Propriet` a elastiche dei sistemi continui
Se ho un cilindro (filo) di lugnhezza L e sezione A e applico una forza F di trazione, il filo si allunga di una quantit` a ∆L sperimentalmente data da
F
A = Υ ∆L L
La forza per unit` a di area si chiama sforzo e si misura in N/m 2 = Pa (Pascal) o in MPa. Υ si chiama modulo di Young: quanto pi` u esso ` e grande tanto pi` u ` e rigido il materiale
Tipicamente, Υ per l’osso ` e paragonabile a quello del legno, intorno a 10 4 MPa, per i vasi sanguigni ` e un quinto di quello della gomma, circa 0.2 MPa .
Quando la deformazione supera circa lo 0,5% le ossa si rompono
Forze vincolari
Sono generalmente di origine elastica
Nella maggior parte dei casi, si possono considerare per` o i vincoli rigidi La forza vincolare ` e sempre perpendicolare (normale) al vincolo La forza vincolare pu` o cambiare nel tempo se il corpo si muove o se cambia qualche condizione esterna, in modo da bilanciare
esattamente le forze che si oppongono al vincolo
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Attrito - I
Tra un oggetto e il suo supporto (un tavolo, un piano inclinato) si possono formare legami elettrici e microscopici ostacoli metallici l’attrito, statico e cinetico, ` e dovuto a queste cause
Se un corpo si muove, la forza di attrito dinamico tende quindi a frenarlo, e si trova che questa ` e proporzionale alla forza normale
F attrito = µ F normale
Statico Radente Volvente ferro pietra 0.5-0.8 0.3-0.7 - legno legno 0.2-0.5 0.2-0.5 - metallo metallo 0.15-0.8 0.15-0.8 -
teflon teflon 0.04 0.04 -
gomma asfalto - - 0.005
Attrito - II
L’attrito radente ` e molto pi` u grande di quello volvente: Cosa c’entra con le frenate?
Come varia lo spazio di frenata con la velocit` a?
L’attrito statico ` e maggiore o minore di quello radente?
L’attrito pu` o fare lavoro?
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Risposte
Se l’attrito radente (cinetico) fosse minore di quello volvente, premendo il pedale del freno l’auto si fermerebbe in un tempo maggiore, perch´ e il freno blocca le ruote
Se freno compio un moto uniformemente accelerato con accelerazione negativa. Lo spazio percorso ` e dato da
v f 2 − v i 2 = −2a∆x
v f = 0 quando l’auto si ferma, da cui vediamo che lo spazio di frenata
`
e proporzionale al quadrato della velocit` a L’attrito statico ` e definito da
F attr ≤ µ s F N
Se fosse minore di quello cinetico, appena la forza diventasse
abbastanza grande da muovere il corpo, l’attrito diventerebbe cinetico e il corpo si fermerebbe nuovamente. Perci` o
µ s ≥ µ k
Piano inclinato
Il moto lungo un piano inclinato senza attrito ` e aceclerato con accelerazione a = g sin(θ)
Se c’` e attrito la forza normale deve bilanciare la componente del peso perpendicolare al piano F N = mg cos(θ)
La forza di attrito cinetico vale quindi F a = µ k mg cos(θ) Il moto ` e quindi uniformemente accelerato con accelerazione a = g sin(θ) − µ k g cos(θ)
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Attrito cinetico
Il moto ` e uniformemente accelerato, con accelerazione negativa data dalla forza di attrito F a = µ k m g .
La velocit` a cambia quindi con la legge v = v 0 − µ k gt
il corpo si ferma quando la sua velocit` a diventa nulla, quindi al tempo t = v 0 /µ k g
Il lavoro fatto dalle forze di attrito ` e
W = F a · ∆x = −µ k m gv 0 t
ed ` e quindi negativo
Viscosit` a
Un oggetto in moto in un fluido ` e soggetto ad attrito viscoso Lo stesso vale se si muove il fluido e l’oggetto ` e fermo Perch´ e la velocit` a dei fiumi ` e maggiore al centro?
La legge dell’attrito viscoso ` e
~f V = −kη ~ v R
k dipende dal corpo (6πR per una sfera di raggio R) η dipende solo dal liquido
L’attrito viscoso non dipende quindi dal rapporto fluido-solido, ma dai due in modo indipendente.
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Conservazione dell’energia
applicazioni
1
Trovare la velocit` a di un oggetto che cade da un altezza h in ogni istante, prima che tocchi il terreno
2
Trovare la velocit` a di fuga dalla Terra
3
trovare la velocit` a di un corpo attaccato a una molla, in funzione delle cooordinate (e non del tempo)
4
Se una palla perde il 10% della sua energia meccanica rimbalzando,
trovare a che altezza pu` o risalire se inizialmente ` e partita da h
Soluzioni
Problema 1
La forza che agisce in questo problema ` e quella di gravit` a, che ` e conservativa
La forza si pu` o considerare costante, per cui l’energia potenziale ` e mgy
L’energia meccanica ` e tutta potenziale alla partenza (y 0 = h, v 0 = 0) mentre, durante il moto, ` e sia potenziale che cinetica
applicando la conservazione del’energia:
1
2 mv (t) 2 + mgy = mgh per cui
1
2 mv (t) 2 = mg (h − y ) ⇒ v (t) = p
2g (h − y )
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Soluzioni
Problema 2
la gravit` a non pu` o essere considerata costante, perch´ e la sua accelerazione va da g a zero (all’infinito)
L’energia potenziale che si deve usare ` e quindi U(r ) = G M T m
r
Inizialmente r = R T mentre alla fine r = ∞. La differenza di neenrgia potenziale ` e perci` o
∆U = G M T m R T
− 0 = G M T m R T
La velocit` a minima v fuga ` e quella che consente di arrivare all’infinito con velocit` a nulla
1
2
mv fuga 2 + G M T m R T
=
12mv ∞ 2 = 0 ⇒ v fuga = s
2GM T R T
≈ 11 km/s
Soluzioni
Problema 3
So che
x (t) = A cos(ωt + ϕ) Ottengo la velocit` a derivando rispetto al tempo
v (t) = dx (t)
dt = −ωA sin(ωt + ϕ)
Voglio ora mettere in relazione v (t) con x (t). Per farlo mi ricordo che sin(x ) 2 + cos(x ) 2 = 1
v (t) = −ω q
A 2 − A 2 cos 2 (ωt) = −ω q
A 2 − x(t) 2
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
