1 Limite di una funzione reale di variabile reale (ver- sione 0.7)

(1)

1 Limite di una funzione reale di variabile reale (ver- sione 0.7)

1.1 Limite di una funzione razionale fratta

Assegnati p (x) e q (x) polinomi di grado m e n rispettivamente:

p (x) = Xm

k=0

akx^k = a0+ a1x + a2x² + ... + amx^m (1)

q (x) = Xn

k=0

bkx^k = b0+ b1x + b2x² + ... + bnxⁿ,

consideriamo la funzione:

f (x) = p (x)

q (x) (2)

Se x0`e un punto di accumulazione (al finito o all’infinito) per la funzione f (x), `e interessante determinare il comportamento della funzione in un intorno di x₀. A tale scopo calcoliamo il limite:

λ = lim

x→x0

f (x) , (3)

che pu`o presentarsi nella forma indeterminata ⁰₀ (se |x0| < +∞), ^∞_∞ (se |x0| = +∞).

Precisamente, se x₀ `e uno zero di p (x) e q (x), allora la (3) d`a luogo a 0/0.

• Forma indeterminata ⁰₀

Si decompongono p (x) e q (x) in modo da ridurre il loro rapporto ai minimi termini.

• Forma indeterminata ^∞_∞

L’indeterminazione pu`o essere rimossa mettendo in evidenza sia a numeratore che a denominatore, la potenza di x di esponente massimo.

Esempi (forma indeterminata ⁰₀). Calcolare i seguenti limiti:

1. lim

x→2

x²−3x+2 x²+x−6

2. lim

x→−2

x²−x−6 x³+5x²+8x+4

3. lim

x→2

x⁴−8x²+16 x³−8

4. lim

x→2

x³−3x²+4 x³−2x²−4x+8

(2)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y

x

Figura 1: Grafico di f (x) = ^x_x²2^−3x+2+x−6.

Soluzioni.

N. 1

Sostituendo per continuit`a, si ottiene la forma inderminata 0/0. Decomponiamo numeratore e denominatore:

limx→2

x²− 3x + 2

x²+ x− 6 = lim

x→2

(x− 2) (x − 1) (x− 2) (x + 3) = 1

5 (4)

Il comportamento `e visibile in figura 1.

N. 2

Procedendo come sopra:

xlim→−2

x²− x − 6

x³+ 5x²+ 8x + 4 = lim

x→−2

(x + 2) (x− 3)

(x + 1) (x + 2)² =±∞ (5) Il segno del limite `e:

x→−2lim⁻

x²− x − 6

x³+ 5x² + 8x + 4 =−∞

x→−2lim⁺

x²− x − 6

x³+ 5x² + 8x + 4 = +∞, come possiamo vedere dalla figura 2.

N. 3 Si ottiene:

xlim→2

x⁴− 8x²+ 16

x³− 8 = lim

x→2

(x− 2) (x + 2)²

x² − 2x + 4 = 0 (6)

(3)

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6

y

x

Figura 2: Grafico di f (x) = _x3+5x^x²^−x−6²+8x+4.

N. 4 Si ottiene:

xlim→2

x³− 3x²+ 4

x³− 2x²− 4x + 8 = lim

x→2

x + 1 x + 2 = 3

4 (7)

***

Esempi (forma inderminata ^∞_∞)

Per ipotesi p (x) e q (x) sono polinomi di grado m e n rispettivamente (eq. 1). La forma indeterminata ^∞_∞ si presenta per |x| → +∞.

|x|→+∞lim p (x) q (x)

= lim

|x|→+∞





 x^m⁻ⁿ

Xm k=0

a_kx^k^−m Xn

k=0

bkx^k⁻ⁿ







= x^m−na_m bn

, cio`e:

(4)

|x|→+∞lim p (x)

q (x) =±∞, se m > n (8)

|x|→+∞lim p (x)

q (x) = 0, se m < n

|x|→+∞lim p (x) q (x) = am

bn

, se m = n

1. lim

x→∞

3x³+4x²+x−1 x⁴

2. lim

x→∞

4x⁵+7x⁴+1 2x⁵+7

3. lim

x→∞

x³+1 x−1

Soluzioni N.1

xlim→∞

3 x + 4

x² + 1 x³ − 1

x³

= 0 (9)

