FACOLTA’ DI INGENGERIA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN
INGEGNERIA DEI VEICOLI
Tesi di Laurea
Ricostruzione del profilo stradale percorso da un veicolo da
competizione a partire dai dati acquisiti in pista
RELATORI CANDIDATO
Prof. Ing. Massimo Guiggiani Università di Pisa Stefano Labianca Ing. Francesco Bucchi Università di PisaIng. Alessandro Moroni Dallara Ing. Ernesto Desiderio Dallara
Anno Accademico 2013/2014
2
Ai miei genitori, che con la loro fiducia mi hanno concesso sempre una seconda possibilità, permettendomi di arrivare a questo traguardo.
4
INDICE
Sommario
1. Analisi del problema 7
1.1 Metodo di risoluzione 8
1.2 Profili e profilometri: la situazione attuale 9
1.2.1 Rod and Level 10
1.2.2 Dipstick 11
1.2.3 Proflilometro inerziale 13
1.2.4 Laserscan e Dallara 14
1.2.5 Metodo di Kowalczyk 17
1.2.6 Superamento limiti attuali 19
1.2.7 Strumenti di elaborazione dati e simulazione 19
1.2.8 Impieghi 20
2. Modello matematico di veicolo 23
2.1. Set di equazioni 25
2.2. Sistema di riferimento 28
2.3. Contributi non lineari 30
2.3.1 Variazione centri di rollio 30 2.3.2 Coefficiente di smorzamento ammortizzatori 37
2.3.3 Bump-stop 38
2.3.4 Motion Ratio 40
3. Modellazione in ambiente Simulink del veicolo 42
3.1. Rapprsentazione globale 43
3.2. Rappresentazione di particolari 46
3.2.1 Rollio 46
3.2.2 Lookup table damper e motion ratio 52
4. Validazione del modello 54
4.1. Frequenza di campionamento e tempo di simulazione 54
4.2. Circuito e pilota 55
4.3. Confronto dati 57
4.4. Limitazioni dovute al filtraggio dei segnali 61
5. Identificazione profilo stradale 64
5.1. Dominio del tempo e dominio della frequenza 65
5.2. ILC: iterative learning control 67
5.2.1 ILC: quarter car mode 68
5.2.2 ILC: modello completo di veicolo 74
5
Sommario
Lo scopo principale di questa tesi è quello della realizzazione di un processo di ricostruzione del profilo stradale percorso da un veicolo, note che siano le caratteristiche tecniche e le acquisizioni di pista della vettura da modellare che, nel caso in esame, è una vettura di Formula Indy.
L’idea di base è quella di considerare il veicolo come una funzione di trasferimento tra determinati input e output. Gli input sono costituiti dai quattro spostamenti del punto di contatto a terra di ciascun pneumatico e dalle tre accelerazioni, longitudinale, laterale e verticale, della massa sospesa; gli output presi come riferimento sono relativi all’escursione di ciascuno dei quattro ammortizzatori associati ad ogni ruota (damper travel). La realizzazione di un accurato modello matematico di veicolo consente di stabilire una relazione tra input e output fedele alla realtà. Successivamente, un controllore montato in retroazione al sistema veicolo consente a quest’ultimo di generare degli output che inseguano dei riferimenti noti, aggiornando con un processo iterativo gli input relativi al profilo stradale, inizialmente sconosciuti, fino al raggiungimento di una soglia minima di errore tra l’output noto e quello proveniente dal sistema.
6
Abstract
The main purpose of the thesis work is the realization of a road profile reconstruction process starting from on track logged data and the knowledge of a certain vehicle specification, in this case related to an IndyCar Formula by Dallara. The basic idea is to consider the vehicle as a transfer function between established input and output. The input are the four displacements of the contact point of the tire and the three accelerations, longitudinal, lateral and vertical of the sprung mass; the output used as reference are the damper travel of each suspension.
Toward the realization of an accurate mathematical vehicle model, is possible to accomplish a realistic relation between input and output. Subsequently, a feedback controller allows the vehicle model to yield output that follow known references, updating the road elevation input, primarily unknown, by an iterative process, until reaching an established error threshold between the real output and the model generated one.
7
1. ANALISI DEL PROBLEMA
Il principale tema di questo lavoro di tesi è quello della realizzazione di un modello matematico di autoveicolo e di un controllore che consentano la ricostruzione del profilo stradale percorso dal veicolo stesso, a partire dalla conoscenza delle acquisizioni di pista della vettura da modellare e delle sue caratteristiche tecniche. Il profilo stradale ottenuto sarà successivamente utilizzato per la creazione di modelli di piste virtuali per il simulatore di guida, oppure implementato nel seven post shaker rig (Figura 1), al fine di simulare il comportamento del veicolo e raggiungere configurazioni ottimali di setting per varie applicazioni, con notevoli vantaggi in termini di tempi e costi; basti pensare, ad esempio, al consumo di pneumatici o al costo legato al trasporto di vetture e strumentazioni sui vari circuiti. Il presente lavoro di tesi riguarda l’identificazione del profilo stradale di circuiti che ospitano gare del campionato di Formula Indy. Attualmente i regolamenti sono diventati sempre più incentrati alla riduzione dei costi, limitando drasticamente i giorni disponibili alle squadre per i test sui vari tracciati. Diventa quindi sempre più difficile trovare, con poco tempo a disposizione, la configurazione ottimale per le sospensioni. Da qui dunque la necessità di arrivare in pista già con un setting preliminare derivante da una prova al simulatore o al seven post rig, strumento costituito da sette attuatori di cui quattro simulano il profilo stradale e altri tre simulano le forze aerodinamiche o i trasferimenti di carico.
8 Figura 1: Seven post shaker rig
Il presente lavoro riguarda lo studio del sistema di controllo che realizza l’algoritmo di identificazione del profilo stradale.
1.1 Metodo di risoluzione
Il profilo stradale da noi ricercato risulta in qualche modo dal moto delle ruote. Il sistema da realizzare dovrà quindi considerare e distinguere l’escursione delle ruote dovuta alle asperità della strada e l’escursione dovuta ai trasferimenti di carico. In questo, vedremo successivamente, ci sarà d’aiuto il filtraggio dei segnali nelle frequenze di interesse.
Bisogna considerare che i dati telemetrici contengono tutte le informazioni sul comportamento della vettura e implicitamente tutti i parametri che la caratterizzano; la modellazione invece è una teorizzazione del comportamento del veicolo che viene modellato matematicamente subendo, inevitabilmente, alcune approssimazioni. Attraverso questa differenza, una corretta modellazione e la
9
conoscenza delle ipotesi fatte, è possibile valutare gli spostamenti delle ruote dovuti alle asperità del terreno, quindi ricostruire il tracciato attraverso un controllore.
1.2 Profili e profilometri: la situazione attuale
Per profilo si intende un “pezzo” bidimensionale di superficie stradale, preso lungo una linea immaginaria (Figura 2). I profili presi lungo una linea laterale mostrano la sopraelevazione e le creste della strada, i profili longitudinali ne mostrano, invece, il grado di progetto, la rugosità e la struttura. Focalizzeremo l’attenzione sui profili longitudinali.
Figura 2: Schematizzazione profilo stradale
Un profilo di una generica superficie può essere misurato lungo varie linee continue immaginarie. Se la misurazione viene ripetuta, ci si aspetta di trovare lo stesso profilo seguendo la stessa linea immaginaria. Quindi è possibile rilevare vari profili per una strada, ciascuno per ogni linea di riferimento. Per un maggiore dettaglio sarà necessario misurare più linee. Per quanto riguarda lo spessore, il grado di precisione dipende fondamentalmente dal tipo di strumento utilizzato.
