Definizione 3.4. Si definisce funzione di penalità (o di penalizzazione) una qualsiasi funzione α : M1,f −→] − ∞, +∞] tale che
inf
Q∈M1,f
α(Q) ∈ R.
Oss. Per ogni Q ∈ M1,f la funzione X −→ EQ[−X] − α(Q) è convessa, mo- notona decrescente e monetariamente additiva. Queste tre proprietà restano invariate prendendo l’estremo superiore su Q ∈ M1,f. Quindi
ρ(X) = sup
Q∈M1,f
EQ[−X] − α(Q)
definisce una misura di rischio convessa su L∞ tale che ρ(0) = − inf
Q∈M1,f
α(Q).
Si enuncia ora il primo teorema di rappresentazione delle misure convesse di rischio.
Teorema 3.5 (Teorema di rappresentazione delle misure convesse di rischio). Ogni funzione di rischio convessa ρ : L∞→ R è della forma
ρ(X) = max
Q∈M1,f
EQ[−X] − αmin(Q)
∀X ∈ L∞, (3.3)
dove la funzione di penalità αmin è data da αmin(Q) := sup
X∈Aρ
EQ[−X] ∀Q ∈ M1,f.
Inoltre αmin è la funzione di penalità minima che rappresenta ρ nel senso che, data α una seconda funzione di penalità per cui la (3.2) è valida, si ha la seguente disuguaglianza:
αmin(Q) ≤ α(Q) ∀Q ∈ M1,f.
Dimostrazione. Dall’additività monetaria vale che ρ X +ρ(X) = 0 per ogni X ∈ L∞ e quindi X + ρ(X) ∈ Aρ. Allora
E[−(X + ρ(X))] ≤ sup
Y ∈Aρ
EQ[−Y ] = αmin(Q)
ma dalle proprietà della speranza, segue immediatamente
ρ(X) ≥ EQ[−X] − αmin(Q) ∀ Q ∈ M1,f e dunque ρ(X) ≥ max Q∈M1,f EQ[−X] − αmin(Q) .
Per provare l’altra disuguaglianza, e quindi la rappresentazione in (3.3), si prende X ∈ L∞ e si costruisce QX∈ M1,f tale che
ρ(X) ≤ EQX[−X] − αmin(QX).
Grazie all’additività monetaria è sufficiente provare la tesi per X ∈ L∞ tali che ρ(X) = 0. Inoltre, senza perdita di generalità, si può supporre che ρ(0) = 0. La variabile aleatoria considerata non appartiene sicuramente all’insieme
B è un sottoinsieme non vuoto, convesso e aperto di L∞; per il 1o Teorema di separazione di Hahn-Banach, esiste µ ∈ (L∞)∗ non nullo tale che
µ(X) < µ(Y ) ∀Y ∈ B.
Si ha dunque che
µ(X) ≤ inf
Y ∈Bµ(Y ) =: b.
Si prova che µ(Y ) ≥ 0 se Y ≥ 0. Per la monotonìa e l’invarianza monetaria di ρ, 1 + λY ∈ B per ogni λ > 0. Segue che
µ(X) ≤ µ(1 + λY ) = µ(1) + λµ(Y ) ∀λ > 0,
che non sarebbe vero se µ(Y ) fosse negativo.
Il prossimo passo consiste nel provare µ(1) > 0. poiché µ non è identica- mente nulla, allora 0 < µ(Y ) = µ(Y+) − µ(Y−) per un certo Y ∈ B tale che
kY k < 1. La positività di µ implica che µ(Y+) > 0 e µ(1 − Y+) ≥ 0. Da cui
µ(1) = µ(1 − Y+) − µ(Y+) > 0. A meno di moltiplicazione per una costante,
sia µ(1) = 1. L’integrale
µ(Z) = Z
Zd Q ∀Z ∈ L∞
definisce una corrispondenza biunivoca tra i funzionali lineari su L∞ e l’in- sieme M1,f. Si può dunque considerare QX∈ M1,f tale che
EQX[Z] = µ(Z) ∀Z ∈ L ∞ ; poiché B ⊂ Aρ, αmin(QX) = sup Y ∈Aρ EQX[−Y ] ≥ sup Y ∈B EQX[−Y ] = −b.
