Prodotto scalare e prodotto vettoriale Prodotto scalare: Sia V uno spazio vettoriale reale

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(1)Matteo Moda. Geometria e algebra lineare. Prodotti. Prodotto scalare e prodotto vettoriale Prodotto scalare: Sia V uno spazio vettoriale reale. Una funzione che associa ad ogni coppia di vettori s,w di V un numero reale (s,w) è detta prodotto scalare su V ed ha le seguenti proprietà: 1. Simmetrica: (s,w)=(w,s) 2. Bilineare: 1 + 2, = 1, + 2, . , 1 + 2 = , 1 + , 2. 3. È definita positiva: , ≥ 0 , = 0 ↔ = 0. Uno spazio vettoriale a cui è assegnato un prodotto scalare sarà definito spazio vettoriale metrico Esempi 1. Prodotto scalare canonico su RN x=(x1,….) y=(y1,….) allora: , = ∑ = Verifico le tre proprietà: 1. , = = , = = = , . 2. 1 + 2 = 1 + 2 = 1 + 2 = 1, + 2, . . 3. , = ≥ 0 ⇒ ∀. = 0 ⇒ = 0. . 2. Prodotto scalare in R3 , = ||| | cos % -----> prodotto scalare di vettori geometrici u α v. In particolare se ho due vettori v paralleli avrò come prodotto scalare: , =|. |. cos 0 = |. |. ≥0. Con le componenti cartesiane: , = 12 + 12 + &1&2 Norma: La norma o lunghezza in uno spazio vettoriale metrico è la funzione che associa al vettore vϵV il numero reale non negativo. ‖ ‖ = ( ,. Distanza: è la funzione che associa ai vettori v,w ϵ V il numero reale ) , = ‖ − ‖.

(2) Matteo Moda. Geometria e algebra lineare. Prodotti. Proprietà della norma e della distanza:. 1. ‖ ‖ = ( , = ( , = ||‖ ‖ 2. Per la simmetria/bi linearità del prodotto scalare: ‖ + ‖ = + , + = ‖ ‖ + 2 , + ‖ ‖ + ‖ − ‖ = ‖ ‖ − 2 , + ‖ ‖ ) , → 4 , = ‖ + ‖ − ‖ − ‖ Ortogonalità: I vettori v e w di V si dicono ortogonali se (v,w)=0, cioè se vale il teorema di Pitagora ‖ + ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖ Se w è un vettore non nullo di V, possiamo scomporre ogni vettore vϵV nella somma: = , + − ,. / 01)1 ,ℎ+ − , 134151/6+ , ,1è − , , = , − ,‖ ‖ = 0 ) , , , . = ‖ ‖ Proiezione ortogonale: Il vettore :,9. 839 = ‖9‖; è 6 831+&1/+ 134151/6+ )+6 +4413+. . Teorema (disuguaglianza di Cauchy- Schwarz): Per ogni coppia di vettori v e w, si ha: | , | ≤ ‖ ‖‖ ‖. Vale l’uguaglianza se e solo se w e v sono linearmente dipendenti Corollario: disuguaglianza triangolare : per ogni coppia di vettori v e w vale: ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ Angolo: l’angolo convesso tra due vettori non nulli v e w di uno spazio vettoriale metrico è il numero reale ϑ, compreso tra 0 e π, tale che: cos = = , /‖ ‖‖ ‖ ,1/ − 1 ≤ cos = ≤ 1 Insieme ortonormale: Un insieme di vettori {e1,…,em} di V è un insieme ortonormale se (ei, ej)=0 se i≠j e (ei,ei)=1 per i=1,…,m Un insieme ortonormale è linearmente indipendente Base ortonormale: Un insieme ortonormale di generatori di un sottospazio U di V, è detto base ortonormale di U Teorema di Gram – Schmidt: Se {v1,…,vn} è un insieme linearmente indipendente, esiste un insieme ortonormale {e1,…,em} tale che: ⟨+,…, +A ⟩ = ⟨ ,…, A ⟩ 8+3 15/ C = 1, … , 0 In particolare a partire da una base di V si può costruire una base ortonormale di V. Si chiama modulo o lunghezza del vettore D = 1, 2, 3 , /)1 6 0161 ‖D‖, 6 /0+31: ‖D‖ = F + + G. H6613, )4 )+ +4413 D = 1, 2, 3 , D = 1, 2, 3 ℎ ‖D −D‖ = 1 − 1 + 2 − 2 + 3 − 3 = ‖D‖ + ‖D‖ + 211 + 22 + 33. I D − JJJD,13381/)+ 6 4+3&1 641 ) / 43/5161, K/) 8+3 6 3+516 )+6 ,1+/1 6 1 K)341 è: ‖D − D‖ = ‖D‖ + ‖D‖ − 2‖D‖‖D‖ cos = ,1/ = /5161 43 D + D Il prodotto scalare tra i vettori D = 1, 2, 3 + D = 1, 2, 3 è 56+ : D ∙ D = 11 + 22 + 33 = ‖D‖‖D‖ cos =. x y. ϑ. x-y.

(3) Matteo Moda. Geometria e algebra lineare. Proprietà del prodotto scalare: 1. xy=yx commutativa 2. M + N & = M& + N&. 3. &M + N = M& + N&. Prodotto vettoriale:. 3 3 1 1 2 P + P PQ + P P C = det U1 3 3 1 1 2 1 Proprietà del prodotto vettoriale: 1. MD + ND × &D = MD × &D + ND × &D ,1/ N, M ∈ X 2. D × D = −D × D 3. D × D = 0 + +4413 + 1/1 8366+6 + D × D = 0 4. Identità cicliche: YD × ZD = CJD , ZD × CJD = YD, CJD × YD = ZD 2 D × D = P 2. Prodotti. Q 2 2. C 3V 3. 5. Non è associativo Prodotto misto: X G × X G × X G → X. 1 2 3 × & = ∙ × & = [1 2 3[ = ∙ & × = & ∙ × &1 &2 &3 ∙ × & = − ∙ × & = × ∙ & Teorema: Un parallelogrammo è un rombo se e solo se le diagonali sono ortogonali. Disuguaglianza di Mikowsky: ‖\ + ]‖ ≤ ‖\‖ + ‖]‖ Disuguaglianza triangolare: ‖ − &‖ ≤ ‖ − ‖ + ‖ − &‖ Determinate applicazioni dei prodotti: esempio equazione cartesiana nel piano e di un piano nello spazio.

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