La distribuzione Normale multivariata permette di riassumere in un solo strumento sia le funzioni di ripartizione marginali delle singole variabili aleatorie 𝐹𝑖, che la loro struttura di dipendenza, rappresentata dalla matrice R. Tuttavia, ciò, può portare a risultati che si discostano da quelli reali.
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A tal fine nasce il concetto di copula, ovvero con lo scopo di separare la distribuzione multivariata in componenti che descrivano la struttura di dipendenza e in altre che descrivano le funzioni di ripartizione marginali.
Operativamente nel presente elaborato, si è scelto di limitarsi alle copule ellittiche. La struttura di dipendenza (copula) delle distribuzioni ellittiche è unicamente determinata dalla matrice di correlazione.
Le distribuzioni ellittiche si prestano bene alla manipolazione algebrica e agli approcci standard della gestione del rischio. Essi supportano l’utilizzo della misura di rischio del VaR per la gestione dei rischi di portafogli. Il VaR in tale contesto è una misura di rischio coerente, in quanto soddisfa anche l’assioma di sub-additività quando le distribuzioni sono ellittiche.
Embrechts et al. affermano in “Modelling Dependence with Copulas and
Applications to Risk Management” che uno dei problemi pratici in cui si incorre con le
distribuzioni ellittiche, nella modellazione multivariata del rischio, è che richiede che tutti i marginali siano dello stesso tipo. Per costruire una distribuzione multivariata realistica per alcuni rischi specifici, può essere ragionevole scegliere una copula ellittica ma diversi tipi di marginali (non necessariamente ellittici). Un altro limite delle copule ellittiche, e in particolare di quelle Gaussiane, riguarda il fatto che non assegnano una probabilità di accadimento sufficientemente elevata agli eventi estremi, manca quindi la proprietà di dipendenza di coda. Diversamente le copule t-Student riescono a cogliere la dipendenza di coda determinata dal coefficiente di correlazione lineare ρ e dai gradi di libertà v.
Immaginiamo di voler simulare altrettanti 500 scenari di rappresentazione del valore del nostro portafoglio, attraverso il metodo della simulazione Monte Carlo ma a differenza di prima utilizzando lo strumento della copula.
Ipotizziamo che la struttura di dipendenza delle variabili aleatorie considerate, ovvero i rendimenti logaritmici dei quattro titoli, sia descritta dalla copula Normale, e che le distribuzioni marginali, siano distribuite secondo una t-Student.
Ricordiamo dal terzo capitolo che una copula Normale è definita nel modo seguente:
Definizione 4.1 sia (𝑋1, … , 𝑋𝑑) un vettore aleatorio di dimensione d, la copula normale o gaussiana è la copula associata ad una distribuzione multivariata normale standard con matrice R dei coefficienti di correlazione lineare 𝜌(𝑋𝑖, 𝑋𝑗):
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𝐶𝜌𝐺𝑎(𝑢1, … , 𝑢𝑑) = 𝜙𝑅𝑑(𝜙−1( 𝑢1), … , 𝜙−1(𝑢𝑑))
Per simulare i rendimenti 𝑥𝑖da distribuzione t-Student con struttura di dipendenza Gaussiana seguiremo il seguente algoritmo.
Algoritmo
I. Effettuare la scomposizione di Cholesky della matrice dei coefficienti di correlazione lineare e determinare la corrispondente matrice A;
II. Simulare delle realizzazioni indipendenti da una distribuzione uniforme standard;
III. Trasformare le realizzazioni ottenute dal punto precedente, in realizzazioni indipendenti 𝑧 = (𝑧1, 𝑧2, … 𝑧𝑑), da una distribuzione normale
ϕ
, utilizzando la funzione inversa della distribuzione normale standard;IV. Trasformare le realizzazioni indipendenti da una distribuzione normale in realizzazioni correlate applicando 𝑦 = 𝐴 × 𝑧;
VI. Trasformare le realizzazioni correlate in realizzazioni da una copula Normale attraverso la funzione di distribuzione Normale standard;
VII. Trasformare le simulazioni ottenute da una copula Normale in realizzazioni con distribuzione t-Student ottenute da una copula Normale, attraverso la funzione inversa t-Student.
