stazionarie, SWT (Standing Wave Tubes)
La misura della risposta in frequenza del sensore APV è stata fatta utilizzando un tubo lungo ad onde stazionarie [8]. L'aggettivo lungo non si riferisce semplicemente alle dimensioni fisiche del tubo ma è determinato dalla distanza tra sensore di velocità e microfono in relazione con la lunghezza d’onda del suono di interesse. Se la distanza tra i due è superiore a λ/4 allora il tubo è definibile “lungo”.
All’interno di uno SWT, Standing Wave Tube, il suono viaggia in una sola direzione finchè non raggiunge l’estremità chiusa e viene riflesso. Questo risulta essere vero solo sotto una certa frequenza, chiamata frequenza di cut-off. In un tubo cilindrico questa vale:
𝑓 = 𝑐
1.7 ∙ 𝑑 (3.2)
dove d è il diametro del tubo e c è la velocità del suono che in aria vale approssimativamente 343 m/s. La banda di utilizzo di tale metodo di calibrazione risulta essere quindi limitata in alta frequenza. L’equazione 3.2 mostra come più il diametro del tubo è piccolo più la banda è grande. Viceversa il diametro non può essere troppo ridotto perché lo SWT deve essere necessariamente molto più grande della dimensione del sensore. Oltre questa frequenza il campo acustico non è più unidimensionale e la pressione attraverso la sezione del tubo non è uniforme, conseguentemente l’impedenza acustica non può essere espressa con una semplice relazione.
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Per spiegare il funzionamento di questo metodo di misura facciamo riferimento alla Figura 3-1. Il tubo ha una lunghezza variabile, muovendo il pistone è possibile cambiare la distanza tra sensore e microfono di riferimento. Il microfono di pressione si trova ad un’estremità in posizione x=l, il sensore di velocità si trova ad una distanza l-x dal microfono, mentre l’altoparlante si trova nella posizione x=0.
La terminazione rigida del tubo in x=l agisce da nodo per la velocità delle particelle in quanto in questo punto le particelle non oscillano per qualsiasi tipo di stimolo. Se l’altoparlante produce un suono armonico all’interno dello SWT, l’onda sonora si propaga fino al termine del tubo in direzione x dove viene riflessa dando origine ad un’onda con la stessa frequenza di quella incidente che si propaga in direzione opposta -x. Dalla sovrapposizione di queste due onde contropropaganti si genera un’onda stazionaria che per definizione oscilla nel tempo non propagandosi in nessuna direzione. La pressione acustica all’interno del tubo può quindi essere scritta come:
𝑝(𝑥) = 𝐴𝑒 + 𝐵𝑒 (3.3)
dove A e B sono due coefficienti complessi arbitrari che rappresentano l’ampiezza e la differenza di fase tra le due onde viaggianti in direzione x e in direzione -x, k è il numero d’onda e 𝑖 è l’unità immaginaria.
Figura 3-1 : schematizzazione del sistema di misura SWT da noi utilizzato. Il microfono si trova in x=l (pallino rosso), il sensore di velocità si trova ad una distanza l-x dal microfono (quadrato giallo) e l’altoparlante in x=0. La lunghezza del tubo è variabile, il pistone verde può spostato manualmente.
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Utilizzando l’equazione linearizzata della conservazione del momento 1.21, possiamo ricavare la velocità delle particelle:
𝑢(𝑥) = 𝐴𝑒
𝜌𝑐 −
𝐵𝑒
𝜌𝑐 (3.4)
Per l’onda riflessa essendo la velocità delle particelle una grandezza vettoriale è necessario invertire il segno.
Utilizzando le condizioni a contorno imposte dal tubo, possiamo ricavare i coefficienti A e B. In x=l le particelle hanno velocità nulla conseguentemente:
𝐴𝑒 = 𝐵𝑒 (3.5)
mentre in x=0 la velocità delle particelle risulta essere uguale al movimento della membrana dell’altoparlante u(0)=U, per cui:
𝜌𝑐𝑈 = 𝐴 − 𝐵 (3.6)
Adesso possiamo esprimere la pressione e la velocità delle particelle nel tubo in corrispondenza di qualsiasi ascissa x come:
𝑝(𝑥) = −𝑖𝜌𝑐𝑈cos 𝑘(𝑙 − 𝑥)
𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑙) (3.7)
𝑢(𝑥) = 𝑈sin 𝑘(𝑙 − 𝑥)
𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑙) (3.8)
Come si può notare dalle due equazioni ottenute, la velocità delle particelle e pressione acustica risultano sfasate di 90 gradi.
