13   I LOGARITMI

UNITÀ 14. I LOGARITMI.

1. Il concetto di logaritmo.

2. I logaritmi decimali e i logaritmi naturali.

3. Uso della calcolatrice scientifica per il calcolo dei logaritmi. 4. Il numero di Nepero.

5. Equazioni e disequazioni esponenziali che si risolvono con i logaritmi. 6. Le proprietà dei logaritmi.

7. Le equazioni logaritmiche. 8. La funzione logaritmica.

9. Il grafico della funzione logaritmica con base positiva minore di 1. 10. Il grafico della funzione logaritmica con base maggiore di 1. 11. Le disequazioni logaritmiche.

12 Sistemi con equazioni logaritmiche. 13. Sistemi con disequazioni logaritmiche. 14. Il dominio delle funzioni logaritmiche.

15. Trasformazioni geometriche applicate alle funzioni logaritmiche. 16. Applicazioni pratiche della funzione logaritmica.

17. Le scale logaritmiche. 18. Il pH di una soluzione. 19. Il livello d’intensità sonora. 20. La magnitudo di un terremoto. 21. La magnitudine di una stella.

22. Esercizi vari e problemi di applicazione.

1. Il concetto di logaritmo.

I logaritmi sono dei numeri che sono stati introdotti per la prima volta intorno al 1600 da

Nepero, matematico, fisico e astronomo scozzese, allo scopo di semplificare i calcoli che

contenevano numeri molto grandi.

Successivamente si è visto che i logaritmi potevano avere altre applicazioni e sono anche utili per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali in cui non è possibile trasformare ambo i membri in potenze con la stessa base.

Per esempio l’equazione: 2𝑥 _{= 11}

non si può risolvere trasformando il numero 11 in potenza con base 2.

Osservando l’equazione, però, notiamo che l’incognita x è l’esponente che bisogna porre sulla base 2 per ottenere il numero 11.

Questo numero in matematica si indica con il simbolo 𝑙𝑜𝑔₂1 1 che si legge: logaritmo in base 2 di 11.

Perciò l’equazione 2𝑥 _{= 11 ha come soluzione 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔} 21 1.

Allo stesso modo si possono risolvere altre equazioni esponenziali simili, in cui non è possibile trasformare ambo i membri in potenze con la stessa base.

Esempio 1. 5𝑥 = 7 ⇒ 𝑥 = log₅7

Esempio 2. 7𝑥−2 = 25 ⇒ 𝑥 − 2 = log₇25 ⇒ 𝑥 = 2 + log₇25 Dopo questi esempi numerici è opportuno dare la definizione generale di logaritmo. Dato un numero reale a tale che 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1

e dato un numero reale b tale che 𝑏 > 0

si chiama logaritmo in base a di b, e si indica con il simbolo 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 l’esponente che bisogna mettere sulla base a per ottenere il numero b. Cioè: 𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = log_𝑎𝑏

Da questa definizione di logaritmo ne consegue che:

𝑥 = log_𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑎𝑥 cioè 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑎𝑥

Questo vuol dire che se si prende un numero positivo x, si calcola l’esponenziale 𝑎𝑥 e poi del risultato ottenuto si calcola il logaritmo in base a, si ottiene il numero iniziale x.

Allo stesso modo, dalla definizione di logaritmo: 𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = log_𝑎𝑏 consegue che: 𝑏 = 𝑎𝑥 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 cioè 𝑏 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Questo vuol dire che se si prende un numero positivo b, si calcola il 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 e poi del risultato ottenuto si calcola l’esponenziale 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 _{si ottiene il numero iniziale b.}

Per questo motivo si dice che il calcolo del logaritmo è l’operazione inversa del calcolo dell’esponenziale.

2. I logaritmi decimali e i logaritmi naturali.

I logaritmi più usati in pratica, per le numerose applicazioni in ambito scientifico, sono i logaritmi in base 10, detti logaritmi decimali e i logaritmi in base e, detti logaritmi

naturali.

Questi logaritmi si possono calcolare facilmente utilizzando una calcolatrice scientifica, premendo il tasto dei logaritmi decimali indicato con log oppure il tasto dei logaritmi naturali indicato con ln.

3. Uso della calcolatrice scientifica per il calcolo dei logaritmi.

Per esempio: 𝑙𝑜𝑔₁₀1 3 = 𝑙𝑜𝑔 1 3 = 1,1139. . .. 𝑙𝑜𝑔₁₀5 8 = 𝑙𝑜𝑔 5 8 = 1,7634. . .. 𝑙𝑜𝑔_𝑒3 6 = 𝑙𝑛 3 6 = 3,5835. . .. 𝑙𝑜𝑔_𝑒1 45 = 𝑙𝑛 1 45 = 4,9767. . .. Se si vuole calcolare il valore di un logaritmo espresso in una base diversa, bisogna prima trasformare questo logaritmo dalla sua base alla base 10 o alla base e, utilizzando delle formule di trasformazione che dimostreremo successivamente.

