LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI
MATEMATICA
Prof. Francesco Marchi
1
Appunti ed esercizi su:
funzioni elementari: formule e
dimostrazioni
24 dicembre 2010
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Indice
1 Funzioni elementari: formule e “regole di calcolo” 3
1.1 Funzioni circolari . . . 3
1.1.1 Definizioni e fatti basilari . . . 3
1.1.2 La relazione goniometrica fondamentale . . . 4
1.1.3 Espressione di una funzione in termini delle altre . . . 4
1.1.4 Archi associati . . . 5
1.1.5 Formule di addizione e sottrazione . . . 6
1.1.6 Formule di duplicazione e di bisezione . . . 7
1.1.7 Formule cosiddette parametriche . . . 8
1.1.8 Formule di prostaferesi e di Werner. . . 9
1.2 Funzioni esponenziali . . . 9
1.2.1 Definizioni e fatti fondamentali . . . 9
1.3 Funzioni logaritmiche . . . 10
2 Le funzioni elementari: esercizi 12 2.1 Dimostrazione di identit`a . . . 12
2.1.1 Funzioni goniometriche . . . 12
2.1.2 Funzione esponenziale . . . 14
2.1.3 Funzione logaritmica . . . 14
2.2 Dimostrazioni di formule e relazioni generali . . . 15
2.2.1 Esercizio 1 (esempio guidato) . . . 15
2.2.2 Esercizio 2 (esempio guidato) . . . 15
2.2.3 Esercizio 3 . . . 16 2.2.4 Esercizio 4 . . . 16 2.2.5 Esercizio 5 . . . 16 2.2.6 Esercizio 6 . . . 16 2.2.7 Esercizio 7 . . . 16 2.2.8 Esercizio 8 . . . 17 2.2.9 Esercizio 9 . . . 17 2.2.10 Esercizio 10 . . . 17 2.2.11 Esercizio 11 . . . 17
2.2.12 Esercizio 12 (esempio svolto) . . . 17
2.3 Il software yEd e i grafi delle dimostrazioni . . . 17
2.3.1 Esercizio 1 (esempio svolto) . . . 18
2.3.2 Esercizio 2 (esempio svolto) . . . 18
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2.3.3 Esercizio 2 (esempio svolto) . . . 19
A Formulario 20 A.1 Funzioni circolari . . . 20
A.1.1 Relazioni tra funzioni goniometriche . . . 20
A.1.2 Formule di addizione e sottrazione . . . 21
A.1.3 Formule di duplicazione e di bisezione . . . 22
A.1.4 Formule cosiddette parametriche . . . 22
A.1.5 Formule di prostaferesi e di Werner. . . 23
A.2 Funzioni esponenziali. . . 24
A.2.1 Propriet`a delle potenze . . . 24
A.3 Funzioni logaritmiche . . . 25
A.3.1 Propriet`a dei logaritmi. . . 25
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Capitolo 1
Funzioni elementari:
formule e “regole di
calcolo”
Tutte le formule dimostrate in questo capitolo sono riportate e numerate, per comodit`a, nell’appendiceAe ad esse faremo riferimento con indicazioni del tipo: “utilizzando laA.3b. . . ”, “tramite la formulaA.4b. . . ” e simili.
1.1
Funzioni circolari
1.1.1
Definizioni e fatti basilari
Definizione 1. Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di rag-gio unitario avente centro nell’origine degli assi cartesiani.
Usando la formula che d`a l’equazione della circonferenza, noti centro e raggio, possiamo facilmente trovare che l’equazione della circonferenza goniometrica `e la seguente:
x2+ y2= 1
Definizione 2. Si dice seno di un angolo l’ordinata del punto di intersezione tra la retta che individua l’angolo e la circonferenza goniometrica.
Definizione 3. Si dice coseno di un angolo l’ascissa del punto di intersezione tra la retta che individua l’angolo e la circonferenza goniometrica.
Definizione 4. Si dice tangente di un angolo l’ordinata del punto di inter-sezione tra la retta che individua l’angolo e la retta di equazione x = 1.
