Soluzione 2000-11-08 Termodinamica 2000-11-08 Gruppo A
1A)
La trasformazione AB è isoterma a temperatura T0 : il lavoro si può calcolare come R
R V R
T V R n dV p
A
B 2. .300.( ln2) ... 415,88. 416. ln
. .
. 0
**L'unità di misura del risultato numerico dipende anche dall'Unità di misura scelta per R . Se per R si assume il valore espresso in Unità SI , allora il risultato sarà espresso in Joule
2A)
La definizione di rendimento è SommaQuantità algebricadicaloredeilavoriassorbitacompiuti
Essendo in un ciclo U 0 al numeratore si può sostituire
L
QSCAMBIATENella adiabatica Q=0 ; resta pertanto
Q QAB QBCMa QAB LAB ... 416.R (isoterma)
R R
T T nC L
U
QBC BC BC v C B .300.(2 1) ... 528,66. 2
.3 2 0 )
( 3
2
21 , 0 2135 , . 0
529 . 416 .
529
R
R
R
3A)
La variazione di entropia dell'Universo è la somma algebrica delle variazioni di entropia (calcolate per ogni trasformazione) del Sistema e di quella del Resto dell'Universo.
Ma questa somma è nulla (nella singola trasformazione) quando si riferisce a trasformazioni Reversibili. Resta quindi solo il contributo della trasformazione BC irreversibile
RU BC Sist
BC
Universo S S
S ( ) ( )
R R T
S Q
C BC RU
BC 1,11.
476 . ) 529
(
(variazione di Entropia del termostato che cede QBC a
temperatura TC ) .
R R
V R nR V T nC T S
B C B
C V SIST
BC .ln2 0 2. .ln2 1,39.
2 .3 2 ln
ln )
( 3
2
In definitiva: SU ... (1,391,11)R 0,28.R
**L'unità di misura del risultato numerico dipende anche dall'Unità di misura scelta per R . Se per R si assume il valore espresso in Unità SI , allora il risultato sarà espresso in Joule/K
3A bis) Allo stesso risultato si può giungere anche con la seguente considerazione :
La variazione di Entropia dell'Universo è uguale alla Somma algebrica della Variazione di Entropia del Sistema + quella del Resto dell'Universo. Ma in un ciclo la variazione di Entropia del Sistema è
=0 . Resta quindi SUNIV SRU. Si devono ora considerare i tre contributi dati alla variazione di Entropia dalle tre trasformazioni:
lungo la trasf. CA (adiabatica) la SRU 0;
lungo la trasf. AB (isoterma e reversibile) è R R
T S Q
S
A AB SIST
RU 1,39.
300 416
lungo la trasf. BC (irreversibile) il termostato cede la quantità di calore QBC alla temperatura
(costante) TC ; quindi R R
T S Q
C BC BC
RU 1,11.
476 . ) 529
(
Allora SU (1,391,11).R 0,276.R come già trovato prima.
Gruppo B
Si consiglia di leggere anche le spiegazioni relative al problema A) . 1B)
Per il 1° principio, il lavoro compiuto dal sistema lungo la trasformazione CA adiabatica si scrive:
R R
T T nC U
Q
LCA CA CA V A C . .300.(1 2 ) 328,5. 2
.5 2 ) .(
0 7
2
2B)
ASSORBIO CEDUTO
Q
Q |
1|
Ma QASS QBC UBC LBC nCV TC TB R R 300.(2 1) 100.R 428.R 2
. 5 2 . 100 )
( 7
2
E R R
V T V nR L
Q Q
A B A AB
AB
CEDUTO . ln 2.300 .(ln2) 416. cioè la quantità di calore che viene ceduta (e da ciò il segno negativo) dal Sistema all'Ambiente (RU) lunga la trasformazione AB (isoterma), quantità di calore uguale al Lavoro compiuto dal Sistema lungo la stessa trasformazione AB (nell'isoterma è U 0) . Quindi:
R
R 428 1 416
0,028=2,8%
** Attenzione: è errato porre QBC nCpT : la trasformazione è irreversibile; lungo essa la pressione non è definita; si può solo affermare che p ha lo stesso valore all'inizio e alla fine; PERO' VALE SEMPRE IL PRIMO PRINCIPIO !!!
3B)
La variazione di entropia dell'Universo è la somma algebrica delle variazioni di entropia (calcolate per ogni trasformazione) del Sistema e di quella del Resto dell'Universo.
Ma questa somma è nulla (nella singola trasformazione) quando si riferisce a trasformazioni Reversibili. Resta quindi solo il contributo della trasformazione BC irreversibile
RU BC Sist
BC
Universo S S
S ( ) ( )
R R T
S Q
C BC RU
BC 1,17.
366 . ) 428
(
(variazione di Entropia del termostato che cede QBC a
temperatura TC ) .
