PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI SUPERIORE
(A.A. 2019-2020)
PROF. LUCA ESPOSITO
C.L. MATEMATICA
1. Spazi di Sobolev in dimensione uno.
1. Lo spazio di Sobolev W1,p(I) [Br Capitolo 8], (pagine 200-209 (Dimostrazione
Proposizione 8.5 Facoltativa)) 2. Alcuni esempi di problemi ai limiti [Br], pagine 220-228 (Esclusi esempi 2,4,5,6,7) 3. Principio del massimo [Br], pagine 229-230
2. Spazi di Sobolev in dimensione maggiore di uno.
1. Definizioi e propriet´a elementari, [EG] sezioni 4.1, 4.2 e 4.3 (della sezione 4.3 solo enunciato Teorema 4.6). 2. Operatori di prolungamento, [EG] sezione 4.4 (Dimostrazione Facoltativa). Capitolo 2 (Soltanto Definizione 2.1, enunciato Teo-rema 2.2, dimostrazione Lemma 2.2, Definizion 2.2 ) 3. Disuguaglianze di Sobolev e Sobolev Poincar´e, [EG] sezione 4.5 (Dimostrazioni Facoltative). 4. Compattezza negli spazi di Sobolev, [EG] sezione 4.6 (Dimostrazioni Facoltativa). 5. Alcuni esempi di problemi ai limiti, [Br] sezione 9.5 (Tranne Teorema 9.23)
3. Regolarit`a delle soluzioni
1. Regolarit`a, [Br] sezione 9.6 Pagine 298-301 (Dimostrazioni Facoltative) 2. Principio del Massimo [Br] sezione Pagine 307-309
4. Argomenti Tesina Corso
(1) Dimostrazione di uno dei seguenti Teoremi a scelta dal Testo [EG] • Teorema 1.40 + Teorema 1.41
• Teorema 1.42
• Lemma 4.1 + Teorema 4.9 • Teorema 4.6
(2) Dimostrazione del Teorema di Stampacchia e Corollario Lax-Milgram • Sezione 5.3 Testo [Br]
(3) Regolarit`a
• Dimostrazione del Caso A del Teorema 9.25 dal testo di H. Brezis (Pagine 299-301)
• Dimostrazione del Caso B del Teorema 9.25 dal testo di H. Brezis (Pagine 301-303)
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References [A] Sobolev Spaces
R. A. Adams, New York, Academic Press, 1975.
[Br] Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations Ha¨ım Brezis; Universitext Springer.
[CA] Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale P. Cannarsa, T. Aprile; Springer.
[EG] Measure Theory and Fine Porperties of Functions (Revised Edition) 2015 L.C. Evans and R.F. Gariepy; CRC Press.
