VCCT 2D

2.1.1 Premessa

Il metodo degli elementi finiti è diventato una tecnica molto utile per risolvere i problemi di meccanica della frattura elastica lineare.

Gli approcci alla meccanica della frattura mediante gli elementi finiti possono essere distinti in metodi diretti e metodi indiretti. Nei metodi diretti, i fattori di intensificazione degli sforzi sono calcolati direttamente dalla soluzione. Nei metodi indiretti, viene calcolato un tasso di rilascio di energia e i fattori di intensificazione degli sforzi vengono ricavati di conseguenza.

La tecnica della chiusura virtuale della fessura (VCCT) si basa sull’implementazione numerica dell’integrale della chiusura della fessura di Irwin (Irwin 1958). I primi a proporla per problemi bidimensionali sono stati Rybicki e Kanninen (1977). Successivamente la tecnica è stata estesa ai problemi tridimensionali da Shivakumar et al. (1988).

2.1.2 VCCT – Standard

La VCCT è un metodo consolidato per il calcolo del tasso di rilascio dell’energia G, nei problemi di meccanica della frattura mediante il metodo degli elementi finiti (FEM).

Capitolo 2 22

La VCCT non si limita a calcolare solo il tasso di rilascio dell’energia, ma anche i suoi contributi GI, GII, e GIII, associati alle tre modalità di frattura classica (Krueger 2004). Nel presente paragrafo tratteremo la VCCT Standard applicata ad un problema bidimensionale di elasticità lineare. Considerando a tale scopo un corpo isotropo e omogeneo di spessore B, soggetto a una frattura rettilinea di lunghezza “a”, con definiti carichi e condizioni cinematiche a contorno.

Il modello agli elementi finiti si suppone ottenuto con una discretizzazione composta da elementi a 4 nodi. È stato considerato un riferimento Cartesiano, Oxyz, con gli assi x e y rispettivamente parallelo e ortogonale alla direzione della fessura. Inoltre sono stati definiti i nodi A1,B1,C1…A2,B2,C2 (Figura 2.1) posizionati rispettivamente sulla superficie al di sotto e al di sopra della frattura.

Irwin osservò che l’energia dissipata da un’estensione virtuale della frattura è uguale al lavoro che dovrebbe essere fatto per chiudere la frattura dalle forze che erano applicate sulla nuova superfice prima dell’estensione della fessura.

Figura 2.1 – A sinistra: corpo continuo fessurato ; A destra: mesh agli elementi finiti nell’intorno dell’apice della fessura –Valvo, 2012

Il tasso di rilascio dell’energia, G, è definito come l’energia potenziale totale dissipata dal sistema per unità di area di una nuova superficie creata dalla crescita della frattura.

= QRS

_{∆ →}

_{2∆8 [L}1

V

( )∆H( − ∆8)

∆

+ L 4

V

( )∆W( − ∆8)

∆

]

(2.1)

dove σz e τzx sono rispettivamente le componenti degli sforzi normali e

tangenziali agenti sul piano della frattura, e ∆u e ∆w sono rispettivamente gli spostamenti relativi tra la superficie della frattura lungo la direzione x e z che si verificano quando la frattura è estesa di una lunghezza ∆a.

Nei problemi piani, la frattura generalemente propaga sotto condizioni di modo misto I/II, questo significa che sono coinvolti entrambi i modi di frattura di opening (I) e sliding (II). Il tasso di rilascio dell’energia può essere diviso come segue:

=

6

+

66

(2.2)

dove GI e GII sono i contributi modali di G, relativi ai modi di frattura I e II. In questo caso i contributi modali sono dati dai due addendi in

equazione (2.1).