10
Lo strumento che si usa per rilevare un profilo stradale si chiama profilometro, ed è uno strumento che produce una serie di numeri correlati in una maniera ben definita con il vero profilo. I numeri ottenuti da un profilometro non indicano sempre la reale sopraelevazione della strada, in maniera diretta, ma, il più delle volte, misurano il contenuto di informazioni di quel particolare profilo, utilizzabili per prefissati scopi, che poi saranno riutilizzate nel soddisfacimento di alcune specifiche.
Il profilometro lavora combinando tre elementi:
una quota di riferimento,
un’altezza relativa al riferimento,
la distanza longitudinale.
Questi tre ingredienti vengono combinati in modi differenti in base al tipo di profilometro.
Vediamo i tre tipi più diffusi.
1.2.1 Rod and Level
È uno degli strumenti di rilevamento più famosi e diffusi. L’altezza dello strumento fornisce la quota di riferimento, la lettura che proviene dall’asta fornisce la altezza relativa al riferimento e un nastro di registrazione colloca le singole misure di elevazione.
11 Figura 3: schema descrittivo Rod and Level
Nonostante la diffusione di questo strumento in ambito ingegneristico, i requisiti per ottenere una misurazione del profilo valida in termini di rugosità sono molto diversi rispetto a quelli che riguardano il lay out della strada a livello macroscopico.
1.2.2 Dipstick
Il Dipstick è uno strumento adatto alla misurazione della rugosità, più veloce del Rod and Level e include anche un computer di bordo per la registrazione automatica di dati e l’esecuzione di calcoli per la riproduzione del profilo.
12 Figura 4: schema descrittivo Dipstick
Il dispositivo viene fatto scorrere sulla linea da rilevare. Contiene un inclinometro di precisione che misura la differenza in altezza tra i due supporti, normalmente spaziati di 305 mm. Si utilizza posizionando il dispositivo in modo che tutto il peso sia distribuito, poi si effettua una rotazione di 180° attorno al supporto anteriore. Quindi la quota di riferimento è quella calcolata dal primo appoggio, la quota relativa è calcolata attraverso l’angolo di inclinazione e la distanza longitudinale è calcolata come multiplo del passo dello strumento.
13 1.2.3 Profilometro inerziale
Questo tipo di profilometro appartiene alla categoria dei profilometri dinamici, distinguendosi da quelli di tipo statico visti precedentemente. Le misurazioni che effettua risultano sempre dalla combinazione dei tre ingredienti di quota di riferimento, altezza relativa al riferimento e distanza longitudinale.
Il riferimento inerziale è fornito da un accelerometro. Un algoritmo converte i dati relativi alle misurazioni sull’accelerazione verticale in un riferimento inerziale che definisce l’altezza istantanea dell’accelerometro sul veicolo. L’altezza relativa è data quindi dalla distanza tra l’accelerometro posizionato sul veicolo e il suolo sottostante. Questa distanza non è calcolata con un sensore di contatto ma con un sensore laser. La distanza longitudinale è invece calcolata prendendo come riferimento un sensore di velocità.
Figura 5: schema descrittivo profilometro inerziale
Ovviamente questo dispositivo deve funzionare in movimento, comportando inevitabili limiti legati alle velocità troppo basse o troppo alte. Va detto, in merito ai
14
sensori laser, che attualmente sono sempre più precisi ed affidabili e possono misurare la posizione di punti ad elevata velocità. L'unione di un distanziometro con queste caratteristiche ad un insieme di apparati meccanici di alta precisione ha reso possibile la realizzazione dei sensori laser scanner. La meccanica dello strumento permette di materializzare una direzione di acquisizione mentre il distanziometro laser acquisisce una distanza lungo la direzione stessa. Il risultato dell'acquisizione è un insieme di punti sparsi nello spazio in modo più o meno regolare che comunemente viene chiamata “nuvola di punti”. I laser scanner oggi presenti sul mercato sono molti ed ognuno di essi presenta caratteristiche differenti nel principio di acquisizione, nella precisione ottenibile, nella portata e nella velocità di acquisizione.
1.2.4 Laserscan e Dallara
Un tipico dispositivo laserscan di cui si serve l’azienda Dallara, è del tipo in Figura 7. Anche questo strumento funziona combinando i tre ingredienti dei profilometri visti in precedenza: quota di riferimento, altezza relativa al riferimento, distanza longitudinale. Per farlo abbina al laser scanner vero e proprio , 5 sfere che forniscono un riferimento (Figura 6) e un sensore ottico per il tracciamento automatico (Figura 8).
15 Figura 7: Faro Focus X 30
Figura 8: target ottico
I dispositivi visti fino ad ora hanno tuttavia un limite evidente: l’azienda di riferimento dovrà trasportare lo stesso in ogni territorio di cui si voglia rilevare il profilo.
16
Come accennato precedentemente, questo lavoro tratta del rilevamento di profili stradali di circuiti del campionato di Formula Indy. Questo campionato si svolge su tracciati che si trovano nel continente americano, di qui le difficoltà di costo e organizzazione che riguardano il trasporto e l’uso dei dispositivi nei vari circuiti. A ben vedere, l’uso di dispositivi laserscan fornirebbe la massima precisione, al limite del centimetro, quindi consentirebbe la ricostruzione perfetta del profilo stradale. Di seguito delle immagini relative al circuito di Varano de Melegari, ottenute dai laserscan.
17 Figura 10: particolare ultima curva del tracciato
Il loro limite sta nel costo elevatissimo, che induce l’azienda Dallara a comprare direttamente da enti esterni il circuito scannerizzato. Con il presente lavoro si cerca invece di rilevare diversamente il profilo stradale, che sarà successivamente elaborato per essere tradotto, tramite software CAD, in termini tridimensionali, e successivamente implementato nel simulatore.
1.2.5 Metodo di Kowalczyk
A questo punto presentiamo un altro metodo usato attualmente nel campo dell’automobilismo sportivo che è servito come punto di partenza per il nostro lavoro costituendo una importante fonte di ispirazione. Il concetto alla base di questo metodo, studiato e validato dall’ing. Henri Kowalczyk dell’Auto Research Center di Indianapolis, è quello di usare il veicolo come funzione di trasferimento tra determinati input e output, “stimando” tuttavia questa funzione di trasferimento
18
(che in questi casi è una matrice di trasferimento, trattandosi di sistemi multi input multi output) attraverso il rapporto, nel dominio della frequenza, tra gli output e input. Gli output sono dei dati relativi a rilevamenti noti acquisiti dalle squadre, gli input invece sono relativi al profilo stradale, non noto, e quindi vengono forniti preventivamente sottoforma di rumore bianco e successivamente aggiornati con un processo iterativo.
Quindi il primo step del processo riguarda la stima della matrice di trasferimento del veicolo. Viene fornito un rumore bianco come input, X(f), mentre è noto da acquisizione l’output di un canale,Y(f), che nella maggior parte dei casi è costituito dai damper travel delle sospensioni, dalla forza sui pushrod o dalle accelerazioni dei porta mozzi. A questo punto si calcola la matrice di trasferimento del sistema con la seguente equazione, nel dominio della frequenza:
Siccome questa matrice di trasferimento è composta da numeri, attraverso dei software di calcolo è immediato ricavarne l’inversa e, di conseguenza, calcolare delle prime stime relative al profilo strada, per vari circuiti, con l’equazione:
Queste stime, in teoria, vengono fatte per ogni circuito e H rappresenta il veicolo, Y i dati caricati di volta in volta, rispettando naturalmente la coerenza sul tipo di canale di output il quale deve essere lo stesso per ogni circuito.