Teorema 1. (Relazione analitica tra sin, cos, tan). Tra le funzioni goniomet-riche sussiste la seguente relazione algebrica:
tan x = sin x
cos x (1.1)
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Dimostrazione. Si consideri il grafico rappresentato in figura1.1; sia x l’angolo \
AOB. I triangoli \AOB e \A0
OB0
sono simili, perci`o . . .
Figura 1.1: Grafico utilizzato per la dimostrazione della relazione algebrica sussistente fra le funzioni seno, coseno, tangente.
1.1.2
La relazione goniometrica fondamentale
Con considerazioni di geometria analitica, si dimostra che: sin2x + cos2x = 1
1.1.3
Espressione di una funzione in termini delle altre
Dimostriamo in questa sezione che tra le funzioni goniometriche sussistono le relazioni sintetizzate nella tabella1.1.
Relazione tra seno e coseno
Dimostrazione. Utilizzando la A.1, con banali passaggi algebrici, `e possibile ottenere le relazioni cercate.
Tangente in funzione di seno e coseno
Dimostrazione. Si utilizza la relazione algebrica che lega tangente, seno e coseno (A.2) e le formule appena dimostrate che esprimono il seno in funzione del coseno
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Tabella 1.1: Espressione di una funzione goniometrica in termini delle altre.
sin x cos x tan x
sin x / ±√1 − cos2x ±√tan x 1+tan2x cos x ±p1 − sin2x / ±√ 1 1+tan2x tan x ±√sin x 1−sin2x ± √ 1−cos2x cos x /
Seno e coseno in funzione della tangente
Dimostrazione. A partire dalle formule che esprimono la tangente in funzione del solo seno o del solo coseno, con passaggi algebrici, `e possibile ricavare le formule cercate.
1.1.4
Archi associati
Basandoci su considerazioni geometriche, si nota che: sin(−α) = − sin(α)
cos(−α) = cos(α)
. . .
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1.1.5
Formule di addizione e sottrazione
Dimostriamo qui di seguito che valgono le seguenti formule di addizione e sottrazione di seno, coseno e tangente:
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
tan(α − β) = tan α − tan β 1 + tan α tan β
tan(α + β) = tan α + tan β 1 − tan α tan β Sottrazione del coseno
Dimostrazione. Si faccia riferimento alla figura1.2.
Siano α = [AOC e β = \AOB gli angoli assegnati. Si costruisce nel primo quadrante un triangolo congruente al triangolo OBC. Utilizzando le definizioni di seno e coseno e di circonferenza goniometrica, risulta che:
C(cos α, sin α);
B(cos β, sin β);
C0(cos(α − β), sin(α − β));
A(1, 0) Poich´e AOC0 ∼= OBC, risulter`a CB = C0A, ossia:
p
(cos α − cos β)2+ . . .
Sviluppando i calcoli ed utilizzando laA.1, otteniamo la formula cercata.
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Figura 1.2: Grafico utilizzato per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno.
Addizione del coseno
Partendo dallaA.4a, possiamo scrivere:
cos(α + β) = cos(α − (−β)) = . . . = cos α cos β − sin α sin β Addizione del seno
Utilizzando le formule relative agli archi associati, `e possibile dimostrare che: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Sottrazione del seno
Anche qua, con un semplice trucco algebrico, possiamo scrivere: sin(α − β) = sin(α − (−β)) = . . . = sin α cos β − cos α sin β Sottrazione della tangente
Addizione della tangente
1.1.6
Formule di duplicazione e di bisezione
Duplicazione
Le seguenti formule di duplicazione:
sin(2x) = 2 sin x cos x cos(2x) = cos2x − sin2x tan(2x) = 2 tan x 1 − tan2x
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si dimostrano facilmente a partire dalle formule di addizione, con accorgimenti come il seguente:
sin(2x) = sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x = . . . Bisezione Sono le seguenti: sinx 2 = ± r 1 − cos x 2 cosx 2 = ± r 1 + cos x 2 tanx 2 = ±r 1 − cos x 1 + cos x
1.1.7
Formule cosiddette parametriche
Formula per il seno
Dimostrazione. Ricordandoci che vogliamo introdurre gli angoli x/2, possiamo riscrivere laA.5a nel seguente modo:
sin x = 2 sinx 2 cosx 2
Possiamo adesso dividere il secondo membro per 1 = cos2(x/2) + sin2(x/2): sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos2(x/2) + sin2
(x/2)
Volendo ottenere un’espressione che contenga la tangente, possiamo dividere numeratore e denominatore per cos2(x/2); otteniamo cos`ı:
sinx 2
= 2t
1 + t2; avendo posto t = tan
x 2
Formula per il coseno
Si ricava, in modo analogo, partendo dalla formula di duplicazione del coseno.
