Estrazione di un fattore da un radicale L’

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Estrazione di un fattore da un radicale e somma algebrica di radicali simili - UbiLearning - 1

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Estrazione di un fattore da un radicale

L’estrazione di radice non sempre ha risultato nell’insieme ℕ o ℚ dei numeri razionali. In questi casi si origina un numero decimale illimitato non periodico, detto numero irrazionale.

La radice non è, quindi, un’operazione interna all’insieme ℚ ma all’insieme ℝ dei numeri reali.

Per questo, ai fini del calcolo di espressioni con i radicali, è utile estrarre un fattore da un radicale il cui radicando è esprimibile come prodotto. L’operazione di estrazione di un fattore è possibile solo se uno dei fattori del prodotto, ottenuto scomponendo in fattori primi il radicando, è elevato a un esponente maggiore o uguale all'indice della radice.

√27 = √3³ = √3² ∙ 3 = √3²∙ √3 = 3√3 √20 = √4 ∙ 5 = √2²∙ 5 = √2² ∙ √5 = 2√5

√700 = √100 ∙ 7 = √10² ∙ √7 = 10√7 √800 = √2⁵∙ √5² = √2⁴∙ 2 ∙ √5² = 20√2

3√16

= √2³ ⁴ = √2³ ³∙ √2³ = 2√2³ ⁴√32= √2⁴ ⁵ = √2⁴ ⁴∙ 2= 2√2⁴ Ricorda che essendo 𝑎^𝑚^𝑛 = √𝑎^𝑛 ^𝑚 si ha che √2¹⁰= 2¹⁰² = 2⁵ e che ³√2⁶ = 2⁶³ = 2².

Somma algebrica di radicali

Non è sempre possibile sommare algebricamente due radicali.

√9 + √4 = 3 + 2 = 5 ≠ √9 + 4 = √13

√9 − √4 = 3 − 2 = 1 ≠ √9 − 4 = √5

Due radicali si dicono "simili" se hanno uguale sia l’indice sia il radicando.

La somma algebrica di due o più radicali simili è un radicale simile a quelli dati e avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

𝑥^𝑛√𝑎+ 𝑦^𝑛√𝑎= (𝑥 + 𝑦)^𝑛√𝑎 Esempi

5 √2 + 2 √2 = (√2 + √2 + √2 + √2 + √2) + (√2 + √2) = (5 + 2) √2 = 7 √2 2√3⁴ + 3√3⁴ = ( √3⁴ + √3⁴ ) + ( √3⁴ + √3⁴ + √3⁴ ) = (2 + 3) √3⁴ = 5√3³

NB >> Se due radicali NON sono simili, la loro somma si lascia indicata e NON si possono ridurre in alcun modo a un unico radicale.

√2 + √3 2 √2 + 2 √2³ 2√2³ + 5√3³ In generale √𝑎 + √𝑏 ≠ √𝑎 + 𝑏 √𝑎 − √𝑏 ≠ √𝑎 − 𝑏

In alcuni radicali è possibile portare dentro e fuori radice alcuni fattori ottenendone di simili.

√8 + √2 = √2²∙ 2 + √2 = √2²∙ √2 + √2 = 2√2 + √2 = (2 + 1) √2 = 3 √2

√60 + √3 ∙ √5 = √4 ∙ 15 + √3 ∙ 5 = √4 ∙ √15 + √15 = 2√15 + √15 = (2 + 1)√15 = 3√15

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Esempi

5√2 + 2√2

= (5 + 2)√2 = 7√2

5√2 + 4√3 − √2 − 3√3

= 5√2 − √2 + 4√3 − 3√3 =

= (5 − 1)√2 + (4 − 3)√3 =

= 4√2 + √3

2√5 + 3√5³ − √5 + 2√3 + √5³ − 2√3 Individuo i radicali simili.

=2√5 − √5+3 √5³ + √5³ +2√3 − 2√3

= (2 − 1)√5+ (3 + 1)³√5+ (2 − 2)√3 =

= √5+ 4√5³

√8 + √32

= √4 ∙ 2 + √16 ∙ 2 = oppure √2³+ √2⁵

= √4 ∙ √2 + √16 ∙ √2 =

= 2√2 + 4√2 =

= (2 + 4)√2 = 6√2

√810 + √200

= √81 ∙ 10 + √2 ∙ 100 = oppure √2 ∙ 3⁴∙ 5 ∙+ √2³ ∙ 5²

= √81 ∙ √10 + √100 ∙ √2 =

= 9√10 + 10√2

Riferimenti

it.wikipedia.org/wiki/Estrazione_di_fattori_dal_segno_di_radice (con il contributo di UbiMath)

it.wikibooks.org/wiki/Matematica_per_le_superiori/Radicali www.webalice.it/francesco.daddi/files/trasporto_fuori_radice.pdf

x Anna B. chenonsidevepreoccuparedeiradicalimadellacioccolatacaldafattaconfarina…

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