La tracciatura delle particelle

Una volta ottenuta una mappatura accurata del campo magnetico generato dallo spet- trometro, il primo passo (come si può vedere in g. 4.17, nella colonna di sinistra) consiste nell'implementare un algoritmo di tracciatura delle particelle cariche all'interno di tale campo. Naturalmente, data la sostanziale disuniformità, l'algoritmo dovrà risolvere nu-

mericamente le equazioni del moto utilizzando ad ogni passo di integrazione il valore di campo corrispondente alla posizione raggiunta con il passo precedente.

L'obiettivo di questo procedimento è quello di generare un numero grande (dell'ordine delle centinaia di migliaia) di particelle, con energia ed angoli (vedi sistema di riferimento in gura 4.6) estratti casualmente (MonteCarlo): la prima da una particolare distribuzione (non uniforme, ma costruita in modo da rendere uniforme la distribuzione delle posizioni d'arrivo delle particelle sullo schermo), i secondi in modo uniforme in un certo intervallo la cui estensione deve essere scelta in modo da coprire la sezione denita dalla fenditura11_.

Per ciascuna particella si calcola, quindi, la traiettoria che essa compie nello spazio che separa la sorgente dallo schermo di rilevazione attraverso l'integrazione delle equazioni del moto con metodo RK45 (Runge-Kutta-Fehlberg con passo adattivo del quarto-quinto ordi- ne). Come ogni altro algoritmo di questo genere, esso richiede che le equazioni da risolvere siano riscritte sotto forma di un sistema del primo ordine:

                 ˙x1(t, x2) = x2 ˙y1(t, y2) = y2 ˙z1(t, z2) = z2 ˙x2(t, y2, z2) = −_mγe (y2Bz− z2By) ˙y2(t, x2, z2) = −_mγe (z2Bx− x2Bz) ˙z2(t, x2, y2) = −_mγe (x2By− y2Bx)

Ad ogni passo dell'integrazione, l'algoritmo ricalcola il campo magnetico e lo usa per pro- seguire al passo successivo, utilizzando una procedura di adattamento in rapporto alla precisione scelta12

I parametri geometrici richiesti dall'integratore possono essere modicati a piacere (per esempio la distanza della sorgente, la distanza dello schermo di rivelazione, il punto di ingresso della traiettoria di riferimento nello spettrometro ecc.), ma è possibile modicare anche la carica e la massa, cioè cambiare il tipo di particelle. I parametri essenziali sono il numero di eventi da simulare, l'intervallo di variazione dell'energia e quello degli angoli iniziali. L'intervallo di energie deve essere scelto accuratamente in maniera da essere leg- germente più ampio (principalmente verso le energie alte) di quanto realmente necessario. Il motivo di questo accorgimento è che, durante la tracciatura di molte particelle, si avrà poca statistica vicino ai bordi di detto intervallo a causa della asimmetria della dispersione (il magnete disperde solo in una direzione).

Un esempio di integrazione delle equazioni del moto per particelle di 3, 6 e 9 MeV è ri- portato in gura 4.18. In questa immagine si può vedere il magnete simulato che viene attraversato dagli elettroni, i quali subiscono una una deessione tanto più intensa quanto più bassa è la loro energia. Il vettore velocità iniziale ha direzione scelta casualmente all'in-

11_{La sorgente di elettroni si suppone puntiforme. Questa approssimazione è ben giusticata dal fatto}

che le sue dimensioni trasversali sono all'incirca quelle dello spot del laser, ovvero poche decine di µm, molto più piccole della distanza sorgente-spettrometro.

12_{Per ogni passo si risolvono le equazioni del moto con il metodo al quarto ordine e con il metodo al}

quinto. I due risultati vengono poi confrontati per ottenere una stima dell'errore di troncamento locale ed il passo di integrazione allo step successivo viene adattato di conseguenza. In questo modo il metodo è globalmente del quarto ordine ( ∼ O(h4_{)). Un problema sorge sulla rampa di salita del campo, ovvero}

quando la particella giunge in prossimità dello spettrometro. Qui essa comincia a cambiare direzione di propagazione, ma il passo con cui si avvicina è troppo grande e la procedura di adattamento è troppo lenta, per cui si commette un errore non trascurabile nella ricostruzione della traiettoria. Questo problema è risolto forzando il passo ad un valore piccolo quando il campo magnetico sentito dalla particella supera una certa soglia e rilasciando, allo step successivo, questa costrizione, in modo che l'algoritmo ricominci l'adattamento.