Ricordando che l’impedenza acustica specifica è data dal rapporto tra pressione e velocità delle particelle internamente al tubo si ottiene:
𝑍 =𝑝(𝑥)
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Questa risulta essere diversa da quella caratteristica che vale semplicemente 𝑍 = 𝜌𝑐. Essendo funzione della cotangente, 𝑍 varia da – ∞ a + ∞, e pertanto l’utilizzo di questa espressione non è conveniente per la calibrazione. Un metodo alternativo considera il rapporto tra la pressione misurata in corrispondenza della terminazione rigida del tubo e la velocità misurata dal sensore. Il microfono di riferimento, già calibrato, posto in x=l, rileva una pressione acustica di riferimento 𝑝 .
Essendo 𝑝 la pressione in x=l può essere scritta anche utilizzando l’equazione 3.7:
𝑝 = 𝑝(𝑥 = 𝑙) = − 𝑖𝜌𝑐𝑈
sin(𝑘𝑙) (3.10)
Il sensore di velocità misura una velocità 𝑢 che può essere espressa con la 3.8. Il rapporto tra 𝑢 e 𝑝 risulta quindi:
𝑢
𝑝 =
𝑖
𝜌𝑐sin 𝑘(𝑙 − 𝑥) (3.11)
Questa relazione è una semplice funzione sinusoidale. Ricordando che il vettore d’onda può essere espresso come k = in corrispondenza delle frequenze per cui l-x vale (2n+1) ∙ (λ/4) l’equazione 3.11 assume un valore massimo e le due grandezze risultano essere sfasate di ± :
𝑢
𝑃 =
1
𝜌𝑐 (3.12)
In questi casi la calibrazione del sensore con lo SWT è simile a quella ottenuta in una camera anecoica in cui l’impedenza caratteristica è uguale a quella specifica (campo lontano).
Il microfono essendo un nodo per la velocità delle particelle misura sempre la pressione massima, spostando il pistone in modo che il sensore di
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velocità e il microfono siano ad una distanza pari a (2n+1) , anche il sensore di velocità delle particelle misurerà un massimo.
Nel nostro caso sono stati utilizzati due tubi con lunghezze diverse. Per le prime misure è stato impiegato un tubo con 5 cm di diametro e 1 m di lunghezza; con queste dimensioni il limite di banda, ottenuto utilizzando l’equazione 3.2. è intorno ai 4 kHz. Il microfono di riferimento in questa configurazione si trova ad una distanza di 66 cm dal sensore APV e quindi il primo massimo del rapporto tra 𝑢 e 𝑃 si dovrebbe trovare ad una frequenza 𝑓 :
𝜆
4= 66 ∙ 10 →
𝑐
4 ∙ 66 ∙ 10 = 𝑓 ≈ 130𝐻𝑧 (3.13) Mentre il secondo massimo si trova in corrispondenza di una frequenza pari a 𝑓 = 3 ∙ 𝑓 = 390 Hz, e così via seguendo i multipli dispari di λ/4. Riportiamo in seguito un grafico del rapporto tra 𝑢 e 𝑃 del sensore s6, alimentato con una tensione di 6 V, per un range frequenziale che va da 0 a 1000 Hz.
Figura 3-2: ampiezza in dB del rapporto tra 𝑉 (proporzionale a 𝑢 ) e 𝑉 (proporzionale a 𝑃 ) al variare della frequenza, se il sensore di velocità APV e microfono di riferimento sono distanti 66cm.
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Nella Figura 3-2 si può osservare come i massimi dell’ampiezza si trovino effettivamente in corrispondenza delle frequenze ipotizzate.
Per avere il primo massimo ad una frequenza più bassa è stato necessario utilizzare un secondo tubo con 5 cm di diametro e lunghezza 3 m. In questo caso il microfono di riferimento, grazie al pistone mobile, può essere posizionato ad una distanza variabile dal sensore APV che va dai 190 cm ai 250 cm. Più la distanza d tra i due trasduttori è grande più il primo massimo si trova ad una frequenza più bassa. Nel caso di x-l = 250 cm 𝑓 risulta essere approssimativamente intorno ai 34 Hz. Anche in questo caso il limite di banda imposto dalle dimensioni del tubo è di 4 kHz, perché il diametro è sempre 5 cm.
