Esercizi con svolgimento

Liceo “Carducci” Volterra - Prof. Francesco Daddi - 21 dicembre 2011

Esercizi svolti sui limiti

-

Classe 3

_{A Classico}

Esercizio 1. Calcolare _lim

x→2+

7 − x x− 2

. Soluzione._{Risulta: lim}

x→2+

7 − x x− 2 =

5

0+ = +∞ .

Esercizio 2. Calcolare _lim

x→1+

x2+ 5

3 − 3 x . Soluzione.Risulta: x→1lim+

x2+ 5 3 − 3 x =

6

0− = −∞ .

Esercizio 3. Calcolare _lim

x→3−

1 − 2 x

9 − x2 . Soluzione.Risulta: lim x→3−

1 − 2 x 9 − x2 =

−5

0+ = −∞ .

Esercizio 4. Calcolare _lim

x→−2−

x− x2

3 x + 6 . Soluzione.Risulta: x→−2lim−

x− x2 3 x + 6 =

−6

0− = +∞ .

Esercizio 5. Calcolare _lim

x→−5−

7 − 3 x

25 − x2 . Soluzione.Risulta: _x→−5lim₋

7 − 3 x 25 − x2 =

22

0− = −∞ .

Esercizio 6. Calcolare _lim

x→2+

5 − 3 x x2− 6 x + 8

. Soluzione._{Risulta: lim}

x→2+

5 − 3 x x2− 6 x + 8 =

−1

0− = +∞ .

Esercizio 7. Calcolare _lim

x→−3+

8 x2

− x − 5 (x + 3)6

. Soluzione._{Risulta: lim}

x→−3+ 8 x2 − x − 5 (x + 3)6 = 70 0+ = +∞ .

Esercizio 8. Calcolare _lim

x→−5+

x+ 2

(2 x + 10)9 . Soluzione.Risulta: x→−5lim+

x+ 2 (2 x + 10)9 =

−3

0+ = −∞ .

Esercizio 9. Calcolare _lim

x→1

1 − x x2− 4 x + 3

. Soluzione._{Il limite si presenta nella forma} 0

0 ; fattorizzando il denominatore si ha: lim x→1 1 − x x2− 4 x + 3 = limx→1 −(x − 1) (x − 1)(x − 3) = limx→1 −✘✘(x − 1)✘✘ ✘✘✘_{(x − 1)(x − 3)}✘ = limx→1 −1 (x − 3) = −1 −2 = 1 2 . Esercizio 10. Calcolare _lim

x→−2+

x2− 4 x2+ 4 x + 4

. Soluzione. _{Il limite si presenta nella forma} 0

0 ; fattorizzando il numeratore ed il denominatore si ha:

lim x→−2+ x2− 4 x2+ 4 x + 4 = limx→−2+ (x − 2)(x + 2) (x + 2)(x + 2) =x→−2lim+ (x − 2)✘✘(x + 2)✘✘ (x + 2)✘✘(x + 2)✘✘=x→−2lim+ x− 2 x+ 2 = −4 0+ = −∞ .

Esercizio 11. Calcolare _lim

x→5

10 x − x2

− 25 x2− 7 x + 10

. Soluzione. _{Il limite si presenta nella forma} 0

0 ; fattorizzando il numeratore ed il denominatore si ha:

lim x→5 10 x − x2 − 25 x2− 7 x + 10 = limx→5 −(x − 5)(x − 5) (x − 5)(x − 2) = limx→5 −✘✘(x − 5)(x − 5)✘✘ ✘✘✘_{(x − 5)(x − 2)}✘ = limx→5 −(x − 5) x− 2 = 0 3 = 0 . Esercizio 12. Calcolare _lim

x→0

√

x+ 9 − 3

4 x . Soluzione.Il limite si presenta nella forma 0

0 ; moltiplicando numeratore e denominatore per √x+ 9 + 3 si ha:

lim x→0 √ x+ 9 − 3 4 x = limx→0 √ x+ 9 − 3 4 x · √ x+ 9 + 3 √ x+ 9 + 3 = limx→0 x+ 9 − 9 4 x √x+ 9 + 3
= lim x→0 ✁ x 4 ✁x √x+ 9 + 3
= limx→0 1 4 √x+ 9 + 3
= 1 4 · √9 + 3
= 1 24 . Esercizio 13. Calcolare _lim