D’altra parte, Y + ε ∈ B per ogni Y ∈ Aρ e ε > 0. Questo mostra che αmin(QX) è in realtà uguale a b. Ne deriva
EQX[−X] − αmin(QX) = b − µ(X) ≥ 0 = ρ(X).
Quindi QXè la probabilità cercata e la rappresentazione in (3.3) è completa. Si dimostra ora la minimalità di αmin. Sia α una seconda funzione di
penalità per ρ, per ogni Q ∈ M1,f e X ∈ L∞ ρ(X) ≥ EQ[−X] − α(Q), da cui α(Q) ≥ sup X∈L∞ EQ[−X] − ρ(X) ≥ sup X∈Aρ EQ[−X] − ρ(X) ≥ αmin(Q). (3.4)
Oss. Se si prende α = αminin (3.4), allora tutte le disuguaglianze diventano
uguaglianze trovando così una formula alternativa per la funzione di penalità minima αmin: αmin(Q) = sup X∈L∞ EQ[−X] − ρ(X) ∀Q ∈ M1,f. (3.5) L’equazione (3.5) mostra che la funzione di penalità αmin corrisponde alla trasformata di Fenchel-Legendre, o funzione coniugata, della funzione convessa ρ sullo spazio di Banach L∞. Formalmente,
αmin(Q) = ρ∗(`Q), (3.6)
dove ρ∗: (L∞)∗→ R è definita ponendo ρ∗(`) = sup
X∈L∞
`(X) − ρ(X),
e dove `Q∈ (L∞)∗ è dato da `Q(X) = EQ[−X] per Q ∈ M1,f.
Questa osservazione suggerisce una dimostrazione alternativa al Teorema di rappresentazione delle misure di rischio convesse. Come si è già visto nei risultati preliminari e nella dimostrazione del teorema precedente, il duale di L∞può essere identificato con lo spazio ba := ba(Ω, F , P) delle funzioni con segno, a variazione limitata, finitamente additive e assolutamente continue rispetto a P.
Inoltre ρ è una funzione s.c.i. rispetto alla topologia debole. Infatti, {ρ ≤ c} è un sottoinsieme convesso e chiuso rispetto alla topologia indotta dalla norma del sup poiché ρ è una funzione convessa e non espansiva per la Proposizione 2.4. Dunque {ρ ≤ c} è chiuso debolmente (vedi Teorema 3.7 in [4]) e ρ è s.c.i. rispetto alla topologia debole. Dal teorema di Fenchel-Moreau (Teorema 1.11 in [4]), segue che
ρ∗∗= ρ
dove ρ∗∗ denota la funzione coniugata di ρ∗, cioè ρ(X) = sup
`∈ba
`(X) − ρ∗(`) ∀X ∈ L∞. (3.7)
Usando gli stessi argomenti della seconda parte della dimostrazione del Teo- rema 3.5, si prova che la monotonìa e l’additività monetaria di ρ implicano che ` ≤ 0 e `(1) = −1 per ogni ` ∈ ba tale che ρ∗(`) < ∞. Identificando −` con Q ∈ M1,f e usando l’equazione (3.6), si mostra che la (3.7) si riduce alla
rappresentazione
ρ(X) = sup
Q∈M1,f
Inoltre, il sup è in realtà un max. Infatti, dal teorema di Banach-Alaoglu, richiamato nell’appendice A, si ha che M1,f è compatto rispetto alla topo- logia debole*, quindi il funzionale s.c.s. Q → EQ[−X] − αmin(Q) ammette
massimo su M1,f.
