Gli angoli Gli angoli

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Gli angoli

Gli angoli

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Definizione di angolo Definizione di angolo

Consideriamo un Consideriamo un piano

piano α α e due e due

semirette a e b aventi semirette a e b aventi un’origine in comune un’origine in comune B B

Si definisce angolo Si definisce angolo ciascuna delle parti ciascuna delle parti

in cui il piano in cui il piano

risulta suddiviso risulta suddiviso

dalle due semirette

dalle due semirette

(3)

Elementi di un angolo Elementi di un angolo

Consideriamo Consideriamo

l’angolo mostrato in l’angolo mostrato in figura

figura

Definiamo vertice il Definiamo vertice il punto di origine delle punto di origine delle due semirette

due semirette a e b sono i lati dell’angolo

α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica

dimensione che lo caratterizza

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Angoli concavi e convessi Angoli concavi e convessi

Dalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune

formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti

Definiamo convesso

l’angolo che

non contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo 

Definiamo concavo l’angolo che contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo 

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Angoli consecutivi Angoli consecutivi

L’italiano ci dovrebbe

venire in soccorso quando parliamo di angoli

consecutivi

Cosa significa consecutivo?

Una cosa è consecutiva ad un’altra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si

susseguono l'un l'altro

Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo?

Due angoli sono consecutivi quando

hanno un vertice ed un lato in comune

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Angoli adiacenti Angoli adiacenti

Si dicono adiacenti due angoli Si dicono adiacenti due angoli

consecutivi e i cui lati non comuni consecutivi e i cui lati non comuni

giacciono sulla stessa retta

giacciono sulla stessa retta

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Angoli opposti al vertice Angoli opposti al vertice

Analizziamo le parole opposti al vertice Analizziamo le parole opposti al vertice

Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa; Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa;

questo qualche cosa si comporta come uno specchio questo qualche cosa si comporta come uno specchio

Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un angolo

angolo

Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il vertice in comune …. Ma ciò non basta

vertice in comune …. Ma ciò non basta

Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si

comporta come uno specchio comporta come uno specchio

Due angoli si dicono opposti al vertice Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i

se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul

suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altro prolungamento dell’altro

Due angoli opposti al vertice sono congruenti Due angoli opposti al vertice sono congruenti = =

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Bisettrice Bisettrice

O A A’1

Consideriamo l’angolo AOA’1

Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà

Tale retta prende il nome di bisettrice

A’

Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide

l’angolo in due parti uguali

bisettrice

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Confronto di angoli Confronto di angoli

Per confrontare due angoli basta Per confrontare due angoli basta far coincidere un vertice e il lato far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succede omologo e vedere cosa succede

Vediamo cosa dice il vocabolario Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo:

alla parola omologo: che è simile, che è simile, che corrisponde a un altro, che ha che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identiche

caratteristiche identiche

Quindi i lati omologhi sono lati che Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi hanno a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colore

lo stesso colore

Se sposto il lato O’A’ e lo faccio Se sposto il lato O’A’ e lo faccio coincidere con OA posso

coincidere con OA posso confrontare i due angoli confrontare i due angoli

Col confronto vedo se uno è Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale maggiore, minore od uguale all’altro

all’altro

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Angolo maggiore di un’altro Angolo maggiore di un’altro

Consideriamo le due figure Consideriamo le due figure precedenti

precedenti

Com’è l’angolo AOB rispetto Com’è l’angolo AOB rispetto all’angolo A’O’B’

all’angolo A’O’B’

Quando li sovrappongo vedo Quando li sovrappongo vedo che il alto c cade all’interno che il alto c cade all’interno dell’angolo AOB

dell’angolo AOB

In questo caso avremmo che In questo caso avremmo che l’angolo AOB > A’O’C

l’angolo AOB > A’O’C

Un angolo è maggiore di Un angolo è maggiore di un altro quando

un altro quando

sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha che l’altro lato del

che l’altro lato del

secondo angolo cade secondo angolo cade all’interno del primo all’interno del primo

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Angolo minore di un’altro Angolo minore di un’altro

Consideriamo i seguenti due Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C

angoli AOB e A’O’C

Se li sovrapponiamo possiamo Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato facilmente costatare che il lato c cade all’esterno del lato AOB c cade all’esterno del lato AOB

In questo caso avremmo che In questo caso avremmo che AOB < A’O’C

AOB < A’O’C

Un angolo è minore di Un angolo è minore di un altro quando

un altro quando

sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha

che l’altro lato del che l’altro lato del

secondo angolo cade secondo angolo cade

all’esterno del primo all’esterno del primo

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Angoli congruenti Angoli congruenti

Consideriamo i seguenti due Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C

angoli AOB e A’O’C

Se li sovrapponiamo possiamo Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c facilmente costatare che il lato c coincide col lato b

coincide col lato b

Perciò si ha che AOB = A’O’CPerciò si ha che AOB = A’O’C

Un angolo è Un angolo è

congruente ( cioè ha la congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un stessa ampiezza) di un

altro quando altro quando

sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha

che l’altro lato del che l’altro lato del

secondo angolo secondo angolo coincide col suo coincide col suo

omologo del primo omologo del primo

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Tipi di angoli Tipi di angoli

Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3

notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa

di speciale o particolare) di speciale o particolare)

1.1.

Angolo giro Angolo giro

2.2.

Angolo piatto Angolo piatto

3.3.

Angolo retto Angolo retto

4.4.

Angolo acuto Angolo acuto

5.5.

Angolo ottuso Angolo ottuso

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Angolo giro Angolo giro

Cosa succede se i due lati dell’angolo Cosa succede se i due lati dell’angolo coincidono?

coincidono?

