Operazioni con i polinomi
In questa dispensa riassumiamo brevemente le operazioni che possiamo fare con i polinomi.
Addizione e sottrazione
L’addizione e la sottrazione fra polinomi è piuttosto semplice, in quanto è necessario sommare solo i termini simili (ovvero i termini che presentano la stessa parte letterale). Facciamo un esempio:
(3𝑥𝑦 + 4𝑥!𝑦" + 7𝑥) − (𝑥!𝑦"+ 2𝑥𝑦 − 𝑥)
Intanto elimino le parentesi (cambio tutti i segni all’interno della seconda parentesi): 3𝑥𝑦 + 4𝑥!𝑦"+ 7𝑥 − 𝑥!𝑦"− 2𝑥𝑦 + 𝑥
Identifico ora i termini simili (con colori diversi):
𝟑𝒙𝒚+ 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟑+ 𝟕𝒙− 𝒙𝟐𝒚𝟑− 𝟐𝒙𝒚+ 𝒙
E li sommo fra loro:
(𝟑 − 𝟐)𝒙𝒚+ (𝟒 − 𝟏)𝒙𝟐𝒚𝟑+ (𝟕 + 𝟏)𝒙
Da cui finalmente:
𝑥𝑦 + 3𝑥!𝑦"+ 8𝑥 Non possiamo fare altro quindi questo è il risultato.
Moltiplicazione
La moltiplicazione è un pochino più complicata, in quanto bisogna moltiplicare tutti i termini del
primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio. Facciamo un esempio:
(𝑥𝑦 + 2𝑥)(3𝑥 + 4𝑦) Quindi i termini sono in totale quattro:
• Il primo per il primo: 𝑥𝑦 ⋅ 3𝑥 = 3𝑥!𝑦; • Il primo per il secondo: 𝑥𝑦 ⋅ 4𝑦 = 4𝑥𝑦!; • Il secondo per il primo: 2𝑥 ⋅ 3𝑥 = 6𝑥!; • Il secondo per il secondo: 2𝑥 ⋅ 4𝑦 = 8𝑥𝑦 Adesso si sommano tutti:
3𝑥!𝑦 + 4𝑥𝑦!+ 6𝑥! + 8𝑥𝑦 Non ci sono termini simili quindi non possiamo fare altro.
Prodotti notevoli: quadrato di binomio
Il quadrato di binomio permette di calcolare velocemente il risultato senza stare a fare tutte le moltiplicazioni.
(𝐴 + 𝐵)! = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴!+ 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 + 𝐵!
= 𝐴!+ 2𝐴𝐵 + 𝐵!
Quindi il quadrato di binomio è dato dal quadrato del primo termine, più il doppio prodotto dei
termini, più il quadrato del secondo termine. Facciamo un esempio:
(𝑥 + 3𝑦)! • Il quadrato del primo termine è 𝑥!;
• Il doppio prodotto è 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 3𝑦 = 6𝑥𝑦;
• Il quadrato del secondo termine è (3𝑦)! = 9𝑦! Metto tutto assieme e ottengo:
(𝑥 + 3𝑦)! = 𝑥!+ 6𝑥𝑦 + 9𝑦! Occhio ai segni! Facciamo un esempio:
(2𝑥 − 4𝑥𝑦)! • Il quadrato del primo termine è 4𝑥!;
• Il doppio prodotto è 2 ⋅ 2𝑥 ⋅ (−4𝑥𝑦) = −16𝑥!𝑦; • Il quadrato del secondo termine è (−4𝑥𝑦)! = 16𝑥!𝑦! Mettendo tutto assieme otteniamo:
4𝑥!− 16𝑥!𝑦 + 16𝑥!𝑦!
Prodotti notevoli: somma per differenza
Abbiamo la seguente situazione:
(𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴!+ 𝐴𝐵 − 𝐴𝐵 − 𝐵! = 𝐴!− 𝐵!
Quindi la somma per la differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del
secondo termine.
Facciamo un esempio:
(2𝑥 + 4𝑦)(2𝑥 − 4𝑦) • Il quadrato del primo termine è 4𝑥!;
• Il quadrato del secondo termine è 16𝑦! Conseguentemente:
4𝑥!− 16𝑦! Facciamo un altro esempio più complicato:
(3𝑥!𝑦%+ 2𝑎𝑏")(3𝑥!𝑦% − 2𝑎𝑏") • Il quadrato del primo termine è 9𝑥%𝑦&;
• Il quadrato del secondo termine è 4𝑎!𝑏' Quindi:
9𝑥%𝑦%− 4𝑎!𝑏"
Prodotti notevoli: cubo del binomio
Il cubo del binomio è un po’ più difficile da calcolare, però possiamo sfruttare il risultato precedente del quadrato di binomio. Vediamo come.
(𝐴 + 𝐵)" = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵)!
Ovvero abbiamo diviso il prodotto in due parti, un termine di primo grado e un termine di secondo grado. Ma noi sappiamo bene qual è il risultato del quadrato di binomio, quindi:
(𝐴 + 𝐵)" = (𝐴 + 𝐵)(𝐴! + 2𝐴𝐵 + 𝐵!)
