ITSC04 - Sistemi a tempo discreto

Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235

e-mail: secchi.cristian@unimore.it

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INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO

Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

SISTEMI A TEMPO DISCRETO

Sommatoria di convoluzione

• Nel caso continuo la risposta di un sistema dinamico lineare

tempo-invariante, a partire dalle condizioni di quiete, è data dall’integrale di convoluzione della risposta all’impulso g(t) con il segnale di ingresso x(t) e tale relazione in termini di trasformate di Laplace si riduce al prodotto

algebrico delle rispettive trasformate.

- g(t) -G(s) x(t) X(s) c(t) =  t 0 g(τ )x(t − τ) dτ =  t 0 g(t − τ)x(τ) dτ C(s) = G(s) X(s)

• Nel caso tempo-discreto, il valore (o campione) della sequenza di uscita all’istante k-esimo sia esprimibile con la sommatoria di convoluzione tra la “sequenza ponderatrice”d_k e la sequenza di ingresso e_k e che tale relazione è ancora riconducibile a un prodotto algebrico in termini di trasformata _Z

- dk -D(z) e_k E(z) m_k = k  i=0 d_i e_k−i = k  i=0 e_i d_k−i M (z) = D(z) E(z)

Sistema continuo con ingresso impulsivo

Infatti, si consideri la risposta di un sistema continuo in quiete ad una sequenza di impulsi di Dirac x∗(t) = ∞_k=0 x(kT )δ(t − kT ) G(s) -* * -x(t) x∗(t) y(t) y∗(t) δ_T δ_T

Poiché il sistema descritto dalla G(s) è un sistema lineare continuo, e poiché al suo ingresso è presente una sequenza di impulsi la risposta y(t) è data dalla somma delle risposte ai singoli impulsi. In altri termini si ha che

y(t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ g(t)x(0) 0 ≤ t < T g(t)x(0) + g(t − T )x(T ) T ≤ t < 2T g(t)x(0) + g(t − T )x(T ) + g(t − 2T )x(2T ) 2T ≤ t < 3T .. . ...

Sistema continuo con ingresso impulsivo

• il valore y(t) negli istanti di campionamento t = kT è: y(kT ) = k  h=0 g(kT − hT )x(hT ) (1) = k  h=0 x(kT − hT )g(hT ) (2)

• La sequenza g(kT ) è detta sequenza ponderatrice del sistema • Le sommatorie sono chiamate sommatorie di convoluzione

(y(kT ) = x(kT ) _{∗ g(kT ))}

Sistema continuo con ingresso impulsivo

Siccome valgono le seguenti uguaglianze:

x(t) = 0, t < 0 → x(kT − hT ) = 0, h > k g(kT − hT ) = 0, h > k

le sommatorie (1), (2) possono essere estese per h da 0 ad _{∞ ottenendo:} y(kT ) = ∞  h=0 g(kT − hT )x(hT ) (3) = ∞  h=0 x(kT − hT )g(hT ) (4)

Funzione di trasferimento discreta

Applicando la definizione di _{Z-trasformata alla sequenza:} y(kT ) = ∞  h=0 g(kT − hT )x(hT ) si ha Y (z) = ∞  k=0 y(kT )z−k = ∞  k=0 ∞  h=0 g(kT − hT )x(hT )z−k = ∞  m=0 ∞  h=0 g(mT )x(hT )z−m−h = ∞  m=0 g(mT )z−m ∞  h=0 x(hT )z−h = G(z)X(z) (5)

Funzione di trasferimento discreta

Y (z) = G(z)X(z) dove

G(z) = ∞_m=0 g(mT )z−m

• esprime la _{Z-trasformata Y (z) dell’uscita del sistema in funzione della} Z-trasformata del segnale presente all’ingresso X(z) a partire da

condizioni iniziali di quiete.

• dividendo ambo per X(z) si ha:

G(z) = Y (z) X(z)

G(z)

-

Risposta all’“impulso”

• La G(z) definita come _{Z-trasformata della sequenza ponderatrice può} anche essere ottenuta come la _{Z-trasformata dell’uscita del sistema in} risposta alla funzione delta di Kronecker

x(kT ) = δ₀(kT ) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 k = 0 0 k > 0 Infatti X(z) = Z[x(kT )] = 1 e quindi Y (z) = G(z)

• Questo risultato è del tutto analogo a quello che si ottiene nel caso

tempo-continuo (trasformata di Laplace G(s) interpretabile come la risposta del sistema ad un ingresso impulsivo unitario.

