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Le funzioni
1. Definizione di funzione
Una coppia ordinata di oggetti è un insieme costituito da due oggetti {a; b} individuato, oltre che dagli oggetti in questione, dalla loro disposizione ordinata, vale a dire che {a; b} è differente da {b; a}. Ad esempio sono coppie ordinate {1; 4} , {3.11; a} ,{Mario; Alberto} e così via.
Con il termine funzione f si intende un insieme di coppie ordinate di oggetti, e precisamente: Definizione rigorosa di funzione:
Si definisce funzione f un insieme di coppie ordinate di oggetti (x; y) in cui non ve ne siano mai due con lo stesso primo membro
L’insieme di tutti i valori x che compaiono al primo membro delle coppie ordinate ( ; )x y di una funzione f è detto dominio di f , mentre l’insieme di tutti i valori che compaiono a secondo membro di tali coppie è detto codominio di f. Per una funzione ad ogni valore di x nel dominio corrisponde quindi un solo valore di
y nel codominio e quindi si scrive solitamente:
C
D
f
:
→
dove con D si è indicato il dominio di f e con C il suo codominio. Alla grandezza x si dà il nome di variabile
indipendente mentre alla y quello di variabile dipendente.
Sono quindi funzioni ad esempio i seguenti insiemi di coppie ordinate:
Mentre non è una funzione l’insieme di coppie ordinate:
La funzione è quindi una sorta di regola che, senza alcuna ambiguità, noto un valore della x, fornisce un modo per trovare un valore della y corrispondente ad esso, detto anche immagine di x. Nell’ultimo esempio si vede immediatamente che non è possibile capire quale immagine sia associata al valore x =1 né al valore x =4, e quindi si tratta di una relazione che contiene un certo grado di ambiguità.
{
1;2}
{
4; 3}
{
1; 2}
{
4; 5}
{
3; 3}
{
1;2}
{
4; 3}
f1 :{
−1; 2}
{
−8; 5}
{
3; 3}
{
}
: 1; 4; 1; 8; 3 D − −{
}
: 2; 3; 2; 5 C{
1;5}
{
2; 6}
f2 :{
3; 5}
{
4; 6}
{
5;5}
{
}
: 1;2; 3; 4; 5 D{
}
: 5; 6 C8
In questo senso una seconda possibile definizione di funzione è:Definizione operativa di funzione: Una funzione sono tre cose:
1) Un insieme di partenza A 2) Un insieme di arrivo B
3) Una legge che associ ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B Più precisamente:
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice funzione di A in B una legge che associ ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B :f A→B
Questa seconda definizione, che è quella più largamente adottata nei testi scolastici, ci soddisfa un po’ meno poiché il termine legge di cui essa fa uso è in qualche modo sinonimo di funzione, e quindi in realtà non definisce molto, si limita a fare appello all’intuizione, assumendo il concetto di funzione come primitivo. Quindi, per non cadere in definizioni circolari, penseremo ad una funzione come semplicemente ad una tabella di valori, oppure se si tratta di una funzione di variabile reale che produce numeri reali, al suo grafico. Il codominio C della funzione è in questo caso l’insieme degli elementi di B che sono immagine di almeno un
elemento di A, cioè C ⊆B.
Come si è detto le coppie ( ; )x y possono essere qualsiasi cosa, ma noi ci limiteremo allo studio delle funzioni in cui x ed y sono dei numeri reali. Chiameremo l’oggetto del nostro studio funzioni reali di variabile reale: dire funzione reale significa dire che y ∈ ℝ mentre dire variabile reale significa che x ∈ ℝ . L’insieme delle coppie ordinate che costituiscono una funzione reale di variabile reale può essere rappresentato sul piano cartesiano dando luogo a quello che viene detto il grafico della funzione. Assegnare una funzione dando l’insieme di tutte le coppie che la costituiscono non è fattibile poiché trattandosi di numeri reali in generale avremo a che fare con un’infinità di coppie. Molte delle funzioni reali di variabile reale possono però essere espresse in modo sintetico attraverso una relazione fra il numero reale x ed il numero reale y , relazione di natura geometrica, od anche algebrica. Si pensi alle funzioni che già conosciamo: la funzione seno, ad esempio, associa attraverso un procedimento geometrico ad un numero reale x , che rappresenta in questo caso la misura della lunghezza di un arco, un numero reale y pari alla misura dell’ordinata del punto individuato da quell’arco sul cerchio goniometrico. Noto il procedimento non è necessario specificare le infinite coppie di valori ma più sinteticamente scriviamo y=sinx. Ogni volta che associamo ad una funzione una scrittura sintetica sotto forma di equazione, del tipo:
( )
y=f x
stiamo in realtà intendendo sinteticamente una serie di istruzioni che a partire da un valore della x ci consentano di ricavare un valore della y . Si tratta soprattutto di procedimenti di natura geometrica: x ed y sono misure di lunghezze legate da qualche specifico procedimento.
In questo modo risulta costituito una sorta di alfabeto delle funzioni, dette funzioni elementari:
A
B
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1. le potenze intere: y=x ; y=x2; y=x3 etc2. la funzione valore assoluto: y=| |x
3. le radici ennesime: y= x ; y=3x etc
4. le funzioni goniometriche: y=sinx; y =cosx ; y =tanx; y=cotanx
5. le funzioni goniometriche inverse: y=arcsinx; y=arccosx; y =arctanx
6. le funzioni esponenziali e logaritmiche: y=logax; y=ax
Attraverso di esse possiamo ottenere una grande varietà di funzioni reali di variabile reale: si tratta semplicemente di combinarle tramite le operazioni algebriche o facendo agire le funzioni elementari successivamente. Chiaramente questo procedimento non esaurisce tutte le funzioni reali di variabile reale, anzi vi sono alcune funzioni delle quali è espressamente noto che non possono essere espresse tramite una equazione che coinvolga combinazioni di funzioni elementari; però costituisce una piattaforma dalla quale partire.
Da ultimo si faccia attenzione al fatto che una funzione associa a ciascuno degli elementi del dominio un solo elemento dell’insieme di arrivo. Osservando l’esempio a destra si vede che c’è un punto nell’insieme di partenza associato a due punti nell’insieme di arrivo, e quindi non si tratta di una funzione.
Per un motivo analogo non sono funzioni i grafici completi di circonferenze, ellissi ed iperboli (eccetto le funzioni omografiche), né lo sono i grafici di parabole con asse orizzontale. Possono però esserlo delle loro porzioni.