6

= QRS

_{∆ → ∆}

[

∆ V

( )∆H( − ∆8) (2.3)

66

= L 4

V

( )∆W( − ∆8)

∆

]

Sostituendo le espressioni per il campo delle tensioni e degli spostamenti derivanti dalla teoria di elasticità ( per condizioni di stato tensionale piano) in (2.3) otteniamo

Capitolo 2 24

dove KI e KII sono i fattori di intensificazione degli sforzi rispettivamente

per i modi I e II, e E è il modulo di Young del materiale. Nell’ambito del modello agli elementi finiti, il concetto di Irwin si traduce nella seguente espressione del tasso di rilascio dell’energia:

=

_?∆

(Y ∆W + Z ∆H ) (2.5)

dove Xc e Zc sono le forze interne agenti all’apice della fessurarispettivamente lungo le direzioni x e z, e ∆uc e ∆wc sono i

corrispondenti spostamenti relativi che si verificano quando la frattura è estesa di una lunghezza ∆a.

In principio, il calcolo delle forze e degli spostamenti nell’equazione (2.4) necessita l’esecuzione di due analisi:

- Step 1: si calcolano le forze sull’apice della fessura

Y = Y

( )

= −Y

( )

(2.6)

Z = Z

( )

= −Z

( )

tramite l’analisi di una mesh con la lunghezza della fessura “a”; - Step 2 : si calcolano gli spostamenti relativi dell’apice della

fessura

∆W = W

( )

−W

( )

(2.7)

∆H = H

( )

−H

( )

tramite l’analisi di una mesh nella quale la frattura ha una lunghezza di “a + ∆a”, con un estensione virtuale della frattura simulata dal rilascio dei vincoli di connessione dei nodi dell’apice della fessura C1 e C2;

Nel caso in cui ∆a << a, è possibile usare con buona approssimazione un unico passaggio. Di conseguenza, eseguendo un’analisi su una mesh con lunghezza della fessura di “a”, gli spostamenti relativi dell’apice della fessurasono approssimativamente corrispondenti alle quantità valutate nei nodi, B1 e B2, immediatamente precedenti l’apice della fessura.

∆W ≅ ∆W

?

= W

?( )

− W

?( )

(2.8)

∆H ≅ ∆H

?

= H

?( )

− H

?( )

È doveroso fare due osservazioni. In primo luogo, nella formulazione originale di Irwin la frattura è inserita in un mezzo infinito, quindi la fessura appartiene ad un asse di simmetria del problema. In secondo luogo, l’equazione (2.4) mostra che GI e GII,in accordo con i loro significati fisici,

sono definite quantità positive ( essi sono nulli solo quando il fattore di intensificazione degli sforzi è zero). La VCCT Standard in analogia con l’equazione (2.3) definisce i contributi modali di G come:

6

=

\ ∆]_?∆ ^

66

=

_ ∆`_?∆ ^

(2.9)

Tuttavia le equazioni (2.9) non definiscono GI e GII come quantità

positive. Infatti, esse prevedono un campo di valori negativi per GI eGII

quando le forze nodali Xc o Zc si rilevano essere opposte in direzione rispetto

ai corrispondenti spostamenti relativi ∆uc o ∆wc.

Gli spostamenti relativi prodotti dall’estensione della frattura sono uguali in modulo agli spostamenti relativi prodotti dall’applicazione delle forze all’apice della fessura. Quindi, considerata la linearità del modello:

∆W = a Y + a

V

Z

(2.10)

∆H = a

V

Y + a

VV

Z

dove fxx, fxz, fzx efzz sono i coefficienti di flessibilità.

Considerazioni energetiche implicano che fxx efzz siano quantità

maggiori di zero, mentre fxz ( = fzx dal teorema virtuale di reciprocità di

Betti) ha segno indefinito.

