7. “OTTIMIZZAZIONE” DELLA “STACKING SEQUENCE” PER CARICO CRITICO TRASVERSO E RIGIDEZZA ASSIALE

(1)

7. “OTTIMIZZAZIONE” DELLA “STACKING SEQUENCE” PER

CARICO CRITICO TRASVERSO E RIGIDEZZA ASSIALE

Quello che è stato fatto non va inteso come ottimizzazione nel senso formale del termine, ossia non sono stati definiti dei parametri indipendenti da cui dipende il progetto e da questi una funzione, di cui si vuole trovare il massimo o il minimo con uno scopo prefissato.

Il fine dell’analisi che è stata effettuata è quello di ottimizzare appunto la sequenza di impilamento per massimizzare il carico critico traverso e minimizzare la freccia, lasciando inalterate la geometria, i materiali e i parametri del “layer” in genere. L’ “ottimizzazione”, se così la si può chiamare, è stata strutturata in questo modo:

2. Analisi a “buckling” non-lineare e analisi statica non-lineare. Per ognuna delle “stackling sequence” definite, si è effettuata un’analisi a “buckling” non-lineare e un’analisi statica non-lineare, estrapolando dalla prima carico e freccia critici, e dalla seconda i tre indici di resistenza sul “layer” più critico. I valori risultanti dalle 10 analisi sono stati inseriti in altrettante tabelle riassuntive (appendice 10.1) costruite con la stessa struttura della (Tab.6.3) utilizzata nel paragrafo 6.3.

3. Matrici di rigidezza del laminato. A questo punto si sono costruite le matrici di rigidezza del laminato Ω secondo la teoria classica della laminazione per i 10 casi analizzati (appendice 10.2). E’ stato possibile mediante dei programmi realizzati in MATHCAD del tutto simili a quelli utilizzati nel paragrafo 3.2.

4. Confronto costruttivo. Infine si è fatto un attento confronto fra le singole matrici e i rispettivi risultati ottenuti dall’analisi agli elementi finiti, in modo da riuscire a capire quali termini condizionano il “buckling” e la rigidezza e quali no e come agire sulla sequenza di impilamento per massimizzare i termini influenti e minimizzare quelli di scarsa importanza.

Dunque, pensando al lavoro svolto, si è consapevoli che il termine ottimizzazione non è molto adatto, e che sarebbe meglio parlare di analisi critica retroattiva in quanto si cerca di capire a

(2)

posteriori quali siano le cause che rendono migliore una sequenza di stratificazione rispetto ad un’altra per un determinato scopo.

I primi tre punti riprendono concetti che sono già stati affrontati con cura nei capitoli precedenti e quindi non necessitano di ulteriori precisazioni. Preme invece approfondire il punto 4, spiegando a fondo le motivazioni che hanno indotto ad una scelta e le argomentazioni trovate per giustificarla. Si è detto che il fine di questa analisi è riuscire a trovare una “stacking sequence” che garantisca, a parità di tutti gli altri parametri, il carico critico trasverso più alto e la freccia più bassa.

Qualora si dovesse solamente minimizzare la freccia, la soluzione ottimale sarebbe banale. Si pensi all’elemento tubolare incastrato come ad una trave a mensola. La formula, derivante dall’integrale di Mohr in cui viene trascurato l’effetto deformativo del taglio, che bene approssima l’andamento della freccia f è la seguente:

J E L P f ⋅ ⋅ ⋅ = 3 3 (7.1)

Dove P è il carico sull’estremità libera, L la lunghezza, E il modulo di rigidezza e J il momento di inerzia della sezione. A parità di carico e di geometria l’unico termine influente è E perchè aumentandolo la freccia diminuisce. Tale termine, nel modello bidimensionale stratificato e per come si è definito il sistema di riferimento (x nel piano medio dello spessore e parallelo all’asse di rivoluzione dei pali, y ortogonale a x ma sempre definito nel piano medio e z uscente dal piano), corrisponde a (1=x, 2=y e 3=z). Bisogna prestare attenzione in quanto i due termini non sono uguali, difatti non hanno nemmeno la medesima unità di misura. Come è possibile osservare nelle matrici di rigidezza del laminato Ω riportate in appendice 10.2, la sequenza di stratificazione con il più alto è il tipo10, ossia quella con tutti i “layers” orientati a 0°. A tale risultato si poteva anche semplicemente arrivare senza la costruzione di tutte le matrici, ma solo considerando che una lamina unidirezionale ha una rigidezza in direzione fibre nettamente superiore a quelle nelle altre direzioni, è quindi logico ottenere la massima rigidezza assiale allineando tutte le lamine all’asse della “trave”.

