Topos di Grothendieck

Le nozioni di fascio su un sito e di topologia di Grothendieck possono essere viste come generalizzazioni delle nozioni di fascio e topologia su uno spazio topologico X; l’idea fondamentale `e quella di sostituire gli intorni aperti, pensati come funzioni iniettive nello spazio topologico X, con mappe pi`u generali, non necessariamente moniche; la ‘nuova’ nozione di ricoprimento che si ottiene `e precisamente quella di crivello (def. 2.15).

Definizione 2.17. Una topologia di Grothendieck su un categoria C `e una funzione J che assegna ad ogni oggetto c  ObCun insieme J (c) di crivelli

su c, in modo tale che:

(i) il crivello massimale mc= {f | cod(f ) = c} `e in J (c);

(ii) (assioma di stabilit`a) se S  J (c) e h: d → c `e una freccia in C, allora h∗(S) = {g | cod(g) = d, hg  S} `e in J (d);

(iii) (assioma di transitivit`a) se S  J (c) e R `e un crivello su c tale che h∗(R)  J (d) per ogni h: d → c in S, allora R  J (c)

Data una categoria C ed una topologia di Grothendieck J su essa, chia- miamo la coppia (C, J ) un sito. Se S  J (c) diremo che il crivello S ricopre c (o anche S `e un crivello di ricoprimento per c); possiamo dare allora una nozione di ricoprimento anche per i morfismi: diciamo che S ricopre f : d → c se f∗(S) ricopre d.

Come in uno spazio topologico `e possibile generare un crivello da un ricopri- mento {Ui}i∈I di un aperto U5, allo stesso modo, per un’arbitraria categoria

5_{Precisamente prendendo l’insieme degli aperti V tali che V ⊆ U}

C con pullbacks, `e possibile dare un metodo per generare crivelli di ricopri- mento: questa semplice osservazione ci conduce al concetto di base per una topologia di Grothendieck.

Definizione 2.18. Una base per una topologia di Grothendieck su un categoria C con pullbacks `e una funzione K che assegna ad ogni oggetto c  ObC un insieme di morfismi con comune codominio c tali che:

(i’) se f : c0 → c `e un isomorfismo allora {f : c0 _{→ c}  K(c);}

(ii’) se I `e un insieme di indici e {fi: ci → c | i  I}  K(c) allora, per ogni

morfismo g: d → c, l’insieme di pullbacks {π2: ci×cd → d}  K(d);

(iii’) se {fi: ci → c | i  I}  K(c) e per ogni i  I si ha un insieme {gij: dij →

ci| j  Ii}  K(ci) allora l’insieme delle composizioni

{fi◦ gij: dij → c | i  I, j  Ii}

appartiene a K(c).

Data una base K su C `e possibile generare una topologia J in modo canonico, analogamente a quanto avviene con i ricoprimenti di un aperto in uno spazio topologico: dato un crivello S,

S  J (c) se e solo se ∃R ∈ K(c) tale che R ⊆ S. Vediamo alcuni esempi di topologie di Grothendieck:

Esempio 2.6. • La topologia triviale su una categoria C `e quella in cui l’unico crivello di ricoprimento per un oggetto c `e il crivello massimale mc.

• La topologia dei ricoprimenti aperti per una categoria T, di spazi to- pologici, chiusa per limiti finiti e per sottospazi aperti di spazi che appartengono a T, `e definita a partire da una base K su T in questo modo: {fi: Yi → X | i ∈ I}  K(X) se e solo se Yi `e un sottospazio

aperto di X, fi `e l’immersione corrispondente e

S

• Topologia dell’estremo superiore. Data un’algebra di Heyting comple- ta H (cfr. pi`u avanti il paragrafo 2.5), considerata come categoria, possiamo definire una topologia di Grothedieck J per H ponendo

{ai| i  I} ∈ K(c) se e solo se

_

ai = c,

dove abbiamo identificato un elemento ai ≤ c con il corrispondente

morfismo ai → c. Un crivello, S, su c non `e altro che un sottoinsieme

di elementi a di H, tali che a ≤ c e, se a  S e b ≤ a, allora b  S. Nella topologia J , definita come sopra, un crivello S ricopre c se e solo se c =W S, ossia c `e l’estremo superiore degli elementi di S. Osserviamo che, se come algebra di Heyting prendiamo quella degli aperti di un dato spazio topologico X, ritroviamo la definizione classica di topologia sullo spazio X.

• Topologia densa. Se P `e un Poset e p un suo elemento, un insieme D ⊆ {q  P | q ≤ p} `e detto denso sotto p se, per ogni r ≤ p, esiste q ≤ r con q  D. Chiaramente ogni insieme D, denso sotto p, `e un anche un crivello su p. Definiamo una topologia J su P ponendo: J (p) = {D | q ≤ p per ogni q  D e D `e un sottoinsieme denso sotto p}, dove abbiamo identificato i morfismi q → p in D  J (c) con gli elementi q tali che q ≤ p.