L’equazione (2.10) mostra che quando fxz è diverso da zero (

circostanza che si verifica nel caso in cui la frattura è asimmetrica) c’è accoppiamento tra le forze dell’apice della frattura in direzione z e lo spostamento relativo in direzione x, e viceversa, tra le forze in direzione x e

Capitolo 2 26

lo spostamento relativo in direzione z. Questo accoppiamento svanisce solo se fxz è zero (nel caso in cui la frattura è simmetrica). Nella formulazione del

continuo, si manifesta analogamente per geometrie con fessura asimmetrica, un accoppiamento tra gli sforzi normali e quelli tangenziali, σz e τzx e gli

spostamenti relativi, ∆u e ∆w.

Invertendo l’equazione (2.10), le forze dell’apice della fessura posso essere scritte in funzione degli spostamenti relativi.

Y =

∆W +

V

∆H

(2.11)

Z =

V

∆W +

VV

∆H

dove

=

Dbb DccDbbdDcb

VV

=

Dcc DccDbbdDcb

(2.12)

V

=

V

= −

_DccDD_bbcb_dDcb

sono i coefficienti di rigidezza.

Sostituendo l’equazione (2.10) nell’equazione (2.5), si ricava il tasso di rilascio dell’energia sotto forma di funzione quadratica (definita positiva) delle forze all’apice della fessura.

=

_?∆

(a Y + 2a

V

Y Z + a

VV

Z ) (2.13)

Similmente sostituendo l’equazione (2.10) in (2.9), si rivacano le espressioni dei contributi modali come funzioni delle forze dell’apice della frattura.

6

=

_?∆

(a

VV

Z + a

V

Y Z )

(2.14)

66

= _{2B∆8 (a Y + a}1

V

Y Z )

Secondo, la VCCT standard, i termini non negativi dipendenti da fzz efxx sono

associati rispettivamente a GI e GII, mentre il termine fxz, è ugualmente

definito nel segno, ne consegue che i contributi GI e GII calcolati non sono

definiti positivi.

2.1.3 VCCT – Modificata (Revised)

Nel paragrafo 2.1.2 è stato introdotto il metodo della VCCT Standard e posta l’attenzione sull’incoerenza fisica dei risultati derivanti da GI e GII.

Qui di seguito verranno esposte alcune proposte di modifica introdotte da Valvo (2012 ; 2015), allo scopo di evitare i problemi della tecnica standard.

2.1.3.1 Proposta del 2012

Come primo tentativo di ottenere un partizionamento delle modalità di frattura fisicamente coerente, Valvo (2012) propose un metodo che definisce i contributi modali come associati alla quantità di lavoro svolto in un processo di chiusura dell’estensione della fessura in due step.

Nel primo step, corrispondente al modo di frattura I, lo spostamento relativo dell’apice in direzione z, ∆wc , è chiuso completamente

dall’applicazione di una forza Zc(I) nella stessa direzione. Allo stesso tempo

una forza nulla, Xc(I) = 0, è applicata in direzione x, ma a causa

dell’accoppiamento, lo spostamento relativo all’apice in direzione x, ∆uc , è

parzialmente chiuso ( se fxz > 0) o ulteriormente aperto ( se fxz < 0) , da una

quantità ∆uc(I).

Nel secondo step, corrispondente alla modalità di frattura II, lo spostamento relativo all’apice della fessura residua in direzione x, ∆uc(II) =

∆uc - ∆uc(I), è chiuso dall’applicazione di una forza, Xc(II)= Xc e Zc(II) = Zc-

Zc(I).

Usando l’equazione (2.10) , le forze all’apice della fessurache sono applicate nello step (I) sono:

Y

(6)

= 0 Z

(6)

=

∆]_D

bb

=

Dcb

Dbb

Y + Z

(2.15)

Queste forze produco degli spostamenti relativi, come di seguito:

Capitolo 2 28

In virtù dell’equ. (2.15) in presenza di fxz diverso da zero, Zc(I)

differisce dalla forza dell’apice della fessuraZc.