In maniera simile, i rimanenti due:

x→∞lim

4x⁵ + 7x⁴+ 1

2x⁵+ 7 = 2 (10)

x→∞lim x³+ 1

x− 1 =±∞

1.1.1 Esercizi proposti (con soluzione) 1. lim

x→3

2x²−3x−9 3x²−10x+4

2. lim

x→−1 x²−1 x²+3x+2

3. lim

x→2 x²−2x x²−4x+4

4. lim

x→1

x³−3x+2 x⁴−4x+3

5. lim

x→a

x²−(a+1)x+a x³−a³

6. lim

h→0

(x+h)³−x³ h

7. lim

x→1 1

1−x − ₁_−x³³ 8. lim

x→+∞

x²−x+1 x

(5)

9. lim

x→∞

3x²+x−2 4x²+x−1

10. lim

x→∞

x³+3 x²−1

11. lim

x→∞

x−2 x²+x+2

12. lim

x→∞

(x+1)² x²+1

13. lim

x→∞

10000x x²−10000

14. lim

x→∞

x²−5x+1 3x+7

15. lim

x→∞

2x²−x+3 x³−8x+5

16. lim

x→∞

(2x+3)³(3x−2)² x⁵+5

1.1.2 Soluzioni N. 1

x→3lim

2x²−3x−9

3x²−10x+4 = ⁰₀ = lim

x→3

(x−2)(x+2)

(x−2)(x−1) = ⁴₁ = 4 N. 2

x→−1lim

x²−1

x²+3x+2 = ⁰₀ = lim

x→−1 x−1 x+2 =−2 N. 3

x→2lim

x²−2x

x²−4x+4 = ⁰₀ = lim

x→2 x(x−2)

(x−2)² = lim

x→2 x

x−2 =∞ N. 4

x→1lim

x³−3x+2

x⁴−4x+3 = ⁰₀ = lim

x→1

(x−1)²(x+2) (x−1)²(x²+2x+3) = ¹₂ N. 5

Questo `e il limite di una funzione della variabile reale a per valori assegnati di x.

xlim→a

x²−(a+1)x+a

x³−a³ = ⁰₀ = lim

x→a

(x−a)(x−1)

(x−a)(x+ax+a²) = ^a−1_3a2

N. 6

Come nel precedente, anche in questo caso la funzione è di h per assegnati x. Più precisamente è il limite del rapporto incrementale relativo alla funzione f (x) = x³.

hlim→0

(x+h)³−x³

h = ⁰₀ = lim

h→0

3hx²+3h²x+h²

h = 3x²

N. 7

xlim→1 1

1−x− _1−x³³

=∞ − ∞ = lim_x

→1

h 1

1−x − (1−x)(1+x+x³ ²)

i

= lim

x→1

x²+x−2 (1−x)(1+x+x²) =

=−lim

x→1 x+2

1+x+x² =−1 N. 8

x→+∞lim

x²−x+1

x = ^∞_∞ = lim

x→+∞

x²(¹−¹_x+_x2¹ )

x = lim

x→+∞x 1− ¹_x +_x¹2

= +∞ N. 9

xlim→∞

3x²+x−2

4x²+x−1 = ^∞_∞ = lim

x→∞

3+¹_x−_x2² 4+¹_x−_x2¹ = ³₄ N. 10

xlim→∞

x³+3

x²−1 = ^∞_∞ = lim

x→∞

x(^1+3x⁻³)

1−x⁻² =∞

(6)

N. 11

x→∞lim

x−2

x²+x+2 = ^∞_∞ = lim

x→∞

1−2x⁻¹

x(1+x⁻¹+2x⁻²) = _±∞¹ = 0 N. 12

xlim→∞

(x+1)²

x²+1 = ^∞_∞ = lim

x→∞

1+2x⁻¹+x⁻² 1+x⁻² = 1 N. 13

xlim→∞

10000x

x²−10000 = ^∞_∞ = lim

x→∞

10000x⁻¹ 1−10000x⁻¹ = 0 N. 14

xlim→∞

x²−5x+1

3x+7 = ^∞_∞ = lim

x→∞

x(¹−5x⁻¹+x⁻²)

3x⁻¹+7x⁻² =∞ N. 15

xlim→∞

2x²−x+3

x³−8x+5 = ^∞_∞ = lim

x→∞

2−x⁻¹+3x⁻²

x(1−8x⁻²+5x⁻³) = _∞² = 0 N. 16

xlim→∞

(2x+3)³(3x−2)²

x⁵+5 = ^∞_∞ =

= lim

x→∞

72x⁵+228x⁴+86x³−261x²−108x−108

x⁵+5 = lim

x→∞

72+228x⁻¹+86x⁻²−261x⁻³−108x⁻⁴−108x⁻⁵

1+5x⁻⁵ = 72

1.2 Limite di una funzione irrazionale

1.2.1 Forma indeterminata ⁰₀

Il caso pi`u comune `e quello in cui si procede alla razionalizzazione del numeratore e/o del denominatore.

