UNIVERSITA’ DI FOGGIA
C. d. L. Triennale in Ingegneria dei Sistemi Logistici e dell’Agroalimentare
2° Appello di Geometria e Algebra Data: 10 febbraio 2015
COGNOME:_______________________ NOME:__________________ Matr.:________________
1. Dare la definizione di base di uno spazio vettoriale.
2. Sia f :U®Vun’applicazione lineare: dimostrare che Im(f) è un sottospazio di V.
3. Data la funzione f : R3®
R4 ''"(x, y, z)ÎR3: f (x, y, z)=(x+y+z,-y+z, x+2y, x+2z), a) Calcolare una base e la dimensione di Im(f);
b) Calcolare una base e la dimensione di Ker(f);
c) Stabilire se f è ingettiva, surgettiva, bigettiva.
4. Fissato nello spazio S3 il riferimento RC(O,i,j,k),
a) Scrivere l’equazione del piano
p
passante per P(1,2,3) e contenente la retta r di equazioni x – 2y + z – 1 = 0, y + z – 1 = 0 .b) L’equazione del piano
p
’ passante per P(1,2,3) e parallelo al pianop
'' di equazione x – 2y – 3z + 1 = 0;c) La distanza fra i piani
p
' ep
''.5) Classificare la conica di equazione 2xy-x-y+1=0.
Soluzione
Q1) Se V è uno spazio vettoriale su K, dicesi base dello spazio vettoriale ogni sistema linearmente indipendente di generatori di V.
Q2) Fare la dimostrazione sul foglio.
Q3)
a) Base di Im(f): ((1,0,1,1), (1,-1,2,0));
dim Im(f) = 2;
b) Base di Ker(f): non esiste perché Kerf(f) = 0;
dim Ker(f) = 0;
c) f è ingettiva ma non è né surgettiva né bigettiva. Q4) a) Equazione di
p
: 4x - 7y +5z -5 = 0; b) Equazione dip
’ : x – 2y – 3z +12 = 0; c) distanza frap
’ ep
’’: d = 11 14. Q5)Specie della conica: Iperbole;
Soluzione Q1) Vedi dispensa 3 – Spazi vettoriali.
Q2) "v', v''ÎIm( f ) : v'+v''ÎIm( f )
"v'ÎIm( f ),"kÎR: k×v'ÎIm( f )
ì í î
1. "v', v''ÎIm( f ) : v'+v''= f (u')+ f (u'')= f (u'+u'')ÎIm( f ). 2. "kÎR,"v'ÎIm( f ) : k×v'=k×f (u')= f (k×u')ÎIm( f ).
Dunque, Im(f) è un sottospazio vettoriale di V.
Q3) Sia f : R3®R4 '
'"(x, y, z)ÎR3
: f (x, y, z)=(x+y+z,-y+z, x+2y, x+2z) a)
Calcoliamo una base e la dimensione di Im(f).
"u'ÎIm( f ) : u'= f (u)= f (x, y, z)=(x+y+z,-y+z, x+2y, x+2z)=
=(x, 0, x, x)+(y,-y, 2y, 0)+(z, z, 0, 2z)=x(1, 0,1,1)+y(1,-1, 2, 0)+z(1,1, 0, 2)Þ ÞIm( f )=L(u'1, u'2, u'3), dove u’1 = (1,0,1,1), u’2 = (1,-1,2,0), u’3 = (1,1,0,2).
Considerata la matrice avente per colonne u’1 = (1,0,1,1), u’2 = (1,-1,2,0), u’3 = (1,1,0,2)
A= 1 1 1 0 -1 1 1 2 0 1 0 2 æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ , poichè: a12,12= 1 1 0 -1 = -1¹0 a123,123= 1 1 1 0 -1 1 1 2 0 =1-(-1+2)=0 a124,123= 1 1 1 0 -1 1 1 0 2 = -2+1-(-1)=0 risulta:
Vettori L.I. sono u’1 = (1,0,1,1), u’2 = (1,-1,2,0) e di conseguenza:
Una base di Im(f) è
B =
{
u'1, u'2}
Dim Im(f) = 2.b) Calcoliamo una base e la dimensione di Ker(f).
"uÎKer( f ) : f (u)=0Þ(x+y+z,-y+z, x+2y, x+2z)=(0, 0, 0, 0)Þ
x+y+z=0 -y+z=0 x+2y=0 x+2z=0 ì í ïï î ï ï Þ Þ x+y+z=0 z=y x= -2y x= -2z ì í ïï î ï ï Þ z=y x= -2y -2y+y+y=0 ì í ï îï Þ z=y=0 x=0 y=0 ì í ï îï
Þ Ker( f )=
{ }
0 e dim Ker(f) = 0.c) Poiché Ker( f )=
{ }
0 , f è ingettiva e poiché dim Im(f) = 2ÞIm( f )¹R4: la funzione f non è surgettiva, quindi non è bigettiva.
Q4)
a) Il piano
p
appartiene al fascio di piani di equazione x-2y+z-1+k(y+z-1)=0 (1)avente per sostegno la retta r.
Imponendo l’appartenenza di P(1,2,3) al piano
p
, si ha:1-4+3-1+k(2+3-1)=0Þk=1
4. Sostituendo tale valore nell’equazione (1
), si ha:
x-2y+z-1+1
4(y+z-1)=0Þ4x-7y+5z-5=0 b) Poiché p'/ /p''Þa'=a''=1, b'=b''= -2, c'=c''= -3Þ
p
’ ha equazione:c) d(p',p'')=d(P,p'')= 1-4-9+1 1+4+9 = -11 14 = 11 14. Q5) Sia C la conica di equazione 2xy-x-y+1=0.
La matrice associata alla forma quadratica della conica è
A00 = 0 1 1 0 æ è ç ö ø ÷,
la matrice associata alla conica è
A= 0 1 -1 2 1 0 -1 2 -1 2 -1 2 1 æ è ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ . Poiché det(A00)=0-1= -1<0
la conica è un’iperbole e poiché
det(A)=det( 0 1 -1 2 1 0 -1 2 -1 2 -1 2 1 æ è ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ )=0+1 4+ 1 4-(0+0+1)= 1 2-1= -1 2¹0 è non degenere.