I fasci su un sito possono essere definiti analogamente a quanto fatto per i fasci su uno spazio topologico: ci`o che `e necessario `e una riformulazione della condizione di incollamento coerente dei ricoprimenti in termini di crivelli. Definizione 2.19. Dato un prefascio P : Cop → Set ed un crivello S che ricopre un oggetto c di C, una famiglia compatibile6 per S, di elementi di P , `e una funzione che assegna ad ogni elemento f : d → c di S un elemento xf P (d), in modo tale che per ogni morfismo g: a → d in C si abbia:

xf · g = xf g,

dove xf g ∈ P (a) (f g `e ancora in S essendo questo un crivello), e xf · g `e

l’immagine della funzione P (g) applicata all’elemento xf (detta anche restri-

zione di xf lungo g). Un incollamento di una tale famiglia compatibile `e

un unico elemento x  P (c) tale che per ogni f  S si abbia x · f = xf.

Diremo che un prefascio P `e un fascio nel caso in cui, per ogni ricoprimen- to di un oggetto di C, ogni famiglia compatibile ha un’unico incollamento. Come nel caso di uno spazio topologico possiamo formulare questa richiesta in termini diagrammatici:

Definizione 2.20. Un prefascio P `e un fascio per la topologia di Grothen- dieck J se, per ogni oggetto c di C e ogni ricoprimento S  J (c), il diagramma che segue `e un equalizzatore

P (c)_99Ke Y f  S P (dom(f )) p −−−→ a −−−→ Y f,g,domf =codg P (dom(g)).

In tale diagramma e `e la mappa e(x) = {x · f }f  S, l’ultima produttoria ha

come indici le coppie f, g componibili (con f  S) e, i due morfismi p e a, sono definiti sugli elementi x = {xf}f  S di

Q

f  SP (dom(f )) da:

p(x)f,g = xf g, a(x)f,g = xf · g.

La mappa p `e quindi quella indotta dalla composizione in C di f e g, mentre a `e la mappa indotta dall’azione di P (g) sull’elemento xf.

Data una base K per una topologia su una categoria C con pullbacks, e detta J la topologia indotta da K, `e possibile dare una descrizione dei fasci per J in termini della base K. Dato un K-ricoprimento R = {fi: ci → c | i  I}

di un oggetto c, una famiglia compatibile per R `e un insieme {xi P (ci) | i  I}

tale che xi· π1ij = xj · π2ij, dove π1 e π2 sono le proiezioni del pullback

ci×ccj cj ci c. π2 ij π1 ij fi fj (2.6)

Un incollamento per {xi| i  I} `e un elemento x  P (c) con la propriet`a che

x · fi = xi per ogni i  I. Si ha allora ([22] prop. 1, par 4, cap. III):

Proposizione 2.3.2. Un prefascio P su C `e un fascio per la topologia J se e solo se, per ogni ricoprimento {fi: ci → c | i  I} nella base K, il diagramma

seguente `e un’equalizzatore P (c)_99Ke Y i  I P (ci) p1,p2 ⇒ P (ci×ccj);

dove e(x) = {x · fi}i  I, p1({xi})i,j  I = xi · πij1 e p2({xi})i,j  I = xj · π2ij con

π1

ij, π2ij proiezioni canoniche come nel diagramma (2.6).

I fasci su un sito (C, J ) formano una sottocategoria piena di SetCop, che indichiamo con Sh(C, J ); i morfismi di tale categoria sono trasformazioni naturali fra tali fasci;

Definizione 2.21. Un topos di Grothendieck `e una categoria che `e equivalente alla categoria Sh(C, J ) dei fasci su un sito (C, J ).

Come per i fasci su uno spazio topologico, `e possibile costruire un funtore di fascificazione a che risulta essere aggiunto sinistro al funtore di inclusione i: Sh(C, J )  SetCop; inoltre tale funtore a commuta con i limiti finiti (si veda [22] par. 5 per la costruzione del funtore a). Si pu`o dimostrare che la categoria Sh(C, J ) `e chiusa per limiti finiti ([22] prop. 4, par. 4, cap. III): `e chiaro quindi che la categoria Sh(C, J ) ha sia pullback che oggetto termi- nale. Analogamente a quanto accade per i fasci su uno spazio topologico, l’esponenziale di due fasci `e ancora un fascio ed `e definito allo stesso modo dell’esponenziale fra prefasci. Per concludere che Sh(C, J ) (e quindi anche ogni topos di Grothendieck) `e un topos elementare ci rimane da esibire il classificatore di sottoggetti: definiamo a tal fine la nozione di crivello chiuso. Definizione 2.22. Un crivello S su c  ObC`e chiuso (per la topologia J ) se

La propriet`a di chiusura appena definita risulta essere stabile per pull- back, quindi se definiamo

Ω(c) = {S | S `e un crivello chiuso su c}

risulta ben definito il funtore Ω: Cop→ Set per il quale la restrizione Ω(c) → Ω(b) lungo un morfismo h: b → c `e data da S · h = h∗(S). Si pu`o mostrare che il prefascio Ω cos`ı definito `e un fascio: si ha allora che Ω assieme alla mappa true: 1 → Ω con componenti c 7→ mc (ad ogni oggetto di C viene associato

il rispettivo crivello massimale) `e il classificatore di sottoggetti di Sh(C, J ) ([22], prop. 3, par. 7 cap. III).