Successivamente le stime vengono migliorate con un processo iterativo espresso dalla seguente equazione in cui Ya è la risposta misurata mentre Yd è quella
19
1.2.6 Superamento limiti attuali
Il metodo appena visto risulta molto interessante e le documentazioni a riguardo parlano di buoni risultati e questa è la ragione per la quale è stato un importantissimo, e fondamentale, punto di partenza. Esso, tuttavia, presenta due grosse limitazioni: per prima cosa la matrice di trasferimento, che rappresenta la vettura vera e propria, è frutto di una stima derivante dal rapporto input output e non può essere modificata tenendo conto delle diverse caratteristiche tecniche o del setting dello stesso veicolo su vari circuiti; inoltre, prevede l’ipotesi di linearità del modello grazie alla quale poter effettuare il rapporto, nel dominio della frequenza tra input e output.
Il metodo messo a punto con questa tesi invece supera questi due limiti, e lo fa modellando il veicolo con un modello matematico caratterizzato da parametri da poter settare di volta in volta, operando inoltre nel dominio del tempo e, quindi, permettendo di considerare alcuni effetti di non linearità.
1.2.7 Strumenti di elaborazione dati e simulazione
Il presente lavoro è stato effettuato con il software Simulink. Tutti i dati acquisiti usati per la validazione del modello e del controllore sono stati forniti dall’azienda e si riferiscono al simulatore Dallara. Quindi, quando d’ora in avanti parleremo di dati effettivi, acquisiti, della vettura, ci riferiremo non a delle acquisizioni provenienti da sensori sul veicolo vero e proprio, ma a dei dati relativi al simulatore Dallara il quale,
20
rispecchiando molto fedelmente il comportamento reale, rappresenta un valido riferimento. Questi dati sono stati successivamente importati in ambiente MATLAB e Simulink.
Simulink è un ambiente grafico per la simulazione multidominio e il Model-Based-design. Supporta la progettazione a livello di sistema, la simulazione, la generazione automatica del codice, il testing e la verifica di sistemi embedded.
Simulink offre un editor grafico, librerie di blocchi personalizzabili e solutori per la modellazione e la simulazione di sistemi dinamici. È integrato con MATLAB, consente di incorporare gli algoritmi MATLAB nei modelli e di esportare i risultati delle simulazioni in MATLAB per ulteriori analisi.
1.2.8 Impieghi
Come accennato precedentemente, il profilo stradale rilevato sarà implementato in strumenti di simulazione. Un esempio di utilizzo potrebbe essere quello che lo vede come forzante di eccitazione in un seven post rig (Figura 9),qualora quest’ultimo non avesse già in sé una logica di controllo che permette una ricostruzione sperimentale del profilo (a ben vedere il presente lavoro ricostruisce il profilo stradale con una logica simile al seven post rig reale, ma lo fa con un seven post rig virtuale).
21 Figura 11: Seven Post Rig
Un ulteriore utilizzo del profilo stradale ottenuto è nell’ambito del simulatore Dallara (Figura 10). Sarà usato come riferimento per la generazione di punti per un modello di strada che sarà ricostruita con dei software dedicati con l’ipotesi di avere lo stesso profilo su tutta la larghezza della pista. Questa ipotesi è stata accettata come plausibile dal momento che il veicolo percorre quasi sempre la traiettoria ideale, ed è questa che interessa per la messa a punto della vettura.
In merito al simulatore Dallara è bene precisare alcune delle sue qualità. È uno strumento che offre ad ingegneri, squadre e piloti la possibilità di provare e sviluppare tutto il setup vettura e i sistemi di analisi dati, di ottimizzare la tecnica di guida e di apprendere nuove piste. Consente ad un pilota di guidare esattamente la stessa monoscocca utilizzata in pista, con gli stessi comandi (pedali, freno, cruscotto) e lo stesso livello di feedback (sforzo volante e freno). Il casco è obbligatorio, così come i guanti, le scarpe e la tuta da gara.
22 Figura 12: Simulatore Dallara
L'avanzatissimo sistema di completa simulazione dei circuiti combinato ad un sofisticato modello multi-body, permette di replicare il comportamento dell'auto reale con una precisione senza precedenti. Il pilota ha la possibilità di imparare non solo la velocità con cui deve percorrere una curva, ma come la stessa curva è
realmente; ruvidità del terreno, dossi e cordoli sono interamente modellati. Sono disponibili tutte le vetture e le piste di tutte le categorie in cui è presente la Dallara, dalla Formula 3 alla IndyCar. È possibile modificare qualsiasi parametro nella
configurazione vettura per soddisfare le esigenze del pilota e testare le modifiche in un ambiente controllato. Il modello termico del pneumatico consente la
preparazione di assetti sia per la qualificazione che per la gara, considerando l'usura dei pneumatici, le caratteristiche della pista e le condizioni meteorologiche. Tutte le modifiche possono essere imposte immediatamente tramite la interfaccia utente sviluppata in Dallara. Questa è stata appositamente progettata per garantire facilità d'uso, sicurezza dei dati e velocità di esecuzione[14].
23
Il simulatore consente di analizzare gli stessi canali dati di una vettura reale, con una precisione ancora maggiore vista l'assenza del rumore nel segnale e di errori in fase di taratura strumento. La fedeltà del modello matematico è stato validato
scrupolosamente da piloti professionisti di varie categorie. Inoltre è possibile accedere ad una serie di canali normalmente impossibili da avere su una macchina reale (per esempio le forze sui pneumatici). Questo consente un'analisi più
approfondita e scrupolosa del comportamento del veicolo
2. MODELLO MATEMATICO DI VEICOLO
Lo studio in esame riguarda la dinamica verticale del veicolo, per cui, prima di procedere con la modellazione, è stata effettuata una valutazione in merito al numero di gradi di libertà sufficienti a rappresentarne la dinamica, senza che le eventuali semplificazioni possano alterarne il comportamento rispetto a quello reale.
Il nostro modello ha un numero di gradi di libertà pari a sette, e sono relativi ai seguenti moti:
scuotimento verticale della massa sospesa,
movimento di rollio della massa sospesa,
movimento di beccheggio della massa sospesa,
escursione verticale della massa non sospesa anteriore sinistra,
escursione verticale della massa non sospesa anteriore destra,
escursione verticale della massa non sospesa posteriore sinistra,
escursione verticale della massa non sospesa posteriore destra.
Come è noto, le forze che il veicolo scambia con la strada tramite i pneumatici sono influenzate fortemente sia dalle caratteristiche intrinseche di questi ultimi, sia dalla
24
loro posizione relativa rispetto ad un riferimento, in termini di angoli di deriva e di Camber. La risultante di queste forze in ogni istante, può essere vista come un'unica azione applicata al baricentro del veicolo. Quindi, dalla conoscenza delle accelerazioni laterale e longitudinale relative al baricentro, moltiplicando queste per un opportuno braccio, si può risalire alle accelerazioni relative al rollio e al beccheggio della cassa, svincolandosi dalla necessità di conoscere le forze longitudinali e laterali esercitate dai pneumatici in ogni istante, compito tra l’altro molto arduo data la complessità del pneumatico come oggetto da modellare.
