Stima delle sole proprietà elastiche

Prima di stimare le proprietà elastiche mantenendo nota la wavelet, si decide di aumentare il numero di tracce del sismogramma per facilitare l’inversione dei dati. Si effettuano varie prove e tutte portano ad un miglioramento del dato stimato, questo però a spese di un aumento del tempo computazionale. In Figura 4.11 si riportano nei primi tre pannelli le stesse proprietà elastiche presentate all’inizio di questa sezione (Figura 4.4), mentre il pannello relativo al sismogramma comprende le tracce valutate sugli angoli da 0° a 60° a passi di 3°.

Figura 4.11.: Il primo pannello a sinistra riporta l’andamento della velocità ¯VP in

funzione del tempo con un campione ogni due millisecondi per un totale di 40 valori. Il secondo pannello l’andamento della velocità ¯VS, il terzo della densità ¯ρ.

Infine, l’ultimo pannello riporta il sismogramma relativo alla convoluzione di una Ricker (fp = 80Hz) con la serie di riflettività relativa ai parametri dei primi tre

pannelli. Il sismogramma è nel dominio time-angle, gli angoli valutati sono da 0° a 60° a passi di 3°.

I risultati ottenuti in questa sottosezione verranno usati come rifermento per i risul- tati ottenuti nelle prossime sottosezioni. In Figura 4.12il primo pannello a sinistra riporta l’andamento della velocità ¯VP in nero e della velocità VP stimata in blu,

il secondo e il terzo riportano il confronto per VS e ρ con il valore reale ¯VS e ¯ρ.

Infine, l’ultimo pannello riporta la differenza (moltiplicata per un fattore 20) tra il sismogramma di partenza e il sismogramma generato dalla convoluzione della Ricker nota e della serie di riflettività relativa alle proprietà elastiche stimate. In totale il numero di parametri stimati è NDOF = 120. In Figura 4.13 si presenta un altro risultato del tutto simile a quello precedente ma con un min(misfit) = 6.4 ∗ 10−3_.

Figura 4.12.: Risultati dell’inversione delle proprietà elastiche. I primi tre pannelli mostrano un confronto tra le proprietà elastiche reali ¯mmm¯¯ = [ ¯VP, ¯VS,¯ρ] (rappresen-

tate dalle curve in nero) e quelle stimate mmm = [VP, VS, ρ]. L’ultimo pannello

riporta la differenza (scalata di un fattore 20) tra il sismogramma di partenza e il sismogramma prodotto con mmm stimato. Minimo misfit min(misfit) = 5 ∗ 10−3.

Figura 4.13.: Risultati dell’inversione di mmm. I primi tre pannelli mostrano un con-

fronto tra ¯mmm¯¯ e mmm. L’ultimo pannello riporta i residui dei sismogrammi scalati per

4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche

Dalla Figura 4.12 si evince un buon accorda tra le velocità VP stimate e reali, un

accordo minore si riscontra per le velocità di shear (il valore centrale è giusto ma esi- ste una variazione intorno ad esso errata) e un accordo pessimo per quanto riguarda la densità (l’andamento è più o meno giusto ma il valore su cui è centrata risulta sbagliato). Era lecito aspettarsi un risultato di questo tipo dato che la serie di riflet- tività è influenzata principalmente dalla velocità VP. I residui ovviamente risultano

maggiori rispetto a quelli ottenuti nella sottosezione precedente (Figura 4.7) ma allo stesso tempo è necessario un fattore moltiplicativo 20 per far diventare apprezzabili le differenze dal sismogramma iniziale.

In conclusione bisogna notare come le proprietà elastiche sono spaziate ogni due millisecondi quindi una Ricker con una frequenza di picco più elevata di fp = 80Hz

potrebbe migliorare la stima dei dati. Tuttavia, un aumento della frequenza di picco comporterebbe una diminuzione della spaziatura tra i campioni necessaria per una buona risoluzione della wavelet e per evitare l’aliasing. Questo comporterebbe un problema dato che la convoluzione si fa punto per punto, quindi la serie delle riflettività e la wavelet devono avere la stessa spaziatura. Infine si cerca di utilizzare una frequenza abbastanza realistica e non troppo alta.

Rispetto alla Figura 4.12, la Figura 4.13 riporta un accordo migliore per quanto riguarda la densità ma peggiore per le velocità, ed è per questo che probabilmente raggiunge un misfit peggiore. Si nota infatti che i residui sono abbastanza simili, in quanto la seconda inversione stima meglio il sismogramma a tempi più lunghi ma peggio nell’intervallo centrale, se paragonata alla prima inversione.