Di seguito viene esposto il teorema di rappresentazione delle misure coerenti di rischio come un semplice corollario del risultato precedente.
Corollario 3.6. Una funzione ρ : L∞ → R è una misura di rischio coe- rente se e solo se esiste un sottoinsieme Q di M1,f per cui vale la seguente
rappresentazione
ρ(X) = max
Q∈QEQ[−X] ∀X ∈ L
∞
. (3.8)
Dimostrazione. In realtà non c’è nulla da dimostrare. Basta osservare che αmin(Q) può prendere soltanto i valori 0 o +∞ poiché per la Proposizione
2.10 Aρ è un cono. Infatti αmin(Q) = sup X∈Aρ EQ[−X] = sup λX∈Aρ EQ[−λX] = λαmin(Q)
per ogni Q ∈ M1,f e λ > 0. Ponendo quindi
Q = {Q ∈ M1,f : αmin(Q) = 0},
si ha la tesi.
Oss. L’insieme convesso Q è il più grande sottoinsieme di M1,f per cui la rappresentazione in (3.8) è valida.
Si analizzano delle condizioni necessarie e sufficienti affinché si abbia una rappresentazione delle misure di rischio convesse in termini di misure σ-additive, ossia che si concentra sul sottoinsieme M1 di M1,f.
Una misura di rischio convessa ρ può essere rappresentata da una funzione di penalità che si concentra su M1 nel senso che può essere espressa nel
seguente modo: ρ(X) = sup Q∈M1 EQ[−X] − α(Q) ∀X ∈ L∞. (3.9)
In questo caso, non ci si può aspettare che il sup sia sempre raggiunto: viene proposto in seguito un esempio in cui ciò non accade.
La rappresentazione (3.9) è strettamente correlata a proprietà di conti- nuità di ρ. Si espone innanzitutto una condizione necessaria.
Lemma 3.7. Una misura di rischio convessa ρ : L∞→ R che ammette una rappresentazione della forma in (3.9) su M1 soddisfa la proprietà di Fatou.
Dimostrazione. Grazie alla Proposizione 2.15, basta provare che ρ è s.c.i. rispetto alla convergenza quasi certa. Sia (Xn)n∈N una successione in L∞ tale che Xn
q.c.
−−→ X allora, per il Teorema di convergenza dominata, si ha che EQ[Xn] → EQ[X] per ogni Q ∈ M1. Quindi
ρ(X) = sup Q∈M1 EQ[−X] − α(Q) = sup Q∈M1 lim n→∞EQ[−Xn] − α(Q) ≤ lim inf n→∞ Q∈Msup 1 EQ[−Xn] − α(Q) = lim inf n→∞ ρ(Xn).
Si mostra con il seguente teorema, che verrà rinominato come Teorema di rappresentazione delle misure di rischio convesse su M1, che in realtà la
proprietà di Fatou è anche una condizione sufficiente.
Teorema 3.8. Sia ρ una misura convessa di rischio e Aρil relativo insieme
di accettazione. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(a) ρ può essere rappresentata da una funzione di penalità su M1;
(b) ρ può essere rappresentata dalla restrizione della funzione di penalità αmin su M1:
ρ(X) = sup
Q∈M1
EQ[−X] − αmin(Q); (3.10)
(c) ρ ha la proprietà di Fatou;
(d) ρ è s.c.i. rispetto alla convergenza quasi certa;
(e) Aρ è chiuso rispetto alla topologia σ(L∞, L1).
Dimostrazione. L’unica implicazione da provare è (e) ⇒ (b). Infatti: (b) ⇒ (a) è ovvia;
(a) ⇒ (c) è il Lemma 3.7;
(c) ⇔ (d) è già stato dimostrato con la Proposizione 2.15; (c) ⇒ (e) è la Proposizione 3.3.
Con queste implicazioni vengono coperte tutte le equivalenze.
