LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA
Prof. Francesco Marchi
1Integrazione di funzioni razionali fratte
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Integrazione di funzioni razionali fratte
1.1
Sintesi della teoria
Per integrale di una funzione razionale fratta si intende un’espressione del tipo: Z A(x)
B(x)dx
dove A(x) e B(x) sono dei polinomi, il cui grado `e indicato rispettivamente con degA(x) e degB(x). Per calcolare integrali di questo tipo si cerca di trasformare la funzione integranda, in modo da ricondurla ad una funzione il cui integrale `e noto. Ad esempio, se si riesce a fare in modo che il numeratore abbia lo stesso grado del denominatore, diminuito di 1, `e ragionevole che si possa usare una formula del tipo:
Z f0(x)
f (x) = ln |f (x)| + c e cos`ı via.
In generale, sar`a necessario saper eseguire la divisione tra polinomi e, sulla base di tale divisione, de-comporre una funzione in diverse maniere. Fatta tale decomposizione, per calcolare questi integrali, si distinguono allora vari casi e sottocasi.
1. degA(x) ≥degB(x). Si scriveR A(x)
B(x) =R Q(x) + R R(x)
B(x), dove adesso degR(x) <degB(x).
2. degB(x)=1.
Si operano degli artifici per ricondursi alla formulaR f
0 (x) f (x) = ln |f (x)| + c 3. degB(x) = 2. Avremo allora: B(x) = ax2+ bx + c. (a) ∆ > 0, soluzioni x1 e x2. Z q ax2+ bx + c ∨ Z px + q ax2+ bx + c = Z A x − x1 + Z B x − x2
In questo modo ci siamo ricondotti al punto precedente, perch´e i denominatori hanno grado 1.
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(b) ∆ = 0, soluzione x1. i. R ax2+bx+cq = R q a(x−x1)2 = q aR (x − x1) −2= q a (x−x1)−2+1 −2+1 ii. R px+q ax2+bx+c = R A a(x−x1)+ R B
a(x−x1)2, che si calcolano, il primo tramite logaritmi, il secondo
in modo simile al punto precedente.
4. ∆ < 0. (Ci limitiamo a descrivere la soluzione di questo caso solo per sommi capi).
E’ necessario eseguire un cosiddetto completamento al quadrato, ossia individuare due numeri k e m tali che ax2+ bx + c = a(x + k)2+ m2.
(a) R q ax2+bx+c = q a R 1
(x+k)2+m2 , che si calcola tramite la funzione arctan.
(b) R px+q
ax2+bx+c, si riduce ad un integrale del tipo ln |ax2+ bx + c| ed uno del tipo precedente (cio`e
risolubile con la funzione arctan). 5. degB(x) > 2.
Si cerca di fattorizzare il denominatore in termini di primo o secondo grado, in modo da scomporre la funzione integranda in una funzione del tipo:
A x − x1 + B x − x2 + C x − x3 + . . .
1.2
Esercizi
1.2.1 Esercizio 1: divisioneNelle seguenti funzioni razionali fratte, il numeratore ha grado maggiore o uguale al denominatore. Scomponile in espressioni del tipo:
Q(x) +R(x) B(x)
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dove degR(x) <degB(x).
Il primo membro `e il testo dell’esercizio, il secondo `e il risultato. 3x2− 2 3x − 6 = x + 2 + 10 3x − 6 (1) 4x4+ 8x2+ x + 3 2x2+ 1 = 2x 2+ 3 + x 2x2+ 1 (2) 2x3+ x2+ 2x + 2 x2+ 1 = 2x + 1 + 1 x2+ 1 (3) 3x − 4 x − 2 = 3 + 2 x − 2 (4) 3x2+ 3x + 2 x + 1 = 3x + 2 x + 1 (5) x4− x3− 3 x − 1 = x 3 − 3 x − 1 (6) x2+ 3 x2+ 4 = 1 − 1 4 + x2 (7) x3+ 9x − 1 x2+ 9 = x − 1 x2+ 9 (8) x3+ 2x x2+ 1 = x + x 1 + x2 (9) x4 x2− 2x + 2= x 2+ 2x + 2 − 4 x2− 2x + 2 (10) 1.2.2 Esercizio 2: decomposizione
Decomponi le funzioni razionali fratte proposte di seguito in espressioni del tipo: A x − x1 + B x − x2 ; A a(x − x1) + B a(x − x1)2 ; q a(x − x1)2
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a seconda dei casi, oppure indica se vale ∆ < 0.
Il primo membro `e il testo dell’esercizio, il secondo `e il risultato. x + 5 9x2− 6x + 1 = 1 9x −1 3 + 16 27x −1 3 2 (11) 2x − 7 x2− x − 2 = 3 x + 1 + −1 x − 2 (12) 1 4x2− 4x + 1 = 1 4x −1 2 2 (13) 1 x2− 4x + 6; ∆ < 0 (14) 1 x2− 10x + 25 = 1 (x − 5)2 (15) 1 x2− 4 = 1/4 x − 2 + −1/4 x + 2 (16) 1 x2+ x − 2 = 1 3(x − 1) − 1 3(x + 2) (17) x − 2 x2+ x − 2 = − 1 3(x − 1) + 4 3(x + 2) (18) (19) 1.2.3 Esercizio 1+2: divisione+decomposizione
Nel seguente esercizio `e necessario prima dividere il numeratore per il denominatore (come nell’esercizio 1); in seguito si richiede di decomporre quanto ottenuto, come fatto nell’esercizio 2.
Il primo membro `e il testo dell’esercizio, il secondo `e il risultato della divisione, il terzo il risultato finale (dopo la decomposizione). x3− 3x − 4 x2− 4 = x + x − 4 x2− 4 = x − 1 2(x − 2) + 3 2(x + 2) (20) 1.2.4 Esercizio 3: integrazione
Calcola gli integrali definiti proposti di seguito (a fianco `e scritto il risultato).
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Denominatore di I grado Z 5x − 17 x − 3 dx = 5x − 2 ln |x − 3| + c (21) Z 5x2+ 5x − 2 x + 1 dx = 5 2x 2− 2 ln |x + 1| + c (22) Z x5− x4− 2 x − 1 dx = 1 5x 5 − 2 ln |x − 1| + c (23) Denominatore di II grado, ∆ > 0 Z 1 9 − x2dx = − 1 6ln | x − 3 x + 3| + c (24) Z 1 x2− 3x + 2dx = ln | x − 2 x − 1| + c (25) Z (x2− 2x − 3)−1dx = −1 4ln |x + 1| + 1 4ln |x − 3| + c (26) Z x − 1 x2− 2x − 3dx = 1 2ln |x 2− 2x − 3| + c (27) Denominatore di II grado, ∆ = 0 Z 2x − 3 4x2− 4x + 1dx = 1 4ln(4x 2− 4x + 1) + 1 2x − 1+ c (28) Z x + 1 x2− 2x + 1dx = ln |x − 1| − 2 x − 1+ c (29) Z 1 x2+ 8x + 16dx = − 1 x + 4+ c (30) Esercizi vari Z 2x + x3− 3 − 3x2 1 + x2 dx = 1 2x 2 − 3x +1 2ln(1 + x 2 ) + c (31) Z −−10x + 9 + x 3 x2− 9 dx = − 1 2x 2− ln |x − 3| + 2 ln |x + 3| + c (32)