= 𝐴"+ 𝑨𝟐𝑩 + 𝟐𝑨𝟐𝑩+ 𝟐𝑨𝑩𝟐+ 𝑨𝑩𝟐+ 𝐵" = 𝐴" + 𝟑𝑨𝟐𝑩+ 𝟑𝑨𝑩𝟐+ 𝐵"
Quindi in definitiva il cubo del binomio è uguale a:
(𝐴 + 𝐵)" = 𝐴"+ 3𝐴!𝐵 + 3𝐴𝐵!+ 𝐵" Facciamo un esempio: (3𝑥 + 4𝑦)" • Il primo termine è (3𝑥)" = 27𝑥"; • Il secondo termine è 3 ⋅ (3𝑥)!⋅ 4𝑦 = 3 ⋅ 9𝑥!⋅ 4𝑦 = 108𝑥!𝑦; • Il terzo termine è 3 ⋅ 3𝑥 ⋅ (4𝑦)! = 3 ⋅ 3𝑥 ⋅ 16𝑦! = 144𝑥𝑦!; • Il quarto termine è (4𝑦)" = 64𝑦"
In definitiva, sommando tutto, otteniamo:
27𝑥"+ 108𝑥!𝑦 + 144𝑥𝑦!+ 64𝑦"
La regola vale anche con i segni negativi, bisogna solo stare attenti alle potenze.
Prodotti notevoli: quadrato di un trinomio
Il quadrato del trinomio può essere scritto come:
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)! = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)
= 𝐴! + 𝑨𝑩+ 𝑨𝑪+ 𝑨𝑩+ 𝐵!+ 𝑩𝑪+ 𝑨𝑪+ 𝑩𝑪+ 𝐶! = 𝐴!+ 𝐵!+ 𝐶!+ 𝟐𝑨𝑩+ 𝟐𝑨𝑪+ 𝟐𝑩𝑪
Quindi in definitiva abbiamo che:
Facciamo un esempio: (3𝑥 + 4𝑦 + 𝑥𝑦)! • Il primo termine è 9𝑥!; • Il secondo termine è 16𝑦!; • Il terzo termine è 𝑥!𝑦!; • Il quarto termine è 2 ⋅ 3𝑥 ⋅ 4𝑦 = 24𝑥𝑦; • Il quinto termine è 2 ⋅ 3𝑥 ⋅ 𝑥𝑦 = 6𝑥!𝑦; • Il sesto termine è 2 ⋅ 4𝑦 ⋅ 𝑥𝑦 = 8𝑥𝑦! Quindi mettendo tutto assieme:
9𝑥!+ 16𝑦!+ 𝑥!𝑦!+ 24𝑥𝑦 + 6𝑥!𝑦 + 8𝑥𝑦! Ricapitolando tutti i prodotti notevoli:
(𝐴 + 𝐵)! = 𝐴!+ 2𝐴𝐵 + 𝐵! (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴!− 𝐵! (𝐴 + 𝐵)" = 𝐴"+ 3𝐴!𝐵 + 3𝐴𝐵!+ 𝐵"
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)! = 𝐴!+ 𝐵! + 𝐶!+ 2𝐴𝐵 + 2𝐴𝐶 + 2𝐵𝐶
Qualche esercizio: calcolare i seguenti prodotti notevoli.
(3𝑥"+ 7𝑥𝑦!)! (2𝑥 − 4𝑦%)! (−𝑥 − 𝑦!)! (7𝑥𝑦 + 7𝑥𝑦!)(7𝑥𝑦 − 7𝑥𝑦!) (4𝑥"− 4𝑥"𝑦")(4𝑥" + 4𝑥"𝑦") (−2𝑥𝑦𝑡"+ 𝑥!)(−2𝑥𝑦𝑡"− 𝑥!) (𝑥 + 3𝑥!𝑦)" (2𝑥!+ 𝑦!)" (𝑥𝑦 − 𝑥!)" (2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑦!)! (𝑥!− 4𝑥𝑦 − 𝑦!)! (𝑥𝑦 + 𝑥𝑦!− 𝑥!𝑦!)!
Qualche esercizio: calcolare le seguenti espressioni con i prodotti notevoli.
(𝑥 + 𝑦 − 2)!− (𝑥 + 2)! − (𝑦 − 2)!+ 4(2𝑥 + 2) (𝑎 + 2𝑏)!− 𝑎(𝑎 + 4𝑏) − (2𝑏 − 1)! (𝑎 − 𝑏)"+ (𝑎 + 𝑏)"+ 3(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)!+ 3(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)! (𝑥 − 𝑦)"+ (𝑦 − 𝑧)"+ (𝑧 − 𝑥)"− 3(𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥) − (−2𝑥)" 1 + (3𝑥 + 2𝑎)! + (3𝑥 + 2𝑎)(3𝑥 − 2𝑎) − (1 + 3𝑥 + 𝑎)!+ 2(3𝑥 + 𝑎) − (3𝑥)! (5𝑎 − 𝑏)! + (5𝑎 − 𝑏)(𝑏 + 5𝑎) − (𝑏 + 5𝑎)!+ 5(𝑎 + 𝑏)!− 5(𝑎 − 𝑏)! 𝑦'+ (𝑥!− 𝑦!)"− (𝑥"− 𝑦")!+ 2𝑦"(𝑦" − 𝑥") − 3(−𝑥𝑦)!(𝑦 − 𝑥)(𝑥 + 𝑦)