Teoria in pillole: logaritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI

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Teoria in pillole: logaritmi

EQUAZIONI ESPONENZIALI

Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognita compare soltanto nell'esponente di una o più potenze.

L'equazione esponenziale più semplice (elementare) è del tipo

. equazione dell'

incognita l'

è

; 0 e 0 con ,

a b x

b

a^x = > >

Un'equazione esponenziale del tipo a^x =b può essere impossibile, indeterminata o determinata :

• impossibile se b≤0, oppureb≠1e a=1 ; esempio: 2^x =−3 oppure 1^x =5 ;

• indeterminata se a=1, b=1 ; esempio: 1^x =1 ;

• determinata se a>0, a≠1, b>0 ; esempio: 3^x =5 . Supponiamo di dover risolvere un'equazione esponenziale a^x =b :

• se a e b si possono scrivere come potenze (razionali) della stessa base, si eguagliano gli esponenti :

2^x =8 ⇒ 2^x =2³ ⇒ x=3;

• nel caso in cui a e b non siano esprimibili come potenze (razionali) nella stessa base, sarà possibile esprimere x solo attraverso un nuovo operatore: il logaritmo.

LOGARITMI

Con a>0, a≠1, b>0, diremo che x è il logaritmo in base a di b, e scriveremo log_ab x= , se x è l'unica soluzione dell'equazione esponenziale elementare a^x = , cioè l'esponente x da b assegnare alla base a per ottenere il numero b:

log_ab x= ⇔a^x =b.

Dalla definizione data risulta evidente che il logaritmo è l'operazione inversa dell'esponenziale, pertanto le limitazioni cui è soggetto l'esponenziale si riflettono sul logaritmo: fissata la base a>0 , deve essere b>0 , in quanto è semprea^x >0. Inoltre valgono i casi particolari:

0

1

log 1 0 , poichè 1;

log 1 , poichè .

a a

a

a a a

= =

nel caso in cui a e b non si possano esprimere come potenze (razionali) della stessa base,

l’introduzione del logaritmo consente di esprimere le soluzioni dell’equazione esponenziale a^x =b nella forma x=log_ab.

Nel caso dell’equazione 2^x =3 ⇒ x=log₂3.

Dalla definizione di logaritmo e dalle proprietà delle potenze si ricavano con facilità le seguenti relazioni:

1. log_b1=0 a>0

2. log_aa=1 a>0;a≠1

(2)

4. b=a^log^a^b a>0;a≠1 , b>0

Sono facilmente dimostrabili le seguenti proprietà dei logaritmi:

1) log log log ( 0);

2) log log - log c ( 0);

3) log log ( 0 ; k ) ; 4) log log (

log

a a a

k a

c a

c

b c b c a, b, c

b b a, b, c

c

b k b a, b, c

b b a,

a

⋅ = + >

= >

= × > ∈

=

R

0); formula di cambiamento di base nei logaritmi . b, c>

5. a

n

a m _b

n m

b log

log = ⋅ a>0,b>0; ,m n∈ Ν.

Operando sulle basi, dalla 4 segue:

6. log_ba=log_bc⋅log_ca

7. a b

a

b log

log = 1

I logaritmi comunemente utilizzati dalle calcolatrici tascabili sono in base a=10oppure in base 718

2, e

a= ≈ . Il tasto che permette di calcolare log x , detto anche logaritmo decimale, sulle ₁₀ calcolatrici è normalmente indicato con il simbolo Log oppurelog ; mentre con lnx si intende indicare il log_ex, detto anche logaritmo naturale o neperiano.

Funzione logaritmica

Fissata la base a>0 e a≠1, chiameremo funzione logaritmica ogni funzione che ad x∈ R ⁺ associa y=log_a x .

La funzione logaritmica è l'inversa dell'esponenziale, pertanto dominio e codominio risultano scambiati rispetto a quelli della funzione esponenziale.

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è R⁺ ; il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R .

Si distinguono due casi.

• Con a>1 : la funzione è crescente: x₁ >x₂ ⇒log_a x₁>log x ;_a ₂

• Con 0< a<1 : la funzione è decrescente: x₁ >x₂ ⇒log_a x₁<log x ;_a ₂

I grafici della funzione logaritmica relativi ai due casi si ottengono da quelli della funzione esponenziale

(3)

per simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante (y= x) ; essi illustrano il comportamento della funzione esponenziale nei vari casi :

EQUAZIONI LOGARITMICHE

Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare soltanto nell'argomento di uno o più logaritmi.

L'equazione logaritmica più semplice (elementare) è del tipo :

. equazione dell'

incognita l'

è 0

; e 0 con ,

> ∈ >

=b a b x

x

log_a R

La sua soluzione, per quanto detto a proposito dell'equazione esponenziale, è : x=a^b. Per risolvere un'equazione logaritmica conviene:

1. (quando è possibile) trasformare l'equazione data in una equivalente del tipo

( )

x log B

( )

x A

log_a = _a , applicando le proprietà dei logaritmi;

2. determinare le soluzioni dell'equazione A

( )

x =B

( )

x ;

3. eseguire il controllo mediante verifica diretta dei valori di x calcolati al punto 2 ; 4. in alternativa al punto 3, associare all'equazione di cui al punto 2 tutte le condizioni

di esistenza sui logaritmi (ricordiamo che un logaritmo è definito soltanto per valori positivi del suo argomento), per selezionare le soluzioni accettabili.