Esempi 1. lim

x→a

√x−a

x−a , a > 0 2. lim

x→2

√x+2−√

√ 2x x−2

3. lim

x→2

x+1−2√ x (x−1)²

4. lim

x→1

√3

x−1 x−1

5. lim

x→a

√x²−a²+x²(x−a)

√x(x−a)+√

x²−a², a > 0 Soluzioni

N. 1

Razionalizzando il numeratore:

x→alim

√x−√ a x− a

√x +√

√ a x +√

a = lim

x→a

√ 1 x +√

a = 1 2√

a N. 2

Razionalizzando il numeratore:

(7)

λ = lim

x→2

√x + 2−√

√ 2x

x− 2 ·

√x + 2 +√

√ 2x

x + 2 +√ 2x

=− lim

x→2

x− 2

√x− 2 √

x + 2 +√ 2x =

0 0

Per rimuovere l’indeterminazione occorre razionalizzare il denominatore (termine √

x− 2):

λ =−lim

x→2

√x− 2

√x + 2 +√

2x = 0 N. 3

Siamo tentati a razionalizzare. Tuttavia, osservando che x + 1− 2√

x = (√

x− 1)², si ha:

limx→1

x + 1− 2√ x (x− 1)² = lim

x→1

(√

x− 1)² (√

x− 1)²(√

x + 1)² = 1 4 N. 4

Evidentemente:

xlim→1

√3

x− 1 (√³

x− 1)

√3

x²+√³

x + 1 = 1 3 N. 5

Dobbiamo “eliminare” il termine che produce indeterminazione:

xlim→a

p(x− a) (x + a) + x² q

(x− a)² px (x− a) +p

(x− a) (x + a)

= lim

x→a

√x− a

p(x + a) + x²√ x + a

√x +√ x + a

=

√2

√2 + 1 = 2−√ 2

Esercizi proposti (con soluzione) 1. lim

x→2

√2−√ x x−2

2. lim

x→1

√3

1−x²

√3

1−x³

3. lim

x→2 4−x² 3−√

5x−1

4. lim

x→1

√x+1−√

√ 2 x²+3−2

5. lim

x→7 2−√

x−3 x²−49

(8)

6. lim

x→8 x−8

√3

x−2

7. lim

x→4 3−√

5+x 1−√

5−x

Soluzioni N. 1

xlim→2

√2−√ x

x−2 = ⁰₀ =−lim_x

→2

√x−√ 2

(^√^x−√

2)(^√^x+^√²) =−₂^√¹₂ N. 2

xlim→1

√3

1−x²

√3

1−x³ = ⁰₀ =q³ limx→1

(1−x)(1+x)

(1−x)(1+x+x²) =q³

2 3

N. 3

x→2lim

4−x² 3−√

5x−1 = ⁰₀ = lim

x→2 4−x² 3−√

5x−1 · ³⁺₃₊^√^√^5x_5x⁻¹₋₁ = lim

x→2

(2+x)(³⁺^√^5x−1)

5 = ²⁴₅

N. 4

x→1lim

√x+1−√

√ 2

x²+3−2 = ⁰₀ = lim

x→1

√ x+1−√

√ 2

x²+3−2 · ^√^√^x_x2²+3+2⁺³⁺² · ^√^√^x+1+_x+1+^√^√²₂

= lim

x→1

√x²+3+2

(x+1)(^√^x+1+^√²) = ^√₂² N. 5

xlim→7 2−√

x−3

x²−49 = ⁰₀ = lim

x→7

h 2−√ x−3

(x−7)(x+7) · ²⁺₂₊^√^√^x_x⁻³₋₃i

=− lim

x→7

1

(x+7)(²⁺^√^x−3) =−₅₆¹ N. 6

x→8lim

3x−8

√x−2 = ⁰₀ = lim

x→8

(^√³^x−2)(^√³^x²⁺²^√³^x+4)

√3

x−2 = 12

N. 7

x→4lim

3−√ 5+x 1−√

5−x = ⁰₀ =− lim

x→4 1+√

5−x 3+√

5+x =−¹₃ 1.2.2 Forma indeterminata ^∞_∞

Si procede in maniera analoga a quello delle funzioni razionali fratte.