Figura 3-3: ampiezza in dB del rapporto tra 𝑉 (proporzionale a 𝑢 ) e 𝑉 (proporzionale a 𝑃 ) al variare della frequenza, se il sensore di velocità APV e microfono di riferimento sono distanti 250cm.
Nella Figura 3-3 si può osservare come nello stesso range frequenziale sia presente un numero superiore di massimi, questo perché in questo caso nell’intervallo tra 0 e 1000 Hz sono contenuti un numero superiore di multipli dispari di 𝑓 .
Realmente all’interno del tubo il suono è leggermente smorzato, per motivi di non idealità. Uno dei motivi per cui questo accade è l’effetto termico
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viscoso, se avessimo considerato questo fenomeno l’equazione 3.11 sarebbe: 𝑢 𝑝 = 𝑖 𝜌𝑐 sinh Γ 𝑘(𝑙 − 𝑥) Γ (3.14)
Questo fenomeno risulta trascurabile per le alte frequenze, poiché in questo caso l’inerzia del fluido è dominante rispetto all’effetto viscoso e il coefficiente Γ è approssimabile come i [19].
Un altro aspetto di non idealità è quello relativo alle riflessioni dell’onda sonora al termine del tubo. Se la riflessione fosse ideale l’onda manterrebbe sia la stessa ampiezza sia la stessa fase, realmente però questo non accade. Per tener conto sia dell’attenuazione dell’onda riflessa sia del cambiamento della fase esprimiamo la pressione incidente come 𝑝 = 𝐴𝑒( ) e la
pressione riflessa come 𝑝 = 𝐵𝑒 ( ). In queste condizioni il
rapporto tra la velocità delle particelle ad una certa x e 𝑝 risulta essere:
𝑢(𝑥) 𝑝(𝑙) = 1 𝜌 𝑐( 1 𝑆𝑊𝑅cos(𝑘(𝑙 − 𝑥) − 𝜃/2) + 𝑖 sin(𝑘(𝑙 − 𝑥) − 𝜃/2)) (3.15)
dove SWR (standing wave ratio) è:
𝑆𝑊𝑅 =𝐴 + 𝐵
𝐴 − 𝐵 (3.16)
Per avere una analisi completa dovremo considerare anche le perdite lungo il tubo dovute ai processi di assorbimento e il vettore d’onda dovrebbe avere una parte immaginaria 𝑘 = 𝑘 − 𝑖𝛼 con α coefficiente di assorbimento.
Per un’analisi completa che tiene conto di questi effetti di non idealità si rimanda a [18][20] .
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Per ricavare la sensibilità dei sensori APV nella nostra trattazione sono state trascurate tutte le non idealità e l’espressione 3.11 è stata considerata valida.
Sotto questa ipotesi il rapporto H(x,f) tra la tensione di uscita del dispositivo preso in esame 𝑉 e la tensione del microfono di riferimento 𝑉 risulta essere: 𝐻(𝑥, 𝑓) =𝑉 (𝑥, 𝑓) 𝑉 = 𝑆 (𝑓) 𝑆 (𝑓) 𝑢(𝑥, 𝑓) 𝑃 (𝑓)= 𝑆 (𝑓) 𝑆 (𝑓)𝑅(𝑥, 𝑓) (3.17) Dove 𝑆 (𝑓) e 𝑆 (𝑓) sono rispettivamente la sensibilità del sensore e del microfono di riferimento. Se assumiamo che il comportamento della sensibilità 𝑆 (𝑓) per le frequenze analizzate sia piatto, 𝐻(𝑥, 𝑓) è proporzionale al rapporto 𝑅(𝑥, 𝑓). Quando 𝐻(𝑥, 𝑓) è massimo allora il termine 𝑅(𝑥, 𝑓) è considerato constante e pari a 1/𝜌c, come si osserva dalla 3.12. Essendo nota l’impedenza caratteristica dell’aria e la sensibilità del microfono possiamo ricavare numericamente la 𝑆 (𝑓) in corrispondenza dei massimi locali. In questo modo è possibile ottenere la risposta in frequenza della sensibilità del sensore [21]. Fissando la posizione del microfono di riferimento x=l, in corrispondenza dei massimi e quindi alle frequenze per cui (2𝑛 + 1) ∙ = 𝑥 − 𝑙 possiamo ricavare la sensibilità del sensore APV:
𝑆 =𝑉
𝑉
𝑆 𝑍 𝐴
𝐴 (3.18)
