Nel 1924 Brouwer dimostr`o, all’interno della matematica intuizionista da lui sviluppata, che tutte le funzioni definite su un intervallo chiuso dei nu- meri reali, e a valori nei reali, sono continue. Sebbene il teorema sia falso all’interno della matematica classica, il risultato appare invece naturale alla luce della matematica intuizionista sviluppata da Brouwer.
Riassumiamo brevemente alcune costruzioni che sono alla base di questo teo- rema: una delle idee fondamentali della matematica intuizionista `e quella di spread : informalmente uno spread consiste di un albero di successioni finite di numeri naturali3, tale che ogni successione ha al pi`u un successore, e di una legge L che assegna, ai nodi dell’albero, oggetti di un dominio preceden- temente costruito. Una successione di scelta dentro uno spread consiste di un ramo infinito dell’albero. In modo alternativo, una successione di scelta, α, di numeri naturali pu`o essere pensata come un processo non concluso di valori scelti, α0, α1, . . . , dal matematico ideale in maniera tale che, ad ogni stadio della sua attivit`a, egli abbia determinato solo un numero finito di tali valori ed abbia la possibilit`a di fare restrizioni sulle scelte future; le suc- cessioni completamente determinate da una legge o prescrizione sono dette successioni lawlike, mentre quelle in cui non `e fatta alcuna assunzione sulle scelte future prendono il nome di successioni lawless. Un importante princi- pio accettato da Brouwer per le successioni di scelta `e il seguente:
principio di continuit`a: Se ad ogni successione di scelta di un dato spread `e associato un numero naturale n(α), allora tale numero dipende solo da un segmento iniziale αm = α0, α1, . . . .α(m − 1); si ha allora che, per tutte le successioni di scelta β che hanno lo stesso segmento iniziale αm, n(α) = n(β). Tale principio, formulato esplicitamente da Brouwer a partire dal 1916, oc- corre nella dimostrazione del bar theorem sulla base del quale si fonda la dimostrazione del seguente teorema.
3Si possono dare definizioni equivalenti di spread per altre costruzioni matematiche
Teorema 5.3.1. (Fan theorem): se ad ogni successione di scelta, α, di uno spread finitamente ramificato (fan), `e associato un numero naturale n(α), allora esiste un numero naturale m tale che, per ogni α, il numero n(α) pu`o essere determinato da un segmento iniziale di α di lunghezza m.
Da questo teorema Brouwer deduce il teorema sulla uniforme continuit`a delle funzioni reali:
Teorema 5.3.2. (teorema di continuit`a uniforme): Ogni funzione da un intervallo chiuso dei reali e, a valori reali, `e uniformemente continua.
Vediamo ora come ritrovare un risultato pi`u debole di quello dimostrato da Brouwer (ci limiteremo a dimostrare la continuit`a delle funzioni definite su tutto R) in un opportuno topos; in primo luogo riassumiamo sinteticamente come costruire un oggetto dei numeri reali all’interno di un topos dotato di un oggetto dei numeri naturali. Come `e noto, `e possibile definire, all’interno della teoria degli insiemi, in maniera successiva a partire dai naturali, l’anello degli interi, il campo dei razionali ed il campo dei reali. Le costruzioni che daremo di questi oggetti in un topos mimano precisamente queste definizioni: dato l’insieme dei numeri naturali definiamo l’insieme Z come l’insieme
Z = {(n, m) | n, m N}/ ∼
dove ∼ `e la relazione di equivalenza definita da (n, m) ∼ (n0, m0) se e solo se n + m0 = n0+ m. Analogamente, dato un n.n.o, N, in un topos E , definiamo l’oggetto dei numeri interi, Z, in E come il coequalizzatore:
E
hπ1a,π2bi
−−−−→
hπ2a,π1bi
−−−−→N × N −→ Z, dove E `e la relazione di equivalenza data dal pullback:
E N × N N × N N. a b + +
Per costruire l’insieme dei razionali si pu`o procedere definendo Q = {(n, m) | n Z, m N \ {0}}/ ∼,
dove ∼ `e la relazione di equivalenza: (n, m) ∼ (n0, m0) se e solo se nm0 = n0m, con m, m0 6= 0; supponendo allora che siano dati in un topos E un oggetto dei numeri naturali ed un oggetto dei numeri interi, definiamo l’oggetto Q dei razionali come il coequalizzatore:
F
hπ1u,π2vi
−−−−→
hπ2u,π1vi
−−−−→Z × N −→ Q, dove F , u e v sono definiti dal pullback
F Z × N Z × N Z; u v •(1 × s) •(1 × s)
in questo caso, la coppia (n, m) `e un rappresentante della classe di equiva- lenza del numero razionale n
m+1.
