(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)
Scritto d’esame di Analisi Matematica I
Universit`
a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia
Pisa, 12 giugno 2014
La valutazione terr`a conto sia della correttezza che della completezza delle argomentazioni esposte a sostegno del risultato riportato.
Il solo risultato numerico otterr`a punteggio nullo.
I punteggi riportati sono indicativi. Il voto finale della parte scritta terr`a conto anche del risultato del test.
Tempo a disposizione: 180 minuti
Esercizio 1
Sia
f (x) = 1
log(cos x) +√1 + x2 .
(i) Si discuta il comportamento del limite
lim
x→0+(f (x))
1/xα
al variare di α > 0. 5pt
(ii) Si determini il comportamento della serie
∞
X
n=1
f (2πn). 3pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 2
(i) Si determini il massimo numero di soluzioni dell’equazione x3+ x2+ 3 cos(x) = λ
al variare di λ ∈ R. 5pt
(ii) Si determini per quali valori del parametro β la funzione f (x) = x3+ x2+ β cos(x) `
e iniettiva. 3pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 3
Si risolva il seguente problema di Cauchy u0 1 + t2 = sin u u(0) = π 2
e si studi la soluzione disegnandone un grafico approssimativo. 8pt
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 4
Si consideri la funzione
f (x) = x2log(1 + x2) .
(i) Si determini una primitiva di f (x). 3pt (ii) Si discuta il comportamento (convergente/divergente/indeterminato)
dell’in-tegrale improprio Z +∞ 0 f (xα) x4 dx al variare di α > 0. 5pt Pagina 7 di 8
