Stima delle dimensioni dello specchio e del fascio collimato per α = 80°

In questa analisi, in riferimento alla Figura 5.5, le dimensioni di interesse risultano essere: - il segmento BC quale stima delle dimensioni dello specchio e in quanto dimensione

minima necessaria per raccogliere tutto il fascio d’uscita,

- il segmento OA quale distanza del centro dello specchio dalla fenditura d’uscita, - il segmento CD quale stima delle dimensioni del diametro del fascio collimato. Per comodità di trattazione, lo specchio è considerato piano, anche se nella realtà si tratterà di uno specchio parabolico o di altro tipo. Si tenga presente che la seguente trattazione ha lo scopo di descrivere quantitativamente lo specchio e non ha la pretesa di fornirne specifico progetto.

Figura 5.5 – Geometria del fascio di uscita, vista dall’alto. La fenditura d’uscita del

72 Di seguito, sono riportati i calcoli utilizzati nella stima della lunghezza BC. In base allo schema rappresentato in Figura 5.5, per calcolare le lunghezze dei segmenti BC e CD è necessario trovare le coordinate dei punti B e C. Prendendo il punto O come origine del nostro sistema di riferimento, le rette che interessano per il calcolo sono: la retta BC, la retta OC e la retta OB. Le equazioni di tali rette sono:

:  = tan 10° +  (5.1)

:  = tan 6,76° +  ^(5.2)


:  = −tan 6,76° + _ (5.3)

Il valore di q1 varia in base al valore di OA mentre q2 e q3 sono nulli perché le due rette passano per l’origine del sistema di riferimento. Sono state analizzate due configurazioni, fissando a priori la distanza OA, punto dello specchio che giace sull’asse ottico del monocromatore. In particolare i calcoli sono stati effettuati per OA = 50 mm e per OA = 100 mm. Nei Sottoparagrafi seguenti sono riportati i calcoli ed i valori ottenuti.

5.2.1 Configurazione 1 – OA = 50 mm

Fissata la distanza OA = 50 mm, l’equazione (5.1) della retta BC diventa:

:  = 0,176 − 8,81 (5.4)

Risolvendo i due sistemi costituiti dall’equazione (5.4) della retta BC e dalle equazioni delle rette OB e OC (5.2) e (5.3) si ottengono rispettivamente le coordinate dei punti B e C. In particolare:

= 29,88 ; −3,54 (5.5)

 = 152,44 ; 18,06 (5.6)

A questo punto è immediato calcolare la lunghezza BC:

 = 152,44 − 29,88− 18,06 − 3,54= 120,64 !! (5.7) La lunghezza di CD si calcola invece come:

" =
 sin 
%" ≅ 20,95 !! (5.8) dove 
%" = 10°.

Quindi, ipotizzando di collocare lo specchio ad una distanza di 50 mm dalla fenditura, tale specchio, per riuscire a catturare tutto il fascio di uscita, dovrà avere un diametro di circa 120 mm ed il fascio collimato avrà un diametro di circa 21 mm.

73 5.2.2 Configurazione 2 – OA = 100 mm

Fissata la distanza OA = 100 mm, l’equazione (5.1) della retta BC diviene:

:  = 0,176 − 17,63 (5.9)

Risolvendo i due sistemi costituiti dall’equazione (5.9) della retta BC e dalle equazioni delle rette OB e OC (5.2) e (5.3) si ottengono rispettivamente le coordinate dei punti B e C. In particolare:

= 59,79 ; −7,09 (5.10)

 = 305,06 ; 36,16 (5.11)

A questo punto è immediato calcolare la lunghezza BC:

 = 305,06 − 59,79− 36,16 − −7,09= 241,43 !! (5.12) La lunghezza di CD si calcola invece come:

" =
 sin 
%" ≅ 41,92!! (5.13) dove 
%" = 10°.