Per esempio calcoliamo 𝑙𝑜𝑔₂1 1

Trasformazione in base 10 𝑙𝑜𝑔₂1 1 = 𝑙𝑜𝑔1011 𝑙𝑜𝑔102 = 𝑙𝑜𝑔 11 𝑙𝑜𝑔 2 = 1,04139... 0,30103... = 3,459. . .. Trasformazione in base e 𝑙𝑜𝑔₂1 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑒11 𝑙𝑜𝑔_𝑒2 = 𝑙𝑛 11 𝑙𝑛 2 = 2,3978... 0,6931... = 3,459. . ..

Allo tesso modo si può calcolare: 𝑙𝑜𝑔₃2 9 = 3,06504. . . . .. 𝑙𝑜𝑔₇3 = 0,56457. . . .. Esercitarsi con la propria calcolatrice.

4. Il numero di Nepero.

Il numero e, base dei logaritmi naturali, si chiama numero di Nepero. E’ un numero

irrazionale che vale: 𝑒 = 2,718281828459. .. Si ottiene calcolando l’espressione (1 +1

𝑥) 𝑥

quando x assume un valore molto grande e si scrive: 𝑒 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞(1 +

1 𝑥)

𝑥

La sua importanza è dovuta al fatto che questo numero si ritrova in molti problemi di carattere scientifico.

5. Equazioni e disequazioni esponenziali che si risolvono con i logaritmi.

Le equazioni esponenziali in cui non è possibile trasformare ambo i membri in potenze con la stessa base, si risolvono utilizzando il concetto di logaritmo e ricordando che il logaritmo in una certa base di un certo numero è l’esponente che bisogna porre su quella base per ottenere quel numero.

Esempio 1. 5𝑥+3 = 7; 𝑥 + 3 = 𝑙𝑜𝑔₅7 ; 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔₅7 − 3 Esempio 2. (1 2) 4𝑥−3 = 6 ⇒ 4𝑥 − 3 = 𝑙𝑜𝑔1 2 6 ⇒ 4𝑥 = 3 + 𝑙𝑜𝑔1 2 6 ⇒ 𝑥 = 3+𝑙𝑜𝑔1 2 6 4 Esempio 3. 3𝑥+12 = 15; 𝑥+1 2 = 𝑙𝑜𝑔31 5; 𝑥 + 1 = 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔31 5; 𝑥 = −1 + 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔31 5

Allo stesso modo le disequazioni esponenziali in cui non è possibile trasformare ambo i membri in potenze con la stessa base, si risolvono utilizzando il concetto di logaritmo e ricordando che il logaritmo in una certa base di un certo numero è l’esponente che bisogna porre su quella base per ottenere quel numero. Bisogna ricordare, però, che quando la base è compresa tra 0 e 1 si cambia il verso della disequazione, mentre quando la base è maggiore di 1 si lascia invariato il verso della disequazione.

Esempio 1. 5𝑥 > 7; (base maggiore di 1) 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔₅7

(x è maggiore dell’esponente da porre sulla base 5 per ottenere il numero 7)

Esempio 2. (1 2) 𝑥−3 > 5 (base minore di 1) ⇒ 𝑥 − 3 < 𝑙𝑜𝑔1 2 5 ⇒ 𝑥 < 3 + 𝑙𝑜𝑔1 2 5 ( x-3 è minore dell’esponente da porre sulla base 1/2 per ottenere il numero 5)

Esempio 3. (5 9) 𝑥 < 1 9 (base minore di 1 ) ⇒ 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔5₉ 1 9

( x è maggiore dell’esponente da porre sulla base 5/9 per ottenere il numero 1/9)

Esempio 4. 32𝑥−5 > 8; (base maggiore di 1)

( 2x-5 è maggiore dell’esponente da porre sulla base 3 per ottenere il numero 8)

2𝑥 − 5 > 𝑙𝑜𝑔₃8 ; 2𝑥 > 5 + 𝑙𝑜𝑔₃8 ; 𝑥 > 5+𝑙𝑜𝑔38

6. Le proprietà dei logaritmi.

Qualunque sia la loro base, i logaritmi verificano importanti proprietà che sono molto utili per risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche.

a. Logaritmo del prodotto.

Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei due logaritmi. Cioè: 𝑙𝑜𝑔_𝑎( 𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑐

Per dimostrarlo supponiamo che: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑥 e 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑐 = 𝑦 allora vuol dire che: 𝑎𝑥 = 𝑏 e 𝑎𝑦 = 𝑐 moltiplichiamo queste equazioni membro a membro: 𝑎𝑥⋅ 𝑎𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑐 per una proprietà delle potenze risulta: 𝑎𝑥+𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑐

e per definizione di logaritmo: 𝑥 + 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎( 𝑏 ⋅ 𝑐)

sostituendo a x ed y i loro valori si ottiene: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑐 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎( 𝑏 ⋅ 𝑐) (tesi)

b. Logaritmo del quoziente.

Il logaritmo del quoziente di due numeri è uguale alla differenza dei due logaritmi.

Cioè: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏

𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐

Per dimostrarlo supponiamo che: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑥 e 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑐 = 𝑦 allora vuol dire che: 𝑎𝑥 = 𝑏 e 𝑎𝑦 = 𝑐 dividiamo queste equazioni membro a membro: 𝑎

𝑥

𝑎𝑦 = 𝑏 𝑐

per una proprietà delle potenze risulta: 𝑎𝑥−𝑦 =𝑏

𝑐

e per definizione di logaritmo: 𝑥 − 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏

𝑐

sostituendo a x ed y i loro valori si ottiene: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 − 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑐 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏

𝑐 (tesi)

Da questa proprietà deriva come caso particolare il logaritmo del reciproco di un numero:

𝑙𝑜𝑔_𝑎1

𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎1 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 = 0 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 = − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐

c. Logaritmo di una potenza.

Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all’esponente per il logaritmo del numero. Cioè: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏

Per dimostrarlo supponiamo che: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑥 allora vuol dire che: 𝑎𝑥 = 𝑏 eleviamo ambo i membri alla potenza n-esima: (𝑎𝑥)𝑛 = 𝑏𝑛 per una proprietà delle potenze risulta: 𝑎𝑛𝑥 = 𝑏𝑛

e per definizione di logaritmo: 𝑛𝑥 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏𝑛

sostituendo ad x il suo valore si ottiene: 𝑛 ⋅ 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏𝑛 (tesi) Da questa proprietà deriva come caso particolare il logaritmo della radice: 𝑙𝑜𝑔_𝑎 𝑛√𝑏𝑚 _{= 𝑙𝑜𝑔} 𝑎𝑏 𝑚 𝑛 = 𝑚 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 d. Cambiamento di base.

Per trasformare un logaritmo da una certa base a ad un’altra base c qualsiasi, si applica questa formula di trasformazione:

𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

Per dimostrare la formula supponiamo che: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑥 allora vuol dire che: 𝑎𝑥 = 𝑏

calcoliamo il logaritmo in base c di ambo i membri: 𝑙𝑜𝑔_𝑐𝑎𝑥 = 𝑙𝑜𝑔_𝑐𝑏 per una proprietà dei logaritmi risulta: 𝑥 ⋅ 𝑙𝑜𝑔_𝑐𝑎 = 𝑙𝑜𝑔_𝑐𝑏

cioè 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

sostituendo ad x il suo valore si ottiene: 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎 (tesi)

7. Equazioni logaritmiche.

Sono equazioni che contengono l’incognita all’interno di qualche logaritmo. Per esempio sono logaritmiche le seguenti equazioni:

𝑙𝑜𝑔₃𝑥 − 5 = 0; 𝑙𝑜𝑔₂( 3𝑥 − 2) = 3

Non sono invece logaritmiche le seguenti equazioni: 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔₃5 = 0 2𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 5 = 1 − 3𝑥

Per risolvere le equazioni logaritmiche conviene seguire queste indicazioni:

1. bisogna determinare le condizioni di esistenza dell’equazione, imponendo che ogni

logaritmo abbia l’argomento positivo e la base positiva e diversa da 1;

2. i logaritmi dell’equazione devono avere tutti la stessa base, altrimenti bisogna ricondurli

ad una stessa base;

3. bisogna applicare opportunamente le proprietà dei logaritmi fino ad avere un solo

logaritmo al primo membro ed un solo logaritmo al secondo membro.