Esempi 1. lim

x→+∞

x+√ x 2√

x+x

2. lim

x→+∞

√ 3x−2 4x−1+√

x+1

3. lim

x→+∞

3

q1 x

√x² + 1

4. lim

x→+∞

2x²−5+√

x⁴−3x+1 x−1+√

x⁴+x−2

Soluzioni N. 1

x→+∞lim

x+√ x 2√

x+x = ^∞_∞ = lim

x→+∞

1+√¹ X

√2

X+1 = 1 N. 2

x→+∞lim

3x−2

√4x−1+√

x+1 = ^∞_∞ = lim

x→+∞

x(³−²_x)

√x√

4−_x¹+√

1+_x¹ = +∞ N. 3

x→+∞lim

3

q1 x

√x² + 1 = 0· ∞ = lim

x→+∞

√x²+1

√3

x = lim

x→+∞

x√ 1+x⁻²

x^1/3 = lim

x→+∞ x^2/3√

1 + x⁻²

= +∞ N. 4

x→+∞lim

2x²−5+√

x⁴−3x+1 x−1+√

x⁴+x−2 = ^∞_∞ = lim

x→+∞

2−5x⁻¹+√

1−3x⁻³+x⁻⁴ x⁻¹−x⁻²+√

1+x⁻³−2x⁻⁴ = 3

(9)

Esercizi proposti (con soluzione).

1. lim

x→+∞

5x−√ x x+3√

x

2. lim

x→+∞

√2−√ x x−2

3. lim

x→+∞

√8

x⁸+1+√⁴ x⁴−1

√5

1+x⁵+√³ 1+x³

4. lim

x→+∞

√x−1 x²+x−2

Soluzioni N. 1

x→+∞lim

5x−√ x x+3√

x = ^∞_∞ = lim

x→+∞

x 5−^√¹_x x

1+√³x

= 5 N. 2

x→+∞lim

√2−√ x

x−2 = ^∞_∞ = lim

x→+∞

√x(^√^2x⁻¹−1)

x(1−2x⁻¹) = 0⁺ N. 3

x→+∞lim

√8

x⁸+1+√⁴ x⁴−1

√5

1+x⁵+√³

1+x³ = ^∞_∞ = lim

x→+∞

√8

1+x⁻⁸+√⁴ 1−x⁻⁴

√5

x⁻⁵+1+√³

x⁻³+1 = 1 N. 4

x→+∞lim

√x−1

x²+x−2 = ^∞_∞ = lim

x→+∞

√1−x⁻¹

x(1+x⁻¹−2x⁻²) = ₊¹_∞ = 0⁺ 1.2.3 Forma indeterminata ∞ − ∞

Al primo step si riconduce tale forma alla ^∞_∞. Consideriamo la funzione:

f (x) = ^Np

p (x)± ^Np

q (x), (11)

essendo p (x) e q (x) polinomi dati dalla (1). Senza perdita di generalit`a, supponiamo che i coefficienti di tali polinomi siano tali che:

x→+∞lim f (x) =∞ − ∞ (12)

La forma indterminata (12) si riconduce alla forma ^∞_∞ razionalizzando in maniera opportuna la funzione f (x). Pi`u precisamente, il fattore razionalizzante `e dato da:

r (x) = XN k=1

(∓1)^k+1 ^N q

p (x)^N−kq (x)^k−1 (13)

Si dimostra che:

x→+∞lim









 h Np

p (x)± p^N q (x)i

XN k=1

(∓)^k+1 ^N q

p (x)^N^−kq (x)^k⁻¹ XN

k=1

(∓)^k+1 ^N q

p (x)^N^−kq (x)^k⁻¹











= ∞

∞

Esempi

(10)

1. lim

x→+∞

√3

x− 1 −√³ 2x 2. lim

x→+∞ x +√⁴

x⁴ + 1 3. lim

x→+∞

√x² + 3x + 12− x

Soluzioni N. 1 Qui `e:

p (x) = x− 1, q (x) = 2x, N = 3, f (x) = ^Np

p (x)−p³

q (x)_x−→

→+∞∞ − ∞ La funzione (13) `e:

r (x) = X3 k=1

(∓1)^k+1 ^N q

p (x)^N^−kq (x)^k⁻¹

= ³ q

(x− 1)²+p³

2x (x− 1) +√³ 2x, donde:

x→+∞lim f (x) = lim

x→+∞

√3

x− 1 −√³ 2x

q3

(x− 1)²+p³

2x (x− 1) +√³ 2x

3

q

(x− 1)²+p³

2x (x− 1) +√³ 2x

= lim

x→+∞

x− 1 − 2x r (x)