dove 𝑍 è l’impedenza acustica dell’aria, 𝐴 è il guadagno dell’amplificatore a cui è applicato il segnale di uscita del sensore APV, 𝑉 , e 𝐴 è il guadagno dell’amplificatore che moltiplica il segnale del microfono di riferimento, 𝑉 , secondo lo schema illustrato nel campitolo precedente. La sensibilità del microfono nel range frequenziale di interesse vale -60 dB che corrispondono a 1 mV/μbar [22]. L’𝐴 inizialmente è stato
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preso pari a 3, poi successivamente è stato abbassato ad 1, mentre l’𝐴 vale 1000. L’impedenza acustica è il prodotto tra la densità dell’aria e la velocità del suono, queste due grandezze dipendono entrambe dalla temperatura. La prima è esprimibile come:
𝜌 = 𝑃𝑀
𝑍𝑅𝑇 1 − 𝑋 (1 − 𝑀
𝑀 ) (3.19)
dove P è la pressione atmosferica espressa in Pa, T è la temperatura espressa in K, 𝑋 è la frazione molare del vapore acqueo, 𝑀 e 𝑀 sono rispettivamente la massa molare dell’aria secca e quella del vapore acqueo (18.015 × 10 kg mol ), R è la costante dei gas e Z è il fattore di compressione dell’aria umida [23].
La velocità del suono in un gas ideale vale:
𝑣 = 𝛾𝑅𝑇
𝑀 (3.20)
Dove R è la costante universale dei gas ed è pari a 8.314 J/mol K, T è la temperatura assoluta espressa in K, 𝑀 è la massa molare dell’aria, e γ è il coefficiente adiabatico dell’aria e vale 1.4.
Nel nostro caso la temperatura è circa 20°C e l’impedenza acustica caratteristica vale 435 Pa∙s∙m .
Stabilito il valore di 𝑍 possiamo adesso calcolare l’andamento della sensibilità in funzione della frequenza, misurando il valore del rapporto 𝑉 /𝑉 in corrispondenza dei massimi locali. L’andamento in frequenza di 𝑉 /𝑉 è riportato in Figura 3-4.
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Figura 3-4: linea rossa continua rappresenta l’ampiezza in dB del rapporto tra 𝑉 (proporzionale 𝑎 𝑢 ) e 𝑉 (proporzionale a 𝑃 ) al variare della frequenza, se il sensore di velocità APV e microfono di riferimento sono distanti 250 cm. La Linea nera tratteggiata collega i massimi locali.
Nella Figura 3-4 è riportata anche una linea tratteggiata che collega i massimi locali: questa corrisponde al rapporto tra la velocità delle particelle misurata dal sensore APV e la pressione rilevata dal microfono di riferimento nelle condizioni di campo lontano, in cui l’impedenza acustica specifica è uguale all’impedenza acustica caratteristica.
I punti che permettono di ricostruire l’andamento della sensibilità del sensore sono ottenuti, come anticipato, moltiplicando il rapporto tra 𝑉 , proporzionale a 𝑢 , e 𝑉 , proporzionale a 𝑝 , in corrispondenza dei massimi per un fattore noto secondo l’equazione 3.18. La Figura 3-5 mostra il risultato ottenuto quando il sensore e il microfono di pressione si trovano ad una distanza pari a 250 cm in un range frequenziale da 0 a 4000 Hz.
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Figura 3-5: andamento della sensibilità se il sensore e il microfono sono distanti 250 cm, per un range frequenziale da 10 a 4000 Hz.
In corrispondenza dei minimi della funzione di trasferimento in Figura 3-4
non è possibile calibrare il sensore. Per avere a diposizione più punti per ricostruire l’andamento della sensibilità in funzione della frequenza è possibile variare la distanza tra sensore e microfono di riferimento. In questo modo i massimi del rapporto 𝑉 /𝑉 si trovano in corrispondenza di frequenze diverse, come si osserva nella Figura 3-6.