Quindi, collocando lo specchio ad una distanza doppia rispetto a quella calcolata nel punto precedente, il diametro dello specchio dovrà essere in questo caso di circa 241 mm mentre il diametro del fascio collimato sarà di circa 42 mm. Si osserva che le dimensioni dello specchio cominciano a diventare importanti, introducendo tutta una serie di problemi legati alla sua eventuale realizzazione e al suo posizionamento. Ciò nonostante, di seguito viene presentato un possibile disegno dello specchio collimatore, ipotizzando di costruire uno specchio parabolico. Viene quindi tolta l’approssimazione di specchio piano. Viene valutato uno specchio parabolico perché la parabola ha la proprietà di focalizzare un fascio parallelo (sorgente all’infinito) in un punto e, precisamente, nel suo fuoco.

È quindi possibile utilizzare uno specchio parabolico per collimare la radiazione uscente dal monocromatore, utilizzando però il cammino ottico inverso: la fenditura di uscita del monocromatore costituisce il punto sorgente, posto nel fuoco della parabola, che viene proiettato all’infinito come fascio parallelo. Lo schema riportato in Figura 5.6 rappresenta la geometria del sistema ottico in esame. Si osserva che la fenditura di uscita del monocromatore è posta nel fuoco della parabola.

Ipotizzando di posizionare lo specchio a una distanza D = 100 mm dalla fenditura di uscita (come nella Configurazione 2) e considerando i parametri ricavati nel Sottoparagrafo 5.2.2, è possibile dimensionare la parabola. Si ottengono i valori seguenti:

74 , = " cos" − 90° = 34,2 !! (5.15) . = " sin" − 90° = 98,64 !! (5.16) dove

- f è la focale della parabola

- a è la distanza del centro dello specchio dall’asse della parabola lungo l’asse x - b è la distanza del centro dello specchio dall’asse y

- D è la distanza del centro dello specchio dalla fenditura di uscita, fissata a 100 mm

- α è l’angolo sotteso tra il raggio incidente e quello riflesso che, per costruzione dello specchio è pari a: α = 2 x 80° = 160°.

Figura 5.6 – Schema geometrico dello specchio parabolico collimatore.

In base ai dati ottenuti con i calcoli precedenti, è stato creato un modello ZEMAX^® della parabola, per verificarne il funzionamento. Lo schema geometrico del modello è riportato in Figura 5.6. Come si può osservare, una sorgente puntiforme posta nel fuoco della parabola (ad esempio la fenditura d’uscita del monocromatore) viene riflessa dalla parabola in un fascio collimato. In particolare, in questo caso, è stato disegnato uno specchio che permetta di raccogliere tutta la radiazione uscente del monocromatore e la collimi in un fascio largo circa 42

75 mm, come stimato nel Sottoparagrafo 5.2.2. Dalla simulazione è emerso che il diametro dello specchio sul piano spettrale è di circa 240 mm, in perfetto accordo con quanto stimato geometricamente.

Figura 5.7 – Modello ZEMAX^® dello specchio parabolico.

Questo tipo di analisi ha permesso di verificare quanto stimato geometricamente riguardo la dimensione dello specchio sul piano spettrale. Si è visto che il risultato ottenuto è in accordo con quanto calcolato. Per il calcolo della dimensione dello specchio sul piano spettrale sono stati impiegati i dati meccanici ed ottici forniti direttamente da McPherson ed è stato quindi possibile realizzare una stima più accurata. Per quanto riguarda l’altra dimensione, quella perpendicolare a tale piano, non è stato possibile effettuare una stima accurata, in quanto non si hanno dati precisi riguardanti la divergenza del fascio in uscita al monocromatore: tale divergenza infatti dipende fortemente dalla dimensione verticale della fenditura. Inoltre, poiché il modello del monocromatore presentato in questa analisi è solo un’approssimazione di quello reale, è naturale aspettarsi notevoli differenze rispetto ai valori stimati. Allo stesso modo, non ha senso effettuare una stima delle aberrazioni.

76 Tutti i dati stimati andranno ovviamente verificati sperimentalmente, una volta in possesso del sistema reale.