wn} una base di uno spazio vettoriale V e sia {v1

Lezione del 22.03

Questa lezione si riferisce al Cap.4 ”Basi e dimensione”, Par.4.2 ”Il concetto di dimen- sione”.

–1 Dimensione Identificati i vettori diR² con i vettori del piano applicati in un punto fissato O, si pu`o vedere che: un singolo vettore pu`o essere linearmente indipendente ma non pu`o generareR²; due vettori possono essere simultaneamente linearmente indipen- denti e generareR²; tre vettori possono generareR² ma non possono essere linearmente indipendenti.

Abbiamo enunciato e dimostrato in precedenza che ciascun insieme linearmente in- dipendente contenuto in Rⁿ ha al pi`u n vettori [cfr. Lez.V punto 2]. Pi`u in generale, si pu`o provare il

Teorema[cfr. Th.4.2.1 p.78, prima parte] In ciascun spazio vettoriale finitamente generato, il numero di vettori di un qualsiasi insieme linearmente indipendente `e minore o uguale al numero dei vettori in una qualsiasi base. In altri termini: sia{w1, . . . , w_n} una base di uno spazio vettoriale V e sia {v1, . . . , v_m} un sottinsieme linearmente indipendente di V, allora m≤ n.

Questo teorema ha un’immediata importante conseguenza

Proposizione [cfr. Prop.4.2.2] Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori.

Dimostrazione Siano B = {v1, . . . , v_m} e C = {w1, . . . , w_n} due basi di uno spazio vettoriale V. Da una parte, dal fatto che B `e linearmente indipendente e C `e una base di V segue per il teorema di sopra che m≤ n. Dall’altra parte, dal fatto che B `e una base di V e C `e linearmente indipendente segue per il teorema di sopra che m ≥ n.

Dunque m = n.

Dunque si pu`o dare la seguente

Definizione [cfr. Def. 4.2.3] Si dice dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V e si indica con dim(V ) il numero di vettori in una qualsiasi base di V.

Per ciascun intero positivo n fissato, lo spazio vettorialeRⁿha la base canonica{ei| i = 1, . . . , n} dunque Rⁿ ha dimensione n, in simboli dim(Rⁿ) = n.

Per ciascun intero positivo n fissato, lo spazio vettoriale M_m,n(R) delle matrici m × n ha la base canonica {Eij| i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n} dunque Mm,n(R) ha dimensione mn, in simboli dim(M_m,n(R)) = mn.

Esempio Nello spazio vettorialeR⁴ consideriamo il sottospazio W generato dai vettori (1,−1, 0, 0), (1, 0, −1, 0), (1, 0, 0, −1), (0, 1, −1, 0)

Questi vettori sono linearmente dipendenti, in quanto

(0, 1,−1, 0) = −(1, −1, 0, 0) + (1, 0, −1, 0);

1

2

W `e dunque il sottospazio generato dai vettori

W =⟨(1, −1, 0, 0), (1, 0, −1, 0), (1, 0, 0, −1)⟩;

questi vettori son linearmente indipendenti (lo si verifichi), dunque l’insieme di questi vettori `e una base di W e dim(W ) = 3.

Esempio Nello spazio vettoriale R⁴ consideriamo il sottospazio W costituito dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo nelle incognite x, y, z, t

{ x− 2y + 3z − 4t = 0 z− 2t = 0 La soluzione generale del sistema `e data da

(2y− 2t, y, −2t, t) = y(2, 1, 0, 0) + t(−2, 0, −2, 1) (y, t variabili libere);

dunque i vettori (2, 1, 0, 0) e (−2, 0, −2, 1) generano W ; questi vettori sono anche lin- earmente indipendenti, dunque formano una base di W ; si ha dunque dim(W ) = 2.

–2 Insiemi aventi tanti vettori quanti ne ha una base. Identificati i vettori diR² con i vettori del piano applicati in un punto fissato O, abbiamo visto che per due vettori le seguenti condizioni son equivalenti: (1) i due vettori generano R²; (2) i due vettori non stanno su una stessa retta per O; (3) i due vettori sono linearmente indipendenti.