Si dimostra dunque (e) ⇒ (b). Sia ρ una misura di rischio convessa tale che Aρsia chiuso rispetto alla topologia debole*. Dall’additività monetaria, si ha che per ogni X ∈ L∞, ρ X + ρ(X) = 0 e quindi X + ρ(X) ∈ Aρ.
Allora
E[−(X + ρ(X))] ≤ sup
Y ∈Aρ
ma dalle proprietà della speranza, segue immediatamente ρ(X) ≥ EQ[−X] − αmin(Q) ∀ Q ∈ M1 e dunque ρ(X) ≥ sup Q∈M1 EQ[−X] − αmin(Q) .
Per provare l’uguaglianza, si dimostra la seguente implicazione
m > supQ∈M1EQ[−X] − αmin(Q)
=⇒ X + m è accettabile. (?)
Da (?) segue la tesi poiché ρ(X) = inf{m ∈ R : X + m è accettabile}. Si procede dimostrando (?) per assurdo. Si suppone che X + m non sia accettabile e cioè X +m /∈ Aρ. {X +m} è un sottoinsieme convesso compatto di L∞, Aρ è un sottoinsieme convesso chiuso di L∞, entrambi non vuoti e
disgiunti quindi si può applicare il 2oteorema di separazione di Hahn-Banach per la topologia debole*. Esiste Z ∈ L1 e a ∈ R tale che
EP[ZY ] > a > EP[Z(X + m)] ∀ Y ∈ Aρ. (3.11)
In particolare,
EP[Z(X + m)] < inf Y ∈Aρ
EP[ZY ]. (3.12)
Si osserva che Z ≥ 0 P-q.c. Infatti, sia A = {Z < 0} ∈ F si prova che è un evento trascurabile, cioè P(A) = 0.
Si fissa uno scalare k ∈ [ρ(1A), +∞) qualsiasi. Allora per ogni λ ∈ [1, +∞) risulta che Yλ := λ1A+ k ∈ Aρgrazie all’additività monetaria di ρ e il punto
(a) della Proposizione 2.9. Di conseguenza da (3.11)
−∞ < EP[Z(X + m)] < EP[ZYλ] = λEP[Z1A] + kEP[Z] (3.13)
e supponendo che P (A) > 0,
EP[Z1A] =
Z
A
Z dP < 0.
Per λ → +∞ si potrebbe avere EP[ZYλ] = −∞ che è assurdo per (3.13).
Senza perdita di generalità, poiché Z ≥ 0 P-q.c., si può supporre EP[Z] = 1 e considerare la misura di probabilità data da
QZ := Z.P
Ovviamente QZ P, quindi QZ ∈ M1 e si può scrivere αmin(QZ) nel
seguente modo: αmin(QZ) =: sup Y ∈Aρ EQZ[−Y ] = sup Y ∈Aρ EP[−Y Z] = − inf Y ∈Aρ EP[Y Z].
Riportando il risultato appena ottenuto in (3.12),
EP[Z(X + m)] < −αmin(QZ),
e poiché
EP[Z(X + m)] = EP[XZ] + mEP[Z] = EQZ[X] + m,
segue che m < EQZ[−X] − αmin(QZ) e dunque
m < sup
Q∈M1
EQ[−X] − αmin(Q)
che è contro l’ipotesi di (?).
Come corollario del teorema precedente, si può vedere il teorema di rappresentazione per le misure di rischio coerenti su M1.
Corollario 3.9. Sia ρ : L∞→ R una misura coerente di rischio e Aρil rela-
tivo insieme di accettazione. ρ può essere rappresentata da un sottoinsieme Q di M1, cioè
ρ(X) = sup
Q∈Q
EQ[−X] ∀X ∈ L∞,
se e solo se sono soddisfatte le condizioni equivalenti del Teorema 3.8. In tal caso, il sottoinsieme più grande di M1 per cui ciò è possibile è dato da
Qmax:= {Q ∈ M1 : αmin(Q) = 0}.