Dall’uguaglianza dei due logaritmi si deduce l’uguaglianza degli argomenti, cioè:

𝑙𝑜𝑔_𝑎𝐴 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝐵 (𝑥) ⇒ 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) Vediamo alcuni esempi tipici di equazioni logaritmiche:

Esempio 1. 𝑙𝑜𝑔₃( 2𝑥 + 4) = 2 (equazione logaritmica elementare)

Esempio 2. 𝑙𝑜𝑔₂( 3𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 2) Esempio 3. 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔( 𝑥 − 2) = 𝑙𝑜𝑔( 9 − 2𝑥) Esempio 4. 𝑙𝑜𝑔₅( 𝑥2− 4) − 𝑙𝑜𝑔₅( 𝑥 + 2) = 2 Esempio 5. 𝑙𝑛( 𝑥 + 1) = 𝑙𝑛 2 𝑥 + 1 Esempio 6. 𝑙𝑜𝑔₃( 4𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 + 3 Esempio 7. 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 2 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 Esempio 8. 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 5) = 𝑙𝑜𝑔₄( 𝑥 + 7) Esempio 9. 𝑙𝑜𝑔2𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 6 = 0 Esempio 10. 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 − 3 𝑙𝑜𝑔_𝑥3 = 2

SOLUZIONI

Esempio 1. 𝑙𝑜𝑔₃( 2𝑥 + 4) = 2 C.E. 2𝑥 + 4 > 0 ⇒ 2𝑥 > −4 ⇒ 𝑥 > −2

Per definizione di logaritmo 32 = 2𝑥 + 4 ⇒ 2𝑥 + 4 = 9 ⇒ 2𝑥 = 5 ⇒ 𝑥 = 5

4 accettabile Esempio 2. 𝑙𝑜𝑔₂( 3𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 2) CE {3𝑥 − 1 > 0 𝑥 + 2 > 0 { 3𝑥 > 1 𝑥 > −2 { 𝑥 > 1 3 𝑥 > −2 ⇒ 𝑥 > 1 3 3𝑥 − 1 = 𝑥 + 2 ⇒ 2𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 2 accettabile Esempio 3. 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔( 𝑥 − 2) = 𝑙𝑜𝑔( 9 − 2𝑥) CE { 𝑥 > 0 𝑥 − 2 > 0 9 − 2𝑥 > 0 { 𝑥 > 0 𝑥 > 2 2𝑥 < 9 { 𝑥 > 0 𝑥 > 2 𝑥 < 9 2 ⇒ 2 < 𝑥 < 9 2 𝑙𝑜𝑔[ 𝑥(𝑥 − 2)] = 𝑙𝑜𝑔( 9 − 2𝑥) ⇒ 𝑙𝑜𝑔( 𝑥2− 2𝑥) = 𝑙𝑜𝑔( 9 − 2𝑥) ⇒ ⇒ 𝑥2− 2𝑥 = 9 − 2𝑥 ⇒ 𝑥2 = 9 ⇒ 𝑥 = ±3 𝑥 = −3 non accettabile 𝑥 = 3 accettabile Esempio 4. 𝑙𝑜𝑔₅( 𝑥2− 4) − 𝑙𝑜𝑔₅( 𝑥 + 2) = 2 CE {𝑥2− 4 > 0 𝑥 + 2 > 0 { 𝑥 < −2 ∪ 𝑥 > 2 𝑥 > −2 ⇒ 𝑥 > 2 𝑙𝑜𝑔₅𝑥2−4 𝑥+2 = 2 ⇒ 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥+2)(𝑥−2) 𝑥+2 = 2 ⇒ 𝑙𝑜𝑔5( 𝑥 − 2) = 2 ⇒ 5 2 _{= 𝑥 − 2 ⇒ 𝑥 = 27} accett. Esempio 5. 𝑙𝑜𝑔( 𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 + 1 CE {𝑥 + 1 > 0 2𝑥 > 0 { 𝑥 > −1 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 > 0 𝑙𝑜𝑔( 𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑒 ⇒ 𝑙𝑜𝑔( 𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔 2 𝑒𝑥 ⇒ 𝑥 + 1 = 2𝑒𝑥 ⇒ 𝑒𝑥 − 𝑥 = 1 ⇒ (2𝑒 − 1) = 1 ⇒ 𝑥 = 1 2𝑒 − 1 Soluzione accettabile 0 2 2 9 2 2 −