4.7. PROCEDIMENTO DI RICOSTRUZIONE DELLO SPETTRO

terno di un determinato intervallo, in modo da coprire interamente l'angolo solido sotteso dalla fenditura (non rappresentata).

Si possono studiare gli eetti del campo reale sul moto delle particelle proiettando le

Figura 4.18: Disegno tridimensionale delle tracce di alcune centinaia di particelle che attraversano la fenditura con energia pari a 3 MeV (rosso scuro), 6 MeV (rosso chiaro), 9 MeV (giallo). L'entità della deessione è una funzione non lineare dell'energia.

traiettorie su tre piani ortogonali, come si può vedere in g. 4.19). In questa immagine sono riportate anche le componenti del campo magnetico sentito dagli elettroni durante l'attraversamento dello spettrometro.

Come già sottolineato il campo reale è ben diverso da una funzione a gradino. Inoltre le componenti x e y non sono aatto trascurabili e giocano un ruolo importante nella dees- sione. Ad esempio, come si può notare dalla gura 4.19, a basse energie esiste un leggero eetto di focheggiamento sul piano trasverso causato da By, mentre Bx, seppur molto più

intenso, ha pochissimo eetto, in quanto apporta due deessioni praticamente uguali e contrarie su ciascuna traiettoria.

Il fatto che, come si vede in gura 4.19, le particelle sentano ciascuna un campo dierente ha ripercussioni anche sulla forma della strisciata. Questo si può evidenziare studiando l'immagine della fenditura proiettata da un pennello monocromatico di elettroni. In gura 4.20 si possono vedere le posizioni di arrivo sullo schermo uorescente dei soliti tre pennelli di elettroni da 3 − 6 − 9 MeV. Si nota come ad energie più basse l'aberrazione risulti più accentuata.

Per concludere questa discussione esemplicativa sulla caratterizzazione delle traiettorie nel campo reale riportiamo il risultato della tracciatura di un set di particelle per cui sia gli angoli che l'energia iniziali sono generati casualmente (vedi g. 4.21). In questa immagine è possibile notare la forma trapezoidale della strisciata causata dal leggero focheggiamento dello spettrometro. Inoltre, sullo sfondo, è riportata una striscia reale (in scala di falsi colori), ottenuta tramite l'accumulo di 200 misurazioni, la cui forma è riprodotta accura- tamente dalla simulazione.

Figura 4.19: a): proiezione delle traiettorie sul piano dispersivo. La deessione non è iden- tica per tutte le particelle di energia identica ma angoli diversi poiché il campo magnetico non è uniforme. b): proiezione delle traiettorie sul piano dello schermo. c): vista laterale della delle traiettorie. Da questa proiezione si nota come le particelle subiscano un leggero eetto di focalizzione lungo la direzione trasversa. La focalizzazione aumenta verso energie più basse, dando alla strisciata una forma leggermente trapezoidale. d),e),f): graci delle componenti x,y,z del campo magnetico sentito dalle particelle durante il loro moto. Si nota come la componente x raggiunga, lungo certe traiettorie, dei valori comparabili con la componente z.

