14 esercizi coi vettori

UNIVERSITA’ DEL SANNIO

CORSO DI FISICA 1

ESERCIZI + SVOLGIMENTO - VETTORI

1. Dato un vettore ar= (-1, 3, 2). Calcolare il modulo e l’angolo formato dal vettore con l’asse z. • Il modulo è: a ₌ 2 ₊ 2 ₊ 2 ₌ (₋1)2 ₊(3)2 ₊(2)2 ₌ 14 z y x a a a

r _{; l’angolo formato dal}

vettore con l’asse z è: )

14 2 ( cos ) ( cos 1 2 2 2 1 − − ₌ + + = z y x z a a a a ϑ .

2. Calcolare il modulo della proiezione del vettore ar = (1, -3, 2) nel piano xy e l’angolo formato dalla proiezione con l’asse y.

• Il modulo della proiezione del vettore nel piano xy è:

10 ) 3 ( ) 1 ( a ₌ 2₊ 2 ₌ 2_{+ −} 2 ₌ y x xy a a

r _{; l’angolo formato dalla proiezione con l’asse y è:}

) 10 3 ( sin ) ( sin 1 2 2 1 _{= −} + = − − y x y a a a ϕ , oppure ) 10 1 ( cos 2 ) ( cos 2 1 2 2 1 − − _{= −} + − =π π ϕ y x x a a a .

3. Il vettore ar di modulo ar = 10 forma un angolo di 60° con l’asse z e la sua proiezione nel piano xy forma un angolo di 45° con l’asse x. Calcolare le componenti di ar lungo i tre assi coordinati.

• Le componenti del vettore ar sono

5 ) 60 cos( a 6 2 5 ) 45 sin( ) 60 sin( a 6 2 5 ) 45 cos( ) 60 sin( a = ° = = ° ° = = ° ° = r r r z y x a a a .

4. Dati due vettori ar = (-1, 0, 3) e br = (2, 1, -1). Calcolare il vettore risultante ar +br e

b 3 -ar r.

• Le componenti del vettore risultante ar +br sono (ax+bx,ay +by,az +bz)=(1, 1, 2),

mentre ar −3br sono (ax −3bx,ay −3by,az −3bz)=(-7, -3, 6).

5. Dati tre vettori ar, br e cr tali che siano soddisfatte le seguenti proprietà: cr=ar+br, e

b a c r r

r _{= + . Cosa possiamo affermare circa la mutua posizione dei tre vettori? E se la}

proprietà tra i moduli fosse cr2 = ar2+ br2?

• I due vettori are brdevono essere collineari. Solo in questo caso il modulo del vettore risultante (cr) è la somma dei moduli dei vettori are br. Altrimenti, in generale, il modulo del vettore cr =ar+br è espresso in termini dei moduli di are di brcome segue:

α cos b a 2 b a c r2 r2 r r

r _{= + + , dove α è l’angolo tra i vettori ar e b}r_{. Per ottenere la}

relazione richiesta bisogna imporre cosα =0, quindi α = 90°. I vettori devono essere perpendicolari tra loro.

6. Dati due vettori ar, br tali che ar+br =ar−rb. Quale proprietà soddisfa il vettore br? • Il vettore br deve essere nullo. Infatti possiamo scrivere 0=ar−ra=2rb. Quindi br =0. 7. Dati due vettori ar e br di modulo ar = 2 e br = 4. Determinare il modulo del vettore

b a

c r r

r_{= + sapendo che l’angolo compreso tra i vettori è 45°.}

• Il modulo del vettore cr è dato dalla formula generalizzata del Teorema di Pitagora:

2 2 5 2 ) 45 cos( ) (4 ) (2 2 ) (4 ) (2 cos b a 2 b a c 2 2 2 2 + = ° + + = + + = r r r r α r

8. Dati due vettori ar = (-1, 0, 3) e br = (2, 1, -1), calcolare il prodotto scalare ar ⋅br ed il prodotto vettoriale ar ×br e b rr×a.