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1.1.8
Formule di prostaferesi e di Werner
Le formule di prostaferesi
Dimostrazione. Sommando membro a membro laA.4c e laA.4d, otteniamo: sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β
Consideriamo ora il seguente cambiamento di variabile e la sua trasformazione inversa: ( p = α + β q = α − β = ; ( α = p+q2 β = p−q2 Otterremo allora la seguente:
sin p + sin q = 2 sinp + q 2 cos
p − q 2
Viceversa, sottraendo leA.4ce la A.4dotterremo . . . E ancora, se consideriamo le formule del coseno . . . Le formule di Werner
Sommando e sottraendo membro a membro le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno, `e possibile ricavare le seguenti formule dette di Werner:
sin x sin y = 1
2[cos(x − y) − cos(x + y)]
cos x cos y = 1
2[cos(x − y) + cos(x + y)]
sin x cos y = 1
2[sin(x + y) + sin(x − y)]
1.2
Funzioni esponenziali
1.2.1
Definizioni e fatti fondamentali
Definizione 5. Si definisce potenza n-sima di un numero a il prodotto di a per se stesso effettuato n volte, ossia:
an= a · a . . . · a. | {z } n volte (1.2)
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E’ chiaro che dalla definizione precedente non `e possibile dare un significato ad espressioni come a0, a−2, a253: che senso avrebbe moltiplicare un numero per
se stesso zero volte? o meno due volte?
Vedremo come dare un senso alle scritture precedenti. Innanzitutto diciamo che, per definizione, vale:
a0= 1. Consideriamo ora la seguente moltiplicazione:
am· an1.2 = a · a . . . · a | {z } n volte · a · a . . . · a | {z } m volte = = a · a . . . · a | {z } n+m volte 1.2 = an+m Consideriamo adesso la seguente moltiplicazione:
an· a−nA.10b= an−n= a0A.10a= 1 Considerando il primo e l’ultimo membro, ricaviamo che:
a−n= 1 an
Veniamo adesso al rapporto tra potenze: an am = a n · 1 am A.10g = an· a−mA.10b= an−m
1.3
Funzioni logaritmiche
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Tabella 1.2: Confronto e relazioni tra funzioni circolari e funzioni iperboliche.
Funzioni circolari Funzioni iperboliche
Relazioni definitorie
eıx= cos x + ı sin x ex= cosh x + sinh x e−ıx = cos x − ı sin x e−x= cosh x − sinh x
cos x = eıx+e2−ıx cosh = ex+e2−x sin x = eıx−e2−ıx sinh = ex−e2−x Relazione fondamentale cos2x + sin2x = 1 cosh2
x − sinh2x = 1 Propriet`a di derivazione
D[cos x] = − sin x D[cosh x] = sinh x D[sin x] = cos x D[sinh x] = cosh x
Relazione tra funzioni cir-colari ed iperboliche
cos x = cosh(ıx) sin x = −ı sinh(ıx)
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Capitolo 2
Le funzioni elementari:
esercizi
2.1
Dimostrazione di identit`
a
Dimostrare le uguaglianze proposte negli esercizi seguenti, facendo riferimento alle formule riportate nell’appendiceA, come negli esempi svolti.
