Integrazione per parti AD

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(1)1. www.matematicagenerale.it. Integrazione per parti ) g ( x)d x ∫ f '( x=. f ( x) g ( x) − ∫ f ( x) g '( x)d x. Questo metodo viene utilizzato quando la funzione integranda è il prodotto di un fattore finito f( x ) e di un fattore differenziale g(' x ).. Si osservi che la scelta del fattore finito e del fattore differenziale è quasi sempre determinante per la riuscita del calcolo e, pur non essendoci una regola generale, in alcuni casi è utile sapere che: •. conviene prendere x n come fattore finito nelle integrazioni poiché il grado della x diminuisce;. •. conviene porre x n come fattore differenziale nelle integrazioni: ∫ x n ⋅ log xdx , ∫x. n. ⋅ arctgdx .. Esercizio 1 Calcoliamo il seguente integrale:. ∫ xe dx x. Scegliamo un fattore da integrare ( detto fattore differenziale) e uno da derivare ( detto fattore finito): •. fattore differenziale f'(x) = ex , quindi f(x) = ex. •. fattore finito g(x) = x , quindi g'(x)=1. ∫ xe dx = x. xe x − ∫ e x ⋅1dx = xe x − e x + c. Esercizio 2 Calcoliamo il seguente integrale:. ∫ ln xdx Scegliamo:. •. f ( x) = ln x come fattore finito → f '( x) =. 1 x info@matematicagenerale.it.

(2) 2. www.matematicagenerale.it •. g '( x) = 1 come fattore differenziale →g(x)= x. L’integrale diventa: 1. ∫ ln xdx = x ⋅ lnx − ∫ x ⋅ x dx =x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x(ln x − 1) + c Esercizio 3 Calcoliamo il seguente integrale:. ∫x. 2. ∫x. 2. cos xdx. ⋅ cos xdx =x 2 ⋅ senx − ∫ 2 xsenxdx =x 2 senx − 2 ∫ x ⋅ senxdx =. Applichiamo nuovamente il metodo nell’ultimo integrale: = x 2 senx − 2 ∫ x ⋅ senxdx = x 2 senx − 2 x ⋅ ( − cos x ) − 2 ∫ 1 ⋅ ( − cos x= ) dx = x 2 senx + 2 x cos x + 2 senx + C. Esercizio 4 Calcoliamo il seguente integrale:. ∫ xe. −x. ∫ xe. −x. dx. dx = x(−e − x ) − ∫ (−e − x ) ⋅1dx = −e − x x + ∫ e − x dx = − e− x x − e− x + c. Esercizio 5 Calcoliamo il seguente integrale: Procediamo per parti:. 2 = arctgx ∫ x arctgxdx. Calcoliamo. ∫ x arctgxdx 2. x3 x3 1 x3 1 x3 dx arctgx dx −∫ ⋅ = − 3 3 1 + x2 3 3 ∫ 1 + x2. x3 ∫ 1 + x 2 dx dalla divisione dei polinomi si ha:. x3 x 1 2x 1 2 2 2 ∫ 1 + x 2 dx =∫ xdx − ∫ 1 + x 2 dx =x − 2 ∫ 1 + x 2 dx =x − 2 ln(1 + x ) + c info@matematicagenerale.it.

(3) 3. www.matematicagenerale.it Pertanto l’integrale dato è:. 2 = arctgx ∫ x arctgxdx. x3 1  2 1  −  x − ln(1 + x 2 )  + c 3 3 2 . info@matematicagenerale.it.

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