L’angolo convesso sarà nullo e quello L’angolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massima

concavo avrà ampiezza massima

Chiamiamo questo angolo angolo giro Chiamiamo questo angolo angolo giro

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Angolo piatto Angolo piatto

Definiamo Piatto l’angolo formato da Definiamo Piatto l’angolo formato da due semirette che sono una il

due semirette che sono una il

prolungamento dell’altra cioè che prolungamento dell’altra cioè che

giacciono sulla stessa retta giacciono sulla stessa retta

La sua ampiezza è la metà dell’angolo giroLa sua ampiezza è la metà dell’angolo giro

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Angolo Retto Angolo Retto

Prendiamo un angolo piatto e Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice

tracciamo la sua bisettrice

Tale bisettrice divide l’angolo in due Tale bisettrice divide l’angolo in due parti uguali

parti uguali

Definiamo retto ciascuno di questi Definiamo retto ciascuno di questi

angoli aventi ampiezza pari alla metà angoli aventi ampiezza pari alla metà

dell’angolo piatto

dell’angolo piatto

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Angoli acuti Angoli acuti

Un angolo si Un angolo si dice acuto se dice acuto se

la sua la sua

ampiezza è ampiezza è

minore di minore di

quella di un quella di un

angolo retto angolo retto

Angolo acuto

(18)

Angolo ottuso Angolo ottuso

Un angolo si Un angolo si dice ottuso se dice ottuso se

la sua la sua

ampiezza è ampiezza è

maggiore di un maggiore di un

angolo retto

angolo retto

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Somma di angoli Somma di angoli

Sono dati due angoli AOB e Sono dati due angoli AOB e CKDCKD

Per fare la somma di due Per fare la somma di due angoli faccio coincidere i angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due lati non omologhi e i due

vertici vertici

Lati non omologhi: sono Lati non omologhi: sono lati che non occupano la lati che non occupano la stessa posizione (colore stessa posizione (colore

diverso) diverso)

AOD è la somma AOD è la somma fra l’angolo AOB fra l’angolo AOB

e l’angolo CKD e l’angolo CKD

AOB + CKD = AODAOB + CKD = AOD

γγ = = αα + + ββ

O A

B

K C

D

O A

B C

K

D

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Differenza di angoli Differenza di angoli

Sono dati due angoli Sono dati due angoli AOB e CKD

AOB e CKD

Per fare la differenza di Per fare la differenza di due angoli faccio

due angoli faccio

coincidere i lati omologhi coincidere i lati omologhi

e i due vertici e i due vertici

Lati omologhi: sono lati Lati omologhi: sono lati che occupano la stessa che occupano la stessa posizione (stesso colore posizione (stesso colore

nella figura) nella figura)

DOB è la differenza fra DOB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo l’angolo AOB e l’angolo CKDCKD

AOB – CKD = DOBAOB – CKD = DOB

γγ = = αα - - ββ

O A

B

K C

D

O A

B

K C

D

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Sottomultipli di angoli Sottomultipli di angoli

Prendiamo l’angolo AOB e Prendiamo l’angolo AOB e dividiamolo in tre parti dividiamolo in tre parti

uguali uguali

Com’è l’angolo AOC Com’è l’angolo AOC

rispetto all’angolo AOB?

rispetto all’angolo AOB?

Sapendo che per Sapendo che per

definizione l’angolo AOC è definizione l’angolo AOC è

contenuto 3 volte in AOB contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo?

come sarà questo angolo?

Se AOC è contenuto 3 volte Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo

in AOB sarà un suo sottomultiplo

sottomultiplo

Quando un angolo è Quando un angolo è

sottomultiplo di un altro?

sottomultiplo di un altro?

Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero

intero di volte

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Multipli di un angolo Multipli di un angolo

Quante volte AOB contiene Quante volte AOB contiene AOC?AOC?

Tre volte per definizione Tre volte per definizione

(perché ho fatto l’operazione di (perché ho fatto l’operazione di

dividere l’angolo in tre parti dividere l’angolo in tre parti

uguali e quindi l’ho definito in uguali e quindi l’ho definito in

partenza) partenza)

Come sarà AOB rispetto ad Come sarà AOB rispetto ad AOC?AOC?

Sarà un suo multiploSarà un suo multiplo

Quando un angolo è multiplo di Quando un angolo è multiplo di un altro?

un altro?

Un angolo è multiplo di Un angolo è multiplo di un altro quando lo

un altro quando lo contiene un numero contiene un numero

intero di volte

intero di volte

α β

:n

Α è multiplo di β perché lo x n

contiene n volte: β è sottomultiplo di α perché è contenuto n volte in α

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Angoli complementari Angoli complementari

Consideriamo due Consideriamo due angoli AOB e CKD e angoli AOB e CKD e

proviamo a sommare proviamo a sommare

questi due angoli questi due angoli

Dalla somma è uscito Dalla somma è uscito un angolo retto

un angolo retto

Due angoli si dicono complementari

se la loro somma è un angolo retto

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Angoli supplementari Angoli supplementari

Consideriamo due Consideriamo due angoli AOB e CKD angoli AOB e CKD e proviamo a

e proviamo a

sommare questi sommare questi due angoli

due angoli

Dalla somma è Dalla somma è uscito un angolo uscito un angolo piatto

piatto

Due angoli si dicono

supplementari se la loro somma

è un angolo piatto

(25)

Angoli esplementari Angoli esplementari

Consideriamo due Consideriamo due angoli AOB e CKD e angoli AOB e CKD e

proviamo a sommare proviamo a sommare

questi due angoli questi due angoli

Dalla somma è uscito un angolo giro

Due Angoli si dicono esplementari

se la loro somma è un angolo giro

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