Si associa un errore alla stima delle proprietà elastiche con il metodo Monte Carlo. Per decidere il valore di σnoise per contaminare il sismogramma, si ipotizza sempre

un rapporto segnale rumore di SNR = 8 db e come numero di modelli generati ci si ferma a Q = 10, limitato dal tempo computazionale. In Figura 4.14 si riportano i parametri mmm con le curve continue di vario colore, i valori ¯mmm¯¯ con le curve continue

nere e il range ± sigma dal valore stimato con le curve tratteggiate. Per avere un grafico più facilmente interpretabile, inFigura 4.15si può notare la distribuzione dei residui normalizzati. La maggior parte dei valori dista meno di una sigma dal valore vero e ha un andamento casuale. Soltanto per i valori della densità si riscontra una distanza superiore a uno o due sigma e l’andamento non è casuale intorno allo zero, ciò è dovuto ad una sottostima dei valori. Si nota un errore associato alla velocità VS

discretamente elevato, si ipotizza quindi una sovrastima dello stesso. Una possibile soluzione a tale criticità è sicuramente l’aumento del valore Q per poter verificare la bontà del risultato ottenuto. Anche dai residui normalizzati si trova conferma nella stima dei valori di mmm con un po’ di disaccordo per i valori della densità.

Figura 4.14.: Risultati dell’inversione delle proprietà elastiche con min(misfit) = 5∗10−3 _{e l’errore associato. Il primo pannello a sinistra riporta l’andamento della}

velocità ¯VP reale (in nero), della velocità stimata VP (in blu) e di VP± σVP (curva

tratteggiata). Il secondo pannello mostra l’andamento della velocità ¯VS reale (in

nero), VS stimata (in rosso) e di VS ± σVS (curva tratteggiata). Il terzo mostra

l’andamento della densità ¯ρ reale (in nero), ρ stimata (in verde) e di ρ ± σρ (curva

tratteggiata).

4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche

Si riporta come esempio il grafico in scala semi-logaritmica dell’evoluzione del misfit in Figura 4.16 relativo ai risultati in Figura 4.12. Il numero di modelli generati è

Nindividui ≈ 2.1 ∗ 107, il numero di iterazioni è 3565 e il minimo misfit raggiunto

è min(misfit) = 5 ∗ 10−3_{. Nella Tabella 4.3 si riportano i range su cui possono}

variare i parametri da stimare mmm = [VP, VS, ρ]. Si fa presente che dalla Figura 4.11

alla Figura 4.14 i primi tre pannelli hanno come estremi il range che i parametri possono esplorare, e da ciò si può notare come i parametri hanno una range da esplorare molto ampio.

Figura 4.16.: Evoluzione del misfit in funzione delle iterazioni in scala semi- logaritmica. Il grafico riporta i valori del miglior misfit di ogni iterazione e la media di tutti i misfit calcolati in ogni iterazione. Minimo misfit min(misfit) = 5∗10−3_.

min max

VP [m/s] 1700 2800

VS[m/s] 800 1300

ρ[kg/m3] 1600 2400

Tabella 4.3.: Range entro cui i parametri [VP, VS, ρ] possono variare. Nella seconda

Prima di passare avanti, si contamina il sismogramma inFigura 4.11con un rumore bianco il cui rapporto segnale rumore è SNR = 8dB così da avere contezza del metodo considerando un sismogramma più realistico. In Figura 4.17nel pannello a sinistra si riporta il sismogramma di partenza, nel pannello di destra invece si riporta lo stesso sismogramma con l’aggiunta del rumore bianco. Si presentano i risultati dell’inversione del sismogramma contaminato dal rumore in Figura 4.18. Anche se con un accordo minore, le proprietà elastiche in questo caso vengono stimate come nell’inversione con il sismogramma senza rumore.

Per completezza si riporta il minimo misfit min(misfit) = 1.05 significativamente più alto per via del rumore e si riporta anche la norma due del sismogramma sti- mato con il sismogramma non affetto da rumore min(misfit) = 2.9 ∗ 10−2_{. Il χ}2_,

confrontabile con quelli ottenuti prima, riporta un valore circa sei volte peggiore a causa della stima meno corretta dovuta all’introduzione del rumore. In particolare si nota come la densità, che nell’intervallo [1.02, 1.06]s dovrebbe essere abbastanza smooth, presenti vari spike dovuti al fatto che l’algoritmo cerca di stimare il rumore bianco introducendo queste anomalie. Nel complesso, l’aggiunta del rumore non comporta grandi variazioni nella stima dei dati.

Figura 4.17.: Confronto sismogrammi. Nel pannello di sinistra il sismogram- ma di partenza (Figura 4.11) e nel pannello di destra lo stesso sismogram- ma contaminato con un rumore bianco con un rapporto segnale rumore pari a

4.2 Stima wavelet e proprietà elastiche

Figura 4.18.: Risultati dell’inversione delle proprietà elastiche. Il primo pannello a sinistra riporta l’andamento della velocità ¯VP reale (in nero) e della velocità

stimata VP (in blu). Il secondo pannello mostra l’andamento della velocità ¯VS

reale (in nero) e VS stimata (in rosso). Il terzo della densità ¯ρ reale (in nero) e

ρ stimata (in verde). Infine, l’ultimo pannello riporta la differenza (moltiplicata

per un fattore 10) tra il sismogramma contaminato dal rumore e il sismogramma generato dalla convoluzione della Ricker nota e della serie di riflettività generata dell’inversione delle proprietà elastiche. Minimo misfit min(misfit) = 1.05