Circonferenza goniometrica

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PRECORSO DI MATEMATICA

ESERCIZI DI

TRIGONOMETRIA: CIRCONFERENZA

GONIOMETRICA

Esercizio 1: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xOy una circonferenza goniome-trica, stabilire quali condizioni deve soddisfare m ∈ R affinch´e valga la seguente uguaglianza

3 sin α = 4m .

Svolgimento: La funzione sin α `e limitata, precisamente si ha | sin α| ≤ 1 _{∀ α ∈ R .} L’espressione data si pu`o scrivere nella forma

sin α = 4 3m e quindi, affinch´e abbia senso, bisogna richiedere che

4 3m ≤ 1 . Risolvendo tale disequazione si ottiene

|m| ≤ 3 4 da cui segue −3 4 ≤ m ≤ 3 4.

Esercizio 2: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xOy una circonferenza goniome-trica, stabilire, motivando la risposta, se la seguente uguaglianza `e corretta

r cos2 π 6 = cos π 6. Svolgimento: Si ha r cos2 π 6 = cos π 6 . 1

(2)

Poich´e l’angolo π

6 si trova nel I quadrante, il suo coseno `e positivo. Allora cos π 6 = cos π 6. Quindi r cos2 π 6 = cos π 6 = cos π 6 , e l’uguaglianza data risulta corretta.

Esercizi: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xOy una circonferenza goniometrica 1. scrivere l’equazione della circonferenza goniometrica;

2. individare sulla circonferenza goniometrica i punti associati agli angoli a. 60◦ b. 30◦ c. π 4 d. 120◦ e. −π 6 f. 3 2π g. 150◦ h. π 3 i. 90◦ j. 7 4π ;

3. calcolare il seno e il coseno dei seguenti angoli a. π 3 b. 30◦ c. π 4 d. 180◦ e. −π 6 f. 3 2π

(3)

h. 0◦ i. 90◦ j. 3

4π ;

4. disegnare gli angoli α ∈ [0, 2π] sapendo che a. sin α = 2 3 b. cos α = −1 2 c. sin α = 0 d. sin α = −1 3 e. cos α = 1 f. sin α = −2 g. cos α = 3 4 h. cos α =2 3;

5. stabilire, motivando la risposta, se le seguenti uguaglianze sono corrette a. psin240◦ _{= sin 40}◦ b. r cos2 5 3π = − cos 5 3π c. √ cos2₁₂₀◦_{= cos 120}◦ d. psin2320◦ _{= − sin 320}◦ e. r sin2 π 5 = sin π 5 f. √ cos2_{2π = cos 2π ;}

6. stabilire, motivando la risposta, per quali angoli α sono vere le seguenti uguaglianze a. psin2α = sin α b. √ cos2_{α = − cos α} c. √ cos2_{α = cos α} d. psin2α = − sin α ;

(4)

7. rappresentare graficamente la tangente dei seguenti angoli a. 60◦ b. 30◦ c. π 4 d. 120◦ e. −π 6 f. 3 2π g. 150◦ h. π 3 i. 90◦ j. π 2 ;

8. disegnare gli angoli α ∈ [0, 2π] sapendo che a. tan α = 1 b. tan α = −1 2 c. tan α = 0 d. tan α = 5 4 e. tan α = 3 2 f. tan α = −2 ;

9. stabilire, motivando la risposta, per quali angoli α 6= π

2 + kπ, k ∈ Z , sono vere le seguenti uguaglianze a. √ tan2_{α = tan α} b. √ tan2_{α = − tan α} c. √ tan2_{α = | tan α| ;}

10. stabilire quali condizioni deve soddisfare m ∈ R affinch´e possano valere le seguenti uguaglianze

(5)

c. 3 cos α = 5m d. tan α = 3 m e. 2m sin α = −5 f. 2m sin α = −1 g. tan α = m − 1 h. 4 cot α = m i. sin α = m2− 3m + 1 j. 5m cos α = 2 − m ;

11. stabilire quali condizioni deve soddisfare m ∈ R affinch´e possano valere le seguenti uguaglianze nell’intervallo indicato

a. 3m sin α + 1 = 0 , α ∈ h 0,π 2 i b. cos α = m2− 1 , α ∈hπ 2, π i c. (m − 1) tan α = m2+ 1 , α ∈h0,π 2 i d. 2m cos α = m − 1 , α ∈ h 0,π 2 i e. (m + 1) tan α − 2 + m = 0 , α ∈ hπ 2, π i f. m sin α = m − 1 , α ∈h0,π 2 i g. 2m sin α = m + 2 , α ∈hπ 2, π i h. (m − 1) cos α = 2 , α ∈ hπ 2, π i ; 12. dato un angolo α ∈ h 0,π 2 i

, disegnare sulla circonferenza goniometrica l’angolo β tale che a. sin β = − cos α b. cos β = 1 2sin α c. tan β = 2 tan α d. cos β = sin α e. sin β = 1 4sin α f. sin β = 3 4cos α .