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Figura 3-6: la linea blu e la linea rossa rappresentano rispettivamente l’ampiezza in dB del rapporto tra 𝑉 (proporzionale a 𝑢 ) e 𝑉 (proporzionale a 𝑃 ) al variare della frequenza, se il sensore di velocità APV e il microfono di riferimento sono distanti 190cm e 250cm. La linea tratteggiata collega i massimi locali.
3.2 Programmi python
Per generare il segnale di stimolo dell’altoparlante e acquisire i segnali provenienti dal sensore e dal microfono di riferimento, come anticipato nel capitolo precedente, sono stati utilizzati un picoscope, e un generatore di segnale, pilotati via software da un programma python.
Il programma permette di impostare la frequenza di inizio, quella di fine, la risoluzione e l’ampiezza picco picco del segnale di stimolo. Si occupa inoltre di inizializzare il picoscope di salvare i dati dei due canali e di estrapolare modulo e fase del rapporto tra i due segnali. È possibile impostare il range di ampiezza dei due canali e il limite di banda a 200 kHz, in modo da limitare il foldover.
Per poter ricavare modulo e fase del rapporto tra i segnali acquisiti dai due canali è necessario passare al dominio frequenziale utilizzando la
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trasformata di Fourier, come si osserva dal segmento di codice della Figura
3-7, in cui 𝑦 e 𝑦 sono i segnali acquisiti dai due canali.
Figura 3-7: segmento di codice che permette di passare dal dominio temporale a quello frequenziale.
Per ottenere i due fasori i segnali sono moltiplicati per un seno e un coseno unitari con frequenza dello stimolo, integrati nel periodo e moltiplicati per due. La funzione mean permette di fare una media sul periodo. 𝐴 e 𝐵 sono i segnali in frequenza acquisiti rispettivamente dal canale A, collegato al sensore, e dal canale B, collegato al microfono di riferimento.
Il programma si occupa di salvare in un file di testo la frequenza, il modulo del segnale proveniente dal canale A, il modulo del segnale proveniente dal canale B e il modulo e la fase del rapporto.
Per il calcolo della sensibilità è stato necessario utilizzare un secondo programma python, che permette di prelevare il valore del rapporto in corrispondenza dei massimi. Il programma richiede di inserire il nome di un file di testo in cui sono salvati i valori dei rapporti tra 𝑉 e 𝑉 in funzione della frequenza e la distanza, d, tra sensore e microfono di riferimento al momento delle misure. A seconda della lunghezza d inserita dall’utente, il programma estrapola dal file di testo i valori del rapporto in corrispondenza delle frequenze per cui d risulta essere un multiplo dispari di λ/4. Tali valori vengono poi moltiplicati per un fattore secondo l’equazione 3.18. I dati ottenuti vengono salvati in un nuovo file di testo. Il programma dà inoltre la possibilità di concatenare i valori estrapolati ed elaborati da più file, unendo sia dati ottenuti con la stessa d ma con range frequenziali differenti sia dati ottenuti con d differenti. Questo permette di ricavare più punti per rappresentare l’andamento della sensibilità in frequenza.
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4 Caratterizzazione dei sensori
APV
In questo capitolo sono riportate le misure necessarie per la caratterizzazione delle strutture presenti nel chip. In particolare, sono riportate le misure delle resistenze del ponte, le caratteristiche I-V e le risposte in frequenza delle sensibilità. Le strutture esaminate sono la s2, la s4, la s5, la s6 e la s8. I campioni caratterizzati hanno le resistenze dei rami del ponte formate da tre segmenti di filo collegati in serie. Se si hanno dei vincoli sulla tensione applicabile ai capi dei singoli segmenti questa configurazione risulta essere conveniente, in termini di SNR, rispetto a quella in cui i rami del ponte sono formati da segmenti di filo in parallelo. Mettendo in serie due resistenze R e raddoppiando la tensione di alimentazione il segnale utile raddoppia e il rumore termico aumenta di un fattore √2, l’SNR quindi risulta moltiplicato per un fattore 2/√2. Tuttavia, se si ha un vincolo sulla tensione di polarizzazione disponibile, l’utilizzo dei campioni con la configurazione in parallelo consente di ridurre il rumore a parità del segnale d'uscita, ottenendo un incremento del SNR. Le misure delle sensibilità sono state fatte posizionando il goniometro e conseguentemente il sensore in modo che l’onda sonora incida perpendicolarmente rispetto al campione.