza tra i vari parametri smooth. In Figura 4.29 si presenta la matrice CCCmmm.
Figura 4.28.: Il grafico riporta le proprietà elastiche reali ¯mmm¯¯ (in blu,rosso e verde)
e l’andamento smooth di esse ( mmmpriorpriorprior = [ ˆVP, ˆVS,ˆρ]) con le curve nere continue.
Le curve tratteggiate mostrano il nuovo range entro il quale i diversi parametri mmm
posso variare.
Figura 4.29.: Matrice diagonale a blocchi CCCmmm, rappresentante la covarianza tra le
4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche
Per quanto riguarda invece i parametri βββ = [a, s, ν, n] si centrano i valori a priori su i valori veri ¯β¯β¯β (vediTabella 4.2). Per creare la matrice di covarianza, si associa a βββ una distribuzione gaussiana centrata in ¯β¯β¯β con deviazione standard arbitraria (σσσβββ).
InFigura 4.30si riportano le distribuzioni gaussiane centrate sui valori a priori con le deviazioni standard decise. I grafici hanno come estremi dell’asse orizzontale gli estremi del range entro il quale i valori βββ possono variare (vedi Tabella 4.4). Le deviazioni standard decise sono σσσβββ = [σa = 0.3, σs= 0.2, σν = 2ms, σn= 1].
Per quantificare meglio come varia la wavelet spostando i vari parametri βββ dal valore centrale ¯β¯β¯β, inFigura 4.31si propongono i grafici che mostrano come varia la wavelet sommando al valore centrale di βββ da una a tre sigma. Il primo pannello, in Figura 4.31, mostra la Ricker con i valori veri (w(t; ¯β¯β¯β)). Il secondo pannello mostra la wavelet calcolata non con i parametri veri ma con essi più una sigma (quindi w(t; ¯β¯β¯β +σσσβββ)), gli altri due pannelli presentano rispettivamente w(t; ¯β¯β¯β + 2σσσβββ)
e w(t; ¯β¯β¯β + 3σσσβββ). Questo ci mostra come le deviazioni standard decise non siano
troppo restrittive, anzi il contrario.
Figura 4.30.: Distribuzioni gaussiane relative ai parametri βββ = [a, s, ν, n]. Le di- stribuzioni sono centrate sui valori dei parametri ¯β¯β¯β con deviazione standard σσσβββ.
Gli estremi degli assi sono anche gli estri del range entro il quale i parametri βββ possono variare.
Figura 4.31.: Wavelet al variare dei parametri. Il primo pannello ripropone la solita Ricker con fp = 80Hz corrispondente a w(t; ¯β¯β¯β), il secondo pannello la
wavelet w(t; ¯β¯β¯β + σσσβββ), il terzo w(t; ¯β¯β¯β + 2σσσβββ), il quarto w(t; ¯β¯β¯β + 3σσσβββ).
L’Equazione 4.1, che rappresenta il misfit in norma due, viene modificata con l’E- quazione:
misf it1 = (dddooo−dddppp)TCCCddd−1(dddooo−dddppp)+(mmm−mmmpriorpriorprior)TCCCmmm−1(mmm−mmmpriorpriorprior)+(βββ−¯β¯β¯β)TCCCβββ−1(βββ−¯β¯β¯β)
(4.3) Dove CCCβββ indica la matrice diagonale di rango 4 con i valori di σσσβββ lungo la diagonale.
Il risultato dell’inversione, con la funzione di misfit l’Equazione 4.3, è presentato in
Figura 4.32. Per avere un confronto quantitativo con il risultato ottenuto nella sot- to sottosezione precedente, si calcola comunque il misfit dell’ultimo sismogramma generato per poterlo paragonare. A fronte di un min(misfit1) = 44.2 otteniamo
un min(misfit) = 0.44. Dal risultato otteniamo un min(misfit) peggiore di quello ottenuto nella sotto sottosezione precedente, imputabile appunto a come la nuo- va funzione di misfit è cambiata, spingendo di più le proprietà elastiche verso la versione smooth (mmmpriorpriorprior) usata come informazione a priori. Per quanto riguarda la
wavelet, il risultato è molto simile alla Ricker, dato che le informazioni a priori per βββ sono centrate su ¯β¯β¯β. In conclusione, anche se il risultato di min(misfit) è peggiore, l’introduzione delle informazioni a priori ha portato la stima di mmm più vicina, in
media, ai dati reali ¯mmm¯¯. Si riporta l’evoluzione del misfit in Figura 4.33, il numero di
4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche
Figura 4.32.: Risultati dell’inversione in contemporanea di mmm e βββ con la nuova
funzione costo (Equazione 4.3). I primi tre pannelli mostrano le proprietà elastiche reali ¯mmm¯¯ a confronto con quelle stimate mmm. L’ultimo pannello riporta in nero la
Ricker con frequenza di picco fp = 80Hz e in rosso la wavelet stimata. Minimo
misfit min(misfit1) = 44.2.