Funzione di trasferimento discreta

•• Se un sistema è continuo è modellato da una funzione di trasferimento G(s), la funzione di trasferimento discreta G(z) che lega una sequenza derivante da un campionamento impulsivo a una sequenza di uscita campionata impulsivamente è data dalla _{Z-trasformata della sequenza} ottenuta dal campionamento della risposta impulsiva g(t) = _L−1(G(s)) del sistema.

• Con la notazione _{Z[G(s)] indicheremo la Z-trasformata associata alla} funzione di trasferimento G(s).

Esempio

Si consideri il sistema descritto dalla funzione G(s) = 1

1 + s

Si vuole determinare la risposta del sistema nei seguenti casi:

- _G(s) -x(t) y(t) (a)  _{- G(s)} -x(t) x∗(t) y(t) (b)  -_{H0(s)- G(s)} -x(t) y(t) (c) dove il segnale x(t) = e−t

Esempio - caso a

• Antitrasformando secondo Laplace

Y_a(s) = G(s)X(s) = 1 s + 1 1 s + 1 = 1 (s + 1)2 si ottiene L−1[Y_a(s)] = y_a(t) = te−t

• Se si campiona con periodo T questo segnale, si ottiene la successione di valori y_a(kT ) = kT e−kT 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Esempio - caso b

•• La risposta del sistema descritto da G(s) al segnale impulsivo x∗(t) può essere espressa mediante l’integrale di convoluzione

y(t) =  t

0

g(t − τ)x∗(τ )dτ ove x∗(t) ha la seguente espressione

x∗(t) = ∞  k=0 x(t)δ(t − kT ) = ∞  k=0 x(kT )δ(t − kT )

• La risposta y_b(t) è somma delle risposte ai singoli impulsi (proprietà di linearità) y_b(t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ g(t)x(0) 0 ≤ t < T g(t)x(0) + g(t − T )x(T ) T ≤ t < 2T .. . . . . g(t)x(0) + g(t−T )x(T ) + . . . + g(t−kT )x(kT ) kT ≤t<(k+1)T

Esempio - caso b

y_b(kT ) = (k + 1)e−kT 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 o o o (b) -- Risposta al segnale x*

Esempio - caso c

Esempio

Risposte nei tre casi

Si noti che y_a(kT ) = y_b(kT ) = y_c(kT ). Inoltre si noti che la risposta y_b(t) ha discontinuità per t = kT , mentre y_c(t) è continua.

Esempio

• Sia il campionamento che la ricostruzione alterano il tipo di risposta che si otterrebbe nel caso continuo

• Questi effetti dovranno essere presi nella dovuta considerazione quando si dovrà implementare un algoritmo di controllo su un microprocessore

digitale.

Funzione di risposta armonica discreta - definizione

risposta armonica di G(z) è definita come:

G(ejωT), 0 ≤ ω ≤ π

T

cioè è la funzione a valori complessi che si ottiene ponendo z = ejωT _nella

funzione di trasferimento G(z).

• G(ejωT) viene definita nel solo intervallo 0 ≤ ω ≤ _Tπ in quanto G(ej(ω+kωs)T_{) = G(e}jωT_{), k = 0, 1, 2, . . .}

e, per ω < 0, la G(ejωT₎ assume valori complessi coniugati rispetto al caso

ω ≥ 0.

Funzione di risposta armonica discreta - significato

quello del caso continuo:

• La risposta di un sistema G(z) asintoticamente stabile ad un ingresso sinusoidale sin(ωkT ) è, a regime, una sinusoide A sin(ωkT + ϕ) la cui ampiezza A e la cui fase ϕ sono dati da:

A = |G(ejωT)|, ϕ = Arg[G(ejωT)]

• La funzione di risposta armonica G(ejωT_{) è una funzione trascendente in ω}

per cui non è possibile graficare i corrispondenti diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi utilizzando le stesse regole di approssimazione e composizione asintotica che si utilizzano usualmente nel caso continuo.