Esempio 6. 𝑙𝑜𝑔₃( 4𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 + 3 CE {4𝑥 + 1 > 0 𝑥 > 0 { 4𝑥 > −1 𝑥 > 0 { 𝑥 > −1 4 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 > 0 𝑙𝑜𝑔₃( 4𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 + 3 ⋅ 1 ⇒ 𝑙𝑜𝑔₃( 4𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 + 3 ⋅ 𝑙𝑜𝑔₃3 ⇒ 𝑙𝑜𝑔₃( 4𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₃33 ⇒ 𝑙𝑜𝑔₃( 4𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₃2 7 ⇒ 𝑙𝑜𝑔₃( 4𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔₃2 7𝑥 ⇒ 4𝑥 + 1 = 27𝑥 ⇒ 23𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 1 23 accett. Esempio 7. 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 2 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 CE {𝑥 > 0 3𝑥 > 0 { 𝑥 > 0 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 > 0 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔( 3𝑥)2 ⇒ 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 9 𝑥2 ⇒ 𝑥 = 9𝑥2 ⇒ 9𝑥2− 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 ⋅ (9𝑥 − 1) = 0 Esempio 8. 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 5) = 𝑙𝑜𝑔₄( 𝑥 + 7) CE {𝑥 + 5 > 0 𝑥 + 7 > 0 { 𝑥 > −5 𝑥 > −7 ⇒ 𝑥 > −5 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 5) = 𝑙𝑜𝑔2( 𝑥 + 7) 𝑙𝑜𝑔₂4 ⇒ 𝑙𝑜𝑔2( 𝑥 + 5) = 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 7) 2 ⇒ 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔2( 𝑥 + 5) = 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 7) ⇒ 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 5)2 = 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 + 7) ⇒ (𝑥 + 5)2 = 𝑥 + 7 ⇒ 𝑥2+ 10𝑥 + 25 − 𝑥 − 7 = 0 ⇒ 𝑥2+ 9𝑥 + 18 = 0 𝛥 = 81 − 4 ⋅ 18 = 81 − 72 = 9 −12 2 = −6 non accettabile 𝑥 = −9±3 2 = −6 2 = −3 accettabile 9 1 1 9 0 1 9x− =  x=  x=

Esempio 9. 𝑙𝑜𝑔2𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 6 = 0 CE 𝑥 > 0

Conviene porre 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 𝑡 di conseguenza si avrà 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 𝑡2 e l’equazione diventa: 𝑡2+ 𝑡 − 6 = 0 𝛥 = 1 + 24 = 25 𝑡 = −1±5 2 = Esempio 10. 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 − 3 𝑙𝑜𝑔_𝑥3 = 2 CE {𝑥 > 0 𝑥 ≠ 1 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 − 3 ⋅𝑙𝑜𝑔33 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 = 2 ⇒ 𝑙𝑜𝑔₃2𝑥−3⋅𝑙𝑜𝑔₃3 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 = 2 ⇒ 𝑙𝑜𝑔₃2𝑥−3⋅1 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 = 2 ⇒ 𝑙𝑜𝑔3 2_{𝑥 − 3 = 2 ⋅} 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 ⇒ 𝑙𝑜𝑔₃2𝑥 − 2 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 − 3 = 0

Conviene porre 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 = 𝑡 quindi 𝑙𝑜𝑔₃2𝑥 = 𝑡2 e l’equazione diventa: 𝑡2− 2𝑡 − 3 = 0 𝛥 = 4 + 12 = 16 𝑡 = 2±4 2 = 3 3 1 3 log 3 2 6 e x x e x=−  =  =  − = − − 2 2 2 log 2 2 4 e x x e x=  =  =  = e accettabil 3 1 3 1 log 1 2 2 1 3 =−  =  =  − = − − x x x e accettabil 27 3 3 log 3 2 6 ₃ 3 =  =  =  = x x x

8. La funzione logaritmica.

Dato un numero reale a che sia 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, si chiama funzione logaritmica quella funzione che ad ogni valore di 𝑥 ∈ 𝑅 associa il valore 𝑦 ∈ 𝑅 tale che 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥.

Quindi la funzione logaritmica può avere la base a tale che:

0 < 𝑎 < 1 oppure 𝑎 > 1

E’ importante distinguere questi due casi perché alcune proprietà della funzione logaritmica sono diverse secondo che la base sia compresa tra 0 e 1 oppure sia maggiore di 1.

9. Il grafico della funzione logaritmica con base positiva minore di 1.

Il grafico della funzione logaritmica è utile per determinare le caratteristiche della funzione logaritmica e per risolvere le disequazioni logaritmiche.

Se la base a risulta 0 < 𝑎 < 1, possiamo scegliere come esempio il valore 𝑎 = 1

2 e la

funzione logaritmica diventa: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 2

𝑥. Per tracciare il grafico si assegnano alla variabile

x alcuni valori arbitrari, si calcolano i valori corrispondenti y della funzione, si costruisce

una tabella con i valori ottenuti, si disegnano i punti sugli assi cartesiani e si traccia il grafico della funzione logaritmica 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1

2 𝑥 con 𝑥 > 0. Se 𝑥 = 1 8 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1₂ 1 8= 3 Se 𝑥 = 1 4 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1₂ 1 4= 2 Se 𝑥 = 1 2 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1₂ 1 2= 1 Se 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 2 1 = 0 Se 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 2 2 = −1 Se 𝑥 = 4 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 2 4 = −2 Se 𝑥 = 8 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 2 8 = −3 x y 1/8 3 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2 8 -3 x → y 