11 A

Però, come è facile notare osservando le tabelle riportate in appendice 9.2, la sequenza di stratificazione tipo10 con tutte le lamine orientate a 0° fornisce carichi critici traversi più bassi dal 20% al 30% rispetto alla “stacking sequence” tipo4, con lamina più esterna e più interna orientate a 90° e quelle comprese tutte disposte a 0°, che invece garantisce i risultati migliori tra quelli ottenuti. Si osservino attentamente le rispettive matrici di rigidezza. Prima di tutto, tutti i casi trattati hanno una disposizione simmetrica delle lamine, ciò comporta l’annullamento della matrice di accoppiamento , i cui termini hanno effetti deleteri sulle caratteristiche di resistenza e rigidezza del laminato. Sia per il tipo 4 che per quello 10, il fatto di avere le lamine orientate o parallele e/o

(3)

ortogonali al sistema di riferimento del laminato implica l’annullamento di altri termini , ,

, e dei rispettivi termini simmetrici , , , . Difatti i valori ad essi

corrispondenti sono non nulli negli “angle-ply” esaminati (tipo3, tipo6 e tipo7). Avendo questi ultimi caratteristiche di rigidezza e di “buckling” trasverso decisamente inferiori (fino al 55%) rispetto ai laminati con “plies” orientati a 0° o a 90°, si deduce che i termini sopraindicati sono inutili ai fini di questa ottimizzazione e che quindi l’ottimo deve, per forza di cose, essere formato solo da lamine orientate o a 0° o a 90°. Dall’analisi delle matrici dei laminati con solo questa orientazione delle lamine (tipo1, tipo2, tipo4, tipo5, tipo8 e tipo9) si nota che i termini , ,

, , e sono uguali tra loro, mentre negli “angle-ply” assumono valori differenti. Ciò significa che tali termini dipendono dall’orientazione dei “layers”, ma non dalla loro sequenza di stratificazione. Tra le “stacking sequences” con “layers” orientati a 0° o a 90° e quindi con stessi

valori dei termini , , , , e , la sequenza di impilamento tipo4 fornisce un

carico critico leggermente superiore rispetto al tipo1, tipo2 e tipo9 (dall’1% al 13%), ma molto superiori rispetto al tipo5 e tipo8 (dall’25% al 33%); si può concludere che quindi tali termini non hanno alcuna influenza sul carico critico. Questa conclusione è rafforzata dal fatto che gli “angle-plies” hanno valori di questi termini maggiori. Dall’esclusione dei termini ininfluenti per il carico critico trasverso sono rimasti , , , . La rigidezza assiale si è visto che dipende quasi esclusivamente da . Verrebbe spontaneo pensare di massimizzare i termini sopra menzionati, ma non è possibile farlo liberamente in quanto ci sono delle restrizioni. Dato che le tracce delle matrici A e D sono indipendenti dalla sequenza di stratificazione e dall’orientazione dei lamine e che, come si è già detto, i termini e sono indipendenti dalla sequenza di stratificazione, ne deriva che, per una prefissata orientazione delle lamine (ad esempio 0° e 90°), le somme dei termini