Rimane da considerare, come grado di libertà, il moto verticale dei pneumatici, che è proprio quello che interessa per risalire alla ricostruzione del profilo stradale. Si presenta di seguito un modello matematico costituito da un set di equazioni di equilibrio, di congruenza e costitutive, che evidenzia quelli che sono gli input e gli output considerati nella nostra trattazione (in seguito vedremo il perché di questa scelta), coerentemente con i gradi di libertà del modello e con i canali di acquisizione di cui si disponeva.
Il modello prevede le seguenti ipotesi semplificative:
linearizzazione trigonometrica presente nelle equazioni di congruenza,
modello di pneumatico con un solo punto di contatto a terra,
rigidezza e smorzamento dei pneumatici assunti lineari,
variazioni di passo e carreggiata nulle,
modello a masse concentrate.
Nonostante la presenza di queste semplificazioni, il modello ha fornito risultati molto simili alla realtà, confermandone la validità di assunzione.
Un passo delicato è stato quello di capire, compatibilmente con i gradi di libertà del modello, quali input fossero necessari per determinare la dinamica del veicolo a partire dai sensori disponibili. Gli output, invece, sono stati scelti in base ai canali di acquisizione disponibili e in relazione al progetto del controllore.
25
Come si può osservare in Figura 11, gli input (in verde) sono: le tre accelerazioni verticale, longitudinale e trasversale riferite al baricentro della massa sospesa, e i quattro spostamenti verticali del punto di contatto a terra delle masse non sospese. Gli output (in rosso) di nostro interesse sono: i quattro spostamenti verticali delle masse non sospese.
Figura 13: Schema di modello di veicolo a 7 gradi di libertà
2.1 Set di equazioni
26 EQUAZIONI DI EQUILIBRIO ; ; ; ; ; ; ; EQUAZIONI COSTITUTIVE ; ; ; ; ; ; ; .
27 EQUAZIONI DI CONGRUENZA ; ; ; . In cui: ; ; ; ; ;
forza verticale agente sulla ruota
;
accelerazione verticale massa non sospesa;
; ;
t1/2 carreggiata (anteriore, posteriore);
; ;
; ;
28
Dall’osservazione delle equazioni si notano alcuni aspetti: il veicolo è in posizione di equilibrio appoggiato alle sospensioni, quindi soggetto al proprio peso, per cui la forza peso non compare nelle equazioni di equilibrio; le forze di natura aerodinamica non sono state modellate perché le accelerazioni misurate dall’accelerometro, usate nel modello come input, applicate al baricentro, contengono intrinsecamente tutti i contributi ai moti di cassa, siano essi provenienti dalla strada o dall’aerodinamica.
2.2 Sistema di riferimento
Figura 14: Veicolo da Formula Indy
I dati relativi alle caratteristiche geometriche del veicolo sono stati forniti dall’azienda nel sistema di riferimento usato da quest’ultima per la simulazione di
29
tutti i veicoli (Figura 13). Questo sistema, mostrato in figura, prevede l’origine in prossimità del centro dell’assale anteriore, in rosso in figura. Tutte le grandezze sono state in seguito traslate rispetto a un sistema di riferimento baricentrico in modo da poter essere agevolmente inserite nelle equazioni del nostro modello. Le forze sono considerate applicate al baricentro.
Il veicolo modellato, come detto, è una vettura che partecipa al campionato di Formula Indy. Si riportano nella tabella seguente (Tabella 1) i dati caratteristici di questa vettura.
30 Tabella 1: Caratteristiche veicolo di riferimento
2.3 Contributi non lineari
Al fine di rappresentare nel modo più corretto il comportamento del veicolo soggetto alle sollecitazioni esterne, si è ritenuto opportuno non trascurare alcuni effetti di non linearità, alcuni dovuti alla cinematica delle sospensioni, altri legati alle caratteristiche degli elementi smorzanti. Analizziamo di seguito questi aspetti e consideriamo la modellazione dei vari elementi.
2.3.1 Variazione centri di rollio
Il centro di rollio di una sospensione può essere visto come il centro di istantanea rotazione della cassa rispetto alla strada. L’altezza di questo dal suolo è determinante, in relazione all’altezza del baricentro, nella determinazione del momento di rollio.
Grandezza simbolo Valore Unità di misura
Massa sospesa 673.44 kg
Massa non sospesa anteriore
29.4
Massa non sospesa posteriore 33.7 kg Semipasso anteriore 1.8 m Semipasso posteriore 1.248 m Carreggiata anteriore 1.7 m Carreggiata posteriore 1.58 m
31 Figura 16: schema centro di rollio
La Figura 14 precedente mostra uno schema semplificato relativo ad una sospensione a bracci trasversali. Nelle sospensioni di veicoli da competizione, generalmente di tipo double wishbone, il centro di rollio può avere anche valori negativi, quindi trovarsi al di sotto del suolo stradale.
Figura 17: centro di rollio negativo
Inoltre, la sua posizione non è fissa, e varia durante l’escursione della ruota e quindi durante il moto della sospensione.
32 Figura 18: la forza laterale considerata applicata al baricentro, moltiplicata per la distanza di questo dal centro di rollio (RC), da il momento di rollio.
Nel modello matematico scritto precedentemente si è usato ‘d’ per indicare l’altezza del centro di rollio. Questa scelta è stata fatta per lo più per una questione formale ma, a rigore, sarebbe più corretto scrivere:
con
d=altezza centro di rollio,
hij=posizione masse non sospese.
per esprimere appunto la dipendenza dell’altezza del centro di rollio dallo spostamento verticale della massa non sospesa.
Nei grafici seguenti si riportano questi andamenti, sia per l’anteriore che per il posteriore, i valori sono stati omessi per ragioni di segreto aziendale.
33
I grafici precedenti sono ottenuti, come è evidente, per punti.
Nell’ambito del rollio è stata considerata la presenza delle barre di torsione. Come è noto queste barre costituiscono delle rigidezze in parallelo a quelle della sospensione, ed intervengono solo quando c’è una differenza tra l’escursione della ruota sinistra da quella della ruota destra.
Ce n tr o d i r o lli o [ m m ]
Scuotimento centro ruota [mm]
centro_rollio_front
centro_rollio_front Ce n tr o d i r o lli o [ m m ]scuotimento centro ruota [mm]
centro_rollio_rear
34 Figura 19: schema descrittivo barra antirollio
Figura 20: schema funzionale semplificato barra antirollio
La rigidezza dovuta a queste barre può essere vista sia in termini di rigidezza angolare che in termini di rigidezza lineare equivalente considerata applicata al centro ruota (o, in altri casi, si considera una rigidezza equivalente “a terra”). A partire dai valori, presenti in tabella, relativi alla rigidezza a terra, e considerando la lunghezza b del coltello (il lato corto della barra, quello attaccato al centro ruota),
35 Tab 2 :tabella presa da manal Dallara: la metà superiore rappresenta l’assale anteriore, quella inferiore il posteriore.
è possibile ricavare il valore equivalente di rigidezza al rollio tramite le seguenti relazioni:
considerando (figura ) che:
36
se si considera una rigidezza lineare equivalente applicata al centro ruota , si può scrivere e quindi: dove M = il momento di rollio;
Keq=rigidezza equivalente applicata al centro ruota.