Esempi

1. Risolviamo l'equazione:

16 2

2

8⋅ ^x⁻¹− ^x⁺¹ = .

(4)

Osserviamo che:

2 2

2^x⁺¹ = ^x⋅ e .

x x

2 2 ⁻¹= 2

Quindi è possibile trasformare l'equazione assegnata nell'equazione:

2 2 16 2 8 2 2³ 2

8⋅2^x − ⋅ ^x = ⇒ ^x = ⇒ ^x =

La soluzione dell'equazione data è quindi x=3. 2. Risolviamo l'equazione:

7 3 5⋅ ^x = .

Isolando 3^x si ottiene:

5 3^x = 7.

Prendendo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri si ha:

7 5

5 7

3 3

3 log log

log

x= = − .

3. Risolviamo l'equazione:

6 2

2^x + ³^−x = . Osserviamo che:

x x

2 2 2

3 3⁻ = .

L'equazione assegnata è equivalente a:

x x x

x x

x

2 2 6 2

8 2 2

2 6

2 8

x ⋅ + = ⋅

⇒

= +

Il denominatore, essendo una funzione esponenziale, non può assumere il valore zero. Possiamo moltiplicare per 2^x entrambi i membri, ottenendo:

( )

²^x ² ⁻⁶^⋅²^x ⁺⁸⁼⁰^.

E' evidente la struttura di equazione algebrica di II grado nell'incognita 2^x. Ponendo t=2^x si ha: t²− + =6t 8 0che risolta fornisce le soluzioni

2

2^x = oppure 2^x =4 da cui:

=1

x oppure x=2.

4. Risolviamo l'equazione logaritmica:

(

1

)

₃

(

2

)

₃ 2

3 x+ −log x− =log x−

log .

Imponiamo le condizioni di esistenza sui logaritmi dell'equazione data, ricordando che gli argomenti devono essere positivi:







>

⇒

>

−

>

 ⇒







>

−

>

+

2 0 2 1

0

0 2

0 1

x x

x x x

cioè alla variabile xsi possono assegnare solo i valori maggiori di 2.

Risolviamo l'equazione applicando la proprietà 3) dei logaritmi e osservando che2=log₃3²:



 



= 



 





− +

3 2

3 2 3

1 x

x log log x

Uguagliando gli argomenti si ha la seguente equazione equivalente:

(5)

2 157 11

0 9 11

9 2 1

2 1

2 ±

=

⇒

=

−

⇒

− = +

x,

x x x

x

x .

Il valore

2 157 11−

=

x è minore di 2, quindi non è compatibile con le condizioni di esistenza. L'unica soluzione dell'equazione è data da:

2 157 11+

=

x .

Esercizi

1. Tenendo presente che ⁿ

m

n xm =x , scrivi le seguenti potenze sotto forma di radice:

a) ;

3 1

; 4

;

3 ²

3 3

2 8

5



 





b) .

3 11 4 ;

1

;

2 ⁵

2 3

4 − −

− 



 



 



 





2. Scrivi le seguenti radici sotto forma di potenza con esponente razionale:

a) ⁶2⁵; ⁴243; ⁴0.25;

b) ¹⁹ ⁷ .

4 125

1 256; 1

; 2 1

3. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali:

a) = ⋅ _^ _^

2 9 2 16

2^x

b) ⋅ = _− _^

2 1 4 2

8^x ^x

c) 



=

⋅ ⁻

6 5

2 1 2

a a a

a^x ^x

d) ₂^x₊₂^x⁺¹ ₌₂^x⁻¹ ₊₇ _^ _^ 5 log214

e) 4^x =2^x −2

[ ]

∅

f) _



 



 = −

=

⋅ 5

3 7 3

7 7 5

3 ₅

log log log log

x

g) ³^x ⁺³¹^−x ⁼⁴

[ ]

^0;¹

h) ³²^x ⁻⁹^⋅³^x ⁺³⁼³^x⁻¹

[

⁻¹^;²

]

i) _



 



− −

= +

⋅ ⁻

2

; 3 1 5 2 2

6 log

x log

x

j) 2²^x⁺³−25⋅2^x +3=0

[

−3;log₂3

]

(6)

a) log₂

(

x−¹

)

=³

[ ]

⁹

b)

(

−

)

+ = _^ _^

2 5 5

2 log logx

x log

c) log

(

x−2

)

−log

(

x−1

)

=log5

[ ]

∅ d) 2⋅log₂x=2+log₂

(

x+3

)

[ ]

6 e)

(

−

)

− ⋅

(

+

)

− =− _^ ;9_^

2 3 2 8 1

2

1 log x log

x log

f)

( )











=  +

− 2

5 3

2

1 1 ₃

3 x log x

log