Le forze applicate nel secondo step sono:

Y

(66)

= Y − Y

(6)

= Y − 0 = Y (2. 17)

Z

(66)

= Z − Z

(6)

= −

Dcb

Dbb

Y

Usando l’equ. (2.10), (2.15), (2.16) e (2.17) i conseguenti spostamenti relativi sono:

∆W

(66)

= ∆W − ∆W

(6)

= ga −a_a

V

VV

h Y

∆H

(66)

= 0

(2.18)

Pertanto, nello step II, lo spostamento relativo residuo in direzione x è stato cancellato, mentre nella direzione z non viene prodotto nessun spostamento.

Figura 2.2 – a) step I, chiusura dello spostamento relativo dell’apice della fessura nella direzione z (modo I) ; b) step II, chiusura dello spostamento relativo dell’apice della fessura nella direzione z (modo II) – Valvo, 2012

Quindi in accordo con la VCCT modificata, i contributi dei modi I e II del tasso di rilascio dell’energia sono:

6

=

\

(%)_∆](%)

?∆

66

=

_(%%)∆`(%%)

?∆

(2.19)

Sostituendo le equ. da (2.15) a (2.18) in (2.19) e richiamando (2.12) che sono i coefficienti di rigidezza, si ottengono

6

=

_{?∆ Dbb}

(a

V

Y + a

VV

Z ) =

_?∆ ∆]_Dbb

(2.20)

66

= _{2B∆8 ga −}1

a_a

V

VV

h (Y ) =

1

2B∆8

Y

sommando questi due contributi si ottengono le stesse espressioni di (2.13) e (2.14).

In sintesi, la differenza tra la VCCT Standard e VCCT Modificata sta nella maniera in cui i modi di frattura sono ripartiti. L’equ. (2.20) mostra chiaramente che GI e GII, calcolate in accordo con la VCCT Modificata, sono

quantità non negative. Quindi, questo metodo in contrasto con il metodo Standard fornisce un partizionamento fisicamente coerente dei modi di frattura. Le condizioni di modo I rivelate dalla (2.20) sono, Xc= 0 e per il

modo II ∆wc = 0.

Riassumento, la VCCT Modificata, in cui GI e GII sono valori non

negativi, è stata ottenuta associando questi alle quantità di lavoro svolto da un sistema di forze energeticamente ortogonali, cioè che hanno un lavoro mutuo nullo. Poiché ci sono infinite coppie di diametri coniugati dell’ellisse di flessibilità dell’apice della fessura, tutte corrispondenti a due sistemi di forze energeticamente ortogonali, esistono infiniti modi per definire GI e GII come

quantità non negative.

Nella definizione adottata nell’equ. (2.20) (che per ottenere il modo pura I ( GII = 0) la forza tangenziale debba essere nulla e per il modo II (GI=

0) lo spostamento ∆w = 0), ne segue che esiste un campo dove il contributo GI viene da componenti normali di compressione della forza dell’apice della

Capitolo 2 30

2.1.3.2 Proposta del 2015

Per evitare l’inconveniente legato alle forze di chiusura di compressione, è stato fatto un ulteriore passo da Valvo (2015), che propone una diversa definizioni basata sul presupposto che la modalità pura I di frattura corrisponda a uno slittamento nullo dell’apice della fessura (∆u = 0). Ne consegue che GI e GII sono ancora associati alle quantità di lavoro svolto

da due sistemi di forze energeticamente ortogonali.

La modalità pura II corrisponde invece a una forza normale nulla dell’apice della fessura (Z = 0). Quindi, è possibile imporre GI = 0 quando Z

< 0 e ottenere una transizione “fluida” dell’intervallo di comportamento in modalità mista I/II a condizioni di modalità pura II.

Figura 2.3 – Tecnica di Chiusura Virtuale della frattura: a) le forze

all’apice della fessura ; b) gli spostamenti relativi all’apice della fessura – Valvo, 2015

Vengono in primo luogo, definiti il vettore degli spostamenti ∆s e il vettore delle forze r dell’apice della frattura.