x→2

5 −√9 + 8 x x2− 3 x + 2

. Soluzione._{Il limite si presenta nella forma} 0

0 ; moltiplicando numeratore e denominatore per 5 +√9 + 8 x si ha:

lim x→2 5 −√9 + 8 x x2− 3 x + 2 = limx→2 5 −√9 + 8 x x2− 3 x + 2 · 5 +√9 + 8 x 5 +√9 + 8 x = limx→2 25 − (9 + 8 x) (x2_{− 3 x + 2) · 5 +}√_{9 + 8 x}
= 1

lim x→2 16 − 8 x (x2_{− 3 x + 2) · 5 +}√_{9 + 8 x}
; fattorizzando al denominatore (x 2 − 3 x + 2) si ha: lim x→2 8(2 − x) (x − 2) · (x − 1) · 5 +√9 + 8 x
= lim x→2 −8✘✘(x − 2)✘✘ ✘✘✘(x − 2) · (x − 1) · 5 +✘ √9 + 8 x
= lim x→2 −8 (x − 1) · 5 +√9 + 8 x
= −8 (2 − 1) · 5 +√9 + 8 · 2
=− 4 5 . Esercizio 14. Calcolare _lim

x→0

√

2 x + 1 −√3 x + 1 √

x2+ 16 − 2√x+ 4

. Soluzione._{Il limite si presenta nella forma} 0

0 ; moltiplicando numeratore e denominatore per √2 x + 1 +√3 x + 1
_· √x2+ 16 + 2√x+ 4
si ottiene:

lim x→0 √ 2 x + 1 −√3 x + 1 √ x2+ 16 − 2√x+ 4 · √ 2 x + 1 +√3 x + 1 √ 2 x + 1 +√3 x + 1 · √ x2+ 16 + 2√x+ 4 √ x2+ 16 + 2√x+ 4 = lim x→0 (2 x + 1 − (3 x + 1)) · √x2+ 16 + 2√x+ 4
(x2 + 16 − 4(x + 4)) · √2 x + 1 +√3 x + 1
= lim x→0 −x · √x2+ 16 + 2√x+ 4
(x2 − 4 x) · √2 x + 1 +√3 x + 1
= lim x→0 −✁x · √x2+ 16 + 2√x+ 4
 x ✄2− 4 ✁x  · √2 x + 1 +√3 x + 1
= limx→0 − √x2+ 16 + 2√x+ 4
(x − 4) · √2 x + 1 +√3 x + 1
= −(4 + 4) (−4) · (1 + 1) = 1 . Esercizio 15. Calcolare _lim

x→1+

√ x2− 1 √

x− 1

. Soluzione._{Il limite si presenta nella forma} 0

0 ; moltiplicando per √ x+ 1 √ x+ 1 si ottiene: lim x→1+ √ x2− 1 √ x− 1 · √ x+ 1 √ x+ 1 = limx→1+ √ x2− 1 · (√x+ 1) x− 1 = limx→1+ s x2− 1 (x − 1)2 · ( √ x+ 1) = lim x→1+ s ✘✘✘(x − 1)(x + 1)✘ ✘✘✘_{(x − 1)(x − 1)}✘ · ( √ x+ 1) = lim x→1+ r x+ 1 x− 1 · ( √ x+ 1) = +∞ · 2 = +∞ .

Esercizio 16. Calcolare _lim

x→+∞

x4+ 5 x3− 3 x2+ x − 6 2 x3

− x + 5 . Soluzione. Il limite si presenta nella forma indeterminata ∞ ∞ ; mettiamo in evidenza x 4 _{al numeratore e x}3 _{al denominatore:} lim x→+∞ x4  1 + 5 x− 3 x2 + 1 x3 − 6 x4  x3  2 − 1 x2 + 5 x3  = lim x→+∞ x· 1 + 5 x− 3 x2 + 1 x3 − 6 x4 2 − 1 x2+ 5 x3 = +∞ ·1₂ = +∞ .