Esempio 3.10. Fissato lo scenario (Ω, F , P), si considera la misura di rischio data da
ρmax(X) := −ess inf X = inf{m ∈ R : X + m ≥ 0 P − q.c.} ∀X ∈ L∞.
È facile provare che ρ è una misura coerente e verifica la proprietà di Fatou. Inoltre, l’insieme di accettazione Aρ è il cono positivo di L∞, ossia L∞+.
Questo implica che per ogni Q ∈ M1 si ha che αmin(Q) = 0 e quindi
ρmax(X) = sup Q∈M1
EQ[−X].
Nella rappresentazione precedente si nota che l’estremo superiore non può essere rimpiazzato da un massimo nel caso in cui (Ω, F , P) non sia uno spazio finito. Infatti, sia X ∈ L∞che non raggiunge il suo inf essenziale, allora non esiste una probabilità Q ∈ M1 tale che
EQ[X] = ess inf X = −ρmax(X),
Viene presentato ora un teorema di rappresentazione per la classe di misure di rischio più generale proposta in questa tesi: le misure di rischio monetariamente subadditive e quasi-convesse. La teoria duale usata in que- sto caso è decisamente meno nota della precedente e dunque viene accennata, il più sinteticamente possibile, nell’Appendice B.
Teorema 3.11 (Teorema di rappresentazione delle misure di rischio quasi– convesse e monetariamente subadditive). Una funzione ρ : L∞ → R è una misura di rischio quasi-convessa e monetariamente subadditiva se e solo se esiste una funzione R ∈ R1(R × M1,f) tale che
ρ(X) = max
Q∈M1,f
R EQ[−X], Q
∀ X ∈ L∞. (3.14)
La funzione R ∈ R1(R × M1,f) per cui (3.14) è valida, è unica e soddisfa R(t, Q) = inf{ρ(X) : EQ[−X] = t} ∀ (t, Q) ∈ R × M1,f. (3.15)
Dalla Proposizione 2.4 si sa che ρ è una misura di rischio quasi-convessa e monetariamente subadditiva se e solo se è una misura di rischio quasi- convessa e non espansiva. Il prossimo lemma, ausiliario per la dimostrazione del teorema, caratterizza le misure di rischio quasi-convesse e semicontinue superiormente.
Lemma 3.12. Una funzione ρ : L∞ → R è una misura di rischio quasi- convessa e s.c.s. se e solo se esiste R ∈ R0(R × M1,f) tale che
ρ(X) = max
Q∈M1,f
R EQ[−X], Q
∀ X ∈ L∞. (3.16)
La funzione R ∈ R0(R × M1,f) per cui (3.16) è valida, è unica e soddisfa
R(t, Q) = inf{ρ(X) : EQ[−X] = t} ∀ (t, Q) ∈ R × M1,f. (3.17)
Dimostrazione. Innanzitutto si nota che L∞(Ω, F , P) è uno spazio norma- to di Riesz con unità, 1Ω. Inoltre M1,f è la palla unitaria positiva del
suo duale topologico e −ρ è una funzione quasi-concava, s.c.i. e monoto- na crescente. Dal Teorema B.7 in appendice segue l’esistenza di un’unica mappa G : R × M1,f → R crescente nella prima componente, tale che
limt→∞G(t, Q) = limt→∞G(t, Q0) per ogni Q, Q0 ∈ M1,f, quasi-convessa e
semicontinua inferiormente tale che
−ρ(X) = min
Q∈M1,f
G(EQ[X], Q) ∀X ∈ L∞.
La funzione G che soddisfa l’equazione è unica ed è data da
Poiché L∞(Ω, F , P) è uno spazio di Riesz normato allora L∞+ è quasi-riproducibile. Essendo inoltre −ρ : L∞→ R una funzione monotona crescente, dal Lemma B.6 si ha che GQ(t) = gQ(t) e quindi, riportandoci nelle notazioni attuali,
G(t, Q) è data da
G(t, Q) = sup{−ρ(X) : EQ[X] = t} ∀(t, Q) ∈ R × M1,f.
