Lezione 1 - Relativit`
a ristretta
Unit`
a 1.3 Dinamica relativistica
Luca Salasnich
Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova
L’energia relativistica di Einstein (I)
Secondo la dinamica relativistica di Einstein, l’energia E di una particella di massa m e quantit`a di moto p = |p| `e data da
E =pm2c4+ p2c2. (1)
Da questo risultato segue che, se la particella ha quantit`a di moto nulla, cio`e p = 0, allora dalla Eq. (1) si ricava
E = mc2, (2)
che `e la cosiddetta energia di riposo della particella.
Se invece la particella ha massa nulla, cio`e m = 0, dalla Eq. (1) si ottiene
E = c p , (3)
che `e la cosiddetta energia di una particella a massa nulla. Vedremo che questa energia verr`a identificata con l’energia delle particelle di luce, i fotoni.
L’energia relativistica di Einstein (II)
In generale, per una particella con p 6= 0 e m 6= 0, l’Eq. (1) si pu`o riscrivere come E = mc2 r 1 + p 2 m2c2 . (4)
Si pu`o espandere1 la radice quadrata della Eq. (4) ottenendo E = mc2+ p
2
2m − p4
8m3c2+ ... . (5)
Ci`o mostra che l’energia E `e data dalla somma di due contributi: l’energia a riposo mc2e l’energia cinetica relativistica
Ek =
p2
2m − p4
8m3c2 + ... (6)
che si riduce alla energia cinetica non relativistica p2/(2m) se p mc.
La quantit`
a di moto relativistica (I)
-Secondo la dinamica relativistica di Einstein la quantit`a di moto p = |p| di una particella di massa m che si muove con velocit`a v `e data da
p = qmv 1 − vc22
. (7)
Si vede subito che se v c questa equazione si riduce alla familiare espressione non relativistica
p = mv . (8)
D’altra parte, se la particella si muove alla velocit`a della luce, cioe v = c, ne segue che
p = mv
0 . (9)
Questa espressione `e matematicamente mal definita, a meno che non si assuma che la massa m sia nulla. In questo caso
p = 0
0 (10)
Le particelle a massa nulla e i fotoni (I)
Abbiamo visto precedentemente, che nel caso di una particella di massa nulla (m = 0), la sua energia E `e legata alla sua quantit`a di moto p dalla formula
E = c p , (11)
dove p = |p|. Quindi, se la quantit`a di moto p di una particella di massa nulla (che deve avere velocit`a pari alla velocit`a della luce) `e
indeterminata, ne segue che anche la sua energia E `e indeterminata. Nonostante questo, le due grandezze indeterminate sono legate tra di loro dalla Eq. (11).
Le particelle a massa nulla e i fotoni (II)
Si ritiene che le particelle elementari che costituiscono la luce, i cosiddetti fotoni, siano particelle a massa nulla. Vedremo che, nell’ambito della meccanica quantistica, per i fotoni vale la relazione
E = h ν (12)
dove h = 6.63 · 10−34 Js `e la costante di Planck e ν `e la frequenza del singolo fotone di luce. Dalla Eq. (11) ne segue che
p = E c = hν c = h λ, (13)
dove λ = c/ν `e la lunghezza d’onda del singolo fotone di luce. Per concludere la lezione, sottolineiamo che tutte le previsioni della meccanica relativistica sono state confermate dagli esperimenti.