2.1.1
Funzioni goniometriche
Vedi [?], vol. 3, ess. 317-382, pagg. 610-614. Esercizio 1 (esempio svolto)
Dimostriamo la seguente identit`a:
tan 2x(1 − 2 sin2x) = sin 2x Dimostrazione.
tan 2x(1 − 2 sin2x)A.5c= tan 2x · cos 2x A.2
= sin 2x
cos 2x· cos 2x = sin 2x
(2.1)
Esercizio 2 (esempio svolto) Dimostriamo la seguente identit`a:
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Dimostrazione.
sin2(x − y) + cos2(x + y)A.4d= (sin x cos y − cos x sin y)2+ cos2(x + y)A.4b= A.4b
= (sin x cos y − cos x sin y)2+ (cos x cos y − sin x sin y)2= = sin2xcos2y + cos2x sin2y − 2 sin x cos y cos x sin y+ + cos2x cos2y + sin2x sin2y − 2 cos x cos y sin x sin y =
= sin2x(cos2y + sin2y) + cos2x(sin2y + cos2y) − 4 sin x cos x sin y cos yA.1= A.1
= 1 − 2 sin x cos x · 2 sin y cos yA.5a= 1 − sin 2x sin 2y
Esercizio 3
Dimostrare le seguenti identit`a: cos 2x cos2x= 1 − tan 2x tan 2x tan x = 2 cos2x cos 2x (sin x + cos x)2 1 + cos 2x = 1 2(1 + tan x) 2 1 − 1 2 cos2x= tan x tan 2x tan x − tan y tan x + tan y = sin(x − y) sin(x + y) tan x − sin x 2 tan x = sin 2x 2
tan x − tan(x + y) = sin(x − y) cos 2x · cos(x + y)
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2.1.2
Funzione esponenziale
Esercizio 1 (esempio svolto) Dimostrare che: 32· 35·√7 32= 1 3−51/7 Dimostrazione. 32· 35·√7
32A.10f= 32· 35· 32/7A.10b= 351/7A.10g= 1
3−51/7
Esercizio 2
Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 18-30 pag. 614 di [?], con-siderando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Qui di seguito, riportiamo alcune identit`a riprese da tale testo.
(√325x·√5x)6: 55x−2 25 = 5 2x+4 (21−x−x2 :√2x)4 (22−x)2+x = 2 5x2−6x (√2x·√3 2x+1) :√6 2x= 22x+13
2.1.3
Funzione logaritmica
Esercizio 1 (esempio svolto) Dimostrare che vale:
log33 √ 3 3 √ 3 = 7 6 Dimostrazione. log33 √ 3 3 √ 3 A.10f = log33 · 3 1 2 313 A.10b = log33 3 2 313 A.10c = log3332− 1 3 = log 33 7 6 A.11c7 A.11f 7
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Esercizio 2
Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 4-8 pag. 656 di [?] e 92-99 pag. 661, considerando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Qui di seguito, riportiamo alcune identit`a riprese da tale testo.
log2 3 3 r 9 4 = − 2 3 log5 5√5 3 √ 5 = 7 6 1 + log√10 −1 3log 10 − log 6 √ 10 = log 10
log(x − y) + log(x + y) − log(x2− 2xy + y2) = logx + y
x − y
2.2
Dimostrazioni di formule e relazioni generali
Dimostrare le formule e relazioni proposte di seguito, mettendo in evidenza, in ogni passaggio in cui lo si ritenga opportuno, le altre formule, definizioni e fatti notevoli utilizzati per la dimostrazione.
2.2.1
Esercizio 1 (esempio guidato)
Dimostrazione 1. Dimostrare che: sin x = ±√tan x 1+tan2x,
sapendo che: 1) tan x = sin x/ cos x e che: 2) cos x = ±p1 − sin2x
Dimostrazione. Vogliamo innanzitutto far sparire la funzione coseno, per cui, utilizzando sia l’ipotesi 1 (definizione di tangente) che l’ipotesi 2, scriveremo:
tan x = sin x ±p1 − sin2x
Elevando al quadrato entrambi i membri, dopo una serie di passaggi algebrici, si ottiene la formula cercata.
