Estrazione di un fattore da un radicale e somma algebrica di radicali simili - UbiLearning - 1
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Estrazione di un fattore da un radicale
L’estrazione di radice non sempre ha risultato nell’insieme ℕ o ℚ dei numeri razionali. In questi casi si origina un numero decimale illimitato non periodico, detto numero irrazionale.
La radice non è, quindi, un’operazione interna all’insieme ℚ ma all’insieme ℝ dei numeri reali.
Per questo, ai fini del calcolo di espressioni con i radicali, è utile estrarre un fattore da un radicale il cui radicando è esprimibile come prodotto. L’operazione di estrazione di un fattore è possibile solo se uno dei fattori del prodotto, ottenuto scomponendo in fattori primi il radicando, è elevato a un esponente maggiore o uguale all'indice della radice.
√27 = √33 = √32 ∙ 3 = √32∙ √3 = 3√3 √20 = √4 ∙ 5 = √22∙ 5 = √22 ∙ √5 = 2√5
√700 = √100 ∙ 7 = √102 ∙ √7 = 10√7 √800 = √25∙ √52 = √24∙ 2 ∙ √52 = 20√2
3√16
= √23 4 = √23 3∙ √23 = 2√23 4√32= √24 5 = √24 4∙ 2= 2√24 Ricorda che essendo 𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑛 𝑚 si ha che √210= 2102 = 25 e che 3√26 = 263 = 22.
Somma algebrica di radicali
Non è sempre possibile sommare algebricamente due radicali.
√9 + √4 = 3 + 2 = 5 ≠ √9 + 4 = √13
√9 − √4 = 3 − 2 = 1 ≠ √9 − 4 = √5
Due radicali si dicono "simili" se hanno uguale sia l’indice sia il radicando.
La somma algebrica di due o più radicali simili è un radicale simile a quelli dati e avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.
𝑥𝑛√𝑎+ 𝑦𝑛√𝑎= (𝑥 + 𝑦)𝑛√𝑎 Esempi
5 √2 + 2 √2 = (√2 + √2 + √2 + √2 + √2) + (√2 + √2) = (5 + 2) √2 = 7 √2 2√34 + 3√34 = ( √34 + √34 ) + ( √34 + √34 + √34 ) = (2 + 3) √34 = 5√33
NB >> Se due radicali NON sono simili, la loro somma si lascia indicata e NON si possono ridurre in alcun modo a un unico radicale.
√2 + √3 2 √2 + 2 √23 2√23 + 5√33 In generale √𝑎 + √𝑏 ≠ √𝑎 + 𝑏 √𝑎 − √𝑏 ≠ √𝑎 − 𝑏
In alcuni radicali è possibile portare dentro e fuori radice alcuni fattori ottenendone di simili.
√8 + √2 = √22∙ 2 + √2 = √22∙ √2 + √2 = 2√2 + √2 = (2 + 1) √2 = 3 √2
√60 + √3 ∙ √5 = √4 ∙ 15 + √3 ∙ 5 = √4 ∙ √15 + √15 = 2√15 + √15 = (2 + 1)√15 = 3√15
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Esempi
5√2 + 2√2
= (5 + 2)√2 = 7√2
5√2 + 4√3 − √2 − 3√3
= 5√2 − √2 + 4√3 − 3√3 =
= (5 − 1)√2 + (4 − 3)√3 =
= 4√2 + √3
2√5 + 3√53 − √5 + 2√3 + √53 − 2√3 Individuo i radicali simili.
=2√5 − √5+3 √53 + √53 +2√3 − 2√3
= (2 − 1)√5+ (3 + 1)3√5+ (2 − 2)√3 =
= √5+ 4√53
√8 + √32
= √4 ∙ 2 + √16 ∙ 2 = oppure √23+ √25
= √4 ∙ √2 + √16 ∙ √2 =
= 2√2 + 4√2 =
= (2 + 4)√2 = 6√2
√810 + √200
= √81 ∙ 10 + √2 ∙ 100 = oppure √2 ∙ 34∙ 5 ∙+ √23 ∙ 52
= √81 ∙ √10 + √100 ∙ √2 =
= 9√10 + 10√2
Riferimenti
it.wikipedia.org/wiki/Estrazione_di_fattori_dal_segno_di_radice (con il contributo di UbiMath)
it.wikibooks.org/wiki/Matematica_per_le_superiori/Radicali www.webalice.it/francesco.daddi/files/trasporto_fuori_radice.pdf
x Anna B. chenonsidevepreoccuparedeiradicalimadellacioccolatacaldafattaconfarina…
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