Composizione di schemi a blocchi

Prendiamo in considerazione i due sistemi seguenti:

 _{- G(s)} - -x(t) x∗(t) X(z) y(t) y∗(t) Y (z) δ_T Campionatore fittizio a) - G(s) -x(t) X(s) y(t) Y (s) b)

Composizione di schemi a blocchi

• Al fine di esprimere la trasformata _{Z del segnale di uscita o l’associata} trasformata di Laplace della sequenza di campioni impulsivi d’uscita, è importante notare la differenza fra i due schemi. Nel primo è presente sull’ingresso un campionatore, per cui l’ingresso della funzione di

trasferimento G(s) è una sequenza di impulsi, mentre nel secondo caso il segnale x(t) entra senza campionamento.

• Il campionatore fittizio è utilizzato per poter definire la trasformata _Z dell’uscita e porla in relazione con la trasformata _{Z della sequenza di} ingresso

Composizione di schemi a blocchi - a

da cui, applicando il campionamento all’uscita, si ottiene

Y ∗(s) = [G(s) X∗(s)]∗ = G∗(s) X∗(s) (6)

ovvero, in termini di _{Z-trasformata,}

Composizione di schemi a blocchi - b

Y (z) = Z[G(s) X(s)] = GX(z) = G(z) X(z)

Composizione di schemi a blocchi

Nel primo caso si può definire la funzione di trasferimento discreta G(z) tra le due sezioni di ingresso e uscita in quanto ivi sono presenti sequenze discrete. Nel secondo caso si può solo definire la zeta trasformata del segnale di uscita Y (z). La quantità GX(z) dipende in modo non separabile dal segnale continuo di ingresso e dalla dinamica G(s). Tale sostanziale differenza deve essere

tenuta attentamente in conto nell’analisi di schemi misti composti da blocchi a dinamica continua e discreta.

Blocchi in cascata

 _-  _- 

-δ_T δ_T δ_T

G(s) H(s)

x(t) x∗(t) u(t) u∗(t) y(t) y∗(t)

All’ingresso dei due sistemi dinamici G(s) e H(s) sono presenti sequenze discrete. É facile verificare che:

Y ∗(s) = G∗(s) H∗(s) X∗(s) ovvero

Y (z) = G(z) H(z) X(z)

e dunque la funzione di trasferimento discreta della cascata è: Y (z)

X(z) = G(z) H(z)

Blocchi in cascata

Tra i due sistemi dinamici G(s) e H(s) non c’è il campionatore, per cui va

considerata la dinamica complessiva G(s) H(s) prima di procedere al calcolo delle _{Z-trasformate. Precisamente:}

Y (s) = G(s) H(s) X∗(s) e quindi Y ∗(s) = [G(s) H(s)]∗ X∗(s) da cui direttamente Y (z) = GH(z) X(z) con Z[G(s)H(s)] = G(z) H(z)

Blocchi in cascata - esempio

Z

-trasformata del ricostruttore di ordine zero

• Da un punto di vista discreto, il ricostruttore di ordine zero si comporta come una costante unitaria.

• Considerando la relazione ingresso uscita, i due sistemi seguenti sono equivalenti  _-  -δ_T δ_T 1−e−sT s x(t) x∗(t) u(t) u∗(t) _ -δ_T x(t) x∗(t) = u∗(t)

Esempio

Esempio

Esempio

Schema in retroazione

Schema in retroazione

C(z) = G(z) R(z) 1 + GH(z)

La funzione di trasferimento discreta del sistema in retroazione è quindi C(z)

R(z) =

G(z) 1 + GH(z)

Possibili configurazioni di sistemi discreti in retroazione - g  - G(s)  - H(s) 6 R(s) C(s) C(z) -C(z) = G(z) R(z) 1 + GH(z) - g  - G(s)  - H(s) 6 R(s) C(s) C(z) -C(z) = G(z) R(z) 1 + G(z) H(z)

Possibili configurazioni di sistemi discreti in retroazione - g  -G1(s)  -G2(s)  - H(s) 6 R(s) C(s) C(z) -C(z) = G1(z) G2(z) R(z) 1 + G1(z) G2H(z) - g -G1(s)  -G2(s)  - H(s) 6 R(s) C(s) C(z) -C(z) = G2(z) G1R(z) 1 + G1G2H(z)

Stabilità dei sistemi discreti

• Stabilità semplice e stabilità asintotica: proprietà di un sistema di

mantenere l’uscita limitata, o di tornare nello stato di quiete, in risposta a perturbazioni dello stato iniziale.