2.2.2
Esercizio 2 (esempio guidato)
Dimostrazione 2. Dimostrare la seguente formula, detta di prostaferesi: sin p + sin q = 2 sinp + q
2 cos p − q
2 a partire dalle formule di addizione e sottrazione del seno.
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Qui di seguito proponiamo le linee guida della dimostrazione.
Dimostrazione. Si mettano a sistema le formule di addizione e di sottrazione del seno e si sommino membro a membro tali equazioni. Si consideri il seguente cambiamento di variabili:
(
α + β = p α − β = q
Si consideri la trasformazione inversa (che esprime cio`e α e β in funzione di p e q). Si eseguano le opportune sostituzioni; si ottiene cos`ı la formula desiderata.
2.2.3
Esercizio 3
Con procedimento analogo a quello dell’esercizio precedente, dimostrare le for-mule che esprimono la differenza dei seni, la somma dei coseni, la differenza dei coseni (sin p − sin q; cos p + cos q; . . . ).
2.2.4
Esercizio 4
Dimostrazione 3. Dimostrare la formula di duplicazione del coseno, con-siderando come nota la formula di sottrazione del coseno.
Dimostrazione. Per la formula di duplicazione del coseno, ci serve la formula di addizione del coseno. Dovremo allora ricavare tale formula a partire da quella di sottrazione del coseno . . .
2.2.5
Esercizio 5
Dimostrazione 4. A partire dalla formula di duplicazione del coseno (cos 2x = cos2x−sin2x), ed utilizzando la relazione goniometrica fondamentale, dimostrare
la seguente versione alternativa per la formula di duplicazione del coseno: cos(2x) = 2 cos2x − 1
2.2.6
Esercizio 6
Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione del seno, ossia la formula che esprime, in termini del solo sin x, il valore del sin(3x).
2.2.7
Esercizio 7
Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione della tangente, ossia la formula che esprime, in termini della sola tan x, il valore di tan(3x).
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2.2.8
Esercizio 8
A partire dalla seguente formula di bisezione della tangente: tanx
2
= ±r 1 − cos x 1 + cos x dimostrare la seguente versione alternativa della formula:
tanx 2 = sin x 1 + cos x
2.2.9
Esercizio 9
Dimostrare, ricorrendo anche ad un grafico sul piano cartesiano, la formula di sottrazione del coseno.
2.2.10
Esercizio 10
Dimostrare, avvalendosi anche di considerazioni geometriche, la formula che lega algebricamente le funzioni seno, coseno, tangente.
2.2.11
Esercizio 11
Dimostrare la formula di addizione della tangente, note quelle di addizione del seno e del coseno.
2.2.12
Esercizio 12 (esempio svolto)
Dimostrare la formula che esprime la tangente in funzione del solo seno. Dimostrazione. Per laA.2, vale:
tan x = sin x cos x Inoltre, considerando laA.3c, possiamo scrivere:
tan x = ±p sin x 1 − sin2x che `e la formula cercata.
2.3
Il software yEd e i grafi delle dimostrazioni
In questa sezione, proponiamo di utilizzare il software yEd1 per rappresentare tramite grafi le relazioni esistenti fra definizioni, teoremi ed altri teoremi. E’ possibile estendere progressivamente il grafo, via via che vengono aggiunte nuove definizioni e nuovi teoremi.
1Tale software `e liberamente scaricabile dal sito [?].
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2.3.1
Esercizio 1 (esempio svolto)
Costruire un grafo che illustri definizioni e teoremi utilizzati nella dimostrazione della formula di sottrazione del coseno.
Proponiamo tale grafo in figura 2.1, in cui abbiamo evidenziato in verde le definizioni ed in giallo le formule e i teoremi.
Figura 2.1: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo) utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno.
2.3.2
Esercizio 2 (esempio svolto)
Ampliare il grafo realizzato per l’esercizio precedente, introducendo la formula di sottrazione della tangente e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a di-mostrarla.
Ripercorrendo la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente, noti-amo che, oltre a vari passaggi algebrici banali, abbinoti-amo bisogno della definizione della funzione tangente e delle formule di sottrazione del seno e del coseno. Otterremo cos`ı il grafico proposto in figura2.2.