Figura 4.33.: Evoluzione del misfit in funzione delle iterazioni in scala semi- logaritmica. Il grafico riporta i valori del miglior misfit di ogni iterazione e la media di tutti i misfit calcolati in ogni iterazione. Minimo misfit min(misfit1) = 44.2.
Si prova a cambiare la matrice CCCmmm introducendo la correlazione temporale [BO03].
Si calcola l’autocorrelazione normalizzata dei valori ˆVP, a cui è stata sottratta la
media, e tramite una funzione esponenziale così fatta exp(−(x/tau)2) si cerca di
includere solo il primo lobo dell’autocorrelazione. Il valore tau = 4.5ms influenzerà proprio il range temporale dentro il quale i valori saranno correlati fra loro,. In
Figura 4.34si mostra l’andamento dell’autocorrelazione di ˆVP− mean( ˆVP) e la fun-
zione exp(−(x/tau)2). InFigura 4.35, invece, si riporta la matrice C
m,corr
Cm,corr
Cm,corr realizzata
convolvendo i vari blocchi della matrice CCCm,i,im,i,im,i,i con la funzione exp(−(x/tau)2). Si
usa la stessa funzione esponenziale per tutte e tre le variabili di mmmpriorpriorprior. Quindi si
modifica la funzione oggetto in Equazione 4.3sostituendo CCCmmm con CCCm,corrm,corrm,corr, la nuova
funzione è definita misfit2. Si inverte il sismogramma e i risultati così ottenuti
sono presentati in Figura 4.36, con 632 iterazioni e Nindividui ≈ 3.1 ∗ 106 con un
min(misfit2) = 507 e min(misfit) = 8.6. I risultati per la wavelet sono in linea
con quelli delle inversioni precedenti, invece per quanto riguarda mmm si ottengono dei
risultati smooth molto vicini ai valori di mmmpriorpriorprior. Anche l’inversione si arresta dopo
poche iterazioni rispetto al massimo impostato, per via del fatto che si raggiunge il limite di stallo: 75 generazioni senza migliorare il misfit. Il risultato è dovuto sicu- ramente alla nuova funzione di misfit dato che essa risulta essere l’unica differenza con l’inversione inFigura 4.32. Per attenuare tale problema si potrebbe aggiungere un fattore di scala a moltiplicare la matrice C−1
m,corr
CCm,corrm,corr−1−1 . Si decide di fare qualche test
ma i risultati risultano includenti per fattori intorno al decimo e si ottengono ri- sultati troppo simili ad un’inversione senza informazioni a priori per valori inferiori al centesimo. Sicuramente un ricerca più attenta nella curva di trade-off tra i due effetti porterebbe ad un risultato migliore.
Figura 4.34.: Il grafico riporta l’autocorrelazione normalizzata dei valori ˆVP −
4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche
Figura 4.35.: Matrice CCCm,corrm,corrm,corr di covarianza di mmmpriorpriorprior che tiene in considerazione la
correlazione temporale dei dati.