Ai ni della ricostruzione dello spettro non serve tenere memoria di tutta la traccia delle particelle che attraversano la fenditura. Basta, in realtà, la sola informazione sulla posizio- ne in cui ogni elettrone simulato interseca lo schermo di rilevazione. Essendo lo schermo approssimabile ad un piano, questa posizione è individuata da una coppia di coordinate. D'altra parte l'obiettivo nale del procedimento è quello di generare una curva di disper- sione, la quale è un graco unidimensionale. Per far ciò si registra in una grande tabella, insieme all'energia, solo la coordinata y, ovvero l'entità della deessione lungo la direzione dispersiva. Il fatto che l'immagine della fenditura sia aberrata (vedi gura 4.19) fa si che in verticale, lungo la direzione z, vadano a cadere particelle con energie diverse. Per tenere in opportuna considerazione questo eetto si dovrebbe costruire una supercie di disper- sione. Al ne di limitare la complessità dell'algoritmo e di lavorare quindi con oggetti

4.7. PROCEDIMENTO DI RICOSTRUZIONE DELLO SPETTRO

Figura 4.20: Collezione dei punti di impatto delle particelle sullo schermo. L'immagine della fenditura proiettata da elettroni da 3 MeV risulta la più aberrata.

Figura 4.21: Sovrapposizione fra una strisciata simulata (puntini) ed una reale(in scala di falsi colori) ottenuta tramite la somma di 200 immagini sperimentali. Le particelle hanno energie nel range 2 − 6.5 MeV. Si nota come la simulazione riproduca molto bene la forma della striscia reale.

unidimensionali, si è optato per registrare la sola componente y. Questo, nella logica della procedura di costruzione della curva di dispersione, comporta un leggero allargamento delle barre di errore, giacché abbiamo cancellato le variazioni di energia lungo la direzione z, inglobandole nell'errore sistematico. Si può comunque vericare che se l'aberrazione non è elevatissima l'allargamento delle barre di errore è praticamente trascurabile.

Una volta impostati tutti i parametri in modo opportuno si passa alla tracciatura di un insieme molto grande di particelle, adatto ad ottenere un numero di eventi suciente- mente alto in ciascun intervallo in cui suddivideremo l'asse dispersivo sullo schermo. In realtà, si eettua la tracciatura due volte: la prima volta si genera l'energia delle particelle in modo uniforme all'interno di un certo range (nel nostro caso da un minimo di ∼ 2 MeV -al di sotto gli elettroni deettono di più di 90 gradi- ad un massimo di almeno 20 MeV) ed inoltre si pone θ = 0 e φ = π/2. In questo modo si ottiene una tabella in cui ogni elemento è una coppia ordinata posizione-energia. La tabella viene quindi interpolata per ottenere una funzione di dispersione. Questo passaggio è cruciale poiché la funzione così costruita ci consente di generare un insieme di particelle, durante la seconda tracciatura, le cui posizioni nali saranno equalmente distribuite nello spazio, ovvero di calcolare la

Figura 4.22: Distribuzione spaziale delle posizioni nali delle particelle simulate con l'ausilio della distribuzione energetica determinata con la prima tracciatura.

distribuzione energetica da utilizzare nel MonteCarlo (in gura 4.22 è possibile vedere il risultato del calcolo eettuato estraendo casualmente l'energia dalla distribuzione non uni- forme generata con la prima tracciatura).

Senza questo accorgimento avremmo potuto generare casualmente particelle con distribu- zione di energia uniforme, con il risultato che le posizioni nali si sarebbero addensate vicino allo zero per poi diradarsi verso le x positive a causa della non linearità della rela- zione energia-posizione. In tal caso ottenere un numero sucientemente alto di particelle negli intervalli più lontani dallo zero avrebbe richiesto la generazione di un insieme molto più grande di particelle, con il conseguente aumento del tempo di calcolo verso valori non gestibili.

Data la grande quantità di eventi che è necessario simulare per avere una statistica accet- tabile (quantità che scala linearmente con la risoluzione spaziale del sistema di imaging), è necessario far lavorare un calcolatore a pieno ritmo per diverse ore. Il risultato nale di questa procedura è la generazione di una grande tabella contenente energia e posizione di arrivo sul rivelatore di ogni particella simulata. Queste informazioni andranno a costituire la base per la ricostruzione della curva di dispersione.

4.7. PROCEDIMENTO DI RICOSTRUZIONE DELLO SPETTRO

Figura 4.23: Curva di dispersione con energia no a 21 MeV e scale = 10. In rosso la curva con cui è stato possibile ottenere una distribuzione spaziale uniforme degli elettroni simulati con il MonteCarlo (è il risultato della prima tracciatura).