Figura 2.2: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo) utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente.
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2.3.3
Esercizio 2 (esempio svolto)
Ampliare il grafo realizzato per l’esercizio precedente, introducendo la formula di duplicazione del seno e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a dimostrarla. La formula di duplicazione del seno si dimostra a partire da quella di addizione del seno, la quale a sua volta si dimostra a partire da quella di sottrazione del seno; quest’ultima, infine, si dimostra usando le formule relative agli archi associati e la formula di sottrazione del coseno.
Tutto ci`o `e sintetizzato nel grafico proposto in figura2.3.
Figura 2.3: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo) utilizzate per la dimostrazione della formula di duplicazione del seno.
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Appendice A
Formulario
A.1
Funzioni circolari
A.1.1
Relazioni tra funzioni goniometriche
Relazioni fondamentali
sin2x + cos2x = 1 (A.1)
tan x = sin x
cos x (A.2)
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Espressione di una funzione in termini delle altre
sin x = ±p1 − cos2x (A.3a)
= ±√ tan x
1 + tan2x (A.3b)
cos x = ±p1 − sin2x (A.3c)
= ±√ 1 1 + tan2x (A.3d) tan x = ±p sin x 1 − sin2x (A.3e) = ± √ 1 − cos2x cos x (A.3f)
A.1.2
Formule di addizione e sottrazione
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β (A.4a)
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β (A.4b)
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (A.4c)
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β (A.4d)
tan(α − β) = tan α − tan β
1 + tan α tan β (A.4e)
tan(α + β) = tan α + tan β
1 − tan α tan β (A.4f)
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A.1.3
Formule di duplicazione e di bisezione
Duplicazione
sin(2x) = 2 sin x cos x (A.5a)
cos(2x) = cos2x − sin2x (A.5b)
= 1 − 2 sin2x (A.5c) = 2 cos2x − 1 (A.5d) tan(2x) = 2 tan x 1 − tan2x (A.5e) Bisezione sinx 2 = ± r 1 − cos x 2 (A.6a) cosx 2 = ± r 1 + cos x 2 (A.6b) tanx 2 = ±r 1 − cos x 1 + cos x (A.6c)
A.1.4
Formule cosiddette parametriche
Sia t = tan x2. Allora:
sin x = 2t 1 + t2 (A.7a) cos x = 1 − t 2 1 + t2 (A.7b) tan x = 2t 1 − t2 (A.7c)
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A.1.5
Formule di prostaferesi e di Werner
Prostaferesi
sin x + sin y = 2 sinx + y 2 cos
x − y
2 (A.8a)
sin x − sin y = 2 cosx + y 2 sin
x − y
2 (A.8b)
cos x + cos y = 2 cosx + y 2 cos
x − y
2 (A.8c)
cos x − cos y = −2 sinx + y 2 sin
x − y
2 (A.8d)
Werner
sin x sin y = 1
2[cos(x − y) − cos(x + y)] (A.9a)
cos x cos y = 1
2[cos(x − y) + cos(x + y)] (A.9b)
sin x cos y = 1
2[sin(x + y) + sin(x − y)] (A.9c)
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A.2
Funzioni esponenziali
A.2.1
Propriet`
a delle potenze
a0= 1 (a 6= 0) (A.10a) am· an = am+n (A.10b) am an = a m−n (A.10c) a b n = a n bn (A.10d) (am)n= am·n (A.10e) n √ am= amn (A.10f) a−n= 1 an (A.10g) alogax= x (A.10h)
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A.3
Funzioni logaritmiche
A.3.1
Propriet`
a dei logaritmi
Laddove non `e indicata esplicitamente la base, `e inteso che la propriet`a vale qualsiasi sia la base.
log(xy) = log x + log y (A.11a)
logx y
= log x − log y (A.11b)
log xn= n log x (A.11c)
logax = logbx logba (A.11d) logaax= x (A.11e) logaa = 1 (A.11f)