L'effetto Compton

Lezione 2 - La Natura Corpuscolare della Luce

Unit`

a 2.3 L’effetto Compton

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

Energia e quantit`

a di moto di un fotone (I)

Se la luce, che si muove con velocit`a c = 3 · 108 m/s, `e composta da particelle elementari dette fotoni, evidentemente questi fotoni si muovono alla velocit`a c della luce.

Sulla base della dinamica relativistica di Einstein, una particella che si muove alla velocit`a della luce, cio`e con v = c, deve avere massa nulla, cio`e m = 0. Inoltre, in questo caso l’energia E della particella `e legata alla sua quantit`a di moto p dalla relazione

E = c p , (1)

dove p = |p| `e il modulo della quantit`a di moto p.

D’altra parte, abbiamo visto che per il fotone vale anche la formula

E = h ν , (2)

dove h = 6.63 · 10−34 J s `e la costante di Planck e ν `e la frequenza della luce.

Energia e quantit`

a di moto di un fotone (II)

Ne segue allora che

p = E

c =

h ν

c . (3)

Ricordando che per la luce vale la relazione di dispersione

λ ν = c , (4)

dove λ `e la lunghezza d’onda della luce, il modulo della quantit`a di moto `e anche uguale a

p = h

λ. (5)

Questa formula mette in relazione una propriet`a corpuscolare della luce, la quantit`a di moto p, con una propriet`a ondulatoria della luce, la lunghezza d’onda λ.

L’esperimento di Compton con i raggi X (I)

Nel 1923 Arthur Compton1_{studi`o la diffusione di un fascio di raggi X che}

attraversa un piccolo bersaglio di grafite.

I dati sperimentali mostrano che dopo l’urto (diffusione) la lunghezza d’onda della luce X viene modificata sulla base della formula empirica

λ0 = λ + λc(1 − cos(θ)) (6)

dove λ `e la lunghezza d’onda prima dell’urto, λ0 `e la lunghezza d’onda dopo l’urto, e θ `e l’angolo di diffusione. Il costante empirica

λc = 2.42 · 10−12 m `e oggi nota come lunghezza d’onda Compton.

L’esperimento di Compton con i raggi X (II)

In effetti l’evidenza empirica `e leggermente pi`u complicata. Ad un certo angolo di diffusione θ la luce diventa bicromatica con due lunghezze d’onda:

λ1 ' λ , (7)

λ2 = λ + λc(1 − cos(θ)) , (8)

dove λ `e la lunghezza d’onda della luce prima dell’urto. Nel caso θ = 0 si ha

λ2= λ . (9)

Per θ = π/2 = 90o si ha invece

λ2= λ + λc . (10)

Mentre la massima separazione si ha nel caso θ = π = 180o _dove

Spiegazione dell’effetto Compton (I)

Lo stesso Compton diede una ragionevole spiegazione teorica del suo esperimento. Le ipotesi di Compton sono:

i) la luce `e composta di fotoni, particelle a massa nulla;

ii) la grafite `e composta da atomi ed elettroni liberi, in entrambi i casi si tratta di particelle con massa m diversa da zero;

iii) nel processo di diffusione ogni singolo fotone interagisce con una singola particella della grafite;

iv) questo processo di diffusione `e un urto elastico e quindi si conserva l’energia totale e la quantit`a di moto totale.

Spiegazione dell’effetto Compton (II)

Prima dell’urto l’energia EX e la quantit`a di moto pX del fotone sono

EX = h c λ, (12) pX = h λ, 0, 0
. (13)

L’energia Eg e la quantit`a di moto pg di una particella di massa m della grafite sono invece

Eg = mc2, (14)

pg = 0, 0, 0
, (15)

Spiegazione dell’effetto Compton (III)

Dopo l’urto l’energia E_X0 e la quantit`a di moto p0_X del fotone sono

EX0 = h c λ0 , (16) p0_X = h λ0 cos (θ), h λ0 sin (θ), 0
. (17)

L’energia E_g0 e la quantit`a di moto p0_g della particella di massa m della grafite sono invece

Eg0 = q

m2_c4_{+ (p}0

gc)2, (18)

p0_g = (p_g0 cos (φ), p_g0 sin (φ), 0) , (19) dove θ `e l’angolo di diffusione del fotone mentre φ `e l’angolo di diffusione della particella.

Spiegazione dell’effetto Compton (IV)

Imponendo la conservazione dell’energia EX + Eg= EX0 + E

0

g (20)

e della quantit`a di moto

pX+ pg= p0X + p0g (21)

dopo una serie di calcoli algebrici si trova λ0= λ + h

mc(1 − cos(θ)) . (22)

Nel caso di urto fotone-elettrone m = me = 9.11 · 10−31 kg e h/(mec) risulta proprio essere la lunghezza d’onda Compton (dell’elettrone). E quindi λ0 = λ2= λ + λc(1 − cos(θ)).

Nel caso di urto fotone-atomo m = mC = 19.94 · 10−27 kg e h/(mCc) risulta essere molto molto pi`u piccola della lunghezza d’onda Compton. E quindi λ0 = λ1= λ + (h/(mCc)) (1 − cos(θ)) ' λ.