=− lim

x→+∞

x + 1 x^2/3√²

1− 2x⁻¹+ x⁻²+ x^2/3p³

2 (1− x⁻¹) +√³ 4

=− lim

x→+∞

x^1/3(1 + x⁻¹)

√2

1− 2x⁻¹+ x⁻²+p³

2 (1− x⁻¹) +√³

4 =− (+∞) = −∞

N. 2

Per ridurre la funzione f (x) alla forma (11), scriviamo: x = √⁴

x⁴, donde:

f (x) = ^Np

p (x) + ^Np q (x), essendo:

p (x) = x⁴, q (x) = x⁴+ 1, N = 4 Evidentemente:

x→−∞lim f (x) =∞ − ∞ Il fattore r (x) `e:

(11)

r (x) = X4 k=1

h x⁴4−k

x⁴+ 1k−1i

=√⁴

x¹²+p⁴

x⁸(x⁴+ 1) + ⁴ q

x⁴(x⁴+ 1)²+ ⁴ q

(x⁴+ 1)³

= x³

+ x²√⁴

x⁴+ 1 +|x|√

x⁴+ 1 + ⁴ q

(x⁴+ 1)³ Da ci`o segue:

f (x) r (x) = x x³

+ x + x³

√4

x⁴+ 1 + x²+ x|x| √

x⁴ + 1 + (x +|x|) ⁴ q

(x⁴+ 1)³ + x⁴+ 1

Per x→ −∞ `e ∀n ∈ N, |x²ⁿ⁺¹| = −x, per cui l’espressione precedente diviene:

f (x) r (x) =−x⁴ + x⁴+ 1 = 1, quindi il limite:

x→−∞lim

f (x) r (x) r (x) = 1

+∞ = 0⁺, giacch´e r (x)_x−→

→−∞+∞.

N. 3

x→+∞lim

√x² + 3x + 12− x

=∞ − ∞ = lim_x

→+∞

√

x²+ 3x + 12−√ x² Il fattore razionalizzante `e:

r (x) = X2

k=1

q

(x²+ 3x + 12)^2−k(x²)^k−1

=√

x²+ 3x + 12 +|x| =_x>0√

x²+ 3x + 12 + x Ci`o implica:

f (x) r (x) = 3x + 12

x→+∞lim

f (x) r (x)

r (x) = lim

x→+∞

3 + 12x⁻¹

√1 + 3x⁻¹+ 12x⁻²+ 1 = 3 2 Esercizi proposti (con soluzione)

1. lim

x→+∞

√5x²+ 2x + 1− x

2. lim

x→+∞

√x² + 2x + 1− x

(12)

3. lim

x→+∞

√x² − 4x + 3 −√

x²− 2 4. lim

x→+∞

N√

ax^N+bx+c+2x+^N−1√ x²+5 2x+^N−1√

x²+5 con N pari e > 2; a > 0, b, c coefficienti reali e tali che la funzione sia definita per x→ −∞.

5. lim

x→+∞

√x √ x−√

x + 1 6. lim

x→−∞

2x−√ 4x²−1

√3

x²−2

7. lim

x→+∞

2x−√ 4x²−1

√3

x²−2

8. lim

x→−∞x √

x²− 12x + 1 −√

3x²+ x + 2 9. lim

x→+∞ x +√³

1− x³ Soluzioni N. 1

l = lim

x→+∞

√5x²+ 2x + 1− x

=∞−∞; fattore razionalizzante: r (x) = √

5x² + 2x + 1+x.

Quindi:

l = lim

x→+∞

4x²+ 2x + 1

√5x²+ 2x + 1 + x = +∞ (14)

N. 2 l = lim

x→+∞

√x²+ 2x + 1− x

=∞ − ∞; fattore razionalizzante: r (x) =√

x²+ 2x + 1 + x.