In generale, si ha

Proposizione [cfr. Prop.4.2.6 p.81] Sia A un insieme di n vettori in uno spazio vetto- riale V di dimensione n. Le seguenti condizioni sono equivalenti

(1) A genera V ;

(2) A `e una base di V ;

(3) A `e linearmente indipendente.

Dimostrazione. Per definizione, la (2) implica sia la (1) che la (3). Proviamo che la (1) implica la (2). Supponiamo per assurdo che A generi V ma non sia una base di V ; allora A sarebbe linearmente dipendente, ed A conterrebbe propriamente una base B di V, la quale avrebbe un numero di vettori < n, contro il fatto che la dimensione di V

`e n. Proviamo che la (3) implica la (2). Supponiamo per assurdo che A sia linearmente indipendente ma non sia una base di V ; allora A non genererebbe V, ed A sarebbe contenuto propriamente in una base C di V, la quale avrebbe un numero di vettori

> n, contro il fatto la dimensione di V `e n.

3– Esercizio Per ciascuno dei seguenti sottinsiemi di R³ si stabilisca se `e una base di R³

{(1, 2, 3), (2, 3, 4)}

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 3, 1)}, {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 3, 2)}

{(1, 2, 4), (2, 4, 7), (3, 6, 10), (4, 8, 13)}

Solo i sottinsiemi costituiti da tre vettori possono essere basi di R³ (in quanto R³ ha dimensione 3).

3

Consideriamo l’insieme {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 3, 1)} e ci chiediamo se `e linearmente indipendente. Consideriamo le combinazioni lineari dei tre vettori tali che α(1, 1, 0) + β(0, 1, 1)+γ(2, 3, 1) = (0, 0, 0); questa equazione equivale al sistema





α + 2γ = 0 α + β + 3γ = 0 β + γ = 0 che ha infinite soluzioni (lo si verifichi); dunque esiste qualche combinazione lineare dei tre vettori tale che α(1, 1, 0) + β(0, 1, 1) + γ(2, 3, 1) = (0, 0, 0) con qualche coefficente diverso da 0. L’insieme {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 3, 1)} `e linearmente dipendente. Non `e una base di R³.

Consideriamo l’insieme {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 3, 2)} e ci chiediamo se `e linearmente indipendente. Consideriamo le combinazioni lineari dei tre vettori tali che α(1, 1, 0) + β(0, 1, 1)+γ(2, 3, 2) = (0, 0, 0); questa equazione equivale al sistema





α + 2γ = 0 α + β + 3γ = 0 β + 2γ = 0 che ha solo la soluzione (0, 0, 0) (lo si verifichi); dunque l’unica combinazione lineare dei tre vettori tale che α(1, 1, 0)+β(0, 1, 1)+γ(2, 3, 2) = (0, 0, 0) `e quella con α = β = γ = 0.

L’insieme di 3 vettori {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 3, 2)} `e linearmente indipendente nello spazio vettoriale 3-dimensionale R<sup>3</sup>, dunque per il teorema di sopra `e una base diR³. 4 – Esercizio Per ciascuno dei seguenti sottinsiemi di R³ si costruisca se possibile una base diR³ che sia contenuta in esso oppure lo contenga.

{(1, 2, 0), (2, 1, 0)}, {(10, 14, 18), (15, 21, 27)}, {(1, 2, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 2), (2, 1, 0)}.

L’insieme {(1, 2, 0), (2, 1, 0)} `e linearmente indipendente, dunque `e contenuto in una base diR³. Si pu`o costruire una tale base aggiungendo all’insieme qualche vettore preso dalla base canonica{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. L’insieme {(1, 2, 0), (2, 1, 0), (1, 0, 0)}

non genera R³ (lo si motivi), lo stesso vale per l’insieme {(1, 2, 0), (2, 1, 0), (0, 1, 0)}.

