Visibilit` a della seconda discesa a basse concentrazioni

2.3 Caratteristiche di interesse di un esperimento di scattering

3.1.1 Visibilit` a della seconda discesa a basse concentrazioni

trazioni

Considerando che il peso relativo del termine legato alla ﬂuttuazione del numero di particelle nel volume di scattering `e 1/n dove n `e il numero di microsfere contenute nel volume di scattering (si veda la (1.104)), sono state

preparate soluzioni delle due specie di microsfere di Latex a differenti concentrazioni di cui si è misurata la funzione di correlazione omodina, in particolare sono state utilizzate quattro concentrazioni per Latex 110 e tre per Latex 989 in modo da verificare l’andamento previsto per le altezze delle due discese. Le misure sono state eseguite in due condizioni di diversa potenza incidente, cioè con una potenza non attenuata di 430 mW (indicata con FP) e succes- sivamente con una potenza incidente attenuata di 20 mW (indicata con LP). E’ stato eseguito un fit delle funzioni di correlazione con una funzione della forma

I₂(t) = A + B e−t/τ + C e−t2/τc2

per studiare l’andamento del rapporto B/C. Si noti che per la (1.104) si ha

B C =

√ πn

e che il valore di n deve essere proporzionale alla concentazione c, per cui

n = K c

dove K `e una costante opportuna, allora avremo che

B C =

√ π K c

In particolare per la concentrazione pi`u bassa utilizzata c₀ si avr`a

B₀ C₀ = √ π K c₀ quindi il rapporto B/C B₀/C₀ = c c₀ `

e uguale alla concentazione relativa.

Il valore del rapporto B/C dei coefficienti1 (misurati tramite il fit) è ri- portato nella Tabella 3.1 per ogni valore della concentrazione normalizzata

c/c₀, per due campioni a potenza diﬀerente. Facciamo notare che (in base alla (1.104)) B/C = √πn e quindi in questo modo possiamo sapere quante

particelle si trovano in media nel volume di scattering; alla concentrazione più bassa, la varianza relativa dell‘intensità del campo diffuso, e quindi la varianza relativa del numero di conteggi acquisiti deve essere molto grande (a causa della rarefazione degli scatteratori), cosa che si verifica qualitativa- mente osservando i dati, e che rende necessario mediare su tempi molto più grandi per ottenere dati ragionevolmente affidabili.

c/c₀ Latex 110 (FP) Latex 110 (LP) Latex 989 (FP) Latex 989 LP 1 0.40± 0.04 0.29± 0.03 0.45± 0.05 1.00± 0.09 10 2.9± 0.3 4.1± 0.5 4.1± 0.4 4.9± 0.5

100 26± 3 38± 4 31± 3 41± 4

Tabella 3.1: Rapporto B/C alle varie concentazioni per le due soluzioni di microsfere di Latex a due diﬀerenti potenze incidenti: FP sta per full power ed LP sta per low power.

Figura 3.1: Rapporto dei coeﬃcienti della funzione del ﬁt in funzione della concentrazione normalizzata delle soluzioni di Latex 110 nm e Latex 989 nm, assieme alla previsione teorica (linea piena).

Sarebbe necessario verificare questo andamento variando il numero medio di particelle nel volume di scattering in modo più preciso; ciò può esser fatto non solo aumentando il numero di soluzioni a concentrazioni intermedie tra la massima e la minima già utilizzate, ma anche cambiando le dimensioni del volume di scattering. Sebbene il rapporto B/C non debba dipendere dalla potenza assorbita, nelle misurazioni si notano discrepanze anche grandi.

1_{La quarta soluzione di Latex 110 `}_{e troppo concentrata perch´}_{e la seconda discesa sia}

3.1.2 Tempi di diﬀusione e convezione

Presentiamo ora le funzioni di correlazione acquisite per i campioni di Latex 110 nm (quattro concentrazioni) e Latex 989 nm (tre concentrazioni) con due potenze incidenti, 430 mW (FP) e 20 mW (LP) (Figure 3.2, 3.3 e 3.4). Indichiamo con A, B, C e D la stessa soluzione a diﬀerente concentrazione (ordinati in senso decrescente cA> cB> cC > cD), ognuno ottenuto diluendo

una parte del precedente campione in nove parti d’acqua 2.

1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 I 2 (t) (unità arbitrarie) t (s) A LP A FP B LP B FP C LP C FP D LP D FP

Figura 3.2: Latex 110 nm, funzioni di correlazione omodine; campioni a dif- ferente concentrazione cA> cB > cC > cD. Punti pieni (•) per le misure FP

(potenza incidente 430 mW), cerchi (◦) per le misure LP (potenza incidente 20 mW).

Fittiamo le funzioni di correlazione con la funzione

I₂(t) = A + Be−t/τ + Ce−t2/τc2 _(3.1) dove τ è il tempo di diffusione, e τc è il tempo di convezione. I risultati dei

ﬁt sono riportati in Tabella 3.2.

Per i campioni di Latex 989 nm eseguiamo inizialmente i ﬁt con la stessa funzione (equazione 3.1) (Figure 3.5, 3.6 e 3.7). I risultati3 sono riportati in Tabella (3.3).

2_{Questo procedimento non `}_{e troppo aﬃdabile; il rapporto tra le concentrazioni adiacenti}

e aﬀetto da un errore relativo sicuramente maggiore di 0.2.