I morfismi +: N × N → N e •: Z × Z → Z che compaiono nelle definizioni appena date possono essere definiti grazie al teorema 2.4.5; per quanto con- cerne la moltiplicazione che occorre nella definizione dell’oggetto dei numeri razionali basta pensare N come sottoggetto di Z (si veda [22] pag 320-321). Per costruire l’oggetto dei numeri reali internalizziamo, attraverso il linguag- gio interno di un topos, la nota costruzione delle sezioni di Dedekind: dato un numero reale x, consideriamo i due insiemi:
L = {q Q | q < x}, U = {q Q | q > x}.
Esprimiamo le propriet`a che definiscono una sezione di Dedekind (cio`e una coppia di insiemi come sopra) in termini del linguaggio interno; precisamente richiediamo:
(ii) ∀q, r ∈ Q (q < r ∧ r ∈ L → q ∈ L), ∀q, r ∈ Q (q > r ∧ r ∈ U → q ∈ U ); (iii) ∀q ∈ Q (q ∈ L → ∃r ∈ Q (r ∈ L ∧ q < r)), ∀q ∈ Q (q ∈ U → ∃r ∈
Q (r ∈ U ∧ q > r));
(iv) ∀q, r ∈ Q (q < r → (q ∈ L ∨ r ∈ U )); (v) L ∩ U = ∅
Siamo quindi in grado di definire un oggetto dei numeri reali:
R = {x:P(Q) × P(Q) | ∃ L, U: P(Q) (x = hL, Ui) ∧ x (i) . . . ∧ (v)}. Per mostrare che esistono topos E con un n.n.o. in cui ogni funzione da R a R `e continua esprimiamo tale enunciato nel linguaggio interno di E sfruttando la definizione classica di continuit`a mediante condizioni − δ4: ∀ f ∈ RR∀ ∈ R( > 0 → ∀ x ∈ R ∃ δ ∈ R(δ > 0 ∧ ∀ y ∈ R(x − δ < y < x + δ
→ f (x) − < f (y) < f (x) + ))). (5.1) Il topos che considereremo `e Sh(T) il topos dei fasci sul sito (T, J ), dove T `e una sottocategoria piena della categoria degli spazi topologici e J `e la topologia di Grothendieck dei ricoprimenti aperti. Richiediamo inoltre che le seguenti propriet`a:
• T `e chiuso per limiti finiti;
• Se X ∈ T e U `e un sottospazio aperto di X, allora U ∈ T; • la retta reale R `e un oggetto di T.
Si pu`o mostrare che, per il topos di Grothendieck Sh(T), l’oggetto dei nu- meri naturali `e isomorfo al fascio delle funzioni continue a valori nello spazio discreto N, ossia NSh(T) ∼= C(−, N); inoltre gli oggetti Z e Q, costruiti come
sopra, risultano a loro volta isomorfi, rispettivamente, ai fasci delle funzioni continue sugli spazi discreti Z e Q. Analogamente per l’oggetto dei numeri reali vale ([22], teorema 2, cap. VI, par 9):
4Supponiamo non ci siano ambiguit`a nell’uso del simbolo , precedentemente usato
Teorema 5.3.3. Dato il topos Sh(T), come sopra, l’oggetto dei reali di De- dekind, R, `e isomorfo al fascio C delle funzioni continue a valori reali che associa ad ogni spazio X ∈ T l’insieme
C(X) = {f : X → R | f `e continua};
dal momento che abbiamo assunto R ObT, se ne deduce che C `e il funtore
rappresentabile HomT(−, R).
Grazie al risultato appena enunciato, possiamo ora dimostrare il teorema di Brouwer (in una forma pi`u debole) nel topos Sh(T) ([22] teorema 3 par. 9 cap VI).