+ e + rimangono costanti. Ciò significa che se cerco di aumentarne uno, l’altro

diminuisce e viceversa. Per vedere quale rapporto fra questi termini è ottimale, si è confrontato la “stacking sequence” tipo1 e tipo8. Sono entrambi formati da sei lamine orientate a 0° e da quattro orientate a 90°. Si nota subito che hanno la stessa matrice di rigidezza estensionale A e che invece hanno matrici di rigidezza flessionale diverse. Questo risultato non deve sorprendere, era aspettato, in quanto deriva dalla stessa definizione delle due matrici. Infatti A è indipendente dalla distanza tra il piano di posizionamento del “layer” e il piano medio dove giace il sistema di riferimento del laminato, mentre D dipende dal quadrato di questa distanza. Si capisce dunque che avere lo stesso numero di layer con la stessa orientazione ha come conseguenza avere la stessa matrice di rigidezza estensionale e la medesima freccia se sottoposte allo stesso carico traverso, ma che avere una sequenza di stratificazione diversa comporta matrici di rigidezza flessionale diverse. Ritornando al

13 A A23 13 D D₂₃ A₃₁ A₃₂ D₃₁ D₃₂ 12 A A₂₁ 33 A D₁₂ D₂₁ D₃₃ 12 A A₂₁ A₃₃ D₁₂ D₂₁ D₃₃ 11 A A₂₂ D₁₁ D₂₂ 11 A 33 A D₃₃ 11 A A₂₂ D₁₁ D₂₂

(4)

confronto tra il tipo1 e il tipo8 si nota che, pur avendo la stessa matrice A e la medesima somma + , il tipo1 fornisce valori del carico critico traverso superiori dal 20% al 30% rispetto al tipo8. Differendo per solo i primi due termini della diagonale della matrice di rigidezza flessionale ed essendo costante la loro somma, la causa del maggiore o del minore carico critico deriva da un miglior o peggior rapporto tra queste due grandezze. Il tipo8 ha un molto grande e un molto piccolo, il tipo1 ha un sempre più grande rispetto al ma con il primo più piccolo e il secondo più grande rispetto al tipo8, e il tipo4 che fornisce il maggior carico critico, ha il quasi uguale al . La spiegazione fisica di questo fenomeno potrebbe stare nel fatto che, se si ha un alto, si favorisce il nascere della deformata locale in direzione circonferenziale, mentre se si ha un alto, in direzione assiale; la loro uguaglianza garantisce l’ottimo in quanto la struttura trova parimenti difficoltà a deformarsi in entrambe le direzioni.

11 D D₂₂ 11 D D₂₂ 11 D D₂₂ 11 D 22 D 11 D 22 D

Riassumendo, per ottenere una elevata rigidezza e un elevato carico critico occorre avere un molto alto, e valori di e di alti, ma molto vicini fra loro.

11

A D₁₁ D₂₂

Per ottenere questo risultato bisogna quindi:

• Creare laminati simmetrici per annullare la matrice di accoppiamento.

• Usare solo lamine orientate a 0° o a 90° in quanto gli altri angoli inseriscono termini non necessari nelle matrici di rigidezza e abbassano il valore di quelli utili.

• Mettere il più alto numero di lamine a 0° per ottenere un alto A₁₁ e D₁₁.

• Inserire il minor numero di lamine orientate a 90° per cercare di uguagliare a , ricordando che per accrescere il suo valore è necessario aumentare la distanza di posizionamento dal piano medio.

22

D D₁₁

Casualmente con il numero impiegato di lamine (10), la tipologia 4 risulta essere l’ottimo, perché si sono impiegate tutte lamine orientate a 0° e il minor numero possibile di lamine orientate a 90° (2 sono sempre necessarie per rendere il laminato simmetrico) per rendere i valori di e di più vicini possibile. In più questa tipologia risulta essere la migliore perché, oltre a fornire il carico critico trasverso più alto e una freccia tra le più basse, subisce la “first failure” in corrispondenza del momento in cui instabilizza, cioè la resistenza e l’instabilità sono critiche in ugual misura. Questo fenomeno è dimostrato dal fatto che gli indici di resistenza sono circa uguali a 1 nel momento in cui instabilizza. Il fenomeno di cui si è parlato riguarda il carbonio, perché il vetro, essendo più deformabile, è soggetto a tensioni più basse. Altre sequenze di impilamento che oltre ad avere valori più bassi del carico critico traverso, possiedono anche indici di “failure” superiori a 1, avrebbero in realtà “buckling loads” ancora più bassi perché, come è già stato detto, le fratture locali condizionano sicuramente la stabilità anche se ANSYS non ne tiene conto.

11 D 22