Figura 4.36.: Risultati dell’inversione in contemporanea delle proprietà elastiche e della wavelet con la nuova funzione di misfit (misfit2). Il primo pannello a sinistra
riporta l’andamento della velocità ¯VP reale (in nero) e della velocità VP stimata
(in blu). Il secondo pannello mostra l’andamento della velocità ¯VS reale (in nero)
e VS stimata (in rosso). Il terzo della densità ¯ρ reale (in nero) e ρ stimata (in
verde). Infine, l’ultimo pannello riporta in nero la Ricker con frequenza di picco
4.2.5. Inversione alternata
Si decide di realizzare un’inversione anche con un approccio diverso, simile allo schema proposto in alcuni articoli [YKK17, ADK+11] senza informazioni a priori, usando quindi la funzione di misfit in Equazione 4.1. Si ipotizza di sapere la forma della wavelet (w(t;βββ000)), essa è simile a quella vera (w(t; ¯β¯β¯β)) ma non esatta; per βββ000
si utilizzano gli stessi valori già presentati in Figura 4.19. Partendo da tale wavelet sbagliata si cerca di invertire le proprietà elastiche (mmm) per un circa num iterazioni
e il risultato sarà un modello raw (mmm000). Si continua l’inversione in modo da invertire
solo uno dei due gruppi di parametri (mmm, βββ) per volta e aggiornando l’altro ogni
inversione. Per capire meglio l’inversione alternata si propone tale schema: Inversione alternata
1. Si da per nota una combinazione dei parametri della wavelet βββ000;
2. Si invertono i parametri mmm, noto βββ000, si ottiene mmm000 dopo num iterazioni;
3. Si fa un ciclo su i da 1 a k;
4. Si invertono i parametri βββ, noto mmmi−1i−1i−1 e con info a priori βββi−1i−1i−1: si ottiene βββiii
dopo nn iterazioni;
5. Si invertono i parametri mmm, noto βββi−1i−1i−1 e con info a priori mmmi−1i−1i−1: si ottiene mmmiii
dopo nn iterazioni;
6. Infine si fa un’inversione su βββ e mmm, con mmmkkk e βββkkk come info a priori.
I valori [num, k, nn] si rivelano cruciali per la riuscita dell’inversione alternata. Un valore troppo grande di num blocca le proprietà elastiche in un minimo e rende inutile l’aggiornamento della wavelet, lo stesso vale per nn per quanto riguarda l’inversione di mmm. Valori troppo piccoli di nn vanificano l’inversione alternata ren-
dendola quasi un’inversione in contemporanea. Valori troppo piccoli di num portano ad un aggiornamento della wavelet guidato da proprietà elastiche errate facendo si che la wavelet si modifichi verso forme sbagliate. Il numero k ovviamente deve essere il più grande possibile tenendo in considerazione il tempo computazionale.
Si effettuano vari test cambiando i valori [num, k, nn] e si ottiene un buon risulta- to per quanto riguarda la combinazione [num = 2000, k = 5000, nn = 10] con il min(misfit) = 3.7 ∗ 10−3. Il minimo misfit si rivela migliore sia dell’inversione in
contemporanea di mmm e βββ che dell’inversione solo di mmm, l’accordo tra mmm e ¯mmm¯¯ è simile
se non migliore di altre inversioni proposte, mentre la wavelet risulta sostanzial- mente uguale alla Ricker di partenza. In Figura 4.37 è possibile vedere i risultati dell’inversione alternata. Si attribuisce tale valore così basso ad una ricerca del minimo particolarmente fortunata, dato che in altre inversioni alternate non ripor- tate si ottengono risultati paragonabili ad un’inversione in contemporanea. Quindi, il principale vantaggio di un’inversione alternata è da ricercare nel fatto che se si
4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche
hanno delle informazioni a priori molto affidabili su mmm e βββ è preferibile aggiornare
passo dopo passo i due gruppi di parametri per non rischiare di avere dei risultati spuri, che si possono ottenere in un’inversione in contemporanea senza informazioni a priori.
Dai risultati è possibile anche fare un confronto con i risultati ottenuti con l’in- versione di mmm con la wavelet errata. Infatti a differenza dei risultati ottenuti nella
sottosezione 4.2.3 in questo caso i risultati sono molto più vicini ai valori veri. A riprova del fatto che in tutti i casi dove non si è certi della wavelet, è consigliabile un’inversione in contemporanea o alternata, se è possibile.
In Figura 4.38, invece, si riporta l’evoluzione del misfit: la Figura riporta i misfit delle singole inversioni βββiii in rosso e in blu i misfit per le inversioni di mmmiii e infine
il misfit (in nero) dell’ultima inversione in contemporanea. In questa inversione al- ternata, l’ultimo step dell’inversione in contemporanea non porta nessun beneficio, quindi potrebbe essere escluso dal procedimento. In altre prove effettuate con va- lori di k, num più bassi l’effettivo miglioramento nella stima dei dati avveniva solo tramite l’inversione in contemporanea.
Figura 4.37.: Risultati dell’inversione alternata. Il primo pannello a sinistra ripor- ta l’andamento della velocità ¯VP reale (in nero) e della velocità VP stimata (in
blu). Il secondo pannello mostra l’andamento della velocità ¯VS reale (in nero)
e VS stimata (in rosso). Il terzo della densità ¯ρ reale (in nero) e ρ stimata (in
verde). Infine, l’ultimo pannello propone in nero la Ricker con frequenza di picco