(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)
Scritto d’esame di Analisi Matematica I
Universit`
a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia
Pisa, 15 febbraio 2014
La valutazione terr`a conto sia della correttezza che della completezza delle argomentazioni esposte a sostegno del risultato riportato.
Il solo risultato numerico otterr`a punteggio nullo.
I punteggi riportati sono indicativi. Il voto finale della parte scritta terr`a conto anche del risultato del test.
Tempo a disposizione: 180 minuti
Esercizio 1 Sia an = n2 2n per n ∈ N.
(i) Si dimostri che
n4n
(2n)! ≥ an≥
(n − 1)4n
(2n)!
per ogni n ≥ 1. 3pt
(ii) Si calcoli lim
n→+∞ n √ an n2 . 5pt Pagina 1 di 8
Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14
Esercizio 2
(i) Si determini quante soluzioni in [0, 2π] ha l’equazione cos2x = a sin3x ,
al variare di a ∈ R. 3pt
(ii) Si studi la funzione
f (x) = cos(x)6 √
e1/ sin(x)
determinandone dominio, eventuali simmetrie, limiti, monotonia e punti sta-zionari, e se ne tracci un grafico qualitativo. 5pt
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Esercizio 3
Si consideri la successione per ricorrenza definita da an+1 = −an+ a2n/3
a0 = 1
(i) Si determini lim an. 5pt
(ii) Si dica se la serie P an converge, diverge o `e indeterminata. 2pt
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Esercizio 4
Si consideri la funzione
f (x) = (2x − 1) arcsin(x) .
(i) Si determini una primitiva per x
2
√
1 − x2. 3pt
(ii) Si determini una primitiva per f (x). 4pt
(iii) Si calcoli 1/√2 Z −1/√2 |f (x)|dx. 2pt Pagina 7 di 8