Per quanto riguarda il primo passo dell’algoritmo, la matrice di Cholesky rimane invariata.
Partendo dallo stesso campione di numeri casuali ottenuti da una distribuzione uniforme, anche i risultati ottenuti seguendo il secondo step rimangono invariati.
Per il terzo passaggio, diversamente dal precedente algoritmo, viene utilizzata la funzione inversa della distribuzione Normale standard con 𝜇 = 0 𝑒 𝜎 = 1 non tenendo conto quindi né della media, né della deviazione standard dei titoli, che considereremo soltanto alla fine.
Applichiamo la stessa equazione 𝑦 = 𝐴 × 𝑧 ottenendo così delle realizzazioni correlate.
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Trasformiamo le realizzazioni correlate in realizzazioni da una copula Normale attraverso la funzione di distribuzione Normale standard, con la quale otteniamo il valore della corrispondente probabilità cumulata.
Associamo adesso, alle probabilità ottenute, i corrispondenti valori dei rendimenti, attraverso la funzione inversa della t-Student.
Aggiustiamo le realizzazioni tenendo conto dei veri valori della μ e σ attraverso l’equazione seguente, ottenendo 500 rendimenti per ogni fattore di rischio:
𝑥
𝑖∗= 𝜇 + 𝑥 × 𝜎 ∗ √(𝑣 − 2)
𝑣
Attraverso i rendimenti ottenuti costruiamo i 500 scenari di valori del portafoglio, e una volta riordinati calcoliamo il VaR e l’ES in termini di perdite, con le consuete formule, definendoli entrambi ad un livello di confidenza del 99% e del 95%.
I valori ottenuti sono riportati nelle tabelle sotto.
𝑉𝑎𝑅99% 𝑉𝑎𝑅95% 𝐸𝑆99% 𝐸𝑆95%
484.1743 263.4527 540.6578295 409.9781931
Mettiamoli a confronto con quelli ottenuti con la Normale multivariata.
Normale multivariata Copula Gaussiana e distribuzioni t-Student VAR al 99% 357.0201 484.1742887 VAR al 95% 276.7219 263.4526857 ES al 99% 406.5401 540.6578295 ES al 95% 339.5601 409.9781931
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Tutti i risultati in termini di VaR ed ES ottenuti con la copula Gaussiana e distribuzioni marginali t-Student si rivelano peggiori rispetto a quelli ottenuti con la Normale multivariata. Tale risultato è dovuto principalmente alla forma della distribuzione t-Student. Quest’ultima a differenza della distribuzione Normale, presenta una curtosi superiore a 3, per cui è detta leptocurtica, e delle code spesse chiamate “fat
tails”. Una distribuzione che presenta fat tails assegna una maggiore probabilità di
accadimento agli eventi estremi rispetto a una distribuzione Gaussiana. Quello che si riscontra empiricamente è proprio questo, i rendimenti difficilmente sono distribuiti secondo una Normale, ma presentano una distribuzione più allungata e code più spesse rispetto alla Normale, dunque una distribuzione che si approssima meglio alla t-Student.
La differenza, in termini di risultato tra le due distribuzioni, è più significativa se si considera il livello di confidenza più alto, ovvero del 99%, il VaR passa da un valore di 357 ad un valore di 493, l’ES da un valore di 406 ad uno di 519.
Inoltre la divergenza tra i risultati aumenta al diminuire dei gradi di libertà della t-
Student, poiché all’aumentare dei gradi libertà stimati, la distribuzione t-Student tende
alla Normale. Nella nostra analisi abbiamo utilizzato un grado di libertà v pari a 3, ovvero il grado di libertà più lontano dall’ipotesi di normalità.