Quindi:

l = lim

x→+∞

2x + 1

√x²+ 2x + 1 + x = 1 (15)

N. 3 l = lim

x→+∞

√x²− 4x + 3 −√

x² − 2

= ∞ − ∞. Il fattore razionalizzante `e: r (x) =

√x²− 4x + 3 +√ x²− 2

l = − lim_x

→+∞

−4 + 3x⁻¹

√1− 4x⁻¹+ 3x⁻²+√

1− 2x⁻² =−2 (16)

N. 4 l = lim

x→−∞

N√

ax^N+bx+c+2x+^N−1√ x²+5 2x+^N−1√

x²+5 = ^∞−∞_∞ = 1 + l^′, con l^′ = lim

x→−∞

N√

ax^N+bx+c 2x+^N−1√

x²+5. Risulta:

l^′ = lim

x→−∞

|x| √^N

a + bx^1−N + cx^−N x

2 + ^N−1√

x^3−N + 5x^1−N

=

√N

a 2 lim

x→−∞

|x|

x

=−

√N

a 2

(13)

Il limite l`e:

l = 1−

√N

a

2 (17)

N. 5

x→+∞lim

√x √ x−√

x + 1

= (+∞) (∞ − ∞) = ∞ − ∞ = lim_x

→+∞

√

x²−√

x²+ x Fattore razionalizzante:

r (x) =√

x² +√ x²+ x Il limite diventa:

l = lim

x→+∞

x² − x² − x

√x²+√

x² + x (18)

=− lim

x→+∞

x x 1 +√

1 + x⁻¹ =−1 2 N. 6

x→−∞lim

2x−√ 4x²−1

√3

x²−2 = lim

x→−∞

2x−|x|√ 4−x⁻² x^{2/3 3}√

1−2x⁻² = lim

x→−∞

x(²−√ 4−x⁻²)

x^{2/3 3}√

1−2x⁻² =−∞

N. 7 l = lim

x→+∞

2x−√ 4x²−1

√3

x²−2 = ^∞−∞_∞ , `e preferibile calcolare a parte il limite del numeratore:

l1

def= lim

x→+∞

2x−√

4x²− 1

= lim

x→+∞

√

4x² −√

4x²− 1 √

4x²+√

4x² − 1

√4x²+√

4x²− 1

= lim

x→+∞

√ 1

4x²+√

4x²− 1 = 1

+∞ = 0⁺ Quindi:

l = 0⁺

+∞ = 0⁺ (19)

N. 8 l = lim

x→−∞x √

x²− 12x + 1 −√

3x²+ x + 2

= (−∞) (∞ − ∞)

= lim

x→−∞

√x⁴− 12x³+ x² −√

3x⁴+ x³+ 2x²

=

x→−∞lim

(^√^x⁴−12x³+x²−√

3x⁴+x³+2x²)(^√^x⁴−12x³+x²+√

3x⁴+x³+2x²)

√x⁴−12x³+x²+√

3x⁴+x³+2x²

=− lim

x→−∞

2x⁴+13x³+x²

x²(^√^1−12x⁻¹^+x⁻²⁺^√^3+x⁻¹^+2x⁻³) = +∞ N. 9

l = lim

x→+∞ x +√³

1− x³

=∞ − ∞ = lim

x→+∞

√3

x³ +√³

1− x³ Fattore razionalizzante:

(14)

r (x) = X3 k=1

(−1)^k+1 ³ q

(x³)³^−k(1− x³)^k⁻¹ (20)

= x²− x√³

1− x³+ ³ q

(1− x³)² La (20) implica:

f (x) = f (x) r (x) r (x) = 1

r (x) −→

x→+∞= 0⁺ (21)

1.3 Funzioni trigonometriche (parte prima)

Come nelle sezioni precedenti si calcola il limite per “continuità”, cioè sostituendo il valore di x0 nell’espressione analitica della funzione. Il caso più semplice è quello in cui il limite è immediato.

1.3.1 Esempi 1. lim

x→^π₂⁻tan x(1− cos x) = (+∞) (1 − 0) = +∞

2. lim

x→2⁺ 3−x

sin(2−x) = ₀¹₋ =−∞

3. lim

x→^π₃

h

6 cos x− ln

cos x +q

cos²x−¹₄i

= 6· ¹₂ − ln

1 2 +q

1 4 −¹₄

= 3 + ln 2

4. lim

x→^π₂⁺e^{|cos x|}|cos x| = exp lim

x→^π₂⁺|cos x|

!

· lim

x→^π₂⁺|cos x|

= exp lim

x→^π₂⁺(− cos x)

!

· lim

x→^π₂⁺(− cos x) = e⁰⁺ · 0⁺ = 0⁺

5. lim

x→^π₂⁻e^{|cos x|}|cos x| = exp lim

x→^π₂⁻cos x

!