A questo punto si può esprimere la rigidezza al rollio come:
E’ importante non confondere la rigidezza al rollio con la rigidezza torsionale della barra :
dove:
G=modulo di elasticità;
37
Una relazione che lega queste due grandezze e che considera la lunghezza b del coltello è:
t= carreggiata;
b= lunghezza del coltello della barra.
2.3.2 Coefficiente di smorzamento ammortizzatori
Nella messa a punto di una vettura è di fondamentale importanza l’andamento del coefficiente di smorzamento degli ammortizzatori. Molte case tengono nascosto questo parametro perché spesso può fare la differenza sul tempo sul giro. Se si riporta su un grafico l’andamento della forza esercitata da un ammortizzatore in funzione della velocità, si noterà un andamento fortemente non lineare e, tra l’altro, diverso tra l’estensione e la compressione.
Anche in questo caso va precisato che, sebbene nelle equazioni del modello si è indicato con c il valore del coefficiente di smorzamento, sarebbe stato più corretto scrivere:
proprio per sottolineare al dipendenza di questi dalla velocità.
Di seguito gli andamenti relativi alla sospensione anteriore e posteriore, anche in questo caso si riportano solo gli andamenti e non i valori numerici per questioni di segreto aziendale, le caratteristiche sono prive di isteresi, questo è un limite del modello:
38
2.3.3 Bump stop
Nella maggior parte dei casi, le molle presenti nelle sospensioni sono elicoidali e l’andamento della forza con lo spostamento è lineare per un range abbastanza ampio. Oltre un certo valore dell’escursione della ruota, tuttavia, è necessario cambiare l’andamento rendendolo più ripido per ridurre la stessa escursione una
Fo
rza
[N
]
velocità [m/s]
Caratteristica Damper Front
Fo
rza
[N
]
Velocità [m/s]
39
volta terminato l’intervento dei damper, arrivati a fondo corsa. Di seguito gli andamenti delle caratteristiche elastiche relative alle sospensioni anteriore e posteriore:
40 Figura 23: caratt. elastica sospensione posteriore con bump-stop
2.3.4 Motion ratio
Un altro aspetto da considerare riguarda il motion ratio. Il rapporto tra lo schiacciamento della molla (o dell’ammortizzatore nel caso in cui fossero concentrici) e lo spostamento della ruota, durante la sua escursione in direzione prevalentemente verticale, non si mantiene costante a causa della non linearità dovuta alla cinematica della sospensione. Lo schema seguente è illustrativo per la comprensione del fenomeno:
41 Figura 24: schema illustrativo del motion ratio
Il motion ratio è espresso di solito come
ma talvolta si trova espresso come l’inverso del precedente valore quindi è bene fare chiarezza su questo. Nel nostro caso, poiché nei veicoli di Formula Indy questo rapporto si mantiene circa costante, è stato considerato attraverso un opportuno valor medio.
42 Figura 25: sospensioni anteriore Formula Indy
Motion ratio (Δdamper/Δruota) Valore
anteriore 0.994
posteriore 1.298
Tabella 3: valori motion ratio
3. MODELLAZIONE IN AMBIENTE SIMULINK DEL VEICOLO
Solo dopo un attenta modellazione matematica del sistema veicolo, e tenendo bene a mente le ipotesi di partenza, è possibile procedere alla realizzazione di un algoritmo di risoluzione del problema, al fine di confrontare i risultati derivanti da quest’ultimo e relativi a determinati output, con quelli reali corrispondenti agli stessi canali di output. Il software d’ausilio utilizzato è MATLAB-Simulink, caratterizzato da un ambiente grafico per la simulazione multidominio. In esso è possibile eseguire operazioni matematiche, per esempio di integrazione o derivazione di segnali. I blocchi presenti costituiscono delle funzioni di trasferimento tra il segnale di input e di output dal blocco stesso, le linee che collegano i vari blocchi indicano invece la
43
direzione del segnale. Tali funzioni di trasferimento possono essere estremamente semplici o anche molto complesse.
3.1 Rappresentazione globale
Il modello del nostro studio, in ambiente Simulink, si presenta come in Figura 24, seguente:
Figura 26: rappresentazione Simulink globale del modello di veicolo
La figura rappresenta uno schema logico del legame input-output. All’interno c’è lo schema vero e proprio del modello, che, a ben vedere, esegue le stesse operazioni descritte dal modello matematico visto all’inizio.
45
In prima istanza possiamo affermare che la parte in alto a sinistra rappresenta le equazioni relative alla dinamica della cassa, la parte in basso a sinistra la dinamica delle masse non sospese, quella restante esegue delle operazioni di somma e differenza; in realtà, come è ovvio che sia, le tre parti sono collegate e dipendenti l’una dall’altra.
Consideriamo, ad esempio, l’equazione relativa al grado di libertà di rotazione intorno all’asse y del sistema di riferimento veicolo, quindi al beccheggio.
Notiamo in verde l’input relativo all’accelerazione longitudinale.
Osservando lo schema Simulink si nota, in alto a sinistra, che la prima parte del modello rappresenta proprio questa equazione: l’input è l’accelerazione longitudinale che viene moltiplicata per la massa e per il braccio che da il momento a beccheggio, questo contributo viene posi sommato a quelli dovuti alle forze che provengono dalla sospensione, combinate opportunamente. Queste forze provengono dalla parte bassa dello schema, che esegue le equazioni rappresentative della massa non sospesa, combinando quindi le ultime quattro equazioni del modello con le equazioni di congruenza. Dividendo il risultato delle precedenti operazioni per il momento di inerzia Jy, e integrandolo per due volte, si ottiene
l’angolo di beccheggio del veicolo, fondamentale per risolvere le equazioni di congruenza.
Analoghe considerazioni si possono fare in merito agli altri moti, rollio e scuotimento verticale.
46
3.2 Rappresentazione di particolari
La modellazione del veicolo, oltre a rispettare le equazioni che la governano, deve essere in grado di distinguere le cause che generano i singoli effetti. Questo requisito è di fondamentale importanza e consente, a proposito del nostro lavoro, di caratterizzare al meglio il veicolo al fine di poter meglio scindere i contributi della sua dinamica dovuti all’azione della strada da quelli dovuti alle azioni inerziali relativi alle varie manovre.
Di seguito si presenta la logica di modellazione di alcuni punti fondamentali del veicolo.
3.2.1 Rollio
E’ necessario considerare l’escursione della ruota in direzione verticale dovuta alla strada da quella dovuta alle manovre. In termini di rollio questo è molto importante poiché il modello deve poter considerare il fatto che le barre antirollio intervengono solo quando le ruote di un assale hanno una differenza di quota relativa, e quindi, essendo modellate come molle in parallelo, hanno una importante influenza sulla forza scambiata.
47 Figura 27: schema esplicativo modellazione barre antirollio
Consideriamo che in un certo istante l’assale, sia esso quello posteriore o quello anteriore, possa trovarsi in una configurazione diversa rispetto a quella di partenza. Ad esempio, come in Figura 26, a seguito di una frenata e, contestualmente, di un ingresso in curva a sinistra, le ruote risulteranno entrambe “schiacciate” di una certa quantità per effetto della frenata, e questa quantità è proprio:
mentre avranno una posizione relativa pari a:
ed è proprio quest’ultima quota relativa che, moltiplicata per la rigidezza al rollio, fornirà il contributo di forza dovuto alla presenza della barra.