3_{Il valore del tempo di diﬀusione per il campione Latex 989 C (LP) non `}_{e misurabile}

perch´e la concentrazione cC della soluzione `e troppo bassa per permettere di apprezzare

1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 0 1 t_diffusione (C FP) = 0,93 ms I 2 (t) (unità arbitrarie) t (s) A LP A FP B LP B FP C LP C FP D LP D FP

Figura 3.3: Latex 110 nm, funzioni di correlazione omodine; normalizzazione della prima discesa. Campioni a diﬀerente concentrazione, cA > cB > cC >

cD. Punti pieni (•) per le misure FP (potenza incidente 430 mW), cerchi (◦)

per le msure LP (potenza incidente 20 mW).

Latex 110 FP FP LP LP τ (ms) τc (s) τ (ms) τc (s) A 0.55± 0.02 - 0.82± 0.04 - B 0.68± 0.01 - 0.93± 0.03 - C 0.87± 0.03 0.056 ± 0.002 1.22 ± 0.06 0.232 ± 0.003 D 1.90± 0.09 0.054 ± 0.002 2.89 ± 0.08 0.208 ± 0.006

Tabella 3.2: Tempi di diﬀusione e convezione per i campioni di Latex 110 nm al diminuire della concentrazione della soluzione cA> cB > cC > cD con

1E-3 0,01 0,1 0,0 0,5 1,0 t (D LP) = 0.21 s t (D FP) = 0.054 s I 2 (t) (unità arbitrarie) t (s) C LP C FP D LP D FP

Figura 3.4: Latex 110 nm, funzioni di correlazione omodine; normalizzazione della seconda discesa. Campioni a diﬀerente concentrazione cC > cD. Punti

pieni (•) per le misure FP (potenza incidente 430 mW), cerchi (◦) per le msure LP (potenza incidente 20 mW). Si noti come il tempo caratteristico della discesa dipenda esclusivamente dalla potenza incidente.

1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 0,0 0,5 1,0 I 2 (t) (unita arbitrarie) t (s) A LP A FP B LP B FP C LP C FP

Figura 3.5: Latex 989 nm, funzioni di correlazione omodine; campioni a diﬀerente concentrazione A > B > C. Punti pieni per le misure full power, cerchi per quelle low power.

Latex 989 FP FP LP LP

τ (ms) τc (s) τ (ms) τc (s)

A 2.98± 0.05 0.041 ± 0.002 7.6 ± 0.2 0.19 ± 0.03 B 3.25± 0.09 0.050 ± 0.005 8.2 ± 0.9 0.19 ± 0.03 C 2.87± 0.08 0.052 ± 0.002 - 0.16± 0.01

Tabella 3.3: Tempi di diﬀusione e convezione per i campioni di Latex 989 nm al diminuire della concentrazione della soluzione (cA> cB > cC con due

potenze incidenti, 430 mW (FP) e 20 mW (LP).

I dati raccolti mostrano che:

• I tempi di convezione sono tutti simili a parit`a di potenza incidente

(circa 0.19 s), non variano troppo con ne con la concentrazione ne col raggio delle microsfere; abbiamo quindi una velocit`a di convezione:

Vy =

w₂ τc

= (0.19± 0.02) mm/s (FP) = (0.064± 0.005) mm/s (LP)

1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 0,0 0,5 1,0 t_d (B LP) = 7.6 ms t_d (C FP) = 2.9 ms I2 (t) (unità arbitrarie) t (s) A LP A FP B LP B FP C LP C FP

Figura 3.6: Latex 989 nm, funzioni di correlazione omodine, normalizzazione della prima discesa. Ccampioni a diﬀerente concentrazione cA > cB > cC >

cD. Punti pieni (•) per le misure FP (potenza incidente 430 mW), cerchi (◦)

per le misure LP (potenza incidente 20 mW). Notare come per le misure FP il tempo di diﬀusione si riduce notevolmente.

• I tempi di diﬀusione attesi per le due specie di microsfere sono rispettati

in condizioni di bassa intensità incidente (LP) e concentrazioni suffi- cientemente alte (A,B), mentre nelle misure ad alta intensità risultano sensibilmente ridotti (Tabella 3.2 e 3.3).

• I ﬁt risultano poco soddisfacenti per i campioni di Latex 989 nm ad

alte intensit`a incidenti (Figura 3.6).

Riguardo l’ultimo punto, ricordando che il termine moltiplicativo gaus- siano nella (1.103) diventa importante quando i tempi di diﬀusione e convezione sono vicini, nel caso delle misure FP per Latex 989 nm eseguiamo il ﬁt con la funzione:

I₂(t) = A + Be−(t/τc)2_e−t(τ)_{+ Ce}−t/τc _(3.2) nella speranza che questa permetta di cogliere meglio l’andamento visibil- mente iperesponenziale della prima discesa nelle funzioni di correlazione omodine (Figura 3.6). In base alla variazione di temperatura stimata nel para- grafo precedente ci aspettiamo che il tempo di diﬀusione cada attorno a 6 ms.

4 _{Purtroppo i ﬁt migliorano solo se si lascia libero il tempo di decadimento}

1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 0 1 2 t (B LP) = 0.19 t (C FP) = 0.052 I 2 (t) (unità arbitrarie) t (s) CFin0 CFin2 BFin0 BFin2

Figura 3.7: Latex 989 nm, funzioni di correlazione omodine, normalizzazione della seconda discesa. campioni a diﬀerente concentrazione cA > cB > cC >

cD. Punti pieni (•) per le misure FP (potenza incidente 430 mW), cerchi (◦)

per le misure LP (potenza incidente 20 mW). Si noti come anche in questo caso il tempo caratteristico della discesa dipenda solo dall’intensità incidente. della gaussiana che moltiplica l’esponenziale, ma ciò non è giustificabile a partire dallo sviluppo che ci ha portato alla funzione (1.103).

Nel documento Studio della dinamica di microsfere in soluzione mediante fotocorrelazione nell'infrarosso (pagine 34-42)