· lim

x→^π₂⁻cos x = 0⁺

6. l = lim

x→−2π⁺e^{sin x}sin|x| = Y2 k=1

lk

l1 = lim

x→−2π⁺e^{sin x}; l2 = lim

x→−2π⁺sin|x|;

l1 = exp

x→−2πlim ⁺sin x

= e⁰⁺ = 1⁺ l2 = lim

x→−2π⁺sin|x| = 0⁻ l = 1⁺· 0⁻ = 0⁻.

(15)

3Π

2

2Π x

-1.2 -1 -0.8 -0.4

-esin HxL

3Π

2 2Π

-1.2 -1 -0.8 -0.4

x->2Π^-

Figura 3: Grafico di −e^{sin x}

3Π

2

2Π x

0.2 0.4 0.6 0.8 1

cosx

3Π

2 2Π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x->2Π^-

Figura 4: Grafico di cos x

7. l = lim

x→2π⁻−e^{sin x}cos x (sin x + 1)

= Y3 k=1

lk

l1 = lim

x→2π⁻ −e^{sin x}

=−1⁺; l2 = lim

x→2π⁻cos x = 1⁻; l3 = lim

x→2π⁻(sin x + 1) = 1⁻

Per determinare il segno dei singoli limiti `e conveniente tracciare in un intorno di x0 = 2π il grafico delle funzioni con un software del tipo Mathematica, come riportato in figura 3 e seguenti.

Il limite `e: l = (−1⁺)· (−1) · (−1) = −1⁺ (fig. 6).

8. lim

x→∞sin x

Questo limite non esiste, in quanto la funzione sin x è periodica in R. Più in generale, se f (x) è definita in (−∞, +∞) ed è ivi periodica di periodo T , non esiste il limite di f per x → ±∞. Per dimostrare l’asserto procediamo per assurdo; a tale scopo rammentiamo la definizione di limite (senza perdita di generalità consideriamo il caso

(16)

3Π

2

2Π x

0.2 0.4 0.6 0.8 1

sinx+1

3Π

2 2Π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x->2Π^-

Figura 5: Grafico di sin x + 1

3Π

2

2Π x

-2 -1.5 -1 -0.5 0

fHxL

3Π

2 2Π

x->2Π^-

Figura 6: Grafico di f (x) =−e^{sin x}cos x (sin x + 1)

(17)

-1 -0.5 0.5 1 x

-1 -0.5 0.5 1

Figura 7: Grafico di f (x) = sin_x¹

x→ +∞):

x→+∞lim f (x) = l

⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δε> 0 : x > δ_ε =⇒ |f (x) − l| < ε (22)

Per ipotesi f `e periodica, quindi compie oscillazioni tra inf f e sup f , donde:

|f (x) − l| =

|inf f − l| , per f (x) = inf f

|sup f − l| , per f (x) = sup f Risulta :

∃ε∗ = min{|inf f − l| , |sup f − l|} > 0 : x > δ^ε∗ =⇒ |f (x) − l| > ε∗

Ma ci`o contraddice la (22). Tale assurdo dimostra l’asserto. Nel caso speciale delle funzioni trigonometriche, si conclude che non esistono i seguenti limiti:

x→∞lim sin x, lim

x→∞cos x, lim

x→∞tan x, ecc.

9. lim

x→0sin_x¹

Questo limite non esiste. Per dimostrare ci`o, eseguiamo il cambio di variabile x→ y = x⁻¹, donde:

xlim→0sin 1

x = lim

y→∞sin y,

che, in forza dell’esempio 8, non esiste. La funzione f (x) = sin (x⁻¹) in ogni intorno di x0 = 0 compie infinite oscillazioni tra −1 e +1 compe possiamo vedere dal grafico di fig. 7.

(18)

-0.1 -0.05 0.05 0.1

Figura 8: Grafico di f (x) = x sin¹_x. La curva y = f (x) giace tra le due rette di equazione:

y = x, y =−x.

10. lim

x→0x sin_x¹

La funzione f (x) = x sin x⁻¹ non `e definita in x = 0. D’altro canto:

x sin 1

x

≤ |x| ⇐⇒ − |x| ≤ x sin 1

x ≤ |x| (23)

La (23) implica che:

x→0limx sin 1

x = lim

x→0|x| = 0

Intorno al punto x = 0 il diagramma della funzione compie infinite oscillazioni che si smorzano per x→ 0, come possiamo vedere dalla figura 8.

