Universit`a dell’Aquila - Fisica 2-Elettromagnetismo Terza prova parziale - 16/01/2017
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU
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ESERCIZIO 1 Una bobina quadrata conduttrice di lato ` = 10 cm e massa m = 20 g, con velocit`a iniziale vo = 5 m/s
e di resistenza totale R = 10 mΩ entra in una re-gione di spazio in cui `e presente un campo magnetico B = 0.7 T uniforme ed uscente dal piano della figura. Determinare a) La forza che inizialmente agisce sulla bobina; b) il tempo che impiega ad entrare nel campo; c) la velocit`a che ha quando `e completamente entrata nel campo; d) l’energia dissipata nella bobina a causa delle correnti di Focault.
ESERCIZIO 2
Un anello toroidale ferromagnetico ha sezione costante S = 4 mm2 e lunghezza media ` =
25 cm (le dimensioni trasversali lineari sono trascurabili rispetto a `). La permeabilit`a magnetica relativa dell’anello `e µr = 800 (supposta costante). Sul bordo sono avvolte N =
500 spire. Nelle spire viene fatta scorrere una corrente I0 = 200 mA.
Determinare a) l’induttanza dell’anello; b) il valore del campo di induzione magnetica all’interno dell’anello; c) la corrente affinch`e nel traferro il campo di induzione magnet-ica rimanga uguale dopo aver asportato un fatta di materiale di spessore d = 1.5 mm; d) l’energia immagazzinata nel campo magnetico con la corrente calcolata nel punto c).
SOLUZIONE ESERCIZIO 1 a)
Appena entra nel campo viene generato sul lato di destra una f.e.m pari a f = B`vo
che determina una corrente iniziale circolante in senso antiorario: Io =
f R =
B`vo
R = 35 A Quindi vi `e inizialmente una forza frenante pari a:
Fx= −IoB` = −2.45 N
b)
La corrente circolante dipender`a dalla velocit`a istantanea: I(t) = B`v(t)
R
Quindi anche la forza frenante dipender`a dalla velocit`a istantanea: Fx(t) = −I(t)B` = −
B2`2v(t)
R La legge della dinamica `e:
mdv dt = Fx(t) = − B2`2v(t) R Definendo: τ = (mR)/(B2`2) = 41 ms si ha che: τdv dt = −v Da cui: v(t) = voe−t/τ essendo: dx dt = voe −t/τ ` = Z t1 0 voe−t/τdt = voτ 1 − e−t1/τ t1 = −τ log[1 − l/(voτ )] = 27.5 ms c)
Di conseguenza la velocit`a finale `e pari a
vf = voe−t1/τ = 2.5 m/s
d)
L’energia dissipata per le correnti Focault `e pari alla variazione di energia cinetica: DE = 1 2m(v 2 f − v 2 o) = −0.185 J
SOLUZIONE ESERCIZIO 2 a)
La riluttanza dell’anello `e pari a: R0 = ` µ0µrS = 6.2 · 107 H−1 Quindi: L0 = N2 R0 = 4 mH b)
Il valore del campo di induzione magnetica all’interno dell’anello: B0 =
N I0
R0S
= 0.4 T c)
Il taglio fa divenire la riluttanza di: RT = R0+
d µ0· S
= 3.6 · 108 H−1 Per cui per avere lo stesso campo B0 occorre che:
I = B0RTS
N = 1.16 A d)
L’energia magnetica si pu`o calcolare mediante o l’energia immagazzinata nella induttanza: L1 = N2 RT = 0.7 mH Em = 1 2L1I 2 = 0.47 mJ
si poteva anche calcolare ricavando H nel traferro: HT =
B0
µ0
= 3.2 · 105 A/m e nel materiale ferromagnetico:
HF =
B0
µ0µr
= 400 A/m Quindi l’energia magnetica nel materiale ferromagnetico:
EF =
1
2B0HF`S = 0.080 mJ Mentre nel traferro:
ET =
1
2B0HTdS = 0.386 mJ In totale:
