Integrazione delle funzioni razionali fratte

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

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Integrazione di funzioni razionali fratte

1 Integrazione di funzioni razionali fratte

1.1 Sintesi della teoria

Per integrale di una funzione razionale fratta si intende un’espressione del tipo: Z _A(x)

B(x)dx

dove A(x) e B(x) sono dei polinomi, il cui grado è indicato rispettivamente con degA(x) e degB(x). Per calcolare integrali di questo tipo si cerca di trasformare la funzione integranda, in modo da ricondurla ad una funzione il cui integrale è noto. Ad esempio, se si riesce a fare in modo che il numeratore abbia lo stesso grado del denominatore, diminuito di 1, è ragionevole che si possa usare una formula del tipo:

Z _f0_(x)

f (x) = ln |f (x)| + c e cos`ı via.

In generale, sar`a necessario saper eseguire la divisione tra polinomi e, sulla base di tale divisione, de-comporre una funzione in diverse maniere. Fatta tale decomposizione, per calcolare questi integrali, si distinguono allora vari casi e sottocasi.

1. degA(x) ≥degB(x). Si scriveR A(x)

B(x) =R Q(x) + R R(x)

B(x), dove adesso degR(x) <degB(x).

2. degB(x)=1.

Si operano degli artifici per ricondursi alla formulaR f

0 (x) f (x) = ln |f (x)| + c 3. degB(x) = 2. Avremo allora: B(x) = ax2_{+ bx + c.} (a) ∆ > 0, soluzioni x1 e x2. Z q ax2_{+ bx + c} ∨ Z _{px + q} ax2_{+ bx + c} = Z _A x − x1 + Z _B x − x2

In questo modo ci siamo ricondotti al punto precedente, perch´e i denominatori hanno grado 1.

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(b) ∆ = 0, soluzione x1. i. R _ax2_+bx+cq = R q a(x−x1)2 = q aR (x − x1) −2₌ q a (x−x1)−2+1 −2+1 ii. R px+q ax2_+bx+c = R A a(x−x1)+ R B

a(x−x1)2, che si calcolano, il primo tramite logaritmi, il secondo

in modo simile al punto precedente.

4. ∆ < 0. (Ci limitiamo a descrivere la soluzione di questo caso solo per sommi capi).

E’ necessario eseguire un cosiddetto completamento al quadrato, ossia individuare due numeri k e m tali che ax2_{+ bx + c = a(x + k)}2_{+ m}2_.

(a) R q ax2_+bx+c = q a R 1

(x+k)2_+m2 , che si calcola tramite la funzione arctan.

(b) R px+q

ax2_+bx+c, si riduce ad un integrale del tipo ln |ax2+ bx + c| ed uno del tipo precedente (cio`e

risolubile con la funzione arctan). 5. degB(x) > 2.

Si cerca di fattorizzare il denominatore in termini di primo o secondo grado, in modo da scomporre la funzione integranda in una funzione del tipo:

A x − x1 + B x − x2 + C x − x3 + . . .

1.2 Esercizi

1.2.1 Esercizio 1: divisione

Nelle seguenti funzioni razionali fratte, il numeratore ha grado maggiore o uguale al denominatore. Scomponile in espressioni del tipo:

Q(x) +R(x) B(x)

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dove degR(x) <degB(x).

Il primo membro `e il testo dell’esercizio, il secondo `e il risultato. 3x2_{− 2} 3x − 6 = x + 2 + 10 3x − 6 (1) 4x4_{+ 8x}2_{+ x + 3} 2x2_{+ 1} = 2x 2_{+ 3 +} x 2x2_{+ 1} (2) 2x3+ x2+ 2x + 2 x2_{+ 1} = 2x + 1 + 1 x2_{+ 1} (3) 3x − 4 x − 2 = 3 + 2 x − 2 (4) 3x2_{+ 3x + 2} x + 1 = 3x + 2 x + 1 (5) x4_{− x}3_{− 3} x − 1 = x 3 − 3 x − 1 (6) x2+ 3 x2_{+ 4} = 1 − 1 4 + x2 (7) x3+ 9x − 1 x2_{+ 9} = x − 1 x2_{+ 9} (8) x3_{+ 2x} x2_{+ 1} = x + x 1 + x2 (9) x4 x2_{− 2x + 2}= x 2_{+ 2x + 2 −} 4 x2_{− 2x + 2} (10) 1.2.2 Esercizio 2: decomposizione

Decomponi le funzioni razionali fratte proposte di seguito in espressioni del tipo: A x − x1 + B x − x2 ; A a(x − x1) + B a(x − x1)2 ; q a(x − x1)2

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a seconda dei casi, oppure indica se vale ∆ < 0.

Il primo membro `e il testo dell’esercizio, il secondo `e il risultato. x + 5 9x2_{− 6x + 1} = 1 9x −1 3 + 16 27x −1 3 2 (11) 2x − 7 x2_{− x − 2} = 3 x + 1 + −1 x − 2 (12) 1 4x2_{− 4x + 1} = 1 4x −1 2 2 (13) 1 x2_{− 4x + 6}; ∆ < 0 (14) 1 x2_{− 10x + 25} = 1 (x − 5)2 (15) 1 x2_{− 4} = 1/4 x − 2 + −1/4 x + 2 (16) 1 x2_{+ x − 2} = 1 3(x − 1) − 1 3(x + 2) (17) x − 2 x2_{+ x − 2} = − 1 3(x − 1) + 4 3(x + 2) (18) (19) 1.2.3 Esercizio 1+2: divisione+decomposizione

Nel seguente esercizio `e necessario prima dividere il numeratore per il denominatore (come nell’esercizio 1); in seguito si richiede di decomporre quanto ottenuto, come fatto nell’esercizio 2.

Il primo membro `e il testo dell’esercizio, il secondo `e il risultato della divisione, il terzo il risultato finale (dopo la decomposizione). x3_{− 3x − 4} x2_{− 4} = x + x − 4 x2_{− 4} = x − 1 2(x − 2) + 3 2(x + 2) (20) 1.2.4 Esercizio 3: integrazione

Calcola gli integrali definiti proposti di seguito (a fianco `e scritto il risultato).

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Denominatore di I grado Z _{5x − 17} x − 3 dx = 5x − 2 ln |x − 3| + c (21) Z _5x2_{+ 5x − 2} x + 1 dx = 5 2x 2_{− 2 ln |x + 1| + c} ₍₂₂₎ Z _x5_{− x}4_{− 2} x − 1 dx = 1 5x 5 − 2 ln |x − 1| + c (23) Denominatore di II grado, ∆ > 0 Z ₁ 9 − x2dx = − 1 6ln | x − 3 x + 3| + c (24) Z ₁ x2_{− 3x + 2}dx = ln | x − 2 x − 1| + c (25) Z (x2− 2x − 3)−1dx = −1 4ln |x + 1| + 1 4ln |x − 3| + c (26) Z _{x − 1} x2_{− 2x − 3}dx = 1 2ln |x 2_{− 2x − 3| + c} ₍₂₇₎ Denominatore di II grado, ∆ = 0 Z _{2x − 3} 4x2_{− 4x + 1}dx = 1 4ln(4x 2_{− 4x + 1) +} 1 2x − 1+ c (28) Z _{x + 1} x2_{− 2x + 1}dx = ln |x − 1| − 2 x − 1+ c (29) Z ₁ x2_{+ 8x + 16}dx = − 1 x + 4+ c (30) Esercizi vari Z _{2x + x}3_{− 3 − 3x}2 1 + x2 dx = 1 2x 2 − 3x +1 2ln(1 + x 2 ) + c (31) Z −−10x + 9 + x 3 x2_{− 9} dx = − 1 2x 2_{− ln |x − 3| + 2 ln |x + 3| + c} ₍₃₂₎