• Stabilità ingresso limitato - uscita limitata (i.l.u.l.): proprietà di un sistema di mantenere la propria uscita limitata a fronte di variazioni limitate del

segnale di ingresso.

• Trattando di sistemi descritti da funzioni di trasferimento (sistemi lineari tempo-invarianti) stabilità asintotica e stabilità i.l.u.l. coincidono.

• Nei problemi di controllo non si è solitamente interessati alla semplice stabilità, bensì a quella asintotica.

Stabilitá dei sistemi discreti

Nel caso di sistemi discreti descritti da una funzione di trasferimento G(z), il

carattere di stabilità del sistema è legato al tipo di risposta impulsiva del sistema. Se la risposta

• converge asintoticament a 0 allora il sistema è asintoticamente stabile • rimane limitata allora il sistema è semplicemente stabile

• diverge allora il sistema è instabile

La risposta impulsiva, analogamente a quanto accade nel caso tempo continuo, dipende unicamente dalla posizione e dalla molteplicità dei poli della funzione di trasferimento:

Stabilità di una funzione di trasferimento

Sia dato un sistema descritto da una funzione di trasferimento del tipo G(z) = B(z)

A(z) con A(z) e B(z) primi tra loro. Allora:

• Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutte le radici del polinomio A(z), cioè i poli del sistema, sono entro il cerchio di raggio unitario con

centro nell’origine del piano z ossia se _{|pi| < 1, ∀i.}

• Il sistema è stabile se tutti i poli a modulo unitario _{|pi| = 1 sono poli semplici} (la loro molteplicità è 1), mentre tutti i rimanenti poli sono entro il cerchio unitario.

• La posizione degli zeri, cioè delle radici del polinomio B(z) non influisce sulla stabilità del sistema.

Esempio

Dato il sistema dinamico discreto descritto dalla funzione di trasferimento G(z) = 4z

−1

1 + az−1 =

4 z + a le risposte del sistema G(z) ad un segnale in ingresso

u(0) = 1, u(k) = 0, k > 0 al variare del parametro a sono:

(a) Polo in 0.75 (b) Polo in -0.75

Esempio

(c) Polo in 1.25 (d) Polo in -1.25

Esempio

• Il valore dell’uscita del sistema può essere calcolato da Y (z)(1 + az−1) = 4z−1U (z) ossia

y(k) = −ay(k − 1) + 4u(k − 1) da cui

y(0) = 0

y(1) = 4u(0) = 4

y(2) = −ay(1) + 4u(1) = −4a y(3) = −ay(2) + 4u(2) = 4a2 y(4) = −ay(3) + 4u(3) = −4a3 y(5) = −ay(4) + 4u(4) = 4a4

. . .

y(k) = −ay(k − 1) + 4u(k − 1) = 4(−a)k−1

Esempio

• L’ uscita del sistema poteva essere ottenuta direttamente antitrasformando la G(z).

• Per _{|a| > 1 la risposta del sistema diverge, per |a| < 1 l’uscita del sistema} tende asintoticamente a zero, mentre per _{|a| = 1 il sistema mantiene l’uscita} limitata, senza mai tendere a zero.

• Il segno del termine a influisce sul tipo di risposta; se a > 0 (polo reale negativo), si hanno oscillazioni (crescenti o decrescenti a seconda del valore del modulo), mentre se a < 0 (polo reale positivo) la risposta del sistema ha segno costante (non ci sono oscillazioni).

Criteri per la determinazione della stabilità

•• Permettono di analizzare la stabilità di un sistema senza dovere risolvere esplicitamente la corrispondente equazione caratteristica

zn + a₁zn−1 + · · · + a_n = 0 • Tre tipi di metodi:

• utilizzare una trasformazione bilineare per passare dalla G(z) data ad una funzione G(w), dove w è una variabile complessa paragonabile a s, ed applicare a G(w) tecniche già note nel campo dei sistemi

tempo-continui, come per esempio il criterio di Routh;

• utilizzare criteri di stabilità che elaborano direttamente i coefficienti di A(z), cioè del denominatore di G(z) (es. criterio di Jury);

• criterio di Nyquist.

Trasformazione bilineare e criterio di Routh

Data un’equazione polinomiale di grado n, il criterio di Routh consente di

determinare, senza dover risolvere l’equazione, se tutte le radici hanno parte reale negativa.

Nei sistemi continui, ciò è sufficiente per determinare se un sistema è asintoticamente stabile ma questo non è più vero per i sistemi discreti.

