AM1-140913

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(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)

La valutazione terr`a conto sia della correttezza che della completezza delle argomentazioni esposte a sostegno del risultato riportato.

Il solo risultato numerico otterr`a punteggio nullo.

I punteggi riportati sono indicativi. Il voto finale della parte scritta terr`a conto anche del risultato del test.

Tempo a disposizione: 180 minuti

Esercizio 1

Dato un numero reale α > 0, sia

an = nα n √ n + 1 − √n_narctan n √ 2n5_{+ 3} _.

Si discuta lim an, in dipendenza da α. 8pt

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Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14 Esercizio 2 Si studi la funzione f (x) = cos 2x + 1 x2_{+ 3}

determinandone segno, massimi, minimi, zone di monotonia e convessit`a e se ne tracci un grafico approssimativo. 8pt

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Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14

Esercizio 3

Si risolva il seguente problema di Cauchy    v00+ v0+ v = t + sin t v(0) = 1 v0(0) = 1 8pt Pagina 5 di 8

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Corso di Analisi Matematica I – Scritto d’esame – AA 2013/14 Esercizio 4 Sia f (x) = x α (x2_{+ 1) log(x}2_{+ 1)} . .

(i) Per α = 1, trovare una primitiva di f (x). 3pt (ii) Discutere la convergenza dell’integrale improprio

Z ∞

0

f (x)dx

al variare di α ∈ R. 5pt

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