Esercizio 17. Calcolare _lim

x→−∞

√

8 x14_{− 3 x}5_{+ x}3_{− x}2_{+ 2}

5 x4_{− x}2_{+ x − 5} . Soluzione.Il limite si presenta nella forma

indetermi-nata ∞

∞ ; mettiamo in evidenza x

14

dentro il radicale al numeratore e x4

al denominatore: lim x→−∞ s x14·  8 − 3 x9 + 1 x11 − 1 x12 + 2 x14  x4·  5 − 1 x2 + 1 x3 − 5 x4  = lim x→−∞ |x|7 · r 8 − 3 x9 + 1 x11 − 1 x12+ 2 x14 x4·  5 − 1 x2 + 1 x3 − 5 x4  = lim x→−∞ − x 3 · r 8 − 3 x9 + 1 x11 − 1 x12 + 2 x14 5 − 1 x2 + 1 x3 − 5 x4 = −(−∞)3 · √ 8 5 = +∞ . 2

Esercizio 18. Calcolare _lim

x→+∞

5 x2

− 4 x − 2√x+ 3

2 x2_{− x +}√_x . Soluzione.Il limite si presenta nella forma indeterminata

∞ ∞; mettiamo in evidenza x2 _{al numeratore e al denominatore:}

lim x→+∞ 5 x2 − 4 x − 2√x+ 3 2 x2_{− x +}√_x = lim_x→+∞ x2·  5 − 4 x− 2 x√x+ 3 x2  x2·  2 − 1 x+ 1 x√x  = lim_x→+∞ ✚x✚2·  5 − 4 x− 2 x√x+ 3 x2  ✚x✚2·  2 − 1 x+ 1 x√x  = 5 2 .

Esercizio 19. Calcolare _lim

x→+∞

p

x2+ 2 x − 3−x . Soluzione. Il limite si presenta nella forma indeterminata +∞−∞; moltiplichiamo per √ x2+ 2 x − 3 + x √ x2+ 2 x − 3 + x : lim x→+∞ p x2+ 2 x − 3 − x  · √ x2+ 2 x − 3 + x √ x2+ 2 x − 3 + x = lim x→+∞ x2+ 2 x − 3 − x2 √ x2+ 2 x − 3 + x = lim x→+∞ 2 x − 3 √ x2+ 2 x − 3 + x = lim x→+∞ x·  2 − 3_x  s x2  1 + 2 x− 3 x2  + x = lim x→+∞ x·  2 − 3_x  |x| · r 1 + 2 x− 3 x2 + x = lim x→+∞ x·  2 − 3 x  x· r 1 + 2 x− 3 x2+ x = lim x→+∞ ✁ x·  2 − 3 x  ✁ x· r 1 + 2 x− 3 x2 + 1 ! = 2 1 + 1 = 1 .

Esercizio 20. Calcolare _lim

x→+∞

p 5 x2

+ 4 x − 7 − 3 x . Soluzione. Il limite si presenta nella forma indeterminata +∞ − ∞ ; possiamo procedere come visto nell’esercizio precedente moltiplicando per

√

5 x2_{+ 4 x − 7 + 3 x}

√ 5 x2

+ 4 x − 7 + 3 x. In questo esercizio, per`o, `e possibile seguire un altro metodo: mettendo in evidenza x2 _{dentro il radicale risulta}

lim x→+∞ p 5 x2_{+ 4 x − 7 − 3 x = lim} x→+∞ s x2  5 + 4 x− 7 x2  − 3 x = lim_x→+∞|x| · r 5 + 4 x− 7 x2 − 3 x = lim x→+∞ x· r 5 + 4 x− 7 x2 − 3 x = limx→+∞ x· r 5 + 4 x− 7 x2− 3 ! = +∞ ·√5 − 3= −∞ . Esercizio 21. Calcolare _lim

x→−∞

p

x2+ 4 x − 7−3 x . Soluzione. Poich´e lim

x→−∞ p x2+ 4 x − 7 = +∞ e lim x→−∞−3 x = +∞, si ha che lim x→−∞ p x2+ 4 x − 7 − 3 x = +∞ . Esercizio 22. Calcolare _lim

x→−∞

1 x+√x2+ 2

. Soluzione._{Al denominatore si presenta una forma di indeterminazione}

del tipo −∞ + ∞ ; moltiplichiamo per x− √ x2+ 2 x− √ x2+ 2 : lim x→−∞ 1 x+√x2+ 2 · x−√x2+ 2 x−√x2+ 2 = lim x→−∞ x−√x2+ 2 x2− (x2+ 2) = limx→−∞ x−√x2+ 2 −2 = lim x→−∞ x− s x2  1 + 2 x2  −2 = limx→−∞ x− |x| · r 1 + 2 x2 −2 = limx→−∞ x− (−x) · r 1 + 2 x2 −2 = lim x→−∞ x+ x · r 1 + 2 x2 −2 = limx→−∞ x· 1 + r 1 + 2 x2 −2 = (−∞) · 1 + 1 −2 = +∞ . 3