L’idea è quella di trasformare, mediante una trasformazione bilineare, la funzione data G(z) in un’altra funzione G(w) di variabile complessa w tale da permettere l’applicazione a quest’ultima il criterio di Routh.

Trasformazione bilineare e criterio di Routh

La trasformazione bilineare scelta è la seguente: z = 1 + w

1 − w con trasformazione inversa

w = z − 1 z + 1

La prima equazione trasforma infatti il cerchio unitario in z nel semipiano sinistro del piano w (permettendo quindi l’applicazione del criterio di Routh), mentre la seconda equazione effettua la trasformazione inversa.

Verificare che il sistema G(w) abbia tutti i poli a parte reale negativa equivale a verificare che il sistema G(z) abbia tutti i poli all’interno del cerchio unitario e che, quindi, sia asintoticamente stabile.

Trasformazione bilineare e criterio di Routh

Ponendo w = σ + jω e considerando il corrispondente punto z all’interno del cerchio unitario, dalla (47) si ha che

|z| = 1 + w 1 − w   = 1 + σ + jω_{1 − σ − jω} < 1 e quindi (1 + σ)2 + ω2 (1 − σ)2 _{+ ω}2 < 1 cioè (1 + σ)2 + ω2 < (1 − σ)2 + ω2 da cui σ < 0

Trasformazione bilineare e criterio di Routh

Si è così verificato che la zona interna al cerchio unitario viene trasformata nel semipiano sinistro di w. Analogamente, si può facilmente verificare che il cerchio unitario viene trasformato nell’asse immaginario del piano w

|z| = 1 =⇒ (1 + σ)2 + ω2 = (1 − σ)2 + ω2 =⇒ σ = 0

e che punti esterni al cerchio unitario, _{|z| > 1, sono trasformati nel semipiano} destro di w.

Il piano w che si ottiene, e sul quale si andrà ad applicare il criterio di Routh, è

simile al piano s delle trasformate di Laplace, ma non è in nessun modo

equivalente a questo. L’analogia, e l’utilità della trasformazione, si ferma al fatto che in virtù della trasformazione bilineare i poli stabili della G(z) vengono

trasformati in poli stabili della G(w) e che la frontiera di stabilità in w è l’asse immaginario.

Trasformazione bilineare e criterio di Routh

Le trasformazioni bilineari viste definiscono una delle possibili trasformazioni bilineari utili per l’applicazione del criterio di Routh. Per esempio, una

trasformazione alternativa è la seguente

z = 1+wT2

1−wT₂ w = _T2 z_z+1−1

che ha le stesse proprietà della precedente e che in più consente una migliore approssimazione nel dominio delle frequenze. Questa trasformazione, per lo studio della stabilità, introduce però un inutile aumento computazionale.

Trasformazione bilineare e criterio di Routh

Ricapitolando, per l’analisi della stabilità di una funzione G(z) si procede come segue:

1. si considera l’equazione caratteristica del sistema:

P (z) = zn + a₁zn−1 + · · · + a_n−1z + a_n = 0 con P (z) = A(z);

2. si effettua la trasformazione che mappa il piano z nel piano w 1 + w 1 − w n + a₁ 1 + w 1 − w n−1 + . . . a_n−11 + w 1 − w + an = 0 da cui si ottiene l’equazione in w

Q(w) = q₀wn + q₁wn−1 + · · · + q_n−1w + q_n = 0

Trasformazione bilineare e criterio di Routh

3. in virtù delle proprietà della trasformazione bilineare, radici di Q(w) a parte reale positiva, nulla, negativa corrispondono rispettivamente a radici di P (z) a modulo maggiore, uguale, minore di 1. Applicando il criterio di Routh, si determina la posizione delle radici di Q(w) e, di conseguenza, la stabilità di G(z).

Esempio

Sia dato il sistema

G(z) = z + 1

z3 _{+ 2z}2 _{+ z + 1}

Applicando la trasformazione bilineare al denominatore si ottiene 1 + w 1 − w 3 + 2 1 + w 1 − w 2 + 1 + w 1 − w + 1 = 0 da cui −w3 + 3w2 + w + 5 = 0

Esempio

Applicando Routh, si ha che

3 −1 1

2 3 5

1 8/3

0 5

da cui si conclude che, essendo presente una sola variazione di segno in prima colonna, il sistema ha un polo instabile.