R R
p R nR p T nC T S
B C B
C P SIST
BC .ln2 0 2. .ln2 1,386.
2 .7 2 ln
ln )
( 7
2
In definitiva: SU ...(1,3861,17)R 0,21.R 3B bis)
Allo stesso risultato si può giungere anche con la seguente considerazione :
La variazione di Entropia dell'Universo è uguale alla Somma algebrica della Variazione di Entropia del Sistema + quella del Resto dell'Universo.
Ma in un ciclo la variazione di Entropia del Sistema è =0 . Resta quindi SUNIV SRU. Si devono ora considerare i tre contributi dati alla variazione di Entropia dalle tre trasformazioni:
lungo la trasf. CA (adiabatica) la SRU 0;
lungo la trasf. AB (isoterma e reversibile) è R R
T S Q
S
A AB SIST
RU 1,38.
300 416
lungo la trasf. BC (irreversibile) il termostato cede la quantità di calore QBC alla temperatura
(costante) TC ; quindi S TQ R R
C BC BC
RU 1,17.
366 . ) 428
(
Allora SU (1,381,17).R 0,21.R come già calcolato sopra.
COMMENTO:
Per il calcolo del Lavoro o delle Quantità di calore scambiate, non si può far ricorso a trasformazioni alternative: L e Q non sono funzioni di stato e quindi dipendono dalla trasformazione; cambiando questa, il risultato non ha più alcun riferimento con la trasformazione di partenza. L'unica considerazione valida è l'applicazione dei Principi (il Primo ed eventualmente il Secondo).
Errori molto frequenti sono quelli relativi al calcolo della variazione di Entropia.
Se si segue il ragionamento tipo 3 Bis) ricordare che i contributi del Sistema sono già utilizzati (ponendo SSIST 0 per l'intero ciclo). Occorre mettere in conto solo i contributi attribuibili al Resto dell'Universo (RU) . Questi ultimi però sono ricavabili dai contributi del Sistema (cambiati di segno) soltanto per le trasformazioni Reversibili . Per le trasformazioni IRREVERSIBILI occorre procedere di volta in volta, osservando ciò che fa proprio il RU.
Se invece si segue il ragionamento tipo 3) ricordare che nella trasformazione BC il Sistema è a contatto con un termostato e quindi RU è proprio questo termostato.
La Variaz. di Entropia del Sistema deve essere calcolata su una trasf. reversibile fra gli stessi stati iniziale e finale; ma la variazione di Entropia del RU deve essere calcolata per una trasformazione che riguarda RU (cioè il termostato): non ha senso invocare trasformazioni di fantasia (Isobare, Isocore o altre) che possono semmai riguardare solo il Sistema. Il termostato compie un solo tipo di trasformazione: scambia calore mantenendo costante la sua temperatura!!! Quindi, in questo caso, per RU è sempre
TERMOSTATO
RU T
S
dQ .
Gruppo C 1C)
J V
V p
LCD D( D C) 2.(510) 10
Lavoro negativo: si compie Lavoro dall'esterno sul Sistema.
2C)
Non è necessario calcolare esplicitamente le Temperature; esse possono essere ricavate dalla Equazione di stato come:
nR T pV nRT
pV e sostituite.
Quindi (ciascuna Q col suo segno):
) 2 (
) 5 2 (
3
) 2 (
) 5 2 (
3 1 ) ...
( )
(
) (
) 1 (
A B B D
A A
C D C B
C C A
B p D
A V
C D p B
C V ASS
CED ASS
V V p p
p V
V V p p
p V T
T nC T
T nC
T T nC T
T nC Q
Q Q
% 105 19
1 85 )
5 .(
6 . 5 ) 4 .(
5 . 3
) 5 .(
2 . 5 ) 4 .(
10 . 1 3
...
3C)
La variazione di Entropia dell'Universo è SU SSIST SRU
Ma SSIST 0 (è un ciclo) ; resta da calcolare SRU.
Lungo le isobare reversibili la (SRU)ISOBARA (SSIST)ISOBARA
Lungo le isocore irreversibili ,SRU va calcolata analizzando ciò che avviene: un termostato scambia calore a T costante . Quindi abbiamo:
A D A C
B C V C
D A
B P RU
U T
T T T
T nC T
T T T
nC T S
S ( ) ( )
ln ln
Ma la prima parentesi è =0 (perché i rapporti fra temperature che vi figurano sono l'uno l'inverso dell'altro e quindi i logaritmi sono uguali in valore assoluto ma di segno opposto)
Nella seconda parentesi i segni meno derivano dal fatto che le quantità di calore scambiate dal termostato sono opposte a quelle scambiate dal sistema nelle stesse trasformazioni.
Alla fine resta:
R R
T R T T
nC T S
A D C
B V
U 4
3 1 1 3 3 1
1 1 2 3
23 1
1