L’insieme {(1, 2, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1)} `e linearmente indipendente (in quanto i primi due vettori sono linearmente indipendenti e il terzo non `e una loro combinazione lin- eare). Questo insieme di 3 vettori linearmente indipendenti nello spazio vettoriale 3-dimensionale R³ `e una base diR³.

L’insieme{(10, 14, 18), (15, 21, 27)} `e linearmente dipendente (lo si verifichi), dunque ogni sottinsieme di R<sup>3</sup> che lo contenga `e linearmente dipendente. Non `e contenuto in alcuna base di R³.

L’insieme {(1, 2, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 2), (2, 1, 0)}. contiene una base di R³ solo solo se generaR³; viceversa, se generaR³ allora contiene una base diR³. Consideriamo dunque le scritture di un qualsiasi vettore (p, q, r) diR³ come combinazione lineare

α(1, 2, 0) + β(1, 0, 2) + γ(0, 1, 2) + δ(2, 1, 0) = (p, q, r);

questa uguaglianza equivale al sistema





α + β + 2δ = p 2α + γ + δ = q 2β + 2γ = r



 1 1 0 2 p 2 0 1 1 q 0 2 2 0 r





4

che equivale al sistema a scala





α + β + 2δ = p

−2β + γ − 3δ = q − 2p 3γ− 3δ = r + q − 2p



 1 1 0 2 p

0 −2 1 −3 q − 2p 0 0 3 −3 r + q − 2p



 ;

per ogni p, q, r questo sistema ha soluzione; dunque ogni vettore (p, q, r) di R³ si pu`o scrivere come combinazione lineare

α(1, 2, 0) + β(1, 0, 2) + γ(0, 1, 2) + δ(2, 1, 0) = (p, q, r),

per opportuni valori di α, β, γ, δ che dipendono da p, q, r. L’insieme {(1, 2, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 2), (2, 1, 0)} genera R³, e dunque contiene una base di R³. Cerchiamo uno dei quattro vettori che sia combinazione lineare degli altri. Consideriamo le combinazioni lineari dei quattro vettori che sono uguali al vettore nullo

α(1, 2, 0) + β(1, 0, 2) + γ(0, 1, 2) + δ(2, 1, 0) = (0, 0, 0);

per quanto visto sopra, questa uguaglianza equivale al sistema





α + β + 2δ = 0

−2β + γ − 3δ = 0 3γ− 3δ = 0

che ha soluzione generale (−δ, δ, δ, δ) = δ(−1, −1, 1, 1) con δ variabile libera; dunque si ha

−(1, 2, 0) − (1, 0, 2) + (0, 1, 2) + (2, 1, 0) = (0, 0, 0).

Da questa relazione segue che ciascuno dei quattro vettori si pu`o ottenere come com- binazine lineare degli altri. Togliendo il quarto vettore, otteniamo l’insieme {(1, 2, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 2)}. Questo insieme di tre vettori genera lo spazio vettoriale 3-dimensionale R<sup>3</sup>, dunque `e una base diR³.

5– Dimensione e sottospazi. Il comportamento della dimensione di spazi vettoriali rispetto alla relazione di inclusione `e dato dalla

Proposizione[cfr. Prop.4.2.4 p.80] Sia W un sottospazio di uno spazio vettoriale finitamente generato V, allora W `e finitamente generato e

(1) dim(W )≤ dim(V );

(2) dim(W ) = dim(V ) implica W = V.

Dimostrazione Proviamo che vale la (1). Ciascuna base B di W in particolare `e un sottinsieme linearmente indipendente di V e dunque `e contenuta in una base C di V ; dunque il numero dei vettori in B `e minore o uguale al numero dei vettori in C. Proviamo che vale la (2). Consideriamo una base B di W ; B `e un sottinsieme linearmente indipendente di V ; se B non generasse V allora B sarebbe contenuta propriamente in una base C di V e si avrebbe dim(W ) < dim(V ), contro l’ipotesi;

dunque B genera V. Segue che W = V.