48 Figura 19: schema relazione tra angolo di rollio ed escursione ruota
il veicolo, relativamente all’assale anteriore, “rolla” effettivamente di:
e analogamente per l’assale posteriore:
Di conseguenza, l’equazione relativa al moto di rollio diventa, con le barre:
La rappresentazione Simulink cambia se si considerano le barre. In questo caso il gruppo ruota-sospensione non è più modellabile come singolo sottosistema poiché,
49
per ciascun assale, è necessario considerare nello stesso sottosistema entrambe le escursioni verticali delle due ruote. In Figura 28 lo schema relativo al sottosistema “assale anteriore”: gli input sono le posizioni e le velocità di rollio, beccheggio, e scuotimento verticale, più lo spostamento del punto di contatto a terra del pneumatico. Sulla destra si può osservare il collegamento della posizione del centro ruota sinistro con quello destro, e viceversa, per il soddisfacimento della equazione:
Sempre nell’ambito di rollio, vediamo ora come è stata ricavata la posizione del centro di rollio in funzione della posizione del centro ruota. Consideriamo la Figura 27, seguente:
50 Figura 28: sottosistema assale anteriore
Il momento di rollio sarà dato da:
51
ay=accelerazione laterale applicata al baricentro;
h=altezza rispetto a terra del baricentro;
d1,2=altezza rispetto a terra dei centri di rollio anteriore e posteriore.
L’equazione precedente, a seguito delle opportune semplificazioni, diventa:
che esprime il fatto che l’accelerazione laterale si divide tra l’assale anteriore e posteriore e che il contributo al rollio è modellabile attraverso il contributo dato dalla media della quota dei centri di rollio.
In Simulink questa operazione è stata implementata tramite un sottosistema rappresentato nella seguente figura:
Figura 29: sottosistema Simulink variazione centri di rollio
Come si nota dallo schema, la definizione dell’altezza del centro di rollio anteriore (posteriore), è ottenuta inserendo come input nella lookup table relativa, solo la quota di una delle due ruote. Le Z in figura sono relative ai centri ruota. Questo è dovuto al fatto che mentre la quota da moltiplicare per la rigidezza al rollio è solo
52
quella relativa alla differenza tra le altezze dei centri ruota esterno e interno alla curva, perché la barra antirollio interviene solo quando c’è una differenza tra le due, per la definizione stessa della altezza del centro di rollio, da un punto di vista cinematico, è necessario contemplare anche la quota parte di escursione della ruota relativa che sentono in egual modo entrambe le ruote, in formule, rispettivamente per l’assale anteriore e posteriore:
Quindi, l’ipotesi alla base di questa modellazione è quella che prevede che assegnata la posizione di una delle due ruote di un assale sia univocamente determinato il centro di rollio di quello stesso assale, essendo le sospensioni a ruote indipendenti, uguali tra loro, e la posizione delle ruote simmetrica rispetto al rollio. Nel caso in cui non ci fosse rollio ma un escursione uguale tra la ruota destra e sinistra, la quota di una delle due ruote definirebbe comunque un centro di rollio, stando alle equazioni precedenti, ma, poiché il veicolo non sta rollando, l’accelerazione laterale è nulla, quindi l’effetto scompare.
3.2.2 Lookup table damper e motion ratio
Per contemplare il già visto effetto di non linearità dovuto alla variazione del coefficiente di smorzamento dell’ammortizzatore al variare della velocità dello stesso, è stata anche in questo caso inserita una lookup table nel modello.
53
Il sottosistema in cui si trova è quello relativo alla massa non sospesa, quindi quello che modella la ruota e la sospensione di ciascun corner. In figura di seguito (Figura 30) la parte di schema relativo, nel nodo sommatore entrano i contributi dovuti all’equazione di congruenza (per esempio della ruota anteriore sinistra):
Figura 30: schema Simulink per la caratteristica del damper.
Questa parte di schema esegue l’equazione:
Si nota anche la presenza del motion ratio, assunto costante per i motivi visti precedentemente.
54
4. VALIDAZIONE MODELLO
4.1 Frequenza di campionamento e tempo di simulazione
Ultimata la fase di modellazione del veicolo, disponendo di vari canali di acquisizione dello stesso, si è proceduto con il confronto dei dati provenienti dal nostro modello con quelli acquisiti dai sensori (nel nostro caso, come detto nel Capitolo 1, i dati che consideriamo reali, acquisiti, sono quelli provenienti dal simulatore Dallara).
Tali dati sono stati acquisiti ad una frequenza di 100 Hz.
La simulazione in Simulink è stata effettuata con un metodo di integrazione a passo fisso, pari a 0.001. Questa scelta deriva da un compromesso tra tempo di simulazione (che aumenta al diminuire del passo di interazione), precisione dei risultati (maggiore con piccoli step di integrazione) ed errori numerici. Si poteva utilizzare anche una logica di integrazione a passo variabile, ma si è preferito sceglierne una a passo fisso nell’ottica di poter associare ad ogni campione acquisito una “posizione” del veicolo sul circuito, e per avvicinarci alle condizioni di utilizzo real time del simulatore Dallara.
La fase di modellazione del veicolo è stata affrontata tenendo a mente due fattori determinanti:
il numero di gradi di libertà scelti preliminarmente attraverso alcune ipotesi;
gli input e gli output necessari per il progetto del controllore. Gli input forniti al nostro sistema, con l’obiettivo sulla validazione, sono:
i 4 spostamenti dei punti di contatto a terra tra pneumatico e suolo stradale;
55
Si ricordi che l’obiettivo di questo lavoro di tesi è quello di ricostruire il profilo stradale attraverso la conoscenza delle caratteristiche del veicolo che lo percorre e di alcuni canali di acquisizione usati come riferimento. Tuttavia, al fine della validazione del modello, è necessario disporre a priori di tutte le caratteristiche riguardanti sia il veicolo sia il circuito in questione, così da rendere utile il confronto, e questa è la ragione per cui si fornisce come input al veicolo proprio lo spostamento del punto di contatto che rappresenta la strada. La fase di modellazione è molto delicata proprio perché, in seguito, un controllore sarà montato in retroazione al sistema, quindi qualsiasi errore presente nel sistema si ripercuoterà irreversibilmente anche a seguito della retroazione.
4.2 Circuito e pilota
Il circuito utilizzato come riferimento per questo lavoro è quello di Houston, in Texas, USA (figura ).
56
Questo circuito ospita il campionato IndyCar Series dal 2013, si estende per una lunghezza di 2.630 km e, come mostrato in figura, presenta 10 curve, di cui 7 a sinistra e 3 a destra. La scelta è ricaduta proprio su questo circuito perché è caratterizzato da un elevata rumorosità stradale, e ha consentito di vedere in maniera più evidente l’influenza della strada sul veicolo.
Le acquisizioni utilizzate in questo lavoro sono quelle relative al pilota Ryan Hunter Reay del team Andretti Autosport, Dallara
57
4.3 Confronto dati
Procedendo quindi con il confronto dei dati, sempre in fase di validazione del modello, si riportano di seguito i grafici rappresentativi dell’andamento temporale dei damper travel, acquisiti, in blu, e ottenuti con il modello, in verde, relativi a ciascuna delle masse non sospese. Gli input del modello sono quindi i road elevation, di cui si disponeva.
In ascissa è presente il tempo di simulazione, 58.34 secondi. In ordinata il damper travel nell’unità di misura del sistema internazionale (m).
Damper travel anteriore sinistro:
58
59
Ingrandimento particolare
60
Ingrandimento particolare:
61
Ingrandimento particolare:
4.4 Limitazioni dovute al filtraggio dei segnali
Per completezza di trattazione va precisato che il risultato mostrato precedentemente si riferisce a dati ottenuti fornendo, come input al sistema, segnali non soggetti a operazioni di integrazione o derivazione.