Con dei semplici calcoli, per ogni X ∈ L∞, ρ(X) = − min Q∈M1,f G(EQ[X], Q) = max Q∈M1,f − G(EQ[X], Q) = max Q∈M1,f R(EQ[−X], Q) con R : R × M1,f → R definita da R(t, Q) := −G(−t, Q) ∀(t, Q) ∈ R × M1,f.
In particolare, per come è definita, R ∈ R0(R × M1,f) e dati (t, Q) ∈ R × M1,f
R(t, Q) = −G(−t, Q) = − sup{−ρ(X) : EQ[X] = −t}
= inf{ρ(X) : EQ[−X] = t}
quindi la (3.17) è verificata e si ha la tesi.
Dimostrazione del Teorema 3.11. Visti il lemma e l’osservazione precedente, resta da provare che ρ è monetariamente subadditiva se e solo se R è non espansiva nella prima componente.
Si suppone ρ monetariamente subadditiva, per ogni (t, Q) ∈ R × M1,f e
m ∈ R+, valgono le eguaglianze
R(t + m, Q) = inf{ρ(X) : EQ[−X] = t + m} = inf{ρ(X) : EQ[−(X + m)] = t}
= inf{ρ(Y − m) : EQ[−Y ] = t} ≤ inf{ρ(Y ) + m : EQ[−Y ] = t}
= R(t, Q) + m.
Quindi, per ogni t, t0 ∈ R e Q ∈ M1,f, dalla monotonìa di R nella prima
componente e poiché t0 ≤ t + |t − t0|, segue che
R(t0, Q) ≤ R(t + |t − t0|, Q) ≤ R(t, Q) + |t − t0|, cioè la non espansività di R nella prima componente.
Viceversa, se R è non espansiva nella prima componente, allora, per ogni (t, Q) ∈ R × M1,f e m ∈ R+,
Inoltre, per ogni X ∈ L∞, esiste Q0∈ M1,ftale che ρ(X−m) = R EQ0[−(X− m)], Q0. Ne deriva allora, ρ(X − m) = R EQ0[−(X − m)], Q0 = R EQ0[−X] + m, Q0 ≤ R EQ0[−X], Q0 + m ≤ max Q∈M1,f R(EQ[−X], Q) + m = ρ(X) + m,
per ogni m ∈ R+, e cioè la tesi.
In particolare, una misura di rischio quasi-convessa e monetariamente subadditiva ρ è convessa se e solo se per ogni (t, Q) ∈ R × M1,f
R(t, Q) = sup
c∈[0,1]
(ct − α(cQ))
dove α(·) è la funzione coniugata di ρ, cioè
α(Q) = sup
X∈L∞
(EQ[−X] − ρ(X)) ∀Q ∈ M1,f.
Per la dimostrazione dell’equivalenza precedente si rimanda all’ultima parte dell’Appendice B dedicata alla dualità di Fenchel nel caso di misure quasi- concave.
Inoltre, ρ è monetariamente additiva se e solo se
R(t, Q) = t − α(Q) ∀(t, Q) ∈ R × M1,f.1
Dunque la rappresentazione delle misure convesse di rischio è data da
ρ(X) = max
Q∈M1,f
EQ[−X] − αmin(Q)
∀X ∈ L∞, trovando di nuovo il risultato visto nel Teorema 3.5.
Considerando l’interpretazione di R(t, Q) come il capitale richiesto oggi per coprire le perdite future attese t supponendo di essere nello scenario probabilistico Q, le relazioni precedenti confermano quanto detto prima: il passaggio alla subadditività monetaria è il modo più semplice di prendere in esame tassi di interessi incerti e le agenzie di supervisione sono contro tali incertezze.