11. lim

x→0xⁿsin ¹_x con n > 1 Evidentemente: lim

x→0xⁿsin ¹_x = lim

x→0xⁿ = 0. In tal caso la funzione oscilla tra le due curve y = xⁿ, y =−xⁿ.

***

Una particolare classe di limiti che si presenta nella forma indeterminata ⁰₀ pu`o essere risolta con l’ausilio del limite fondamentale:

xlim→0

sin x

x (24)

Il grafico della funzione f (x) = x⁻¹sin x `e riportato in figura 11. Si tratta di un’oscillazione sinusoidale inviluppata dalle curve y = x⁻¹, y =−x⁻¹.

E facile rendersi conto che:`

xlim→∞

sin x

x = 0 (25)

Per quanto detto, alcuni limiti di funzioni trigonometriche si riconduncono alla forma (24).

(19)

-0.1 -0.05 0.05 0.1 x

-0.004 -0.002 0.002 0.004

Figura 9: Grafico di f (x) = x²sin ¹_x.

-0.04 -0.02 0.02 0.04 x

-6´10^-6 -4´10^-6 -2´10^-6 2´10^-6 4´10^-6 6´10^-6

Figura 10: Grafico di f (x) = x³sin¹_x.

(20)

-1 -0.5 0 0.5 1

-15 -10 -5 0 5 10 15

x

Figura 11: Grafico di f (x) = ^{sin x}_x

1.3.2 Esempi 2 1. l = lim

x→0 sin 3x

x

2. l = lim

x→0 sin 5x sin 2x

3. l = lim

x→0 sin⁴x

x⁴

4. l = lim

x→0 sin⁴x

x

5. l = lim

x→0 1−cos x

x²

6. l = lim

x→x0

sin²x−sin²x0

x−x0

7. l = lim

x→x0

cos²x−cos²x0

x−x0

8. l = lim

x→x0

sin x−sin x0

x−x0

9. l = lim

x→x0

cos x−cos x0

x−x0

10. l = lim

x→0

1−cos x+sin x 1−cos x−sin x

11. l = lim

x→x0

sin 2x−cos 2x tan x−tan x0

(21)

1.3.3 Soluzioni N. 1

l = ⁰₀ = lim

x→03^{sin 3x}_3x , cambio di variabile: y = 3x, quindi: l = 3lim

y→0 sin y

y = 3 In generale:

x→0lim sin λx

x = λ, ∀λ ∈ (0, +∞) (26)

N. 2 l = lim

x→0 sin 5x

sin 2x = ⁰₀ = lim

x→0 sin 5x

5x

_2x

sin 2x

₅

2 = ⁵₂ In generale:

x→0lim sin λx sin µx = λ

µ, ∀λ, µ ∈ (0, +∞) (27)

N. 3 l = lim

x→0 sin⁴x

x⁴ =

xlim→0 sin x

x

4

= 1 In generale:

xlim→0

sin^px

x^p = 1, ∀p ∈ (−∞, +∞) (28)

N. 4 l = lim

x→0 sin x

x

sin³x = 1· 0 = 0 N. 5

l = lim

x→0 1−cos x

x² = ⁰₀

Come `e noto: cos x = 1− 2 sin^{2 x}₂, per cui: l = lim

x→0

1−1+2 sin^{2 x}₂

x² = 2lim

x→0 1 4

_sinx x2 2

2

= ¹₂. Questo limite ricorre frequentemente tale da essere considerato un limite fondamentale:

limx→0

1− cos x x² = 1

2 (29)

N. 6 l = lim

x→x0

sin²x−sin²x0

x−x0 = ⁰₀ = lim

x→x0

(sin x−sin x0)(sin x+sin x0) x−x0

Per le formule di prostaferesi:

sin x− sin x0 = 2 sin x − x0

2

cos x + x0

2

Quindi:

l = lim

x→x0

sin(^x−x02 )

x−x0 2

cos ^x+x₂ ⁰

(sin x + sin x₀)

= 1·cos x0·2·sin x0 = 2 sin x₀cos x₀ = sin (2x₀) N. 7

l = lim

x→x0

cos²x−cos²x0

x−x0 = l = lim

x→x0

(cos x−cos x0)(cos x+cos x0) x−x0

Per le formule di prostaferesi:

cos x− cos x⁰ =−2 sin x + x0

2

cos x − x0

2