Criterio di Jury

• Il criterio di Jury, studia direttamente il polinomio caratteristico della funzione G(z), ed evita quindi l’uso della trasformazione bilineare. • Anche con questo metodo si costruisce una tabella, partendo però

direttamente dai coefficienti dell’equazione caratteristica del sistema in esame. Si verificano quindi alcune condizioni sui termini della tabella così costruita per determinare la stabilità del sistema.

Criterio di Jury

Sia dato il polinomio caratteristico nella forma

P (z) = a₀zn + a₁zn−1 + a₂zn−2 + · · · + a_n−1z + a_n con a₀ > 0. La tabella di Jury viene costruita nel seguente modo:

z0 z1 z2 · · · zn−1 zn 1 a_n a_n−1 · · · a₂ a₁ a₀ 2 a₀ a₁ a₂ · · · a_n−1 a_n 3 b_n−1 · · · b₂ b₁ b₀ 4 b₀ b₁ b₂ · · · b_n−1 5 c_n−2 · · · c₁ c₀ 6 c₀ c₁ · · · c_n−2 .. . 2n − 5 p₃ p₂ p₁ p₀ 2n − 4 p₀ p₁ p₂ p₃ − 3

Criterio di Jury

• Gli elementi della prima riga della tabella sono i coefficienti di P (z) disposti in ordine crescente delle potenze di z, gli elementi della seconda riga sono i coefficienti di P (z) disposti in ordine decrescente delle potenze di z.

• Gli elementi delle righe dispari da 3 a (2n _{− 3) sono i seguenti determinanti} b_k = det  a_n a_n−1−k a₀ a_k+1  k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 c_k = det  b_n−1 b_n−2−k b₀ b_k+1  k = 0, 1, 2, . . . , n − 2 .. . q_k = det  p₃ p_2−k p₀ p_k+1  k = 0, 1, 2

Criterio di Jury

• Gli elementi delle righe pari sono semplicemente gli elementi delle righe dispari in ordine opposto. Notare che l’ultima riga della tabella consiste sempre di tre elementi: per i sistemi del secondo ordine si ha che

2n − 3 = 1 e quindi la tabella di Jury è costituita da una sola riga contenente i coefficienti dell’equazione caratteristica.

Criterio di Jury

Una volta costruita la tabella di Jury, affinché il sistema sia stabile devono essere soddisfatte tutte le seguenti condizioni.

1. _{|an| < a0}; 2. P (z)_|z=1 > 0; 3. P (z)_|z=−1 =  > 0 n pari < 0 n dispari 4. _{|bn−1| > |b0|,} |cn−2| > |c0|, .. . |q2| > |q0|

Notare che le prime 3 condizioni possono essere dedotte direttamente dal polinomio P (z), senza costruire la tabella di Jury.

Esempio

Si voglia studiare con il criterio di Jury la stabilità del sistema con equazione caratteristica

P (z) = z3 + 2z2 + z + 1

già esaminato con la trasformazione bilineare e l’applicazione del criterio di Routh-Hurwitz. Le condizioni di Jury sono in questo caso:

1. _{|1| < 1, non verificata;} 2. P (1) = 5, verificata;

3. P (_{−1) = 1 < 0, non verificata.}

Già queste tre prime condizioni non sono tutte verificate, ed è quindi inutile proseguire con la costruzione delle tabella. Il sistema risulta instabile.

Esempio

Si determini la stabilità del sistema avente la seguente equazione caratteristica: P (z) = z4 + 1.4z3 + 0.71z2 + 0.154z + 0.012

In questo caso i coefficienti sono

a₀ = 1, a₁ = 1.4, a₂ = 0.71, a₃ = 1.154, a₄ = 0.012, e le condizioni per il test di Jury divengono

1. 0.012 < 1;

2. P (1) = 3.276 > 0;

3. P (_{−1) = 0.1680 > 0 (n = 4 pari);}

Esempio

4. la tabella di Jury è la seguente:

1 0.012 0.154 0.710 1.400 1.000 2 1.000 1.400 0.710 0.154 0.012 3 −1.000 −1.398 −0.701 −0.137 4 −0.137 −0.701 −1.398 −1.000 5 0.981 1.302 0.510 e quindi 1 > 0.137 0.981 > 0.51

Tutte le condizioni sono rispettate e quindi si può concludere che il sistema è stabile.

Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235

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