Teorema 5.3.4. Nel topos Sh(T) l’enunciato (5.1) `e valido5
Premettiamo alla dimostrazione alcune osservazioni che ci saranno utili: dal teorema enunciato precedentemente sappiamo che, nel caso del topos Sh(T), possiamo identificare l’oggetto R con il fascio delle funzioni a valori reali; dato un elemento g: Y → R, appartentente all’insieme R(Y ), con Y ∈ T, si ha
Y g > 0 se e solo se ∀y ∈ Y g(y) > 0;
inoltre ogni elemento F ∈ RR(Y ), grazie al lemma di Yoneda, `e dato da una trasformazione naturale HomT(−, Y )
·
→ RR o equivalentemente, per
trasposizione esponenziale, dalla trasformazione naturale HomT(−, Y ) × R
·
→ R. (5.2)
Ora, dal momento che l’oggetto R coincide con il fascio rappresentabile HomT(−, R), e T `e chiuso per limiti finti, abbiamo che il dominio di tale tra-
sformazione naturale, HomT(−, Y ) × R, `e isomorfo al fascio rappresentabile
HomT(−, Y × R); perci`o, sempre per il lemma di Yoneda, la trasformazione
naturale (5.2) `e univocamente determinata da un morfismo Y × R → R in T (ossia una funzione continua fra gli spazi Y × R e R): infatti, per ogni Z ∈ ObT, se (α: Z → Y ) ∈ HomT(Z, Y ) e (g: Z → R) ∈ HomT(Z, R) si ha:
5La nozione di validit`a che stiamo assumendo `e ovviamente quella per la semantica di
(a) data f : Y × R → R, FZ(α, g) = f ◦ hα, gi;
(b) data la trasformazione naturale F e morfismi α e g come sopra: f = FY ×R(π1, π2) dove π1: Y × R → Y e π2: Y × R → R
Dimostrazione. L’enunciato (5.1) `e valido in Sh(T) se e solo se (cfr. par. 5.2)
1 ∀ f ∈ RR∀ ∈ R( > 0 → ∀ x ∈ R ∃ δ ∈ R(δ > 0 ∧
∀ y ∈ R(x − δ < y < x + δ → f (x) − < f (y) < f (x) + ))) (5.3) dove 1 `e l’oggetto terminale di T; ricordando le condizioni di forcing per l’implicazione e il quantificatore universale (pag. 95) ci`o equivale a richiedere che per ogni oggetto X di T, ogni elemento F ∈ RR(X) ed ogni ∈ R(X)
tale che X > 0, si ha
X ∀x ∈ R ∃ δ ∈ R(δ > 0
∧∀ y ∈ R(x − δ < y < x + δ → F (x) − < F (y) < F (x) + )))
Dimostriamo quest’ultimo enunciato supponendo di aver fissati X, F e come nelle ipotesi; inoltre sia f la funzione continua che corrisponde alla trasformazione naturale F come in (b). Vista l’osservazione 9 di pagina 96, per ogni formula φ(x), si ha
X ∀x ∈ R φ(x) se e solo se X × R φ(π2)
dove π2 ∈ R(X × R) `e la proiezione sul secondo argomento: X × R → R;
per dimostrare 5.3 ci baster`a allora verificare
X × R ∃ δ ∈ R(δ > 0 ∧ ∀ y ∈ R(π2− δ < y < π2+ δ →
(F (π2) − π1 < F (y) < F (π2) + π1))) (5.4)
Poich`e : X → R `e continua e positiva per ogni x ∈ X, la continuit`a di f implica che, per ogni x ∈ X ed ogni t ∈ R esiste un intorno Vx ⊆ X di x e
un numero reale δ > 0 (che dipende da x e ) tale che per ogni z ∈ Vx ed ogni s ∈ (t − δ, t + δ) si ha f (z, s) ∈ (f (x, t) − 1 2(z), f (x, t) + 1 2(z)); (5.5)
mostriamo allora che Vx× (t − 1 2δ, t + 1 2δ) (∀ y ∈ R(π2− δ < y < π2+ δ) → F (π2) − π1 < F (y) < F (π2) + π1) (5.6)
da questo, per il carattere locale del forcing (si veda quanto detto a pag. 95), seguir`a (5.4), essendo Vx× (t − 12δ, t + 12δ) un ricoprimento di X × R.
Sia ora β: Y → Vx× (t −12δ, t +12δ) un morfismo in T da un generico spazio Y
e si consideri un elemento g ∈ R(Y ), ossia una funzione continua g: Y → R con la propriet`a che
Y (π2◦ β) −
1
2δ < g < (π2◦ β) + 1
2δ (5.7)
ossia per ogni punto ς ∈ Y π2β(ς) −
1
2δ < g(ς) < π2β(ς) + 1 2δ;
ora, considerando il codominio di β, si ha |π2β(ς) − t| < 12δ da cui |g(ς) − t| <
δ per ogni ς ∈ Y ; ne segue per (5.5)
|f (π1β(ς), g(ς)) − f (x, t)| <
1
2π1β(ς). (5.8)
D’altro canto si ha β(ς) ∈ Vx× (t − 12δ, t + 12δ); cos`ı, ancora per (5.5),
|f β(ς) − f (x, t)| < 1
2π1β(ς). Mettendo insieme queste ultime due condizioni si ottiene
|f β(ς) − f (π1β(ς), g(ς))| < π1βς. (5.9)
Ma f ◦ β: Y → R corrisponde grazie ad (a) a FY(π1 ◦ β, π2 ◦ β), mentre
f ◦ (π1β, g) = FY(π1β, g). Si ha allora che (5.9) esprime esattamente la
condizione:
dove abbiamo indicato con F ◦ π1β la restrizione di F lungo
RR(π1β): RR(X) → RR(Y ).
Dal momento che ci`o vale per ogni β e g che soddisfano (5.7) concludiamo che (5.6) vale.
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