Test chi-quadro è un test d’ipotesi non parametrico, ovvero un test che non richiede la stima di parametri della distribuzione della popolazione X. Un test d’ipotesi è una regola tale per cui, in funzione del campione osservato, si decide se rifiutare o meno l’ipotesi nulla 𝐻0, riferita alla popolazione, la quale sussiste fino a prova contraria. Con 𝐻1 indichiamo l’ipotesi alternativa a 𝐻0.
Con il test chi-quadro si verifica la bontà di adattamento della distribuzione ipotizzata alla popolazione X. In particolare, il test si basa sul confronto della distribuzione di frequenze osservate e di quelle teoriche su uno spazio campionario. Se il test verifica l’ipotesi nulla 𝐻0, allora, tra le distribuzioni di frequenze osservate e le probabilità teoriche c’è un buon accordo, qualora invece il test rifiuti l’ipotesi
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alternativa 𝐻1, allora la distribuzione di frequenze teorica non si adatta a quella osservata.
Per verificare l’ipotesi nulla si sono ottenute le distribuzioni di frequenza osservate, ovvero quelle reali dei rendimenti dei quattro titoli in esame, e si sono messe a confronto con le distribuzioni teoriche ipotizzandole distribuite secondo una Normale con media e deviazione standard specifiche per ogni titolo.
Le frequenze osservate si sono ottenute semplicemente utilizzando la funzione di frequenza di Excel, la quale richiede la matrice dei dati e la matrice delle classi. La matrice dei dati è determinata dall’insieme dei rendimenti reali considerati, la matrice delle classi è stata ottenuta considerando gli intervalli 𝜇 ± 𝛾𝜎 con
𝛾 = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2; 2,2; 2,4; 2,6; 2,8; 3 ovvero gli intervalli in cui si concentra maggiormente la distribuzione di probabilità.
Le frequenze teoriche sono state determinate assegnando la probabilità, ottenuta tramite la funzione di ripartizione della Normale con media e varianza specificate di ogni titolo, ad ogni classe. Dunque è stata ipotizzata una distribuzione Normale per i rendimenti di tutti i titoli considerati.
La prima classe è data da < (𝜇 − 0.2𝜎) , le altre classi sono formate partendo dall’estremo inferiore degli intervalli considerati e quello successivo. Una volta ottenute le probabilità, ci calcoliamo le frequenze teoriche moltiplicando ogni probabilità per il totale delle frequenze osservate, determinate precedentemente.
A questo punto è possibile applicare il test chi-quadro dato dalla seguente equazione:
𝑋2 = ∑(𝑂𝑖 − 𝑇𝑖) 2 𝑇𝑖 𝑘 𝑖=1 In cui:
𝑘 è il numero delle classi;
𝑂𝑖 sono le frequenze osservate;
𝑇𝑖 sono le frequenze teoriche.
Per n che tende a infinito la statistica test chi-quadro si distribuisce come una variabile continua chi-quadro con gradi di libertà 𝑣 = 𝑘 − 𝑐 − 1. Indicando con c il
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numero dei parametri stimati per la distribuzione teorica. Il test ha valenza solo se il numero delle frequenze è ≥ 5.
L’ipotesi nulla sarà accettata se 𝑋2 < 𝑋
1−𝛼2 , in cui α è il livello di significatività generalmente pari a 0,01 o 0,05.
Scegliere 𝛼 = 0,01 significa che il test per 1% delle probabilità sarà errato e per il 99% delle probabilità sarà corretto. Viceversa se 𝑋2 > 𝑋1−𝛼2 si rifiuta l’ipotesi nulla. 𝑋1−𝛼2 si ottiene attraverso la funzione inversa della distribuzione chi-quadro con 𝑣 = 𝑘 − 𝑐 − 1 gradi di libertà.
Per tutti e quattro i titoli è stato effettuato il test chi-quadro partendo da un numero di classi pari a 33, un numero di parametri stimati pari a due (μ e σ), e dei conseguenti gradi di libertà pari a 𝑣 = 33 − 2 − 1 = 30 . Tenendo conto di un livello di significatività 𝛼 = 0,1 si sono ottenuti i seguenti risultati del test, per ognuno dei quattro titoli.
Dunque la statistica test per Generali Assicurazioni rifiuta l’ipotesi nulla. In altre parole, i dati del campione (frequenze attese) differiscono dai dati attesi sotto l’ipotesi nulla. Attraverso il grafico sottostante possiamo osservare la divergenza tra le due distribuzioni di frequenze.
TEST CHI-QUADRO G.MI
𝑋2 < 𝑋 1−𝛼2 ,
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Applichiamo adesso il test per Vittoria Assicurazioni.
Anche per Vittoria Assicurazione si rifiuta l’ipotesi nulla. Confrontiamo le frequenze teoriche e osservate per VAS.MI:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Frequenze osservate e teoriche per G.MI
frequenze osservate frequenze teoriche
TEST CHI-QUADRO VAS.MI
𝑋2 < 𝑋1−𝛼2 ,
252.3253 < 50.89218
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Dal grafico si evidenzia come la distribuzione Normale non riesce ad approssimare bene la distribuzione di frequenze osservata.