Nella realtà i segnali acquisiti dai sensori non sono segnali “puri”, ma sono soggetti a limitazioni di vario tipo quali il rumore, drift dovuto al surriscaldamento del sensore, taratura del sistema di riferimento.
Nel nostro modello di veicolo, ricordiamo, è necessario risalire alle posizioni e alle velocità relative ai tre moti concessi alla massa sospesa (rollio, beccheggio, scuotimento verticale) per l’espletamento del set di equazioni di equilibrio, congruenza e costitutive. Per far questo si integrano i segnali relativi alle
62
accelerazioni di questi moti per ottenere con una o due integrazioni, rispettivamente la velocità e la posizione del canale di riferimento.
L’operazione di integrazione, oltre a richiedere la conoscenza di opportune condizioni iniziali, spesso introduce rumore ulteriore. L’effetto che provoca è quindi molto spesso una distorsione del segnale.
La Figura 33 ,seguente, mostra ad esempio, quello che succederebbe al segnale relativo all’accelerazione verticale della massa sospesa, se fosse integrato una e due volte per ottenere rispettivamente la velocità e la posizione verticale.
Figura 33: integrazione di segnali in Simulink
Si nota che il segnale diventa soggetto ad una cosiddetta “deriva”, condizionando, di conseguenza, tutta la dinamica del modello.
63
Sarà necessario, a questo punto, “trattare” il segnale al fine di rendere possibile questa operazione, e valutare che tipo di informazioni si perdono dopo questo trattamento.
Dall’osservazione della figura precedente si nota che il segnale di velocità, ottenuto dalla prima integrazione dell’accelerazione, è caratterizzato da una portante costituita da una retta inclinata. È stato riscontrato che filtrando il segnale di accelerazione, eliminando la componente continua che rappresenta il valor medio del segnale, si ottiene un di velocità molto più simile rispetto a quello noto dall’acquisizione (la fonte di provenienza è il simulatore Dallara).
Di seguito il confronto tra velocità ottenuta con questa soluzione (in blu) e quella acquisita (in rosso):
Limitazioni analoghe si hanno per quanto riguarda la seconda integrazione, al fine di ottenere lo spostamento dalla velocità, superate sempre con degli opportuni filtraggi.
64
Superato il problema fondamentale della deriva del segnale, che porta alla divergenza nel tempo del valore, rimane comunque da valutare l’influenza di questa modifica in termini di differenza rispetto al valore noto. Osservando la figura precedente si può intuire che tutte le differenze tra il segnale “vero” (rosso) e quello dovuto all’integrazione (blu), si ripercuoteranno inevitabilmente su tutto il modello, influenzandone negativamente la dinamica. Purtroppo, tutti gli errori presenti sul modello, saranno la causa di altri errori durante il processo di ricostruzione del profilo stradale; limitare gli errori in fase di modellazione è quindi fondamentale per una corretta ricostruzione del profilo.
Lo scopo del presente lavoro riguarda, a ben vedere, il rilevamento della rugosità stradale, che sarà successivamente implementata negli strumenti di simulazione. Quindi le macro ondulazioni del manto della pista non sono di grande interesse e, tra l’altro, sarebbero già disponibili perché note attraverso altri rilevamenti. La banda di frequenze che interessa per il nostro scopo è quella che va dai 2-3 Hz, ai 25 Hz (ovviamente i confini in termini di frequenza non sono ben definiti). Le frequenze al di sotto del limite inferiore (di circa 2-3 Hz), sono rappresentative dei moti di cassa, quindi rollio beccheggio e scuotimento; quelle al di sopra del limite superiore sono associate prevalentemente al rumore. Attraverso opportuni filtraggi è quindi possibile considerare solo la banda di frequenze di interesse.
5. IDENTIFICAZIONE PROFILO STRADALE
Terminata la fase di modellazione del veicolo, si presenta quella che forse è stata la sfida più grande di questo lavoro di tesi: cercare una logica di controllo che riesca a ricostruire il profilo stradale, imponendo a specifici output del modello di veicolo di inseguire delle traiettorie di riferimento prestabilite.
65
Per raggiungere questo obiettivo si è pensato inizialmente di partire da un modello semplice di veicolo, il noto quarter car model, un modello cioè costituito da una massa sospesa e una non sospesa a due gradi di libertà, con molle e smorzatori lineari. Il comportamento dinamico di questo sistema semplice è ormai noto e presente in tanta lettura sull’argomento, quindi si è pensato che raggiungendo l’obiettivo su un modello semplice, si sarebbe aperta la strada per un implementazione su modelli più complicati.
Nel Capitolo 1 si è presentata, tra le varie alternative, una delle attuali procedure di ricostruzione del profilo stradale attraverso un metodo proposto da Henri Kowalczyk del dipartimento ARC Indianapolis-Reynard Motorsport. Questo metodo è di natura prevalentemente sperimentale, meno teorico e, tra l’altro, ha il vincolo di assumere come lineare il comportamento degli organi caratterizzanti il veicolo.
In questo lavoro di tesi è stato messo a punto un controllore in grado di operare anche in condizioni di non linearità.
È stata, in definitiva, molto importante la scelta di partire da modelli estremamente semplici, è proseguire di volta in volta migliorandone l’accuratezza.
5.1 Dominio del tempo e dominio della frequenza
La caratterizzazione del modello è molto importante per la realizzazione del controllo. Il modello può essere visto come un sistema (per esempio un blocchetto in una rappresentazione grafica-logica), in cui entrano degli input ed escono degli output. La sua determinazione può essere fatta in due domini: quello della frequenza e quello del tempo. Nel primo caso si potrà rappresentare con una funzione di trasferimento, nella variabile complessa s di Laplace, data dal rapporto tra l’uscita e l’ingresso nella suddetta variabile. Nel nostro caso si tratta di una matrice di trasferimento, essendo un sistema MIMO, i cui elementi sono le funzioni
66
di trasferimento tra ogni input e output presi singolarmente. Nel secondo caso invece si usa un tipo di rappresentazione detta spazio di stato secondo la quale è possibile ricondurre un sistema di equazioni differenziali di ordine n, a un sistema di
n equazioni del primo ordine (sotto determinate ipotesi). Questo tipo di
rappresentazione ha alcuni vantaggi legati alla semplicità di analisi specialmente nei sistemi MIMO, vantaggi ad esempio nel determinare la stabilità del sistema, dall’analisi degli autovalori della matrice dinamica, o nel fatto che è una rappresentazione completa del sistema e non rischia di perdere informazioni su di esso ad esempio a causa della eventuale cancellazione tra poli e zeri come può avvenire nel caso della rappresentazione nel dominio della frequenza. Una rappresentazione del tipo spazio di stato è però valida per sistemi lineari o linea rizzati nell’intorno di una configurazione di equilibrio.
In merito al presente lavoro, una rappresentazione nel dominio della frequenza consentirebbe, nota la matrice di trasferimento del sistema H, di ricavare gli input X direttamente attraverso la seguente relazione:
Dove Y sono gli output, noti da telemetria.
Inoltre permetterebbe, attraverso l’analisi nel luogo delle radici, di vedere l’influenza di un parametro, ad esempio il coefficiente di smorzamento della sospensione, sul comportamento del sistema, o meglio sul comportamento di ciascun sottosistema costituito da ciascun input e output, dal momento che il luogo delle radici è tracciabile solo su sistemi SISO (single input-single output).