∆ = (∆W ∆H)

i

j = (Y Z)

i

_(2.21)

di conseguenza l’equ. (2.10) può essere scritta:

∆ = J j

(2.22)

d

ove

J = ka_a

a

V V

a

VV

l

(2.23)

è la matrice di flessibilità (simmetrica) per l’apice della fessura.

Figura 2.4 – Coefficienti di flessibilità: a) forze unitarie di direzione x ; b) forze unitarie in direzione z – Valvo, 2015

Con le eq. (2.22) e (2.23) l’espressi one del tasso di rilascio dell’energia diventa:

=

_?∆ ji∆

=

_?∆ jiJ j = _?∆

(Y Z) k

a_a a m m amm

l

(

Y

Z)

(2.24)

La matrice J è definita positiva, ciò implica:

a > 0 detr

J

s = a a

_VV

− a

_V

> 0

(2.25)

In secondo luogo, come indicato precedentemente, viene presupposto che la modalità pura II corrisponda a una forza normale nulla all’apice della fessura

Capitolo 2 32

ZII = 0, invece applicando una forza tangenziale XII lo scorrimento ∆u viene

chiuso.

Pertanto dall’equazione (2.10):

Y

66

=

_D∆`_cc

= Y +

_DDcb_cc

Z Z

66

= 0

(2.26)

che producono gli spostamenti relativi,

∆W

66

= ∆W ∆H

66

=

_DDcb_cc

∆W

(2.27)

Nella modalità pura I, le forze residue dell’apice della fessura sono:

Y

6

= Y − Y

66

= −

_DDcb_cc

Z

(2.28)

Z

6

= Z − Z

66

= Z

Dai quali derivano gli spostamenti relativi,

∆W

6

= 0

(2.29)

∆H

6

= ∆H − ∆H

66

= _{a (a a}1

VV

− a

V

)Z

L’equazione (2.27) mostra che nel primo step, il ∆u è completamente chiuso, mentre nella direzione z, ∆w, può essere parzialmente chiuso ( se fxz∆u < 0 )

o ulteriormente aperto ( se fxz∆u > 0 ).

Invece l’espressione (2.29) indica che nel secondo step, lo spostamento residuo nella direzione z, “∆w -∆wII “, è chiuso.

Figura 2.5 – Partizionamento dei modi di frattura: a) frattura completamente aperta ; b) contributo modo II, step I, spostamento di apertura residuo dell’apice della frattura; c) contributo modo I, frattura

completamente chiusa – Valvo, 2015

In base a quanto sopra, i contributi di modalità I e II di GI e GII corrispondono

rispettivamente alle quantità di lavoro svolto dal componente di forza ZI su

∆wI e da XII su ∆uII , e sono:

6

=

\%_?∆ ∆]%

66

=

_%%_?∆ ∆`%%

(2.30)

Sostituendo l’equazioni da (2.26) a (2.29) nella (2.30) le espressioni dei contributi modali sono:

Capitolo 2 34 66

=

_{?∆ Dcc}

(a Y + a

V

Z)

(2.31)

L’espressione (2.31) richiamando anche la (2.25) mostra l’ipotesi sul partizionamento delle modalità di frattura che portano a calcolare le quantità non negative sia di GI che di GII .

Questo risultato può essere considerato come conseguenza dell’ortogonalità energetica dei sistemi di forze definito dalle (2.26) e (2.28).

Y

6

∆W

66

+ Z

6

∆H

66

= Y

66

∆W

6

+ Z

66

∆H

6

= 0

danno vita a un lavoro nullo.

È conveniente esprimere GI e GII come funzione degli spostamenti.

Invertendo (2.10) e sostituendo in (2.31) si ottengono:

6

=

_{?∆ Dcc}(Dcb_Dcc∆`dD_DbbdDcc_cb∆])

(2.32)

66

=

_?∆ ∆`_Dcc

(2.33)

2.2

VCCT- 3D

2.2.1 Premessa

Per calcolare i tassi di rilascio dell’energia ( G ) e i fattori di intensificazione degli sforzi ( K ) dall’analisi agli elementi finiti di un corpo fessurato possiamo fare riferimento a tre metodi:

1- Il metodo della rigidità derivata, sviluppato da Parks (1974) e Hellen (1975)

2- Il metodo dello spostamento di apertura della fessura (COD) 3- Il metodo della forza

Dei tre metodi, il primo è probabilmente il più accurato, ma è complicato da applicare. Il metodo prevede il calcolo della variazione di rigidità di elementi finiti intorno al fronte della fessura. Il metodo COD è semplice, ma si basa sul presupposto che il campo vicino lo stato di sollecitazione è bidimensionale (2D) ed è, o un problema piano di tensione o un problema piano di deformazione. Il metodo della forza è anch’esso complicato da applicare e si basa su un campo di tensione singolare (2D) davanti al fronte della fessura. L’unico vantaggio del metodo della forza è che non è richiesta l’assunzione di un problema piano di tensione o un problema piano di deformazione per calcolare K.

Inoltre, sia il metodo COD, sia il metodo della forza richiedono l’uso di elementi singolari sul fronte della fessura. Pertanto è stato necessario sviluppare un metodo semplice e accurato per calcolare G o K usando elementi non singolari.

La tecnica della chiusura virtuale della frattura è stata proposta per prima per problemi bidimensionali da Rybicki e Kanninen (1977), e dopo è stata estesa a problemi tridimensionali (3D VCCT) da Shivakumar (1988).Quest’ultima tecnica è stata usata per calcolare G o K usando solo forze nodali e spostamenti da un analisi a elementi finiti standard.

Capitolo 2 36

2.2.2 VCCT - Standard

In questo paragrafo tratteremo la tecnica della chiusura virtuale della frattura standard estesa ad un corpo tridimensionale.

Esaminiamo il problema tridimensionale di un corpo fessurato composto da materiale elastico lineare con condizioni statiche e/o al contorno cinematiche prescritte. Si prende in considerazione in Figura 2.6, il modello agli elementi finiti, nel quale è stata circoscritta la mesh nelle vicinanze del fronte della fessura.

Figura 2.6 – Mesh elementi finiti del fronte della frattura con le forze all’apice della fessura( prima dell’avanzamento della fessura) – Valvo,

2014

La mesh è regolare ed è composta da elementi solidi di 8 nodi. In Figura 2.6 è presente un sistema di riferimento Cartesiano Oxyz, con gli assi x e y rispettivamente ortogonali e tangenti al fronte della frattura, e l’asse z è ortogonale al piano di frattura.

I nodi posizionati sulla superficie di frattura sono ordinati con le lettere A,B,C … in direzione dell’avanzamento della frattura (asse x). I pedici j-1, j , j+1,… definiscono l’ordine lungo il fronte della fessura asse y). Gli apici – e + corrispondono rispettivamente alle facce inferiore e superiore della fessura.

I nodi di fronte sulla superfice della frattura sono inizialmente uniti insieme da idonei vincoli interni, i quali progressivamente vengono rilasciati

per simulare la propagazione della frattura. Il fronte della fessura è inizialmente localizzato sulla linea di connessione dei nodi Cj-1 , Cj, Cj+1, ...

In coerenza con Irwin (1958), l’energia potenziale totale del sistema, spesa nella crescita della frattura per unità di area della nuova superficie creata, è uguale al lavoro fatto per chiudere la fessura da forze che erano applicate sulle facce della frattura precedentemente all’estensione di quest’ultima.

Figura 2.7 – Mesh elementi finiti del fronte della frattura con gli spostamenti relativi dell’apice della fessura( dopo l’avanzamento della

fessura) – Valvo, 2014

All’interno del modello adottato agli elementi finiti, il tasso di rilascio dell’energia al nodo j-th del fronte della fessura è ( Krueger 2004)

=

_∆:t

(Y

u

∆W

u

+ v

u

∆w

u

+ Z

u

∆H

u

)

(2.34)

dove Xcj, Ycj e Zcj sono le forze all’apice della fessuraal nodo Cj nel sistema

di riferimento Oxyz, invece

∆u

cj

, ∆v

cj

e ∆w

cj sono gli spostamenti relativi

Capitolo 2 38

frattura avanza dal nodo Cj a Dj . Infine, ∆Aj, è l’area della superfice della

frattura in relazione al nodo Cj.

Adesso vengono definiti i vettori delle forze all’apice della fessura e il vettore degli spostamenti relativi del nodo Cj.

j = (Yu vu Zu)i

∆ = (∆W u ∆w u ∆H u)i

Gli spostamenti relativi causati dalla propagazione della frattura sono uguali in modulo (e in segno opposti) agli spostamenti relativi prodotti dall’applicazione delle forze all’apice della fessura. Quindi per un corpo elastico lineare è lecito scrivere:

∆ = J j

(2.35)

dove

J = x aa

2

aa

222

aa

2VV

a

V

a

2V

a

VV

y

(2.36)

è una matrice di flessibilità (simmetrica) e definita positiva. Gli elementi all’interno di (2.36) possono essere ottenuti tramite analisi preliminari ( Valvo 2012).

Con (2.35) e (2.36), la G può essere scritta come:

= _2∆z1

u

j

i

_{∆ =}

1

2∆z

u

j

i

_{J j =}

=

_∆: t (Y!{ v!{ Z!{

) x

f

}}

f

}~

f

}•

f

}~

f

~~

f

~•

f

}•

f

~•

f

••

y €

Y_!{ v_!{ Z_!{

•

(2.37)

In accordo con la VCCT Standard (Krueger 2004), i contributi modali di G corrispondono semplicemente ai tre addendi in parentesi dell’equ. (2.34).

6 = _2∆z1 _{Zu∆H u

(2.38)

66 =

_2∆z1

{Y u∆W u

66 =

_2∆z1

{vu∆wu

Le singole componenti del vettore degli spostamenti relativi (2.35) in funzione degli elementi componenti la matrice di flessibilità e il vettore delle forze agenti all’apice della fessura, sono rappresentate di seguito:

∆W u = a Yu+ a2vu+ aVZ u

(2.39)

∆w_u = a₂Y_u+ a₂₂v_u+ a_2VZ_u

∆H _u = a_VY_u+ a_2Vv_u+ a_VVZ_u

Sostituendo le (2.39) all’interno di (2.38), si ottengono le espressioni dei contributi modali di G in funzione delle forze dell’apice delle frattura e dei coefficienti della matrice di flessibilità, come segue:

6 = _∆:t(Z u aVV+ Y uZuaV+ vuZ ua2V) (2.40)

66 = _2∆z1

u(Y u a + Y uvua2+ Y uZuaV) 666 = _2∆z1

u(vu a22+ Y uvua2+ vuZua2V)

Facendo riferimento alla VCCT Standard, i termini non negativi dipendenti da fzz,fxx e fyy sono associati rispettivamente a GI,GII e GIII .

I termini fxy, fxz e fyz, sono, rispettivamente, ugualmente ripartiti in due

contributi modali, “GII e GIII” , “GI e GII” , ”GI e GIII”. Poiché questi termini

non sono definiti nel segno, ne consegue che i contributi GI ,GII e GIII calcolati

Capitolo 2 40

2.2.3 VCCT – Modificata (Revised)

Valvo (2015) ha mostrato che, in condizioni di frattura in modalità mista I/II, è possibile effettuare il partizionamento fisicamente coerente dei modi di frattura associando i contributi modali alle quantità di lavoro fatto da sistemi di forze energeticamente ortogonali. Inoltre, la decomposizione del vettore forza dell’apice della fessura,

r

c , in tali sistemi di forze corrisponde alla

decomposizione di Cholesky della matrici di flessibilità nella forma J = Ii_{‚ I}

dove I è una matrice triangolare superiore unitaria e ‚ è una matrice diagonale.