Analizziamo adesso le frequenze teoriche ed empiriche di UnipolSai Assicurazioni e applichiamo il test. 0 20 40 60 80 100 120 140 160
Frequenze osservate e teoriche per VAS.MI
frequenze osservate 0 10 20 30 40 50 60 70
Frequenze osservate e teoriche per US.MI
frequenze osservate frequenze teoriche Fonte: Excel
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Dal grafico è evidente che la distribuzione Normale ipotizzata per UnipolSai si discosta dalla distribuzione empirica. Effettuando il test chi-quadro risulta che:
Viene rifiutata l’ipotesi nulla con meno evidenza rispetto ai test precedenti.
Per quanto riguarda Axa Assicurazioni possiamo osservare le due distribuzioni di frequenza nel seguente grafico:
0 10 20 30 40 50 60
Frequenze osservate e teoriche per AXA.MI
frequenze empiriche frequenze teoriche
TEST CHI-QUADRO US.MI
𝑋2 < 𝑋1−𝛼2 ,
67.70831 < 50.89218
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Confrontando le distribuzioni di frequenza empiriche e quelle teoriche di Axa è stato condotto il test chi-quadro, il quale ha evidenziato il seguente risultato:
L’ipotesi nulla è stata rifiutata con sufficiente evidenza. Dunque le due distribuzione differiscono significativamente.
TEST CHI-QUADRO AXA.MI
𝑋2 < 𝑋1−𝛼2 ,
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CONCLUSIONI
Il presente elaborato, ha evidenziato che il Value at Risk è una misura che fornisce una stima, del rischio di portafogli, per lo più accurata e in tempi rapidi. Esso è uno strumento facile da utilizzare in quanto è determinato in corrispondenza del percentile desiderato della distribuzione. Tuttavia, il VaR è stato definito una misura di rischio non coerente in virtù della violazione dell’assioma della sub-additività. Inoltre, il VaR, misurando solo il quantile della distribuzione, non tiene conto delle perdite estreme, oltre il livello in cui è definito. Al fine di superare le incongruenze del VaR, è stata proposta una misura di rischio coerente: l’Expected Shortfall.
Quest’ultimo, rappresenta il valore atteso delle perdite del portafoglio oltre il VaR, dunque essendo una media, è sensibile alle dimensioni delle potenziali perdite oltre il VaR. Come ogni misura di rischio, l’ES, presenta numerosi vantaggi, ma anche qualche debolezza. Nonostante ciò è stata definita una misura di rischio migliore del VaR.
L'analisi simulativa presentata, dei rendimenti di un portafoglio formato da quattro titoli, ha confermato quanto affermato sopra: l’ES garantisce una più prudente valutazione del rischio di coda. La differenza tra le due misure di rischio è più significativa se si osserva il livello di confidenza più alto.
Alterando la struttura di dipendenza dei titoli, data dalla matrice di correlazione lineare, si è dimostrato che i risultati in termini di VaR ed ES peggiorano, e in particolare la percentuale di peggioramento dell’ES risulta maggiore rispetto a quella del VaR. Il portafoglio risultante, ottenuto con la matrice alterata, è risultato più rischioso e meno diversificato di quello ottenuto attraverso la matrice reale.
Inoltre è emerso che utilizzando lo strumento delle copule, al fine di modificare le distribuzioni marginali, considerando non più una distribuzione normale ma una distribuzione t-Student, e una struttura di dipendenza Gaussiana, data dalla copula Normale, i risultati in termini di VaR ed ES si rivelano peggiori rispetto a quelli ottenuti con la Normale multivariata. Il risultato è principalmente dipeso dalla distribuzione t-
Student, la quale essendo una distribuzione leptocurtica e presentando fat tails,
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SITOGRAFIA
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APPENDICE A
1.1 Distribuzione Normale
Sia X una variabile aleatoria continua, essa si distribuisce Normalmente se la sua funzione di densità è la seguente:
𝑓(𝑥) = 1 𝜎√2𝜋𝑒 −(𝑥−𝜇) 2 2𝜎2 In cui: μ è il valore atteso 𝜎2 la varianza −∞ < 𝜇 < +∞ 𝜎 > 0 simmetrica rispetto a μ.
In corrispondenza di μ la funzione di densità Normale raggiunge il suo massimo valore. L’indice di curtosi di una distribuzione Normale è pari a 3, e la distribuzione è detta normocurtica.
1.2 Distribuzione t-Student
Una variabile aleatoria T ha una distribuzione t Student con v gradi di libertà22, 𝑇~𝑡𝑣, se ha funzione di densità: 𝑓𝑣(𝑡) = 𝑣𝜋−12Г (𝑣 2) −1 Г (𝑣 + 1 2 ) (1 + 𝑣 −1𝑡2)−(𝑣+12 )
La distribuzione t-Student ha una forma molto simile a quella Normale, con la differenza che rispetto a quest’ultima presenta delle code più alte.
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All’aumentare di v la distribuzione t-Student tende alla distribuzione Gaussiana standard:
Dove 𝑣 = +∞ corrisponde esattamente alla distribuzione Gaussiana. Per 𝑣 > 30 si considera sufficiente l’approssimazione della distribuzione t-Student alla Normale e si considera un indice di curtosi superiore a 3, per cui la distribuzione è detta leptocurtica (o ipernormale).
La distribuzione t-Student è funzione di una variabile aleatoria Normale standard (V) e di una variabile aleatoria Chi-quadro (Z) tra loro indipendenti. Se 𝑉 ~ 𝑁(0,1) 𝑒 𝑍 ~ 𝑋2(𝑣) allora X è una variabile aleatoria t-Student con v gradi di libertà:
𝑋 = 𝑉 √𝑍