Dal grafico ottenuto si possono dedurre le seguenti caratteristiche:

Dominio: 𝐷 = ]0; + ∞[, cioè la funzione y si può calcolare solo per x>0;

Codominio: C=R, cioè la funzione y può avere come valore qualsiasi numero reale; Parità o Periodicità: la funzione non è pari, non è dispari e non è periodica;

Intersezioni con gli assi: la funzione interseca l’asse x nel punto P(1;0)

Segno della funzione: la funzione è positiva per 0 < 𝑥 < 1 e il suo grafico si trova sopra l’asse x; la funzione è negativa per x>1 e il suo grafico si trova sotto l’asse x;

Asintoti: la funzione ha un asintoto verticale di equazione 𝑥 = 0 (asse y)

Crescenza e decrescenza: la funzione è sempre decrescente, cioè all’aumentare dell’ascissa

x diminuisce anche l’ordinata y;

Concavità: il grafico della funzione rivolge sempre la concavità verso l’alto; Limitatezza: la funzione è illimitata superiormente e inferiormente.

10. Il grafico della funzione logaritmica con base maggiore di 1.

Se la base a risulta 𝑎 > 1, possiamo scegliere come esempio il valore 𝑎 = 2 e la funzione logaritmica diventa: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥 = 𝑙𝑜𝑔₂𝑥.. Per tracciare il grafico si assegnano alla variabile

x alcuni valori arbitrari, si calcolano i valori corrispondenti y della funzione, si costruisce

una tabella con i valori ottenuti, si disegnano i punti sugli assi cartesiani e si traccia il grafico della funzione logaritmica 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₂𝑥 con 𝑥 > 0.

Se 𝑥 = 1 8 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 1 8 = −3 Se 𝑥 = 1 4 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 1 4 = −2 Se 𝑥 = 1 2 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 1 2 = −1 Se 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₂1 = 0 Se 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₂2 = 1 Se 𝑥 = 4 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₂4 = 2 Se 𝑥 = 8 ⇒ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₂8 = 3 x y 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 x → y 

Dal grafico ottenuto si possono dedurre le seguenti caratteristiche:

Dominio: 𝐷 = ]0; + ∞[, cioè la funzione y si può calcolare per qualunque valore di x;

Codominio: C=R, , cioè la funzione y può avere come valore qualsiasi numero reale; Parità o Periodicità: la funzione non è pari, non è dispari e non è periodica

Intersezioni con gli assi: la funzione interseca l’asse x nel punto P(1;0)

Segno della funzione: la funzione è negativa per 0 < 𝑥 < 1 e il suo grafico si trova sotto l’asse x; la funzione è positiva 𝑥 > 1 e il suo grafico si trova sopra l’asse x;

Asintoti: la funzione ha un asintoto verticale di equazione 𝑥 = 0 (asse y)

Crescenza e decrescenza: la funzione è sempre crescente, cioè all’aumentare dell’ascissa

x aumenta anche l’ordinata y;

Concavità: il grafico della funzione rivolge sempre la concavità verso il basso; Limitatezza: la funzione è illimitata superiormente e inferiormente.

Inoltre si osserva che, rispetto all’asse x, il grafico della funzione 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₂𝑥 è simmetrico del grafico della funzione 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1

2

11. Le disequazioni logaritmiche.

Sono disequazioni che contengono l’incognita all’interno di qualche logaritmo. Per risolvere le disequazioni logaritmiche conviene seguire queste indicazioni:

1. bisogna determinare le condizioni di esistenza della disequazione, imponendo che ogni

logaritmo abbia l’argomento positivo e la base positiva e diversa da 1;

2. i logaritmi della disequazione devono avere tutti la stessa base, altrimenti bisogna

ricondurli

ad una stessa base;

3. bisogna applicare opportunamente le proprietà dei logaritmi fino ad avere un solo

logaritmo al primo membro ed un solo logaritmo al secondo membro.

Dalla disuguaglianza tra i due logaritmi si deduce poi la disuguaglianza tra gli argomenti, ricordando che se la base risulta 𝑎 > 1 la funzione logaritmica è crescente e perciò al logaritmo maggiore corrisponde l’argomento maggiore e quindi:

𝑙𝑜𝑔_𝑎𝐴 (𝑥) > 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝐵 (𝑥) ⇒ 𝐴(𝑥) > 𝐵(𝑥)

se invece la base a risulta 0 < 𝑎 < 1 la funzione logaritmica è decrescente e perciò al logaritmo maggiore corrisponde l’argomento minore e quindi:

𝑙𝑜𝑔_𝑎𝐴 (𝑥) > 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝐵 (𝑥) ⇒ 𝐴(𝑥) < 𝐵(𝑥)