Valvo (2014) ha quindi esteso questo approccio ai problemi di modi misti, I/II/III, ottenendo J = ƒff}}}~ ff~~}~ ff~•}• f}• f~• f•• „ = Ii_{‚ I =}

_(2.41)

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡_f1_}~ 0 0 f}} 1 0 f}• f}} a a2V− a2aV a a22− a2 1⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡f}} 0 0 0 f~~−a_f2 }} 0 0 0 aVV−a_fV }}− 1 a (a aa a2V22− a− a2a2V) ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡1 f}~ f}} f}• f}} 0 1 a a_{a a}2V− a2aV 22− a2 0 0 1 ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Il tasso di rilascio dell’energia diventa

=

_∆:t

j

i

_I

i

_{‚ I j =}

∆:t

(j

dove

j

∗

_{= €j}j

₆₆6

j

666

• = Ij =

⎝

⎜

⎛Y

u

+

••‘ •••

v

u

+

••’ •••

Z

u

v

u

+

Dcc_DccD“b_D““dD_dDc“_c“Dcb

Z

u

Z

u

_⎠

⎟

⎞ _(2.43)

è un vettore delle forze corretto all’apice della frattura. Le componenti del vettore

j

sono energeticamente ortogonali.

Invece gli elementi della matrice diagonale D sono:

a

6

= a

VV

−

D_•cb_••

−

_Dcc(Dcc_DccD“b_D““dD_dDc“_c“Dcb) (2.44) a66 = a

a

666

= f

~~

−a_f

2 }}

La matrice di flessibilità è definita positiva, ne segue quindi che fI, fII, fIII sono

coefficienti strettamente positivi. Perciò i contributi modali definiti in equ. (2.45) producono quantità non negative, come viene richiesto dal loro significato fisico.

6

=

_∆:t

a

6

j

6

(2.45)

66

= _2∆z1

u

a

66

j

66 666

= _2∆z1

u

a

666

j

666

Capitolo 3

STRAUS7-API

Sommario. Il presente capitolo introduce il sofware Straus7 e le sue API che ci permettono di interfacciarsi con il programma.

Summary. This chapter introduces Straus7 software and its API that allow us to interface

with the program.

3.1

Introduzione a Straus7

Straus7 o Strand7 (prodotto da G+D Computing e distribuito da HSH- Padova) implementa una formulazione "classica" del metodo degli elementi finiti, per analisi di tipo sia lineare sia non-lineare (per geometria, materiale e condizioni al contorno), relativamente ad analisi della risposta statica (inclusi problemi di stabilità dell'equilibrio), dinamica (generale e sismica) e termo- meccanica, in condizioni sia stazionarie sia transitorie.

La biblioteca di elementi finiti ed i relativi modelli per materiali e leggi costitutive è particolarmente vasta e completa.

Sono punti di forza del codice:

 l'interfaccia grafica, estremamente efficiente ed user-friendly;

 la codifica di quelli, tra gli elementi, che sono di impiego più frequente nell'ingegneria civile (quali travi, piastre, gusci, funi e membrane), sia per la varietà delle soluzioni prospettate (travi a sezione del tutto generica con calcolo automatico dei parametri geometrici, off-sets nodali e di asse, legami non-lineari momento-curvatura), che per il rendering dei risultati (visualizzazioni "al vero" dello stato tensionale e deformativo sulle sezioni);

Capitolo 3 44  la particolare compattezza del codice: pur di formulazione classica, il codice è scritto completamente "a nuovo", senza cioè i problemi dei

Nel documento Implementazione della Virtual Crack Closure Technique in Straus7 (pagine 30-53)