• L’espressione del prodotto scalare di ar e br in termini delle loro componenti è

5 (3)(-1) (0)(1) (-1)(2) b a b a b a b

ar⋅r = _{x x} + _{y y} + _{z z} = + + =− Le componenti del prodotto vettoriale sono (ar×br)_x =a_yb_z −a_zb_y =(0)(-1)−(3)(1)=−3, 5 (-1)(-1) (3)(2) b a b a ) b a (r×r _y = _{z x} − _{x z} = − = e

1 (0)(2) (-1)(1) b a b a ) b a

(r×r _z = _{x y} − _{y x} = − =− . Nel caso, invece, di b rr×a, otteniamo:

3 a b a b ) a b (r× r _x = _{y z} − _{z y} = , (ar×br)_y =a_zb_x −a_xb_z =−5 e (ar×br)_z =a_xb_y −a_yb_x =1. Quindi otteniamo la seguente proprietà ar×br= -br×ar.

9. Dati i vettori ar = (-1, 0, 0), br = (1, 1, -1) e cr = (-1, 1, 3), calcolare ra⋅(br×cr).

• Combinando l’espressione del prodotto scalare con quella per il prodotto vettoriale si ottiene: -4 ) c b c (b a ) c b c (b a ) c b c (b a ) c b ( a ) c b ( a ) c b ( a ) c b ( a x y y x z z x x z y y z z y x z z y y x x = − + + − + − = × + × + × = × ⋅ r r r r r r r r r

10. I vettori ar e br, appartenenti al piano yz (con y, z > 0), hanno lo stesso modulo (ar =

br = 5) ma formano con l’asse z, rispettivamente un angolo di 30° e 60°. Calcolare le componenti del vettore ar +br e ar −br.

• Dato che i vettori appartengono al piano yz le loro componenti lungo l’asse x sono nulle. Quindi: ar=(0, arsin30° ,arcos30°) e br=(0,brsin60°, br cos60°). I vettori

risultanti sono 1) 3 1, 3 (0,1 2 5 ) 60 cos b 30 cos a , 60 sin b 30 sin a (0, b ar+r = r °+ r ° r °+ r ° = + + + e 1) -3 , 3 -(0,1 2 5 ) 60 cos b 30 cos a , 60 sin b 30 sin a (0, b ar−r = r °− r ° r °− r ° = .

11. Dati il vettore ar = (-1, 0, 3) ed una famiglia di vettori br = (2, 1, k) con k ε R. Calcolare k tale che br sia ortogonale ad ar. Per quale valore di k il modulo di ar ×br ha un estremo.

• Se i vettori sono ortogonali abbiamo ar⋅br =a_xb_x +a_yb_y +a_zb_z =0. Quindi

3 2 . 0 3 2 ) )( 3 ( ) 1 )( 0 ( ) 2 )( 1 ( b ar⋅r = − + + k =− + k = ⇒k = Calcoliamo il modulo di ar ×br: 2 2 2 2 2 x y y x 2 z x x z 2 y z z y 12 46 ) 1 ( ) 6 ( ) 3 ( ) b a b a ( ) b a b a ( ) b a b a ( b a k k k + + = = − + + + − = − + − + − = ×r r .

Infine, calcolando la derivata prima di ar × rispetto al parametro k, si ottiene quanto br2 richiesto: k = -6.

• L’angolo tra due vettori è esprimibile in termini del prodotto scalare. Infatti: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = − − − 10 9 cos b a b a b a cos b a b a cos 1 2 2 2 2 2 2 z z y y x x 1 1 z y x z y x a a b b b a r r r r ϑ

13. Dato il vettore ar = (-1, -5, 0) calcolare l’angolo formato tra ar e l’asse x.

• Dato che il vettore appartiene al piano xy, l’angolo è dato da

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − 26 1 -cos cos a cos 1 2 2 2 1 1 z y x x x a a a a a r ϑ

14. Un vettore ar di modulo 5 è diretto verso est, mentre un vettore br di modulo 4 è diretto verso nord-ovest. Calcolare i vettori ar +bre ar −br ed i rispettivi moduli.

• Le componenti di ar sono (5, 0) e di br sono (4cos135° ,4sin 135°)=2 2(-1,1). Infine le componenti dei vettori somma e differenza sono (5-2 2 ,2 2) e (5+2 2,-2 2).