Esempio 1. Risolvere la disequazione 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 − 1) < 1 𝐶𝐸: 𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 > 1 La disequazione si può scrivere: 𝑙𝑜𝑔₂( 𝑥 − 1) < 𝑙𝑜𝑔₂2

ed essendo la base maggiore di 1 si deduce: 𝑥 − 1 < 2 ⇒ 𝑥 < 3

Ora bisogna trovare l’intersezione fra questi valori e le condizioni di esistenza risolvendo il sistema:

{𝑥 > 1

𝑥 > 3 ⇒ 1 < 𝑥 < 3

12. Sistemi di equazioni logaritmiche. 13. Sistemi di disequazioni logaritmiche. 14. Il dominio delle funzioni logaritmiche.

15. Trasformazioni geometriche applicate alle funzioni logaritmiche.

16. Applicazioni pratiche della funzione logaritmica.

Anche la funzione logaritmica ha numerose applicazioni pratiche in vari ambiti: in ambito grafico, con la realizzazione delle scale logaritmiche;

in acustica, con la formula per calcolare il livello di intensità sonora di un rumore; in ambito chimico, con la formula per calcolare il pH di una soluzione;

in ambito geologico, con la formula per calcolare la magnitudo di una terremoto; in ambito astronomico, con la formula per calcolare la magnitudine di una stella.

17. Le scale logaritmiche.

Le scale logaritmiche vengono utilizzate per rappresentare graficamente quelle grandezze fisiche che presentano grandi intervalli di variabilità, da valori molto piccoli a valori molto grandi, e non si potrebbero rappresentare tutti i valori con una normale scala lineare.

Per esempio, lo spettro delle onde elettromagnetiche contiene le onde radio e televisive che hanno frequenze di circa 106 _{Hz, le microonde con frequenza di circa 10}10 _{Hz, i raggi} infrarossi

con frequenza di circa 1012 _{Hz, la luce visibile con frequenza di circa 10}14 _{Hz, i raggi} ultravioletti con frequenza di circa 1016 _{Hz, i raggi x con frequenza di circa 10}18 _{Hz, e i raggi} gamma con frequenza di circa 1024 Hz.

Se si usasse una scala lineare sarebbe praticamente impossibile rappresentare lo spettro di tutta la radiazione elettromagnetica. Tuttavia, mentre le frequenze variano da 106 Hz a 1024 Hz, i loro logaritmi decimali variano da 6 a 24, per cui diventa possibile rappresentare lo spettro della radiazione indicando nel grafico anziché la frequenza vera e propria, il suo logaritmo decimale.

Per esempio, scegliendo l’unità di un centimetro è possibile rappresentare lo spettro di tutta la radiazione su un segmento orientato lungo circa 25 cm, come in figura.

18. Il livello di intensità sonora.

E’ una grandezza fisica che indica come l’orecchio umano percepisce l’intensità sonora di un rumore. Il livello d’intensità sonora si indica con Ls , si misura in decibel (dB) e si calcola con questa formula di tipo logaritmico:

𝐿_𝑠 = 𝑙𝑜𝑔₁₀ 𝐼

𝐼𝑜

dove I è l’intensità sonora di un rumore espressa in W/m2 _;

Io è la minima intensità sonora che l’orecchio umano è in grado di percepire: 𝐼_𝑂 = 10−12 𝑊

𝑚2

19. Il pH di una soluzione.

E’ una grandezza fisica che indica la concentrazione degli ioni idrogeno all’interno di una soluzione acquosa. La concentrazione degli ioni idrogeno si indica con [H+_{] e il pH della} soluzione si calcola con questa formula di tipo logaritmico:

𝑝𝐻 = − 𝑙𝑜𝑔₁₀[𝐻+_]

Il pH può variare da 0 a 14 e, secondo il valore che assume, una soluzione viene detta: acida se pH<7

neutra se pH=7 basica se pH>7

Esempio 1. Il succo di limone ha una concentrazione di ioni idrogeno [𝐻+] = 2 ⋅ 10−3_{𝑚𝑜𝑙/𝑙.} Determinare il pH. 𝑝𝐻 = − 𝑙𝑜𝑔₁₀[𝐻+_{] = − 𝑙𝑜𝑔} 102 ⋅ 10−3 = − 𝑙𝑜𝑔10 2 1000= − 𝑙𝑜𝑔100 , 002 = −(−2,7) = 2,7

Esempio 2. La coca cola ha pH=2,4. Determinare la concentrazione degli ioni H+_.