Tuttavia, un’analisi di questo tipo funzionerebbe solo nell’ipotesi di linearità del sistema considerato. L’autoveicolo è un sistema, invece, fortemente non lineare, basti pensare all’andamento della forza in funzione della velocità negli ammortizzatori e, ancor più, al comportamento dei pneumatici. È dunque
67
necessario, o quantomeno preferibile, trovare una logica di controllo che operi nel dominio del tempo e riesca a tenere in conto gli effetti di non linearità.
5.2 ILC: iterative learning control
Dato un output desiderato in un intervallo finito di tempo [0,T], e un appropriato input come condizione iniziale, una formulazione di learning
control può essere data nel tipo PID-type (esistono anche altre formulazioni),
ovvero:
Questo significa che dato un output desiderato con t che appartiene all’intervallo [0,T], l’input al passo (k+1) è composto dall’input al passo k, , più un contributo dovuto all’azione del PID sull’errore al passo k, , con output misurato quando eccita il sistema al passo k. In molti casi è sufficiente un controllo anche solo di tipo P (proporzionale), o al più PI (la presenza di un integratore garantirebbe l’errore a regime nullo). In genere per sistemi lineari l’esperienza suggerisce l’uso di un controllo di tipo PI, per sistemi non lineari invece, di tipo PD.
La Figura 34 mostra uno schema logico di iterative learning control, che potrebbe essere implementato su Simulink, e rende meglio il concetto espresso dalla formula precedente.
68 Figura 34: Iterative Learning Control
5.2.1 ILC quarter car model
La logica iterative learning control è stata applicata ad un modello semplice: massa molla smorzatore.
69
Questo modello è stato implementato in Simulink, eccitato da una forzante rappresentata dalla strada e registrando l’output relativo all’escursione del damper. Successivamente si è ipotizzato di non conoscere la strada, che prima eccitava il sistema, e si è cercato di determinare quell’input che avrebbe generato l’output registrato.
Il modello è quello di Figura 35, in cui si notano gli input sulla sinistra sommati attraverso un nodo sommatore per generare input più articolati.
Figura 35: quarter car model Simulink
Le prove sono state effettuate registrando la risposta del sistema ad uno step, come quello di seguito:
70
oppure ad un segnale composto, rappresentato di seguito:
Sono stati quindi registrati degli output, relativi all’escursione del damper, come quelli in figure seguenti, rispettivamente:
71
A questo punto si è proceduto con la logica iterative learning control, supponendo di non conoscere la forzante della strada e assegnandole un valore pari a zero nella prima iterazione, di seguito lo schema Simulink:
72
E lo script MATLAB che realizza la logica iterativa attraverso un ciclo for:
% esecuzione iterativa di simulink
model = 'MODELLO_massa_molla_smorzatore.mdl'; open_system(model);
%% set initial input variables u_0.time = 0:0.01:10;
u_0.signals.values = zeros(length(u_0.time),1); % u_0.signals.values = CONDIZIONI INIZIALI DATE % importdata per usare xls
u_0.signals.dimensions = 1; u_0.blockName = '';
u_n_piu1 = u_0; u_buffer = u_0;
% for un certo numero di iterazioni
for i=1:10
% metti u_n_piu1 (uscita della simulazione) in u_n (ingresso della % simulazione)
u_n = u_n_piu1; % simula
sim(model);
% salva uscita in un vettore di strutture (per tenerne memoria) u_buffer(end+1) = u_n_piu1;
% plot dell'uscita ogni 2 iterazioni if mod(i,2)==0
figure;
plot(u_n_piu1.signals.values); end
end
Alla fine del processo iterativo si confronta l’input “generato”(quindi la strada), con quello fornito inizialmente al fine di registrare l’andamento del damper travel.
73
Si possono fare subito due considerazioni importanti a riguardo:
il settaggio di un opportuno guadagno fa si che il valore ottenuto sia uguale, o approssimi al meglio, quello reale;
l’input generato risente, inevitabilmente, della dinamica del sistema smorzato, presentando quindi anch’esso delle oscillazioni in luogo di variazioni nette come quelle presenti in modo evidente nel caso di input a gradino.
74
Tenendo a mente queste osservazioni si è continuato considerando un modello più complesso, a sette gradi di libertà, che contempla anche alcuni organi non lineari.
5.2.2 ILC modello completo di veicolo
La procedura vista fino ad ora è stata applicata a modelli sempre più ricchi di particolari, dal numero di gradi di libertà agli elementi non lineari.
Si riporta nel presente paragrafo direttamente il modello finale di controllore per il nostro sistema veicolo. Qui gli output di confronto, i damper travel, sono segnali telemetrici che derivano dalle acquisizioni. Tuttavia, per la validazione del controllore, anche in questo caso essi sono stati inizialmente registrati a partire dal profilo stradale noto fornito come input. Si omette la rappresentazione grafica di questo passaggio e si illustra di seguito lo schema Simulink del controllore montato in retroazione al modello di veicolo e il confronto dei segnali relativi al profilo stradale “generato” con quelli noti.
76
A sinistra, in verde chiaro, si notano gli input: i primi tre sono relativi alle accelerazioni dei moti di cassa e, nel blocchetto chiamato u_n, i quattro input, inizialmente nulli, relativi al profilo stradale. A destra invece, in blu, si vedono i quattro riferimenti dei damper travel acquisiti.
Lo script che realizza la logica iterativa è il seguente:
% esecuzione iterativa di simulink
model = 'CONTROLLORE_MODELLO_COMPLETO.mdl'; %model = 'CONTROLLORE_MODELLO_FILTRI.mdl'; open_system(model);
%% set initial input variables u_0.time = 0:0.01:58.33;
u_0.signals.values = ones(5834,1)*[-0.0079 -0.0082 -0.0012 0.0022]; % u_0.signals.values = CONDIZIONI INIZIALI DATE
% importdata per usare xls u_0.signals.dimensions = 4; u_0.blockName = '';
u_n_piu1 = u_0; u_buffer = u_0;
% for un certo numero di iterazioni
for i=1:2
% metti u_n_piu1 (uscita della simulazione) in u_n (ingresso della % simulazione)
u_n = u_n_piu1; % simula
sim(model);
% salva uscita in un vettore di strutture (per tenerne memoria) u_buffer(end+1) = u_n_piu1;
% plot dell'uscita ogni 2 iterazioni %if mod(i,2)==0
figure;
plot(u_n_piu1.signals.values); %end
end
Sono sufficienti due iterazioni per avere risultati soddisfacenti. Troppe iterazioni andrebbero a peggiorare il segnale che, derivando da segnali reali, risulta notevolmente “disturbato”.
Al termine delle iterazioni si valuta inizialmente l’output generato dal modello con quello noto. Il guadagno,scelto opportunamente, allinea i due segnali affinché
77
l’errore tra i due non abbia un contributo costante. In figura l’andamento, il segnale viola è quello reale, quello giallo è l’output che al termine delle iterazioni si è allineato, tramite l’azione del controllore, al riferimento (la figura relativa al damper della sospensione anteriore sinistra):
Infine, si presentano di seguito i risultati ottenuti. In blu si riporta il profilo stradale reale, in rosso quello ottenuto tramite il controllore.
78
PROFILO STRADALE RUOTA ANTERIORE SINISTRA
E un ingrandimento su un particolare tratto:
79
Ingrandimento su un particolare tratto:
