Gli angoli
Gli angoli
Definizione di angolo Definizione di angolo
Consideriamo un Consideriamo un piano
piano α α e due e due
semirette a e b aventi semirette a e b aventi un’origine in comune un’origine in comune B B
Si definisce angolo Si definisce angolo ciascuna delle parti ciascuna delle parti
in cui il piano in cui il piano
risulta suddiviso risulta suddiviso
dalle due semirette
dalle due semirette
Elementi di un angolo Elementi di un angolo
Consideriamo Consideriamo
l’angolo mostrato in l’angolo mostrato in figura
figura
Definiamo vertice il Definiamo vertice il punto di origine delle punto di origine delle due semirette
due semirette a e b sono i lati dell’angolo
α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica
dimensione che lo caratterizza
Angoli concavi e convessi Angoli concavi e convessi
Dalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune
formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti
Definiamo convesso
l’angolo che
non contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo
Definiamo concavo l’angolo che contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo
Angoli consecutivi Angoli consecutivi
L’italiano ci dovrebbe
venire in soccorso quando parliamo di angoli
consecutivi
Cosa significa consecutivo?
Una cosa è consecutiva ad un’altra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si
susseguono l'un l'altro
Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo?
Due angoli sono consecutivi quando
hanno un vertice ed un lato in comune
Angoli adiacenti Angoli adiacenti
Si dicono adiacenti due angoli Si dicono adiacenti due angoli
consecutivi e i cui lati non comuni consecutivi e i cui lati non comuni
giacciono sulla stessa retta
giacciono sulla stessa retta
Angoli opposti al vertice Angoli opposti al vertice
Analizziamo le parole opposti al vertice Analizziamo le parole opposti al vertice
Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa; Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa;
questo qualche cosa si comporta come uno specchio questo qualche cosa si comporta come uno specchio
Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un angolo
angolo
Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il vertice in comune …. Ma ciò non basta
vertice in comune …. Ma ciò non basta
Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si
comporta come uno specchio comporta come uno specchio
Due angoli si dicono opposti al vertice Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i
se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul
suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altro prolungamento dell’altro
Due angoli opposti al vertice sono congruenti Due angoli opposti al vertice sono congruenti = =
Bisettrice Bisettrice
O A A’1
Consideriamo l’angolo AOA’1
Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà
Tale retta prende il nome di bisettrice
A’
Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide
l’angolo in due parti uguali
bisettrice
Confronto di angoli Confronto di angoli
Per confrontare due angoli basta Per confrontare due angoli basta far coincidere un vertice e il lato far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succede omologo e vedere cosa succede
Vediamo cosa dice il vocabolario Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo:
alla parola omologo: che è simile, che è simile, che corrisponde a un altro, che ha che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identiche
caratteristiche identiche
Quindi i lati omologhi sono lati che Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi hanno a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colore
lo stesso colore
Se sposto il lato O’A’ e lo faccio Se sposto il lato O’A’ e lo faccio coincidere con OA posso
coincidere con OA posso confrontare i due angoli confrontare i due angoli
Col confronto vedo se uno è Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale maggiore, minore od uguale all’altro
all’altro
Angolo maggiore di un’altro Angolo maggiore di un’altro
Consideriamo le due figure Consideriamo le due figure precedenti
precedenti
Com’è l’angolo AOB rispetto Com’è l’angolo AOB rispetto all’angolo A’O’B’
all’angolo A’O’B’
Quando li sovrappongo vedo Quando li sovrappongo vedo che il alto c cade all’interno che il alto c cade all’interno dell’angolo AOB
dell’angolo AOB
In questo caso avremmo che In questo caso avremmo che l’angolo AOB > A’O’C
l’angolo AOB > A’O’C
Un angolo è maggiore di Un angolo è maggiore di un altro quando
un altro quando
sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha che l’altro lato del
che l’altro lato del
secondo angolo cade secondo angolo cade all’interno del primo all’interno del primo
Angolo minore di un’altro Angolo minore di un’altro
Consideriamo i seguenti due Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C
angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato facilmente costatare che il lato c cade all’esterno del lato AOB c cade all’esterno del lato AOB
In questo caso avremmo che In questo caso avremmo che AOB < A’O’C
AOB < A’O’C
Un angolo è minore di Un angolo è minore di un altro quando
un altro quando
sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del che l’altro lato del
secondo angolo cade secondo angolo cade
all’esterno del primo all’esterno del primo
Angoli congruenti Angoli congruenti
Consideriamo i seguenti due Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C
angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c facilmente costatare che il lato c coincide col lato b
coincide col lato b
Perciò si ha che AOB = A’O’CPerciò si ha che AOB = A’O’C
Un angolo è Un angolo è
congruente ( cioè ha la congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un stessa ampiezza) di un
altro quando altro quando
sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del che l’altro lato del
secondo angolo secondo angolo coincide col suo coincide col suo
omologo del primo omologo del primo
Tipi di angoli Tipi di angoli
Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3
notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa
di speciale o particolare) di speciale o particolare)
1.1.
Angolo giro Angolo giro
2.2.
Angolo piatto Angolo piatto
3.3.
Angolo retto Angolo retto
4.4.
Angolo acuto Angolo acuto
5.5.
Angolo ottuso Angolo ottuso
Angolo giro Angolo giro
Cosa succede se i due lati dell’angolo Cosa succede se i due lati dell’angolo coincidono?
coincidono?
L’angolo convesso sarà nullo e quello L’angolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massima
concavo avrà ampiezza massima
Chiamiamo questo angolo angolo giro Chiamiamo questo angolo angolo giro
Angolo piatto Angolo piatto
Definiamo Piatto l’angolo formato da Definiamo Piatto l’angolo formato da due semirette che sono una il
due semirette che sono una il
prolungamento dell’altra cioè che prolungamento dell’altra cioè che
giacciono sulla stessa retta giacciono sulla stessa retta
La sua ampiezza è la metà dell’angolo giroLa sua ampiezza è la metà dell’angolo giro
Angolo Retto Angolo Retto
Prendiamo un angolo piatto e Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice
tracciamo la sua bisettrice
Tale bisettrice divide l’angolo in due Tale bisettrice divide l’angolo in due parti uguali
parti uguali
Definiamo retto ciascuno di questi Definiamo retto ciascuno di questi
angoli aventi ampiezza pari alla metà angoli aventi ampiezza pari alla metà
dell’angolo piatto
dell’angolo piatto
Angoli acuti Angoli acuti
Un angolo si Un angolo si dice acuto se dice acuto se
la sua la sua
ampiezza è ampiezza è
minore di minore di
quella di un quella di un
angolo retto angolo retto
Angolo acuto
Angolo ottuso Angolo ottuso
Un angolo si Un angolo si dice ottuso se dice ottuso se
la sua la sua
ampiezza è ampiezza è
maggiore di un maggiore di un
angolo retto
angolo retto
Somma di angoli Somma di angoli
Sono dati due angoli AOB e Sono dati due angoli AOB e CKDCKD
Per fare la somma di due Per fare la somma di due angoli faccio coincidere i angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due lati non omologhi e i due
vertici vertici
Lati non omologhi: sono Lati non omologhi: sono lati che non occupano la lati che non occupano la stessa posizione (colore stessa posizione (colore
diverso) diverso)
AOD è la somma AOD è la somma fra l’angolo AOB fra l’angolo AOB
e l’angolo CKD e l’angolo CKD
AOB + CKD = AODAOB + CKD = AOD
γγ = = αα + + ββ
O A
B
K C
D
O A
B C
K
D
Differenza di angoli Differenza di angoli
Sono dati due angoli Sono dati due angoli AOB e CKD
AOB e CKD
Per fare la differenza di Per fare la differenza di due angoli faccio
due angoli faccio
coincidere i lati omologhi coincidere i lati omologhi
e i due vertici e i due vertici
Lati omologhi: sono lati Lati omologhi: sono lati che occupano la stessa che occupano la stessa posizione (stesso colore posizione (stesso colore
nella figura) nella figura)
DOB è la differenza fra DOB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo l’angolo AOB e l’angolo CKDCKD
AOB – CKD = DOBAOB – CKD = DOB
γγ = = αα - - ββ
O A
B
K C
D
O A
B
K C
D
Sottomultipli di angoli Sottomultipli di angoli
Prendiamo l’angolo AOB e Prendiamo l’angolo AOB e dividiamolo in tre parti dividiamolo in tre parti
uguali uguali
Com’è l’angolo AOC Com’è l’angolo AOC
rispetto all’angolo AOB?
rispetto all’angolo AOB?
Sapendo che per Sapendo che per
definizione l’angolo AOC è definizione l’angolo AOC è
contenuto 3 volte in AOB contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo?
come sarà questo angolo?
Se AOC è contenuto 3 volte Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo
in AOB sarà un suo sottomultiplo
sottomultiplo
Quando un angolo è Quando un angolo è
sottomultiplo di un altro?
sottomultiplo di un altro?
Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero
intero di volte
Multipli di un angolo Multipli di un angolo
Quante volte AOB contiene Quante volte AOB contiene AOC?AOC?
Tre volte per definizione Tre volte per definizione
(perché ho fatto l’operazione di (perché ho fatto l’operazione di
dividere l’angolo in tre parti dividere l’angolo in tre parti
uguali e quindi l’ho definito in uguali e quindi l’ho definito in
partenza) partenza)
Come sarà AOB rispetto ad Come sarà AOB rispetto ad AOC?AOC?
Sarà un suo multiploSarà un suo multiplo
Quando un angolo è multiplo di Quando un angolo è multiplo di un altro?
un altro?
Un angolo è multiplo di Un angolo è multiplo di un altro quando lo
un altro quando lo contiene un numero contiene un numero
intero di volte
intero di volte
α β
:n
Α è multiplo di β perché lo x n
contiene n volte: β è sottomultiplo di α perché è contenuto n volte in α
Angoli complementari Angoli complementari
Consideriamo due Consideriamo due angoli AOB e CKD e angoli AOB e CKD e
proviamo a sommare proviamo a sommare
questi due angoli questi due angoli
Dalla somma è uscito Dalla somma è uscito un angolo retto
un angolo retto
Due angoli si dicono complementari
se la loro somma è un angolo retto
Angoli supplementari Angoli supplementari
Consideriamo due Consideriamo due angoli AOB e CKD angoli AOB e CKD e proviamo a
e proviamo a
sommare questi sommare questi due angoli
due angoli
Dalla somma è Dalla somma è uscito un angolo uscito un angolo piatto
piatto
Due angoli si dicono
supplementari se la loro somma
è un angolo piatto
Angoli esplementari Angoli esplementari
Consideriamo due Consideriamo due angoli AOB e CKD e angoli AOB e CKD e
proviamo a sommare proviamo a sommare
questi due angoli questi due angoli
Dalla somma è uscito un angolo giro