𝑝𝐻 = − 𝑙𝑜𝑔₁₀[𝐻+_{] ⇒ 2,4 = − 𝑙𝑜𝑔} 10[ 𝐻+] ⇒ 𝑙𝑜𝑔10[ 𝐻+] = −2,4 ⇒ ⇒ [𝐻+] = 10−2,4 = 1 102,4 = 1 251 = 0,00398 = 3,98 ⋅ 10 −3_{𝑚𝑜𝑙/𝑙} 20. La magnitudo di un terremoto.

E’ una grandezza fisica che indica l’energia rilasciata durante un terremoto nella zona della crosta terrestre in prossimità dell’epicentro.

Si calcola con una formula di tipo logaritmico, introdotta dal geofisico statunitense Richter. Se il sismografo si trova a 100 Km dall’epicentro, la formula per calcolare la magnitudo M di un terremoto è la seguente:

𝑀 = 𝑙𝑜𝑔₁₀ 𝐸

dove E è l’energia rilasciata dal terremoto, che viene misurata dal sismografo con uno spostamento oscillatorio espresso in micron (1 micron =10-6 _m);

Eo è la minima energia sviluppata da un terremoto che un sismografo è in grado di rilevare, pari ad 1 micron.

Se il sismografo si trova ad una distanza dall’epicentro diversa da 100 Km, nella formula si introducono dei fattori correttivi che tengono conto della distanza dall’epicentro e dell’attenuazione subita dalle onde sismiche nel propagarsi.

21. La magnitudine di una stella.

E’ una grandezza fisica che misura la luminosità di una stella rilevabile dalla terra, nell’intervallo visibile della radiazione elettromagnetica. Si calcola con la formula:

𝐿 = −2,5 𝑙𝑜𝑔₁₀𝐹

𝑉

dove F è il flusso luminoso della stella, espresso in lumen (lm) e misurabile con un flussometro;

V è il flusso luminoso di una stella di riferimento, la stella Vega, alla quale viene attribuita per convenzione una magnitudine pari a zero.

22. Esercizi vari e problemi di applicazione.

16. Applicazioni pratiche della funzione esponenziale.

La funzione esponenziale ha numerose applicazioni pratiche in vari ambiti: in ambito economico con la legge della capitalizzazione continua;

in ambito biologico con la legge della crescita continua di una popolazione;

in ambito fisico con la legge di variazione della pressione atmosferica e con la legge del decadimento radioattivo.

13. La capitalizzazione continua.

Quando viene effettuato un deposito bancario in regime di capitalizzazione continua, l’interesse maturato si calcola istante per istante e il montante M ottenuto alla fine del contratto si calcola con la seguente legge esponenziale:

𝑀 = 𝐶 ⋅ 𝑒𝑖𝑡 dove C è il capitale investito;

e è il numero di Nepero;

i è il tasso annuale d’interesse;

t è il tempo in cui il capitale è stato investito.

14. La crescita continua di una popolazione.

Quando una popolazione presenta un tasso di natalità e di mortalità costanti nel tempo, il numero di individui varia secondo una legge esponenziale di questo tipo:

𝑁 = 𝑁_𝑜 ⋅ 𝑒𝛾𝑡

dove No è il numero di individui presenti all’istante iniziale t=0;

γ è il tasso di crescita, ottenuto come differenza fra tasso di natalità e tasso di mortalità;

t è il tempo trascorso dall’inizio dell’osservazione.

15. La variazione della pressione atmosferica.

La pressione atmosferica assume il suo valore massimo al livello del mare ma, con l’aumentare dell’altitudine, il suo valore diminuisce con andamento esponenziale secondo questa formula:

𝑝 = 𝑝_𝑜 ⋅ 𝑒−0,127ℎ

dove po rappresenta la pressione atmosferica al livello del mare che vale: 𝑝_𝑜 = 1,01 ⋅ 105𝑃𝑎

h è l’altitudine, espressa in chilometri, rispetto al livello del mare.

16. La legge del decadimento radioattivo.

Una sostanza radioattiva, come l’uranio, il polonio, il radio, il torio, è formata da atomi che decadono spontaneamente, cioè col passare del tempo emettono delle particelle e si trasformano in atomi di tipo diverso. Questo decadimento avviene nel tempo con una legge di tipo esponenziale:

𝑁 = 𝑁_𝑜 ⋅ 𝑒−𝜆𝑡

dove No è il numero di atomi radioattivi presenti all’istante iniziale t=0;

λ è un valore costante, tipico di ogni sostanza radioattiva;

t è il tempo trascorso, espresso in anni, dall’inizio dell’osservazione.

Si chiama periodo di dimezzamento di una sostanza radioattiva, e si indica con T, l’intervallo di tempo dopo il quale il numero di atomi radioattivi diventa la metà di quello iniziale.